資源簡介

3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的．
【目標分析】
1．雙曲線的幾何性質，培養直觀想象、邏輯推理和數學運算素養，如第1題、第2題、第3題、第8題、第10題、第11題；
2．由雙曲線的幾何性質求標準方程，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第4題、第6題、第7題、第9題、第15題；
3．求雙曲線的離心率，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第5題、第12題、第13題；
4．直線與雙曲線的位置關系，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第14題、第16題；
一、填空題
（2024·廣西玉林·高二統考期末）
1．雙曲線焦點坐標為 .
（2024上·廣東深圳·高二校考期末）
2．已知雙曲線，則它的漸近線方程為 .
（2024上·北京昌平·高二統考期末）
3．已知雙曲線的焦點為，點在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為 ；若，則 .
（2023上·遼寧葫蘆島·高二統考期末）
4．旅行者號探測器（Vogager2）于年月日在肯尼迪航天中心發射升空，迄今為止已經造訪四顆氣態巨行星（木星、土星、天王星、海王星）及其衛星，它的運行軌道為雙曲線，假設其方程為，請寫出一個與此雙曲線的漸近線相同的雙曲線標準方程 ．
（2024上·北京海淀·高三統考期末）
5．已知雙曲線的一條漸近線為,則該雙曲線的離心率為 .
（2024上·江蘇南通·高二統考期末）
6．寫出符合下列兩個條件的一個雙曲線的標準方程為 .
①實軸長為4；②漸近線方程為
（2024上·北京順義·高二統考期末）
7．已知雙曲線C經過點，其漸近線方程為，則雙曲線C的方程為 ．
（2024上·北京西城·高二北京師大附中校考期末）
8．已知雙曲線，則雙曲線的右焦點到其漸近線的距離是 ．
（2024上·江蘇常州·高二常州高級中學校考期末）
9．以橢圓的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線方程為 ．
（2023上·山西大同·高二統考期中）
10．已知雙曲線是等軸雙曲線，則C的焦距為 ．
（2023上·重慶·高二重慶市育才中學校考期中）
11．張老師在課堂上與學生一起探究某雙曲線的簡單幾何性質時，有四位同學分別給出了一個結論：
甲：該雙曲線的實軸長為6
乙：該雙曲線的虛軸長為8
丙：該雙曲線的焦距長為5
丁：該雙曲線的一條漸近線可以為
如果只有一位同學的結論是錯誤的，那么這位同學是 .
（2023下·陜西商洛·高二統考期末）
12．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30°，則的離心率為 ．
（2023上·山東泰安高二期中）
13．如果雙曲線右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點距離相等的兩個相異點，則雙曲線離心率的取值范圍是 ．
（2024上·天津河西·高二統考期末）
14．過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為 ．
二、解答題
（2023上·河南鶴壁·高二鶴壁高中校考期中）
15．求適合下列條件的曲線的標準方程：
(1)焦點在軸上，長軸長等于，離心率等于的橢圓標準方程；
(2)經過點，并且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的方程．
（2023·河北邯鄲·高二校聯考期中）
16．已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過的直線與雙曲線的一支交于、兩點，求的取值范圍.
【易錯題目】第7題、第9題、第15題
【復盤要點】解決與雙曲線漸近線的問題思路不清，運算失策
【典例】（2024·四川南充·高二期末）已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點，過點作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且，求該雙曲線的漸近線方程．
【思路分析】求雙曲線的漸近線方程就必須求漸近線的斜率，也就是求a，b間的關系．本題利用雙曲線的定義和直角三角形邊角之間的關系求a，b間的關系．
【解析】設（），，則，解得，
所以．在中，，
所以，即①．
將代入①式，解得或（舍去），故，
所以該雙曲線的漸近線方程為．
易錯警示：根據雙曲線的標準方程求它的漸近線方程的方法中，最簡單且實用的是把雙曲線標準方程中等號右邊的“1”改成“0”，就得到了此雙曲線的漸近線方程．與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可設為（）；若已知雙曲線的漸近線方程為或，則雙曲線方程可設為（）．當時，焦點在x軸上；當時，焦點在y軸上．
【復盤訓練】
（2024上·廣東佛山·高二校聯考期末）
17．已知為雙曲線的一條漸近線，則（ ）
A． B．1 C． D．27
（2024·陜西榆林·高二期末）
18．已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·重慶·高二重慶市育才中學校聯考期中）
19．雙曲線（，）的離心率為2，則此雙曲線的漸近線傾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·北京海淀·高二期中）
20．已知雙曲線，則雙曲線的離心率是 ，漸近線方程是 ．
（2023下·上海青浦·高二統考期末）
21．若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則 ．
（2023上·廣東·高二廣東兩陽中學校聯考期中）
22．與雙曲線的漸近線相同的雙曲線方程可以為 ．（只寫出一個符合條件的即可）
（2023上·黑龍江雞西·高二校考期中）
23．若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離是 ．
（2023上·山東聊城·高二山東聊城一中校考期中）
24．若雙曲線的一個焦點為，兩條漸近線互相垂直，則 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】化雙曲線方程為標準形式，再求出焦點坐標即得.
【詳解】雙曲線化為，因此雙曲線半焦距，
所以雙曲線焦點坐標為.
故答案為：
2．
【分析】根據雙曲線的方程，求出的值，由焦點在軸上，求出漸近線方程.
【詳解】雙曲線，焦點在軸上，，，則，，
所以漸近線方程為.
故答案為：.
3．
【分析】求得，由此求得雙曲線的漸近線方程，根據雙曲線的定義求得
【詳解】依題意，所以雙曲線的漸近線方程為，
由于，所以在雙曲線的左支，所以.
故答案為：；
4．（的方程均可）
【分析】根據同漸近線的雙曲線方程可得結果.
【詳解】與雙曲線漸近線相同的雙曲線的方程為.
故答案為：（的方程均可）.
5．2
【分析】由雙曲線方程可得其漸近線方程,從而得關于的方程,再結合離心率公式求解即可.
【詳解】由題意得，易知雙曲線，即的漸近線方程為得
所以該雙曲線的離心率
故答案為：.
6．或
【分析】根據題意可求出a，然后在根據漸近線方程求出b，由于題目沒有告訴雙曲線的焦點在x軸上還是y軸上，所以需要分類討論.
【詳解】當雙曲線焦點在x軸上時，由題意可知:，此時雙曲線標準方程為.
當雙曲線焦點在y軸上時，由題意可知：，此時雙曲線標準方程為.
故答案為：或
7．
【分析】由漸近線方程可設雙曲線為且，再將點代入求參數m，即可得雙曲線方程．
【詳解】由題設，可設雙曲線為且，又在雙曲線上，
所以，則雙曲線的方程是．
故答案為：
8．2
【分析】根據雙曲線的標準方程寫出右焦點坐標和漸近線方程，再利用點到直線距離公式求解即可．
【詳解】的右焦點坐標為，漸近線方程為．
到即的距離為．
由對稱性知到的距離為．
故答案為：2．
9．
【分析】確定雙曲線的焦點和頂點，進而可得雙曲線方程．
【詳解】因為橢圓的長軸頂點為，焦點為，
所以雙曲線的焦點為，頂點為，
故雙曲線的，
所以雙曲線方程為．
故答案為：
10．
【分析】由等軸雙曲線的定義，結合求解可得.
【詳解】因為雙曲線是等軸雙曲線，
所以，
所以，得，
故雙曲線C的焦距．
故答案為：
11．丙
【分析】根據雙曲線方程中的大小關系，判斷并驗證即可.
【詳解】雙曲線的實半軸長，虛半軸長，半焦距，有，即有，
顯然甲乙丙3人的結論中至少有兩個正確，由于焦距比實軸、虛軸都長，因此丙的結論是錯誤的，
此時，則該雙曲線的一條漸近線可以為，丁的結論也正確，符合題意，
所以結論錯誤的同學是丙.
故答案為：丙
12．##
【分析】由E的漸近線斜率，代入離心率求解.
【詳解】因為的一條漸近線的傾斜角為，
所以，則的離心率．
故答案為：.
13．
【分析】根據雙曲線的對稱性即可得，由離心率的公式即可求解.
【詳解】如圖，因為，F點坐標為，
所以，又A在右支上且不在頂點處，
所以，所以.
故答案為：
14．
【分析】根據直線與雙曲線相交，由韋達定理以及弦長公式即可求解.
【詳解】雙曲線的右焦點為，所以直線l的方程為．由，得．設，，則，，
所以．
故答案為：
【點睛】若直線與雙曲線（，）交于，兩點，則或（）．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據橢圓的長軸、離心率的定義求解；
（2）利用等軸雙曲線的定義求解.
【詳解】（1）因為長軸長等于，離心率等于，
所以，，，
又因為焦點在軸上，
所以橢圓標準方程；
（2）設雙曲線方程為，
代入點，得，
雙曲線方程為．
16．(1)
(2)
【分析】(1)根據題意建立的方程組即可求解;
(2)利用韋達定理確定的取值范圍，再建立之間的等量關系即可求解.
【詳解】（1）由離心率又,所以，
又右頂點為，所以，所以，
故雙曲線的標準方程為.
（2）設直線的方程為，設，
則由得，
因為直線與雙曲線一支交于、兩點，
所以 ，解得，
因此
，
因為，所以，
所以，所以，
故.
17．A
【分析】根據雙曲線的漸近線方程即可得解.
【詳解】因為雙曲線的漸近線為，
所以，解得.
故選：A.
18．D
【分析】根據漸近線方程得到，再代入離心率公式即可.
【詳解】由題意可知，所以.
故選：D.
19．B
【分析】根據雙曲線的離心率得出，即可得出，即漸近線的斜率，由斜率得出傾斜角即可判斷選項.
【詳解】雙曲線（，）的離心率為2，
，
，
此雙曲線的漸近線的斜率為，
此雙曲線的漸近線的傾斜角為或，
故選：B.
20．
【分析】根據雙曲線方程判斷焦點位置，求出的值，即可求出離心率和漸近線方程.
【詳解】由可得，雙曲線焦點在軸上，且，則，
于是離心率為：漸近線方程為：.
故答案為：；.
21．
【分析】根據雙曲線的漸近線為求解即可.
【詳解】雙曲線的漸近線為，
又因為雙曲線的一條漸近線與直線平行，
所以.
故答案為：.
22．（答案不唯一）
【分析】利用雙曲線的性質即可寫出.
【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，
而雙曲線的漸近線方程也為．
故答案為:．
【點睛】與具有相同的漸近線.
23．2
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，根據與平行可得，再利用點到直線的距離公式可得答案.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
又因為雙曲線的一條漸近線與直線平行，
所以，
則雙曲線的方程為，右焦點坐標為，
其中一條漸近線方程為，
則雙曲線的右焦點到直線的距離是.
故答案為：.
24．
【分析】根據雙曲線的漸近線相互垂直求得的關系式，結合求得.
【詳解】依題意，
由于雙曲線兩條漸近線互相垂直，所以，
由于，所以.
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質【第一課】
[課標要求]
1.掌握雙曲線的簡單幾何性質.
2.了解雙曲線的漸近線及漸近線的概念，會利用幾何性質求雙曲線的標準方程.
3.理解判斷直線與雙曲線位置關系的方法.
4.會求解有關弦長問題.，會解決直線與雙曲線的綜合問題.
[明確任務]
1.用坐標法解決一些與雙曲線有關的簡單幾何性質.（數學運算、直觀想象）
2.與漸近線及離心率有關的一些問題.（數學運算）
1.雙曲線的定義及其標準方程
2.一元二次函數、方程及不等式
核心知識點1雙曲線的簡單幾何性質
（1）雙曲線的幾何性質
標準方程 -＝1(a>0，b>0) -＝1(a>0，b>0)
圖形
性質 范圍 x≥a或x≤-a y≥a或y≤-a
對稱性 對稱軸：坐標軸　對稱中心：原點
頂點 ， ，
實軸和虛軸 實軸：線段A1A2，長：2a虛軸：線段B1B2，長：2b 實半軸長：a，虛半軸長：b
焦點 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2c
漸近線 y＝ y＝
離心率 ，e∈(1，＋∞)
a，b，c關系 c2＝a2＋b2 c2＝a2＋b2
（2）等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，它的漸近線是y＝±x.
提示　（1）等軸雙曲線的離心率為，漸近線方程為y＝±x.
（2）焦點到漸近線的距離為b.
（3）雙曲線上的點到焦點的距離最小值：同側時，最小值為c-a；異側時，最小值為c＋a.
例1.求雙曲線9y2-4x2＝-36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程.
【解析】雙曲線的方程化為標準方程是-＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又雙曲線的焦點在x軸上，
∴頂點坐標為(-3，0)，(3，0)，
焦點坐標為(，0)，(-，0)
實軸長2a＝6，虛軸長2b＝4，
離心率e＝＝，
漸近線方程為y＝±x.
思維升華　
歸納總結　由雙曲線的方程研究幾何性質的解題步驟
（1）把雙曲線方程化為標準方程是解決本題的關鍵.
（2）由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值.
（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質.
【舉一反三】
（2024上·浙江寧波·高二統考期末）
1．雙曲線的一個焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·四川南充·高二統考期末）
2．已知雙曲線：，則其漸近線方程為（ ）．
A． B． C． D．
3．求以橢圓的兩個焦點為頂點、兩個頂點為焦點的雙曲線方程，并求此雙曲線的實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程.
核心知識點2 由雙曲線幾何性質求標準方程
例2.分別求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
（1）一個焦點為(0，13)，且離心率為；
（2）漸近線方程為y＝±x，且經過點A(2，-3)；
（3）過(3，-1)且實軸與虛軸長度相等.
【解析】　（1）依題意，可知雙曲線的焦點在y軸上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故其標準方程為-＝1.
（2）法一　∵雙曲線的漸近線方程為y＝±x，
若焦點在x軸上，設所求雙曲線的標準方程為-＝1(a>0，b>0)，
則＝.①
∵A(2，-3)在雙曲線上，∴-＝1.②
聯立①②，無解.
若焦點在y軸上，設所求雙曲線的標準方程為-＝1(a>0，b>0)，
則＝.③
∵A(2，-3)在雙曲線上，∴-＝1.④
聯立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求雙曲線的標準方程為-＝1.
法二　由雙曲線的漸近線方程為y＝±x，
可設雙曲線方程為-y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，-3)在雙曲線上，
∴-(-3)2＝λ，即λ＝-8.
∴所求雙曲線的標準方程為-＝1.
（3）可設方程為x2-y2＝λ(λ≠0)，則將(3，-1)代入，有λ＝9-1＝8，
于是雙曲線方程為-＝1.
歸納總結 巧設雙曲線方程的方法
（1）當雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應注意分類討論；為了避免討論，也可設雙曲線的方程為mx2-ny2＝1(mn>0).
（2）常見雙曲線方程的設法如下.
①漸近線為y＝±x的雙曲線方程可設為-＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設為A2x2-B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0).
②與雙曲線-＝1或-＝1(a>0，b>0)共漸近線的雙曲線方程可設為-＝λ或-＝λ(λ≠0).
③與雙曲線-＝1(a>0，b>0)離心率相等的雙曲線方程可設為-＝λ(λ>0)或-＝λ(λ>0)，這是因為由離心率不能確定焦點位置.
④與橢圓＋＝1(a>b>0)共焦點的雙曲線方程可設為-＝1(b2<λ【舉一反三】
4．已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為8，離心率為2，則該雙曲線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
（2024·廣東江門·高二統考期末）
5．寫出一個與雙曲線有相同漸近線，且焦點在軸上的雙曲線方程為 .
6．根據條件分別求雙曲線的標準方程：
(1)與雙曲線有共同漸近線，且過點；
(2)與橢圓有相同的焦點，其中一條漸近線為直線.
核心知識點3 求雙曲線的漸近線和離心率
例3. （1）已知雙曲線C：-＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，則雙曲線的漸近線方程為________.
【答案】y＝±x
【解析】由＝＝＝＝＝，故漸近線為y＝±x.
（2）如果雙曲線-＝1右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點距離相等的兩個相異點，則雙曲線離心率的取值范圍是________.
【答案】(2，＋∞)
【解析】如圖，因為|AO|＝|AF|，F(c，0)，
所以xA＝.又因為A在右支上且不在頂點處，
所以>a，所以e＝>2.
故雙曲線離心率的取值范圍為(2，＋∞).
歸納總結：求雙曲線漸近線和離心率的方法：
1.求漸近線的方法：（1）計算a，b值代入漸近線方程.
（2）利用＝或＝進行轉化.
2.求雙曲線離心率的三種方法：
（1）若可求得a，c，則直接利用e＝求解.
（2）若已知a，b，可直接利用e＝求解.
（3）若得到的是關于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數，且p≠0)，
則轉化為關于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
【舉一反三】
7．點到雙曲線的一條漸近線的距離為（ ）
A． B． C． D．
8．若雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則它的離心率為
A． B． C．2 D．
9．設是雙曲線的兩個焦點，P是C上一點，若且的最小內角為，則C的離心率為 ．
核心知識點4 直線與雙曲線位置關系
例4 已知雙曲線x2-y2＝4，直線l：y＝k(x-1)，試分別確定滿足下列條件的實數k的取值范圍.
（1）直線l與雙曲線有兩個不同的公共點；
（2）直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
（3）直線l與雙曲線沒有公共點.
【解析】聯立消去y，
得(1-k2)x2＋2k2x-k2-4＝0.(*)
當1-k2≠0，即k≠±1時，Δ＝(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)＝4(4-3k2).
（1）由
得-此時方程(*)有兩個不同的實數解，
即直線l與雙曲線有兩個不同的公共點.
（2）由得k＝±，
此時方程(*)有兩個相同的實數解，
即直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
當1-k2＝0，即k＝±1時，
直線l與雙曲線的漸近線平行，
方程(*)化為2x＝5，
故方程(*)只有一個實數解，即直線l與雙曲線相交，
有且只有一個公共點.
故當k＝±或±1時，
直線l與雙曲線有且只有一個公共點.
（3）由得k<-或k>，
此時方程(*)無實數解，
即直線l與雙曲線無公共點.
歸納總結：
（1）解決直線與雙曲線的公共點問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項系數為0時，直線與漸近線平行的特殊情況.
（2）雙曲線與直線只有一個公共點的題目，應分兩種情況討論：直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.
（3）注意對直線的斜率是否存在進行討論.
【舉一反三】
10．直線與雙曲線的交點個數是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
11．已知雙曲線，過點的直線與雙曲線只有一個公共點，求直線的斜率.
12．雙曲線與橢圓=1有相同的焦點，它的一條漸近線為y=－x，則雙曲線方程為（ ）
A．x2－y2=96 B．y2－x2=160 C．x2－y2=80 D．y2－x2=24
13．已知雙曲線的離心率為，則點到的漸近線的距離為
A． B． C． D．
14．若直線與雙曲線有兩個交點，則的值可以是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
15．漸近線方程為的雙曲線的離心率為 .
16．中心在坐標原點，離心率為的雙曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為 .
17．已知F1，F2是雙曲線的兩個焦點，PQ是經過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，如果∠PF2Q＝90°，求雙曲線的離心率．
18．已知雙曲線C：的焦距為4，且過點．
(1)求雙曲線方程和其漸近線方程；
(2)若直線與雙曲線C有且只有一個公共點，求實數的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據標準方程即可求解.
【詳解】雙曲線轉化為標準方程為，
故，
故焦點為和，
故選：A
2．D
【分析】可直接寫出雙曲線的漸近線.
【詳解】所求雙曲線的漸近線為：即.
故選：D
3．，實軸長為2，虛軸長為6，離心率為，漸近線方程為
【分析】根據條件求出雙曲線方程為，即可求出結果.
【詳解】因為橢圓的兩個焦點為，即為雙曲線的頂點，
因為雙曲線的頂點和焦點在同一直線上，
所以雙曲線的焦點應為橢圓長軸端點，
故，所以，
得到雙曲線的方程為，
故該雙曲線的實軸長為，虛軸長為，
離心率為，漸近線方程為.
4．B
【分析】先設出雙曲線的標準方程，然后根據雙曲線的焦距和離心率以及a，b，c的關系式即可求解．
【詳解】由題意可設雙曲線的標準方程為，
因為雙曲線的焦距為8，則2c＝8，所以c＝4，
又雙曲線的離心率為，
所以a＝2，則，
所以雙曲線的標準方程為.
故選：B．
5．（答案不唯一）
【分析】設所求雙曲線的方程為，再根據焦點在軸上，可得，即可得解.
【詳解】設所求雙曲線的方程為，
因為所求雙曲線的焦點在軸上，所以，
則可取，
所以所求雙曲線的方程為.
故答案為：.（答案不唯一）
6．(1)
(2)
【分析】（1）根據條件設雙曲線方程為，再利用雙曲線過點，即可求出結果；
（2）先利用橢圓的方程得出雙曲線的焦點，得出，再利用條件得到，即可求出結果.
【詳解】（1）由題可設所求雙曲線方程為，
由題意可知，解得,
故所求雙曲線的標準方程為.
（2）由橢圓，可得橢圓兩焦點為，
設雙曲線方程為，
所以雙曲線的兩焦點為，得到，
又為雙曲線的一條漸近線，所以，即，
又，解得，
所以雙曲線C的方程為.
7．A
【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.
【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，
結合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.
故選：A.
8．A
【詳解】雙曲線兩條漸近線互相垂直, ,計算得出.即為等軸雙曲線. 因此，本題正確答案是.
9．；
【詳解】不妨設，則，所以，因為，所以，所以
10．A
【分析】由雙曲線，求得其漸近線方程為，根據直線與雙曲線的一條漸近線平行，即可求解.
【詳解】由題意，雙曲線，可得其漸近線方程為，
因為直線與雙曲線的一條漸近線平行，
所以它與雙曲線只有1個交點．
故選：A.
【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系及其應用，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.
11．或或k不存在
【分析】設直線方程，分斜率存在與不存在兩種情況，當斜率不存在時，與雙曲線相切，滿足題意，當斜率存在時，設的方程為，與雙曲線聯立，消得到，轉化為方程只有一個根，此時要考慮到二次項系數為和不為兩種情況，分別解得的值即可求出結果.
【詳解】當直線的斜率不存在時，與雙曲線相切，符合題意，
當直線的斜率存在時，設的方程為，
由，消得到，
當，即時，
與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線只有一個公共點，滿足題意，
當時，由，整理得到，解得，
綜上，或或k不存在.
12．D
【分析】求出橢圓焦點可得雙曲線焦點，根據漸近線可得，即可建立關系求出，得出方程.
【詳解】由橢圓=1得其焦點坐標為，∴雙曲線的焦點在y軸上，
∵雙曲線的一條漸近線為y=－x，∴a=b，而，，，
，∴雙曲線的方程為y2－x2=24.
故選：D.
13．D
【詳解】分析：由離心率計算出，得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可．
詳解：
所以雙曲線的漸近線方程為
所以點（4，0）到漸近線的距離
故選D
點睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點到直線距離公式，屬于中檔題．
14．AD
【分析】利用雙曲線的性質結合條件即可求出結果.
【詳解】因為在雙曲線中，或，又與雙曲線有兩個交點，
則或，所以選項A和D符合題意，
故選：AD.
15．或2
【分析】根據給定條件，按焦點位置分類計算離心率.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，設此雙曲線方程為，
當，即雙曲線焦點在x軸上時，，令雙曲線的實、虛半軸長分別為，
則，離心率；
當，即雙曲線焦點在y軸上時，，令雙曲線的實、虛半軸長分別為，
則，離心率，
所以漸近線方程為的雙曲線的離心率為或2.
故答案為：或2
16．
【分析】根據雙曲線的離心率為，化簡求得，進而求得雙曲線的漸近線方程，得到答案.
【詳解】由題意，社區向的中心在坐標原點，離心率為，且焦點在y軸上，
可得＝，則＝＝，整理得＝，解得＝，
所以，所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
17．
【詳解】試題分析：根據PQ是經過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，∠PF2Q=90°，可得|PF1|=|F1F2|，從而可得e的方程，即可求得雙曲線的離心率．
試題解析：
設F1(c,0)，將x＝c代入雙曲線的方程得－＝1，那么y＝±.
由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，
∴＝2c，∴b2＝2ac.
由a2＋b2＝c2，
得c2－2ac－a2＝0，
∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－ (舍去)．
所以所求雙曲線的離心率為1＋.
點睛：求雙曲線離心率的常用方法
（1）根據題意直接求出，由求解；
（2）根據條件求得間的關系，由求解；
（3）根據條件得到間的二次關系式，然后利用化為關于的二次方程求解．
18．(1) 雙曲線方程為，其漸近線方程為;（2）或
【分析】(1) 由題意得 ,解方程組即得雙曲線的方程，再寫出其漸近線方程.(2) 由 ,得(3－k2)x2－4kx－7＝0得 ,解之即得實數的值，再利用數形結合分析得到實數k的取值范圍.
【詳解】(1)由題意得 ,解得
∴雙曲線方程為，其漸近線方程為.
(2)由 ,得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
由題意得 ,
∴k2＝7，∴k＝ .
當3－k2=0時，直線l與雙曲線C的漸近線平行，即時，直線l與雙曲線C只有一個公共點，∴或.
【點睛】(1)本題主要考查雙曲線方程的求法，考查直線和雙曲線的位置關系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是得到(3－k2)x2－4kx－7＝0后，要對3－k2分類討論，否則漏解.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑