資源簡(jiǎn)介

3.2.2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【第二練】
【試題來源】來自名校、重點(diǎn)市區(qū)的月考、期中、期末的優(yōu)質(zhì)試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓(xùn)練，加強(qiáng)考點(diǎn)的理解和擴(kuò)展.
【目標(biāo)分析】
1.雙曲線的幾何性質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，如第1題、第2題、第5題、第8題、第12題；
2.由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程，發(fā)展直觀想象，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)素養(yǎng)，如第9題、第13題；
3.求雙曲線的離心率，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，如第3題、第6題、第11題；
4.直線與雙曲線的位置關(guān)系，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，如第4題、第7題、第10題、第14題；
（2024·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級(jí)中學(xué)校考期末）
1．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）
2．雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，且．則的面積為（ ）
A． B． C． D．
（2024·北京平谷·高二統(tǒng)考期末）
3．已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為、，，雙曲線上一點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽市第十五中期中）
4．過點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)，則滿足條件的直線有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
（2024上·河南開封·高二統(tǒng)考期末）
5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）
6．設(shè)雙曲線的離心率為，雙曲線漸近線的斜率的絕對(duì)值小于，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）
7．已知雙曲線，則雙曲線（ ）
A．焦點(diǎn)坐標(biāo)為和
B．漸近線方程為和
C．離心率為
D．與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)
（2024上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）
8．已知曲線C的方程為（），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，曲線C為圓
B．“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的必要且不充分條件
C．存在實(shí)數(shù)k使得曲線C為雙曲線，且離心率為
D．當(dāng)時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為
（2024上·廣東深圳·高二深圳市高級(jí)中學(xué)校考期末）
9．經(jīng)過點(diǎn)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
（2024上·北京東城·高二統(tǒng)考期末）
10．已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是 ；直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則 .
（2023·甘肅武威高二期中）
11．雙曲線（，）的一條漸近線平分圓的周長(zhǎng)，此雙曲線的離心率等于 ．
（2024上·天津北辰·高二統(tǒng)考期末）
12．設(shè)雙曲線：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為 .
（2023上·陜西咸陽·高二校考期末）
13．已知雙曲線C：的離心率為，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，求的面積．
（2024上·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）
14．已知雙曲線：，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
(1)設(shè)直線 過點(diǎn)，斜率為，它與雙曲線交于、兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；
(2)設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．記，求的取值范圍．
【易錯(cuò)題目】第3題、第6題、第11題
【復(fù)盤要點(diǎn)】求橢圓的離心率是熱點(diǎn)問題，解決問題以方程思想為主導(dǎo)，同時(shí)要關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，建立關(guān)于基本量的齊次方程.
例1.（2024·河南·南陽高二期末）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（ ）
A. B.2 C. D.
【答案】D
【分析】由雙曲線的對(duì)稱性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結(jié)合余弦定理表示出與、有關(guān)齊次式即可得離心率.
【解析】
由雙曲線的對(duì)稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，
令，則，
由雙曲線定義可知，故有，即，
即，，，
則，即，故，
則有，
即，即，則，由，故.
故選：D.
易錯(cuò)警示：求雙曲線離心率的方法：
（1）利用a，b求.若已知a，b，則直接利用得解.
（2）利用a，c求.若可求得a，c，則直接利用得解.
（3）利用方程求.若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程，即（p，q，r為常數(shù)，且），則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.
【復(fù)盤訓(xùn)練】
（2024上·廣東·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）
15．若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）
16．若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則此雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）
17．已知，為雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以為直徑的圓與C在第一象限的交點(diǎn)為P，若，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·重慶·高二校聯(lián)考期末）
18．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，雙曲線的離心率是 ．
（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
19．若雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是其右支上的動(dòng)點(diǎn)，與其左支交于點(diǎn)Q.若存在P，使得，則C的離心率的取值范圍為 .
（2024·云南昆明·高二期末）
20．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心作與的漸近線相切的圓，該圓與的一個(gè)交點(diǎn)為，若為等腰三角形，則的離心率為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】先由題中條件求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，再代入點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)論．
【詳解】由題得：其焦點(diǎn)坐標(biāo)為漸近線方程為
所以焦點(diǎn)到其漸近線的距離．
故選：D．
2．B
【分析】由雙曲線的定義結(jié)合，解得，又，可求的面積.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，
由，又有，所以．
由，為等腰三角形，則底邊上的高，
.
故選：B
3．B
【分析】由雙曲線的定義求出，由可得，然后由離心率的計(jì)算公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)分別為、，，
所以，故，
又因?yàn)殡p曲線上一點(diǎn)滿足，所以，故，
所以雙曲線的離心率為.
故選：B.
4．C
【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立，結(jié)合判別式可得答案.
【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然與雙曲線沒有公共點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，
與雙曲線方程聯(lián)立可得，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)，時(shí)，；時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，
整理可得，因?yàn)椋杂袃蓚€(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
又因?yàn)椴皇堑母源藭r(shí)直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè).
綜上可知直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)時(shí)，直線有4條.
故選：C.
5．B
【分析】根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線，代入運(yùn)算，即可得雙曲線方程，進(jìn)而可得實(shí)軸長(zhǎng).
【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，
可設(shè)雙曲線，
代入可得：，
則雙曲線，即，
可知，所以C的實(shí)軸長(zhǎng)為.
故選：B.
6．B
【分析】由，結(jié)合，求的取值范圍.
【詳解】依題意，有，即，由，
得，所以，即的取值范圍是.
故選：B
7．CD
【分析】A：計(jì)算出的值，則焦點(diǎn)坐標(biāo)可知；B：求出的值，則漸近線方程可知；C：根據(jù)可知離心率；D：分析直線與漸近線的關(guān)系可知結(jié)果.
【詳解】A：因?yàn)椋裕越裹c(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；
B：因?yàn)椋詽u近線方程為，即，故B錯(cuò)誤；
C：因?yàn)椋裕蔆正確；
D：因?yàn)榕c漸近線平行，所以與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故D正確；
故選：CD.
8．ABD
【分析】根據(jù)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由題意，曲線C的方程為（）
對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，所以是A正確的；
對(duì)于B中，當(dāng)曲線C的方程為（），表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的必要且不充分條件，所以B正確；
對(duì)于C中，當(dāng)曲線C的方程為（）表示離心率為的雙曲線時(shí)，則滿足， 無解，所以C不正確；
對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為（），可得，此時(shí)雙曲線C漸近線方程為，所以D是正確的.
故選：ABD.
9．
【分析】根據(jù)題意，得雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入方程，求得的值，即可求解.
【詳解】由題意，所求雙曲線為等軸雙曲線，可得雙曲線的方程為，
因?yàn)樗箅p曲線過點(diǎn)，可得，解得，
所以，所求雙曲線的方程為.
故答案為：.
10．
【分析】由已知可判斷雙曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，可知，，表示漸近線方程即可；由可求的值，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到距離.
【詳解】由雙曲線：知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且，，
即，，所以雙曲線的漸近線方程為；
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，所以.
故答案為：；.
11．
【分析】由漸近線平分圓知漸近線經(jīng)過圓心,可求得漸近線的斜率即為,從而求得離心率.
【詳解】依題意得，雙曲線的漸近線過圓心(1，2)，于是有，
∴雙曲線的離心率為．
故答案為:
12．
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則有，
由，
因?yàn)椋裕蛏崛ィ?br/>因此的面積為，
故答案為：
13．(1)
(2)．
【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程，求出它們的值，即得答案；
（2）由題意可確定P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意可得：，據(jù)此可得，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，由于，則，
雙曲線的漸近線方程為，
不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的漸近線上，則，
則△PFO的面積．
14．(1)
(2)
【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解，
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）直線的方程為．
由方程組得．
設(shè),則，
．
（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，，
．
因?yàn)椋裕?br/>15．A
【分析】通過橢圓的離心率得出之間的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率.
【詳解】由題意，
在橢圓中，離心率，
∴，即，
在雙曲線中，
∴雙曲線的離心率.
故選：A.
16．A
【分析】設(shè)雙曲線的方程為，根據(jù)已知條件列方程，確定雙曲線的方程，利用計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，根據(jù)已知條件可得，
解得，，所以雙曲線方程為，，，，
.
故選：A.
17．A
【分析】根據(jù)題意，利用雙曲線的定義，求得，結(jié)合，利用勾股定理，得到，再結(jié)合離心率的定義，即可求解.
【詳解】由雙曲線的定義，可得，
因?yàn)椋傻茫?br/>又由以為直徑的圓與C在第一象限的交點(diǎn)為，可得，
則滿足，可得，即，可得，
所以雙曲線的離心率為.
故選：A.
18．##
【分析】根據(jù)求出，進(jìn)而可得的值，再根據(jù)的關(guān)系求出，則離心率可求.
【詳解】，
，則，
即，，
又，
，
.
故答案為：.
19．
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合即可求解.
【詳解】因?yàn)椋遥裕?br/>所以，由于，所以，解得，所以.
故答案為：
20．##
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的長(zhǎng)，再利用雙曲線的定義結(jié)合等腰三角形列式計(jì)算即得.
【詳解】雙曲線的半焦距為c，漸近線方程為，
點(diǎn)到漸近線距離為，由雙曲線定義得，
由為等腰三角形，得，即，因此，
則，所以的離心率為.
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁3.2.2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【第二課】
題型一 由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程
例1 求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為；
（2）漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)．
【解析】（1）由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且，因?yàn)椋?br/>所以，．
故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）方法一：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，
若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（，），則①．
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以②．聯(lián)立①②，無解．
若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（，），則③．
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以④．
聯(lián)立③④，解得，．
故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
方法二：由雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程為（）．
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即．
故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用雙曲線的焦點(diǎn)、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心等確定雙曲線的位置，再利用雙曲線的離心率、漸近線方程等條件列方程（組）求解與的值．
若焦點(diǎn)的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為“”的形式，為簡(jiǎn)單起見，常標(biāo)明條件“”．
【變式訓(xùn)練1-1】
（2024·山西師大附中·高二期末）
1．若雙曲線的漸近線方程是，虛軸長(zhǎng)為8，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式訓(xùn)練1-2】
（2024·河南周口·高二校聯(lián)考期末）
2．若雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練1-3】
（2024·四川成都·高二統(tǒng)考期末）
3．已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-4】
（2024·四川綿陽·高二校聯(lián)考期末）
4．已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
題型二 求雙曲線的離心率及其取值范圍
例2.若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為______．
【分析】分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，把看作一個(gè)整體進(jìn)行求解．
【解析】方法一：由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
綜上，雙曲線的離心率為或．
方法二：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，其漸近線方程為，依題意得，
∴，，故離心率；
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，其漸近線方程為，依題意得，
∴，，即離心率．
綜上，雙曲線的離心率為或．
【答案】或
【方法技巧與總結(jié)】求雙曲線離心率的常用方法：
（1）利用a，b求．若已知a，b，則直接利用得解．
（2）利用a，c求．若可求得a，c，則直接利用得解．
（3）利用方程求．若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程，即（p，q，r為常數(shù)，且），則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解．
【變式訓(xùn)練2-1】
（2024·河南平頂山高二期末）
5．已知點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為虛軸的上端點(diǎn)，若為等腰直角三角形，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-2】
（2024·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)·高二統(tǒng)考期末）
6．已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練2-3】
（2024·湖北襄樊·高二統(tǒng)考期末）
7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段的中點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．3
題型三 直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷
例3． 已知雙曲線，直線，試討論滿足下列條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（1）直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)．
【分析】要研究直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，通常需聯(lián)立直線與雙曲線的方程，并對(duì)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論．
【解析】由得①．
（1）直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
∴解得且，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為．
（2）直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程①只有一解．
當(dāng)，即時(shí)，方程①只有一解；
當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足，
解得，故k的值為或．
（3）直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則方程①無解．
∴解得或，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為．
【方法總結(jié)】（1）直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法：
①方程思想的應(yīng)用
判斷已知直線與雙曲線的位置關(guān)系，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y（或x），則二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行（或重合），直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)（或無公共點(diǎn)）；二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，若，則直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，若，則只有一個(gè)公共點(diǎn)，若，則無公共點(diǎn)．
②數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
a．直線過定點(diǎn)時(shí)，根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系．
b．直線斜率一定時(shí)，通過平移直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系．
（2）求直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)，一般將兩方程聯(lián)立，消元化為一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解．
【變式訓(xùn)練3-1】
（2024·福建三明高二期末）
8．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練3-2】
（2023·黑龍江哈爾濱三中高二期中）
9．過點(diǎn)作直線，使與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線共有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【變式訓(xùn)練3-3】
（2023·重慶一中高二期中）
10．已知直線，若雙曲線與均無公共點(diǎn)，則可以是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練3-4】
（2023·江西宜春高二期中）
11．斜率為2的直線在雙曲線上截得的弦長(zhǎng)為，求的方程．
易錯(cuò)點(diǎn)1 忽視焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸致錯(cuò)
【典例】焦距為10，虛軸長(zhǎng)為8，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．
【答案】或
【解析】（1）因?yàn)榻咕酁?0，虛軸長(zhǎng)為8，所以，，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
易錯(cuò)警示：錯(cuò)解中忽視了雙曲線的焦點(diǎn)位置的不確定性，應(yīng)分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況進(jìn)行討論．在解雙曲線的有關(guān)問題時(shí)，注意“先定位，再定量”的原則，否則極易犯以偏概全的錯(cuò)誤，如當(dāng)字母的取值范圍不能確定時(shí)，需要分類討論．
針對(duì)訓(xùn)練1-1
（2024·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)校考期末）
12．已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2，一條漸近線的方程為，則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
針對(duì)訓(xùn)練1-2
（2024·山東濟(jì)南三中·高二期末）
13．與雙曲線有公共的漸近線，且焦距為8的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
針對(duì)訓(xùn)練1-3
（2024·山東菏澤·高二期末）
14．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
易錯(cuò)點(diǎn)2 易錯(cuò)點(diǎn)忽視斜率不存在的情況致錯(cuò)
例2．（2024·廣西南寧高二期末）求經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程．
【錯(cuò)解】設(shè)所求直線方程為，
由得．
由題意得，即，解得．
故所求直線的方程為．
【正解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則所求直線方程為．
由
將①代入②整理，得．③
當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以有
即，且，解得．
故所求直線的方程為．
當(dāng)時(shí)，方程③變?yōu)橐淮畏匠蹋矣形ㄒ唤猓蚨本€和雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
故所求直線的方程為．
當(dāng)時(shí)，同理可得所求直線的方程為．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
故所求直線方程為．
綜上所述，符合題意的直線有四條，直線方程分別為，，和．
易錯(cuò)警示：錯(cuò)解中既忽視了直線斜率不存在的情況，也忽視了聯(lián)立后所得方程為一次方程（即）的情況．解決直線與圓錐曲線的問題時(shí)要注意直線的斜率不存在這種特殊的情況．
針對(duì)訓(xùn)練2-1
（2023上·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）
15．若直線l過點(diǎn)，且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線有 條．
針對(duì)訓(xùn)練2-2
（2023·四川綿陽高二期中）
16．已知雙曲線，過點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的斜率.
針對(duì)訓(xùn)練2-3
（2024·江蘇南京·高二南京師大附中校期末）
17．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)
(1)求雙曲線方程；
(2)設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若，求直線l的方程．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】討論焦點(diǎn)的位置，設(shè)出方程，由漸近線、虛軸的性質(zhì)求出方程.
【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的方程可設(shè)為
由，解得，此時(shí)雙曲線的方程為
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的方程可設(shè)為
由，解得，此時(shí)雙曲線的方程為
故選：C
2．A
【分析】由題設(shè)雙曲線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.
【詳解】解：由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲線的方程為，
又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，解得，
所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故選：A．
3．A
【分析】利用橢圓性質(zhì)以及雙曲線的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題知，橢圓焦點(diǎn)為，
設(shè)該雙曲線方程為，半焦距為，
則，，即，
又，解得，，
所以雙曲線方程為.
故選：A
4．
【分析】根據(jù)漸近線方程，得到，再由焦點(diǎn)到漸近線距離求出，得到雙曲線方程.
【詳解】因?yàn)闈u近線方程為，所以，一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，所以，
故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
5．A
【分析】根據(jù)已知作出圖形，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上及雙曲線的離心率公式即可求解.
【詳解】由題意可知，，如圖所示
因?yàn)闉榈妊苯侨切危c(diǎn)為直角頂點(diǎn)，
所以,即，解得，
在中，
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，
所以，解得，
所以該雙曲線的離心率為.
故選：A.
6．A
【分析】由題知，再解不等式，結(jié)合離心力公式求解即可.
【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，
所以，，解得．
因?yàn)椋?br/>所以．
故選：A
7．B
【分析】由題意可得為直角三角形，再結(jié)合A為線段的中點(diǎn)，可得AO垂直平分，可表示出直線，再聯(lián)立漸近線方程可以得到，，的關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線離心率
【詳解】由題意可知，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)分別在第二和第三象限時(shí)不符合，
A為線段的中點(diǎn)，當(dāng)交點(diǎn)在軸上方或軸下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性結(jié)果是一樣的，選擇一種即可，如圖.
根據(jù)雙曲線可得，，，兩條漸近線方程，
，為的中點(diǎn)，
，又A為線段BF1的中點(diǎn)，垂直平分，
可設(shè)直線為①，直線為②，直線為③，
由②③得，交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)還在直線上，，可得，
，所以雙曲線C的離心率，
故選：B
8．D
【分析】把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去，利用和 聯(lián)立，即可求得的范圍.
【詳解】聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)方程的兩根為，
因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，
則滿足，解得，
又由，解得,
所以的取值范圍是.
故選：D.
9．D
【分析】利用直線與雙曲線聯(lián)立組成的方程組僅有一組解，即可求得滿足條件的直線共有4條.
【詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，其方程為，
直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足要求；
當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，其方程可設(shè)為，
由，整理得
當(dāng)時(shí)，方程可化為，方程僅有一根，
直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，方程可化為，方程僅有一根，
直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，若方程僅有一組解，
則，解之得
此時(shí)方程為，整理得，則
此時(shí)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意
綜上，滿足條件的直線共有4條
故選：D
10．C
【分析】根據(jù)雙曲線漸近線與之間的位置關(guān)系，即可容易判斷.
【詳解】的斜率分別是；
對(duì)A：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，A錯(cuò)誤；
對(duì)B：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故雙曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，B錯(cuò)誤；
對(duì)C：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故雙曲線與都沒有公共點(diǎn)，滿足題意，C正確；
對(duì)D：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故雙曲線與沒有公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，D錯(cuò)誤.
故選：C.
11．
【分析】設(shè)直線的方程為和雙曲線的兩交點(diǎn)為，將直線方程代入雙曲線方程可得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可用表示,然后求弦長(zhǎng)等于，可得關(guān)于的方程，解方程即得的值，從而便求出直線的方程.
【詳解】設(shè)直線的方程為，
由，得，(*)
設(shè)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系，
得．
∴
，
由，得，
解得，由(*)式得，
把代入上式，得，∴的值為，
∴所求直線的方程為.
12．CD
【分析】分焦點(diǎn)在、軸兩種情況討論，依題意可得，結(jié)合漸近線求出，即可得解.
【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，
設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，
因?yàn)殡p曲線的虛軸長(zhǎng)為2，所以，即，
因?yàn)闉殡p曲線的一條漸近線，所以，即，
所以此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，
設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，
因?yàn)殡p曲線的虛軸長(zhǎng)為2，所以，即，
因?yàn)闉殡p曲線的一條漸近線，所以，即，
所以此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
故選：CD.
13．或．
【分析】分別討論焦點(diǎn)位置，待定系數(shù)法求解即可.
【詳解】①當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線方程為（），即，則有，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
②當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線方程為（），即，則有，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
故答案為：或
14．或
【分析】分焦點(diǎn)在軸和軸上時(shí)，分別列方程求解計(jì)算即可.
【詳解】點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，
點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，即，則，
所以此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，
點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，即，則，
所以此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
故答案為：或
15．4
【分析】分情況討論直線有斜率和無斜率，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)即可求解直線的條數(shù).
【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線為，與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線為，代入曲線方程整理得，若，則，此時(shí)有兩條分別平行于雙曲線的兩條漸近線的直線，與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，則由，得，此時(shí)有一條直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上，這樣的直線共有4條．
故答案為：4
16．或或k不存在
【分析】設(shè)直線方程，分斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)，與雙曲線相切，滿足題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，與雙曲線聯(lián)立，消得到，轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)根，此時(shí)要考慮到二次項(xiàng)系數(shù)為和不為兩種情況，分別解得的值即可求出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，與雙曲線相切，符合題意，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，
由，消得到，
當(dāng)，即時(shí)，
與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，由，整理得到，解得，
綜上，或或k不存在.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）依題意設(shè)所求的雙曲線方程為，則，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得到雙曲線方程；
（2）依題意可得直線的斜率存在，設(shè)，即可得到的坐標(biāo)，依題意可得或，分兩種情況分別求出的坐標(biāo)，再根據(jù)的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出，即可得解；
【詳解】（1）解：設(shè)所求的雙曲線方程為（，），則，，
∴，又則，∴所求的雙曲線方程為．
（2）解：∵直線l與y軸相交于M且過焦點(diǎn)，
∴l(xiāng)的斜率一定存在，則設(shè)．令得，
∵且M、Q、F共線于l，∴或
當(dāng)時(shí)，，，∴，
∵Q在雙曲線上，∴，∴，
當(dāng)時(shí)，，代入雙曲線可得：
，∴．
綜上所求直線l的方程為：或．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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