資源簡介

3.1.2 橢圓的簡單幾何性質【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的．
【目標分析】
1．有橢圓的幾何性質與標準方程，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第1題、第2題、第3題、第5題、第11題、第12題；
2．求橢圓的離心率，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第4題、第8題、第13題、第14題；
3．直線與橢圓的位置關系，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第7題、第10題、第16題；
4．與橢圓有關的最值與范圍問題，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第6題、第9題、第15題；
一、單選題
（2024·貴州黔南·高二統考期末）
1．曲線與曲線的（ ）
A．長軸長相等 B．焦距相等 C．離心率相等 D．短軸長相等
（2024·廣西玉林·高二統考期末）
2．設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·河南周口·高二統考期末）
3．若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B．或
C． D．或
（2024·江西宜春·高二統考期末）
4．韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點，它打通了曲江區、湞江區、武江區交通道路的瓶頸，成為連接曲江區與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔著實現韶關“三區融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點，米，橋塔最高點距橋面米，則此橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點，若，則的面積等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
6．已知橢圓的離心率為，下頂點為，點為上的任意一點，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北·高二湖北省紅安縣第一中期中）
7．已知點為橢圓（）的左焦點，點為橢圓的下頂點，平行于的直線交橢圓于，兩點，且的中點為，則該橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
（2024·河北邯鄲高二期末）
8．已知橢圓的左焦點為，過作圓的一條切線交橢圓于，兩點，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
（2023·福建漳州·高二福建省華安縣一中期中）
9．已知橢圓的左、右焦點分別為、，且，點在橢圓內部，點在橢圓上，則以下說法正確的是（ ）
A．的最小值為
B．橢圓的短軸長可能為
C．橢圓的離心率的取值范圍為
D．若，則橢圓的長軸長為
（2024·云南昭通·高二期末）
10．已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點，下列結論正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．橢圓的長軸長為2
C．若直線的方程為，則右焦點到的距離為
D．若直線過點，且與軸平行，則
三、填空題
（2024·江蘇蘇州·高二統考期末）
11．已知橢圓的焦點在軸上，若橢圓的焦距為4，則的值為 ．
（2024·重慶·高二校聯考期末）
12．如圖，在一個高為20，底面半徑為2的圓柱形乒乓球筒的上壁和下壁分別粘有一個乒乓球，下壁的乒乓球與球筒下底面和側面相切，上壁的乒乓球與球筒上底面和側面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不計）.一個平面與兩個乒乓球均相切，已知該平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，請寫出此橢圓的一個標準方程 .

（2023上·天津武清·高二校考期中）
13．設橢圓的兩個焦點分別為，，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓離心率等于 ．
（2023上·云南文山·高二校考期中）
14．已知橢圓的兩個焦點分別為，.若橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為4，則橢圓的標準方程為 ；若在軸上方的上存在兩個不同的點，滿足，則橢圓離心率的取值范圍是 .
四、解答題
（2024·廣西南寧·高二統考期末）
15．已知橢圓的短軸長為2.
（1）若橢圓經過點，求橢圓的方程；
（2）為橢圓的上頂點，，橢圓上存在點，使得.求橢圓的離心率的取值范圍.
（2024·重慶黔江·高二重慶市黔江中學期末）
16．已知中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，離心率為且過點，過定點C(－1,0)的動直線與該橢圓相交于A，B兩點．
(1)若線段AB中點的橫坐標是，求直線AB的方程；
(2)在x軸上是否存在點M，使為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【易錯題目】第6題、第9題、第15題
【復盤要點】橢圓中的最值問題，既要有幾何視角借助橢圓的定義及其幾何性質、也要有方程思想，處理問題．體現直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養．
典例（2023上·湖南長沙·高二雅禮中學校考期中）焦點在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，則橢圓離心率的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設橢圓的標準方程為，不妨設矩形的對角線所在的直線方程為：（假設），與橢圓方程聯立可得矩形的面積，變形利用基本不等式結合題意求解即可．
【詳解】設橢圓的標準方程為，
不妨設矩形的對角線所在的直線方程為：（假設），
聯立，則，解得：，，
所以矩形的面積為：，
當且僅當時取等，因為點在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，
所以，則，即，
，即，
解得：，即．
易錯提示：解決橢圓中最值問題基本思路：
（1）運用橢圓的定義，將問題轉化為兩點間距離最短；
（2）二次函數法：通過將橢圓問題轉化為二次函數，借助二次函數的性質來求最值；
（3）均值不等式法：根據橢圓的方程構造關于某個變量的一元二次方程，然后利用均值不等式求最值．
【復盤訓練】
17．已知P點是橢圓上的動點，A點坐標為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·重慶沙坪壩·高二重慶一中期中）
18．斜率為的直線與橢圓：交于，兩點，線段的中點為，則的范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
（2024·安徽安慶高二期末）
19．已知直線，若橢圓上的點到直線的距離的最大值與最小值之和為，則橢圓的離心率范圍是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知點P是橢圓C： 上動點，點A是橢圓C的上頂點．當P為下頂點時，取到最大值，則橢圓C的離心率的取值范圍為 ．
（2023·遼寧大連·高二期中）
21．在平面直角坐標系中，已知橢圓，點是橢圓內一點，，若橢圓上存在一點，使得，則的范圍是 ；當取得最大值時，設為橢圓上任意一點，，則的最小值為 ．
（2024·山東泰安·高二期中）
22．在平面直角坐標系中 ，已知橢圓，點是橢圓內一點，，若橢圓上存在一點，使得，則的范圍是 ；當取得最大值時，橢圓的離心率為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據，得到，再利用a，b，c的關系求解.
【詳解】解：因為，
所以，
則，
，
所以兩曲線長軸長不相等，焦距相等，離心率不相等，短軸長不相等，
故選：B
2．A
【分析】根據給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
3．D
【分析】根據橢圓的離心率求出的值，對橢圓的焦點位置進行分類討論，求出的值，即可求得橢圓的長軸長.
【詳解】因為，所以，.
①若橢圓的焦點在軸上，則，可得，則，
此時，橢圓的長軸長為；
②若橢圓的焦點在軸上，則，可得，則，
此時，橢圓的長軸長為.
綜上所述，橢圓的長軸長為或.
故選：D.
4．D
【分析】建立如圖所示平面直角坐標系，設橢圓方程為，依題意可得，即可求出離心率.
【詳解】如圖按橢圓對稱軸所在直線建立直角坐標系，
設橢圓方程為，
令，即，解得，依題意可得，
所以，所以，所以．
故選：D．
5．C
【分析】四邊形是矩形，設，，由橢圓的定義及勾股定理可求得，則的面積是，又的面積與的面積相等，即可得出答案.
【詳解】據題意，四邊形是矩形，設，，
則有，，由此可得，
所以的面積是，
又的面積與的面積相等，所以的面積等于9.
故選：C．
6．A
【分析】設，得到，求得，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】由橢圓的離心率，可得，所以橢圓的方程為，
設，則，可得，
又由點，
可得，
因為，所以，所以.
故選：A.
7．D
【分析】先求出直線的斜率為，設，，再利用點差法求出直線的斜率為，利用斜率相等可得的值，從而得到橢圓方程.
【詳解】
因為，，
所以直線的斜率為，
設，，則①，②，
①-②得：，
即，
因為是的中點，所以，，
所以，所以，
因為，所以，即，所以，
所以，所以，所以橢圓的方程為，
故選：D.
8．B
【分析】設出直線，與橢圓聯立然后根據幾何關系，結合根與系數關系即可求解.
【詳解】設直線，與橢圓聯立，化簡得，
設，，則由根與系數的關系得①，
又，所以，代入①得②，
又直線與圓相切，所以，即，代入②整理得，
得，因此橢圓的離心率，故B正確.
故選：B．
【點睛】將直線與橢圓聯立后結合根與系數的關系及幾何關系，從而求解.
9．AD
【分析】由題意可得軸，利用橢圓的定義得，當，，三點共線時取到最小值可判斷A；因為在橢圓內可得可判斷B；由在橢圓內可得長軸長，結合離心率公式可判斷C；由已知條件求出點的坐標，再由兩點間的距離求出長軸長的值可判斷D，進而可得正確選項.
【詳解】
由可得，因為，所以軸，
對于A：，當且僅當，，三點共線時取到最小值為，故選項A正確；
對于B：因為在橢圓內所以，所以短軸長，故選項B不正確；
對于C：因為在橢圓內，所以長軸長，所以離心率，所以，故選項C不正確；
對于D：因為，所以為的中點，而，，，所以，所以長軸長，故選項D正確；
故選：AD.
10．AC
【分析】求出的值后，可直接計算出離心率和長軸長，從而判斷出A,B；利用點到直線的距離公式計算可判斷C；根據通徑公式進行計算，或者聯立直線和橢圓方程，利用弦長公式進行求解可判斷D.
【詳解】由題意知，
對于A選項：,則A正確；
對于B選項：長軸為：,故B錯誤；
對于選項：的方程為，
所以右焦點到的距離為，故C正確；
對于選項：方法過且與軸平行，
為通徑，.
方法過且與軸平行，
的方程為，由，故D錯誤，
故選：AC.
11．
【分析】首先將橢圓方程化為標準式，即可得到、，根據焦距求出.
【詳解】橢圓即，焦點在軸上，所以，
所以，又橢圓的焦距為4，所以，解得．
故答案為：
12．或
【分析】設切點為，與圓柱面相交于，由題意即為橢圓的長軸，橢圓短軸即為圓柱底面直徑的長，分析即得解.
【詳解】對圓柱沿底面直徑進行縱切，如圖所示:切點為，與圓柱面相交于，
此時可知即為橢圓的長軸，在直角三角形中，
,又，
所以，
由平面與圓柱所截可知橢圓短軸即為圓柱底面直徑的長，即，
所以橢圓的標準方程為或，
故答案為：或.

13．
【詳解】設到位于軸上方，坐標為，
∵為等腰直角三角形，
∴，即，
即，
∵，
∴，，
∴．
14．
【分析】由短軸一個端點到右焦點的距離為可得的值，結合離心率計算即可得第一空；在軸上方的上存在兩個不同的點，滿足，即上頂點與兩焦點組成的三角形中，上頂點所在的角需大于，結合余弦定理計算即可得.
【詳解】由，短軸一個端點到右焦點的距離為4，即，故，
，即橢圓方程為；
在軸上方的上存在兩個不同的點，滿足，
則有，即，解得，
故，即離心率的取值范圍為.
故答案為：；.
15．（1）
（2）
【解析】（1）由已知，將點代入橢圓方程，求出，即可求出橢圓方程；
（2）設，求出滿足的軌跡方程為，問題轉化為橢圓與圓有交點，聯立橢圓與圓方程可得，，根據橢圓的范圍，可求出，由橢圓中的關系，，即可求出結論.
【詳解】解：（1）由題意可得，即.
因為橢圓經過點，所以，
所以，解得.
故橢圓的方程為.
（2）由（1）可知，設，則①
因為，所以，
所以，即.②
聯立①②，解得.
因為，所以，
所以，解得，
于是，即，
則，即，即.
故橢圓的離心率的取值范圍是.
【點睛】本題考查求橢圓的標準方程以及簡單幾何性質，考查軌跡方程的求法，以及橢圓與圓的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題.
16．（1）；（2）在x軸上存在點，使為常數.
【分析】（1）先求出橢圓方程，設直線的點斜式方程，聯立方程，結合中點橫坐標，求得k的值，進而得直線AB的方程；
（2）假設存在點M，使為常數．分別討論兩種情況：當直線AB與x軸不垂直時和當直線AB與x軸垂直時；求出點M的坐標，綜合兩種情況得出結論
【詳解】(1)由題意可設橢圓的標準方程為
，∴，，
解得，，.
∴橢圓的方程為
直線斜率不存在時顯然不成立，設直線AB：．
將AB：代入橢圓的方程，消去y整理得
.
設，，
則
∵線段AB的中點的橫坐標為，
解得，經檢驗△>0,
∴直線AB的方程為.
(2)假設在x軸上存在點M(m,0)，使得為常數．
①當直線AB與x軸不垂直時，由(1)知
，.
∴
∵是與k無關的常數，∴，即，此時.
②當直線AB與x軸垂直時，此時結論成立．
綜上可知，在x軸上存在點，使為常數．
【點睛】本題考查了直線的一般方程以及直線與橢圓的關系．通過“設而不求”，應用韋達定理，以及向量的數量積的坐標表示即可解答本題．考查對知識的綜合運用.
17．B
【分析】根據題意利用兩點間距離公式結合橢圓方程運算求解.
【詳解】設，則，
因為P點在橢圓上，則，記，
所以，
又因為開口向上，對稱軸，
且，所以當時，取到最小值.
故選：B.
18．C
【分析】由點在橢圓內有求m范圍，設直線方程聯立橢圓整理為一元二次方程形式，則必有，，結合韋達定理有，即可求的范圍.
【詳解】由題設，在橢圓內，則，
設直線代入橢圓，

整理得且，則，
由圖知：直線斜率不可能為0，所以，故或.
故選：C
19．A
【分析】先將直線方程與橢圓方程聯立方程組，消去，由求出的范圍，設橢圓上任意一點P（acosθ，sinθ），然后利用點到直線的距離公式求出點P到直線的距離，利用三角函數的性質可求得的最值， 從而可得當直線與橢圓相切或相離時滿足題意，再由可求出離心率的范圍
【詳解】解：聯立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0，
因為直線l與橢圓C相離或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0，
∴1設橢圓上任意一點P（acosθ，sinθ），則點到直線l的距離
，其中，
d的最小值 最大值分別為：，，
滿足最大值與最小值之和為，
∴1.
故選：A.
20．
【分析】設 ，則 可化為 ，由 時， 取得最大值，可得 ，化簡可得結果.
【詳解】由題意， ，設 ，因為 ， ，
所以 ，
，因為當 時， 取得最大值，所以 ，
可得 ，即 .
故答案為： .
21．
【分析】計算橢圓焦點，根據得到，結合點是橢圓內一點，得到范圍，根據橢圓定義得到，根據均值不等式計算得到最值.
【詳解】，故焦點為和，，
，，解得，
點是橢圓內一點，故，解得或（舍去），
故.
當時，橢圓方程為：，，
，當時等號成立.
故答案為：；.
22．
【分析】先根據在橢圓內部得到的取值范圍，再求出的取值范圍，根據得到關于的不等式組，兩者結合可求的取值范圍，當取得最大值時，可根據公式計算其離心率.
【詳解】因為點是橢圓內一點，故，
由可得.
為橢圓的下焦點，設橢圓的上焦點為，則，
而，當且僅當三點共線時等號成立，
故，所以，
所以，故.
的最大值為，此時橢圓方程為，故其離心率為，
故分別填：，.
【點睛】點與橢圓的位置關系可通過與的大小關系來判斷，若，則在橢圓的內部；若，則在橢圓上；若，則在橢圓的外部．橢圓中與一個焦點有關的線段和、差的最值問題，可以利用定義轉化到另一個焦點來考慮．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁3.1.2 橢圓的簡單幾何性質【第三課】
擴展1 求橢圓的離心率問題
求橢圓的離心率是熱點問題，解決問題的基本思想是方程思想，需要結合圖形的幾何性質，建立的基齊次關系式求解.體現直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養.
例1.（2024·湖南益陽·高二期末）
已知是橢圓的左焦點，若過的直線與圓相切，且的傾斜角為，則橢圓的離心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根據直線與圓相切的位置關系可構造的齊次方程，結合橢圓關系可求得離心率.
【解析】由題意知：，則直線，即，
與圓相切，，即，
，，橢圓的離心率.
故選：A.
【方法總結】求橢圓離心率的方法：
（1）直接求出a和c，再利用求解；也可利用求解.
（2）若a和c不能直接求出，則看是否可利用條件得到a和c的齊次等式關系，然后整理成的形式，并將其視為整體，就變成了關于離心率e的方程或不等式，進而求解.
【舉一反三1-1】（2024·山東泰安·高二期末）
1．若橢圓上存在點，使得到橢圓兩個焦點的距離之比為，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢圓”的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三1-2】（2024·河北邯鄲高二期末）
2．已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是
A． B． C． D．
【舉一反三1-3】（2024·江西宜春高二期末）
3．，是橢圓E：的左，右焦點，點M為橢圓E上一點，點N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為 .
【舉一反三1-4】
4．（1）已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，則k的值為 .
（2）設，是橢圓的兩個焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為 .
擴展2 求橢圓的中點弦問題
橢圓中的中點弦問題，涉及直線與圓的位置關系，運算量較大.解決問題需掌握一定的技巧，體現直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養.
例2.（2023·湖北黃石高二期中）
已知橢圓.
（1）求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；
（2）過點的直線與橢圓相交，求所得弦的中點的軌跡；
（3）求過點且被點P平分的弦所在的直線方程.
【方法總結】解橢圓的中點弦問題，一般有三種方法.
（1）根與系數的關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
（2）點差法：利用端點在橢圓上，坐標滿足方程，將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系.
（3）共線法：利用中點坐標公式，如果橢圓（，）的一條弦的中點為，設其中一個交點為，則另一個交點為，則
兩式作差即得所求直線方程.
【舉一反三2-1】（2024·江蘇南通·高二統考期末）
5．已知橢圓，直線經過點與交于兩點.若是線段的中點，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【舉一反三2-2】（2024·河北邢臺高二期末）
6．已知中心在原點,焦點在軸上,焦距為4的橢圓被直線：截得的弦的中點的橫坐標為-2,則此橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三2-3】（2024上·重慶·高二重慶八中校考期末）
7．直線經過橢圓的左焦點，且與橢圓交于 兩點，若為線段中點，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三2-4】（2024·四川成都簡陽陽安中學·高二期末）
8．已知點在橢圓上，動點都在橢圓上，且直線不經過原點，直線經過弦的中點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線的斜率．
（全國·統考高考真題）
9．設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
（山東·高考真題）
10．在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（北京·高考真題）
11．橢圓的焦點為，兩條準線與x軸的交點分別為M，N．若，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（湖南·高考真題）
12．設分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準線上存在P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（全國·統考高考真題）
13．橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（全國·統考高考真題）
14．設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（福建·高考真題）
15．已知是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于兩點，若是正三角形，則這個橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
（湖南·高考真題）
16．設分別是橢圓（）的左、右焦點，是其右準線上縱坐標為（為半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是( )
A． B． C． D．
（全國·高考真題）
17．已知橢圓C：的左右焦點為F1,F2離心率為，過F2的直線l交C與A,B兩點，若△AF1B的周長為，則C的方程為
A． B． C． D．
（全國·高考真題）
18．已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
（江西·高考真題）
19．已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C
（全國·高考真題）
20．已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為
A． B． C． D．
（全國·高考真題）
21．已知O為坐標原點，F是橢圓C：的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為
A． B． C． D．
（上海·高考真題）
22．已知橢圓的焦點，，長軸長為6，設直線交橢圓于，兩點，則線段的中點坐標為 .
（·江蘇·高考真題）
23．如圖，在平面直角坐標系中，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點T，線段與橢圓的交點恰為線段的中點，則該橢圓的離心率為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據條件設出到橢圓兩個焦點的距離，再利用橢圓的定義及橢圓上的點到焦點距離的最值即可求出結果.
【詳解】由題可設點到橢圓兩個焦點的距離之分別，
所以，得到，
又，所以，得到，故.
故選：C.
2．C
【詳解】設橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為．因為所以點M的軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓．與因為點M在橢圓的內部，所以，所以，所以 ，所以 ，故選C．
【點睛】求離心率的值或范圍就是找的值或關系．由想到點M的軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓．再由點M在橢圓的內部，可得，因為 ．所以由得，由關系求離心率的范圍．
3．
【分析】根據，得到，且是的角平分線，再結合和角平分線定理得到，然后在中，利用勾股定理求解.
【詳解】解：因為，
所以，則是的角平分線，
所以，
又因為，
所以，設，
由橢圓定義得，
即，解得，
則，
則，
所以，則，
故答案為：
4． ##
【分析】（1）根據橢圓的離心率列方程，化簡求得的值.
（2）利用直角三角形的性質列方程，化簡求得橢圓的離心率.
【詳解】（1）依題意，，解得，
又橢圓離心率為，則有，解得，
所以k的值為.
（2）如圖所示，
由圖知，
所以，，
又因為，，
所以，
所以在中，由得，
解得：，所以橢圓的離心率為.
故答案為：；
5．D
【分析】設點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.
【詳解】設點、，則，
因為，兩式作差得，即，
即，所以，
因此直線的方程為，即.
故選：D.
6．C
【分析】因為是弦中點問題,可以用點差法,找到長半軸長和短半軸長之間關系,再根據焦距求出橢圓方程即可.
【詳解】解:由題設,若橢圓方程為,
令直線與橢圓交點分別為,,
則有①,②,
兩式作差可得：,
即,
易知,弦的中點,所以,,
因為直線：,所以,
故,所以,
又,,
解得,,
故的方程為.
故選:C
7．C
【分析】根據得到，結合點差法相關知識計算求得，進而求得離心率.
【詳解】如圖所示，
因為，所以，
所以，
設，
則，兩式相減得，
則，
因為直線，為線段中點，，
所以，，
代入上式得，則，
所以橢圓的離心率.
故選：C.
8．（1）；（2）.
【分析】（1）利用點在橢圓上求解基本量得橢圓的標準方程.
（2）設出直線的方程,代入橢圓的方程,利用韋達定理、中點坐標公式以及斜率公式建立方程求解.
【詳解】解：（1）將代入,
得,.
故橢圓方程為.
（2）當直線斜率不存在時不合題意,
故設直線,,的中點為,
由得,
,,
直線經過弦的中點,則,,
,,即直線的斜率為.
【點睛】本題考查直線方程、橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系.
9．A
【分析】根據給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
10．B
【分析】根據垂直于長軸的弦長得到，根據焦點到相應準線的距離得到，結合，求出，求出離心率.
【詳解】不妨設橢圓方程為，
則焦點坐標為，
不妨令，則，解得：，
故，即，
焦點到相應準線的距離為，即
又，所以，
故，離心率為，
當橢圓焦點在軸上時，同理可得：.
故選：B
11．D
【分析】根據準線方程公式，由橢圓的方程可得，表示出的長，又，所以把和的長度分別代入，化簡即可求出離心率的取值范圍，再根據橢圓的離心率小于1，取交集即可.
【詳解】因為橢圓的準線方程為，所以，又因為，
則由，得到，所以，又因為，所以，
故，
故選：D.
12．D
【分析】先設出點的坐標，再由題目條件得到，利用兩點間的距離公式列出式子，借助化簡式子，得到關于離心率的式子，結合離心率的范圍解出不等式即可.
【詳解】設點，
因為線段的中垂線過點，所以，即，
化簡得，
因為，所以，即，
所以，
又因為，所以，解得.
故選：D.
13．A
【分析】設，則，根據斜率公式結合題意可得，再根據，將用表示，整理，再結合離心率公式即可得解.
【詳解】[方法一]：設而不求
設，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.
14．C
【分析】設，由，根據兩點間的距離公式表示出 ，分類討論求出的最大值，再構建齊次不等式，解出即可．
【詳解】設，由，因為 ，，所以
，
因為，當，即 時，，即 ，符合題意，由可得，即 ；
當，即時， ，即，化簡得， ，顯然該不等式不成立．
故選：C．
【點睛】本題解題關鍵是如何求出的最大值，利用二次函數求指定區間上的最值，要根據定義域討論函數的單調性從而確定最值．
15．A
【分析】由正三角形特點用表示，結合橢圓的定義，即可求得離心率.
【詳解】是正三角形，，
.
故選：.
【點睛】本題考查橢圓離心率的求解問題，涉及到橢圓的橢圓的定義；關鍵是能夠利用正三角形的特點求出.
16．D
【分析】根據橢圓右準線方程得到點P的坐標，進而根據題中線段的等量關系結合兩點間距離公式得到關于a，c的齊次方程，化簡方程求解橢圓得離心率．
【詳解】橢圓的右準線為，
則點P的坐標為，
則由得，
化簡得a2-2c2=0，則橢圓的離心率e=.
故選：D．
17．A
【詳解】若△AF1B的周長為4,
由橢圓的定義可知,,
,,
，
所以方程為，故選A.
考點：橢圓方程及性質
18．D
【詳解】設、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設直線方程為，聯立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.
【考點定位】本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查學生的化歸與轉化能力.
19．C
【詳解】設橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為．因為所以點M的軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓．與因為點M在橢圓的內部，所以，所以，所以 ，所以 ，故選C．
【點睛】求離心率的值或范圍就是找的值或關系．由想到點M的軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓．再由點M在橢圓的內部，可得，因為 ．所以由得，由關系求離心率的范圍．
20．D
【詳解】分析：先根據條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關系，即得離心率.
詳解：因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率為得，，
由正弦定理得,
所以，故選D.
點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.
21．A
【詳解】試題分析：如圖取與重合，則由直線同理由,故選A.
考點：1、橢圓及其性質；2、直線與橢圓.
【方法點晴】本題考查橢圓及其性質、直線與橢圓，涉及特殊與一般思想、數形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.
22．
【分析】由已知條件可得橢圓的標準方程是，再將直線與橢圓方程聯立方程組，消去后，利用根與系數的關系結中點坐標公式可得答案
【詳解】由已知條件得橢圓的焦點在軸上，其中，，從而，
∴其標準方程是：，
聯立方程組，消去得，.
設、，線段的中點為，則，，
∴，即線段中點坐標為.
故答案為：
23．
【詳解】考查橢圓的基本性質，如頂點、焦點坐標，離心率的計算等,以及直線的方程.
直線的方程為：；
直線的方程為：.二者聯立解得：，則在橢圓上，
，解得：.
答案第1頁，共2頁
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