資源簡介

3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的.
【目標分析】
1.雙曲線的幾何性質與標準方程，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第1題、第2題、第3題、第7題、第10題；
2.求雙曲線的離心率，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第6題、第8題、第12題、第14題；
3.直線與雙曲線的位置關系，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第2題、第5題、第11題、第15題、第16題；
4.與雙曲線有關的最值與范圍問題，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第4題、第9題、第13題；
一、單選題
（2024上·吉林·高二吉林毓文中學校考期末）
1．已知雙曲線C：的焦距為，點在C的漸近線上，則雙曲線C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·上?！じ叨虾＝淮蟾街行？计谀?br/>2．已知雙曲線：，直線過．“直線平行于雙曲線的漸近線”是“直線與雙曲線恰有一個公共點”的（ ）．
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件
（2024上·四川成都·高三樹德中學?？计谀?br/>3．雙曲線：（，）的一條漸近線過點，，是的左右焦點，且焦點到漸近線的距離為，若雙曲線上一點滿足，則（ ）
A．3或7 B．7 C．5 D．3
（2024·湖北恩施·高二校聯考期末）
4．雙曲線的離心率最小時，雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·江蘇南通·高二統考期中）
5．直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，則直線的斜率為( )
A．3 B．6 C．8 D．12
（2024·福建三明高二期末）
6．已知為坐標原點，雙曲線的右焦點為為上一點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·北京房山·高二統考期末）
7．已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且左、右焦點分別為，，這兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
（20224·浙江臺州·高二統考期末）
8．已知點在雙曲線上，點，當最小時，點不在頂點位置，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
（2024上·陜西漢中·高二統考期末）
9．已知雙曲線的左，右焦點分別為是雙曲線上的一個動點，下列結論正確的有（ ）
A．若的面積為20，則 B．雙曲線的離心率為
C．的最小值為1 D．若為直角三角形，則
（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學校聯考期末）
10．雙曲線具有如下光學性質：如圖是雙曲線的左，右焦點，從右焦點發出的光線交雙曲線右支于點，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點.若雙曲線的方程為，則（ ）
A．雙曲線的焦點到漸近線的距離為
B．若，則
C．當過點時，光線由所經過的路程為8
D．反射光線所在直線的斜率為，則
三、填空題
（2024·江西宜春高二期末）
11．已知斜率存在的直線與雙曲線相交且僅有一個交點，則直線的方程可以為 ．
（2024上·山東濟南·高二萊蕪一中期末）
12．已知雙曲線的兩個焦點分別為，，，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為P，若直線與圓E：相切，則雙曲線的離心率是 ．
（2024·貴州畢節高二期末）
13．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當取最小值16時，面積的最大值為 .
（2024上·河北石家莊·高二統考期末）
14．已知過點的直線與雙曲線：交于A、B兩點，若點P是線段的中點，則雙曲線C的離心率取值范圍是 .
四、解答題
（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學?？计谀?br/>15．已知雙曲線的左 右焦點分別為，點為雙曲線上一點，且
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知直線與雙曲線交于兩點，且，其中為坐標原點，求的值.
（2024·吉林白山·高二期末）
16．已知分別為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線上異于的任意一點，直線、斜率乘積為，焦距為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設過的直線與雙曲線交于，兩點（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值．
【易錯題目】第4題、第9題、第13題
【復盤要點】雙曲線中的最值問題，既要有幾何視角借助雙曲線的定義及其幾何性質、也要有方程思想，處理問題。體現直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養。
（2024上·北京房山·高二統考期末）
典例已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，為雙曲線C左支上一動點，為雙曲線C的漸近線上一動點，且最小時，與雙曲線C的另一條漸近線平行，則雙曲線C的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用雙曲線定義確定最小時，點的位置，進而求出的關系即得.
【解析】雙曲線C：的漸近線為，由對稱性不妨令點在第二象限，
由雙曲線定義得，當且僅當為線段與雙曲線的交點時取等號，因此的最小值為的最小值與的和，顯然當與漸近線垂直時，取得最小值，而平行于漸近線，于是雙曲線的兩條漸近線互相垂直，即，
則雙曲線的漸近線方程為，顯然選項ABD不滿足，C滿足，
所以雙曲線C的方程可能是.故選：C
易錯提示：解決雙曲線中最值問題基本思路：
（1）運用雙曲線的定義，將問題轉化為兩點間距離最短；
（2）二次函數法：通過將問題轉化為二次函數，借助二次函數的性質來求最值；
（3）均值不等式法：根據方程構造關于某個變量的一元二次方程，然后利用均值不等式求最值。
【復盤訓練】
（2023·江西贛州·高二期末）
17．已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當的周長最小時，（ ）
A． B． C． D．
（2024上·遼寧葫蘆島·高二統考期末）
18．已知點是雙曲線的左焦點，點是雙曲線上在第一象限內的一點，點是雙曲線漸近線上的動點，則的最小值為（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
（2024上·云南曲靖·高二校聯考期末）
19．已知，，分別為雙曲線（，）的左、右焦點，M為雙曲線左支上任意一點，若的最小值為8a，則雙曲線離心率e的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·河北·高二雄縣第一高級中學校聯考期末）
20．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高二統考期末）
21．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點為，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為橢圓與雙曲線的交點，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2022上·天津濱海新·高二天津市濱海新區塘沽第一中學校考期中）
22．設、分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，為它們的一個公共點，且，則當這兩條曲線的離心率之積最小時，雙曲線的漸近線的方程是 ．
（2024上·安徽阜陽·高二安徽省太和中學?？计谀?br/>23．在平面上給定相異兩點A，B，設P點在同一平面上且滿足，當且時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓，現有雙曲線（，），A，B為雙曲線的左、右頂點，C，D為雙曲線的虛軸端點，動點P滿足，面積的最大值為，面積的最小值為4，則雙曲線的離心率為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】由題意可得，即有，由點在漸近線上，可得，解方程可得，進而得到所求雙曲線方程.
【詳解】因為雙曲線C：的焦距為，
所以，即，所以，①
又因為雙曲線的漸近線方程為：，且在C的漸近線上，
所以，②
由①②可得，，
所以雙曲線C的方程為.
故選：B
2．A
【分析】設出直線方程，聯立雙曲線方程，得到關于的一元二次方程，根據方程解的情況，即可判斷充分性和必要性.
【詳解】根據題意，直線的斜率顯然存在，故設直線方程為：，
聯立可得：，即；
直線平行于雙曲線的漸近線，即或，此時，
方程為關于的一次方程，只有一個解，
此時直線與雙曲線只有一個交點，滿足充分性；
若直線與雙曲線恰有一個公共點：
則，即；
或當時，，即，即；
故必要性不滿足.
綜上，“直線平行于雙曲線的漸近線”是“直線與雙曲線恰有一個公共點”
的充分不必要條件.
故選：A.
3．B
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用給定條件求出，再利用雙曲線定義求解即得.
【詳解】雙曲線：的漸近線方程為，由在其中一條漸近線上得，
因為焦點到漸近線的距離為，由對稱性，則右焦點到一條漸近線距離，
因此，由雙曲線定義得，而，解得或，
顯然，雙曲線：上的點到焦點距離的最小值為，所以.
故選：B
4．D
【分析】先求出，然后利用基本不等式研究最值及等號成立的條件即可求出m的值進而求出雙曲線的漸近線方程.
【詳解】依題，，∴，
設離心率為，則，
∵，∴，當且僅當即時取“”.
此時雙曲線方程是，漸近線方程是.
故選D.
【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率、漸近線的概念及基本不等式的應用，屬中等難度題.
5．B
【分析】利用點差法計算即可.
【詳解】設，
則有，
化簡得，
即.
故選：B
6．C
【分析】記的左焦點為，利用余弦定理求出，再根據雙曲線的定義及離心率的定義分析求解.
【詳解】由題意可得：，
在中，由余弦定理得，
且，所以，
記的左焦點為，連接，
在中，由余弦定理得，
故，由雙曲線的定義得，
即，可得．
故選：C.
7．C
【分析】根據橢圓的和雙曲線的定義結合焦點三角形的性質求解即可.
【詳解】設雙曲線的方程為，
在橢圓中，
則，因為是以為底邊的等腰三角形，
所以，由橢圓的定義可知，，
所以，再由雙曲線的定義可得，
所以，因為雙曲線與橢圓有公共焦點，
所以，
故雙曲線的標準方程為.
故選：C.
8．C
【解析】把的坐標表示出來，轉化為二次函數，利用二次函數最值取得條件求離心率的范圍．
【詳解】設，
則，
又∵點在雙曲線上，
∴即
∴
．
當最小時，．
又點不在頂點位置，
∴，∴，∴．
∵雙曲線離心率，∴．
故選：C．
【點睛】求橢圓（雙曲線）離心率的一般思路：根據題目的條件，找到a、b、c的關系，消去b，構造離心率e的方程或（不等式）即可求出離心率．
9．BC
【分析】根據雙曲線的性質、兩點距離公式及三角形面積公式計算一一判定選項即可.
【詳解】由題意可知，即，
若的面積為20，則，故A錯誤；
根據雙曲線方程可知的離心率，故B正確；
易知，
則，
又或，所以時有，或時，
故，時取得等號，故C正確；
若為直角三角形，易知當時，此時，
則，故D錯誤.
故選：BC
10．ABD
【分析】對于A，求出雙曲線的漸近線方程，由點到直線的距離公式即可判斷；對于B，判斷出，由定義和勾股定理聯立方程組即可求得；對于C，利用雙曲線的定義直接求得；對于D，先求出雙曲線的漸近線方程，由P在雙曲線右支上，即可得到n所在直線的斜率的范圍；
【詳解】對于A，由雙曲線C的方程為知雙曲線的漸近線方程為：，
焦點到漸近線的距離為：，故A正確；
對于B，若，則.
因為P在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：，
二者聯立解得：.故B正確；
對于C，光由所經過的路程為，
故C不正確；

對于D，雙曲線的漸近線方程為.
設左、右頂點分別為A、B.如圖示：

當與同向共線時，的方向為，此時，最小.
因為P在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.故D正確.
故選：ABD.
11．（答案不唯一）
【分析】由直線與雙曲線相交，且有且僅有1個交點可得直線與漸近線平行，得解.
【詳解】因為斜率存在的直線與雙曲線相交且僅有一個交點，雙曲線的漸近線方程為，
故不妨設直線的方程為，易知當時，滿足題意．
故答案為：（答案不唯一）.
12．##
【分析】根據相切以及圓的性質可得，即可根據相似求解長度，由勾股定理以及雙曲線的定義即可求解.
【詳解】設直線與圓E：相切于點，
因為以為直徑的圓過點，所以，
又圓與直線的切點為，所以，從而．
由△△，得，所以．
又，所以，解得，
因此離心率為
故答案為：
13．32
【分析】由雙曲線的定義結合三角形兩邊之和大于第三邊的相關性質得的最小值為，，結合基本不等式即可求得最值.
【詳解】題意得，故，如圖所示，
則，
當且僅當M，，N三點共線時兩個等號同時成立，
所以的最小值為，所以，即，
當且僅當時，等號成立，
而到漸近線的距離，
又，故，
所以，
即面積的最大值為32.
故答案為：32.
14．
【分析】利用點差法得到，根據題意和漸近線方程得到，故，從而求出離心率的取值范圍.
【詳解】設，
則，兩式相減得，
若，則的中點在軸上，不合要求，
若，則的中點在軸上，不合要求，
所以，
因為為的中點，所以，
故，
因為的漸近線方程為，
要想直線與雙曲線：交于A、B兩點，則，
即，解得，
所以離心率.
故答案為：
【點睛】直線與圓錐曲線相交涉及中點弦問題，常用點差法，該法計算量小，模式化強，易于掌握，若相交弦涉及的定比分點問題時，也可以用點差法的升級版—定比點差法，解法快捷.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）根據已知條件及雙曲線的定義即可求解；
（2）將直線與雙曲線方程聯立方程組，利用韋達定理及點到直線的距離公式，結合弦長公式及三角形的面積公式即可求解.
【詳解】（1）由及雙曲線的定義知，，即，
所以雙曲線的方程為：.
（2）由題意可知，作出圖形如圖所示

設，由題可知，
聯立，
所以，
點到直線的距離，
所以
，
令，化簡得：，解得：或，
所以或.
16．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設，根據以及整體代換法求得結果；
（2）設直線,與橢圓方程聯立得出韋達定理，再表示，結合韋達定理求出結果.
【詳解】（1）設，，，
∵，∴，
∴，
又∵焦距為，可得，則，
結合，∴，，
∴雙曲線的標準方程為：．
（2）如圖，
由（1）知，，設，．
因為不與重合，所以可設直線．
聯立，
消得：，
故，，
，，，
∴．
17．C
【分析】利用雙曲線的定義可以得出=，當三點共線時最小.
【詳解】由雙曲線得到,,，左焦點，
設右焦點.當的周長最小時，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故選：C.
18．B
【分析】設右焦點為，根據雙曲線的定義可得，再根據三角形性質結合點到線的距離求解即可.
【詳解】設右焦點為，又由對稱性，不妨設在漸近線上.
根據雙曲線的定義可得，當且僅當三點共線時取等號.
又當與漸近線垂直時取最小值，為，故最小值為5.
故選：B
19．C
【分析】由雙曲線定義，變形后由基本不等式得最小值，從而得，再利用雙曲線中的范圍有，由此結合可得離心率的范圍．
【詳解】，是左、右焦點，為雙曲線左支上的任意一點，
則，即，
代入得，
當且僅當時取等號，即，
又點是雙曲線左支上任意一點，所以，即，解得，
所以雙曲線離心率e的取值范圍是.
故選：C．
20．A
【分析】設出橢圓的長半軸長，雙曲線的實半軸長為，然后根據焦點三角形頂角的余弦定理求解出的關系式，最后通過“1”的妙用求解出最小值.
【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，
則根據橢圓及雙曲線的定義得：，
，設，
則在中，由余弦定理得，，
化簡得，即，
則
，
當且僅當，即時等號成立，
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查橢圓、雙曲線的離心率的相關計算，涉及到焦點三角形、基本不等式求最值等問題，對學生的計算能力要求較高，難度較大.解答本題的關鍵點有兩個：（1）運用兩個曲線的定義，找到離心率之間的關系；（2）在已知條件等式的情況下，活用“1”的妙用求最值.
21．D
【分析】設P為第一象限的交點，由橢圓和雙曲線的定義結合勾股定理化簡得到，再利用柯西不等式即可得解.
【詳解】依題意，不妨設P為第一象限的交點，，則，

因為在中，，所以，即，
則，即，
所以，即，
由柯西不等式得，
所以，當且僅當，即時，等號成立，
此時滿足，所以的最大值為.
故選：D.
22．
【分析】設，在中，由余弦定理可得，再利用橢圓和雙曲線的幾何性質列方程求解即可.
【詳解】設，不妨設，
由橢圓和雙曲線的性質可得，解得，
又橢圓的離心率，雙曲線的離心率，，
在中，由余弦定理得，
解得，即，
根據均值不等式可得，當且僅當，即時，等號成立，
即當兩條曲線的離心率之積最小時，，
所以由雙曲線性質解得，
即雙曲線的漸近線方程為，
根據橢圓和雙曲線的對稱性，當仍成立，
故答案為：.
23．
【分析】根據為雙曲線的左、右頂點可設,,,由兩點間距離公式并化簡可得動點的軌跡方程.由為雙曲線的左、右頂點可知當位于圓的最高點時的面積最大,根據面積最大值求得.當位于圓的最左端時的面積最小,結合最小面積可求得,即可求得雙曲線的離心率.
【詳解】設,,,
依題意,得,
即,
兩邊平方化簡得,則圓心為,半徑,
當位于圓的最高點時的面積最大,最大面積為,
解得；
當位于圓的最左端時的面積最小,最小面積為,
解得,
故雙曲線的離心率為.
故答案為:
【點睛】本題考查了兩點間距離公式的應用,軌跡方程的求法,圓與雙曲線的綜合應用,雙曲線離心率的求法,屬于中檔題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質【第三課】
擴展1 求雙曲線的離心率問題
求雙曲線的離心率是熱點問題，解決問題的基本思想是方程思想，需要結合圖形的幾何性質，建立的基齊次關系式求解．體現直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養．
例1（2024·河南·高二伊川縣第一高中期末）已知雙曲線分別為的左焦點和右頂點，點是上的點，若的面積為，則的離心率為（ ）
A． B． C.2 D．
【答案】C
【分析】根據題意得到和，進而化簡求得，即可得到答案．
【解析】設雙曲線的焦距為，
由題設知，，則，
所以，且，易知，
又因為點在上，所以，所以，
因為，所以，
則，
化簡得，
解得或（舍去）．
所以，，故C的離心率為．故選：C
【方法總結】求雙曲線離心率的常用方法：
（1）利用a，b求．若已知a，b，則直接利用得解．
（2）利用a，c求．若可求得a，c，則直接利用得解．
（3）利用方程求．若得到的是關于a，c的齊次方程，即（p，q，r為常數，且），則轉化為關于e的方程求解．
【舉一反三1-1】（2024·山東泰安·高二期末）
1．已知雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三1-2】（2024上·吉林四平高二校聯考期末）
2．已知雙曲線：（，）的右焦點為F，右頂點為A，過點F作x軸的垂線，垂線與雙曲線E的一個交點為P，的中點為Q，直線與直線（O為坐標原點）的交點在雙曲線E上，則雙曲線E的離心率為（ ）
A． B．3 C． D．2
【舉一反三1-3】（2023·安徽蚌埠·高二蚌埠二中期中）
3．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與C的左、右支分別交于點P、Q.若，且，則C的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【舉一反三1-4】（2024·陜西安康高二期末）
4．已知是雙曲線的兩個焦點，為上除頂點外的一點，，且，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
擴展2 雙曲線的中點弦問題
雙曲線的中點弦問題，涉及直線與雙曲線的位置關系，運算量較大．解決問題需掌握一定的技巧，體現直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養．
例2（2023·湖北黃石高二期中）已知雙曲線C：（，）與橢圓有共同的焦點，點在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的標準方程及漸近線方程；
（2）以為中點作雙曲線C的一條弦AB，求弦AB所在直線的方程．
【解】（1）因為橢圓的焦點坐標為，所以雙曲線C的焦點坐標也為．
又因為點在雙曲線C上，所以所以，
所以雙曲線C的標準方程為，漸近線方程為．
（2）方法一：由題知直線AB的斜率存在，故設其方程為，點，．
聯立得，
所以．
由直線AB與雙曲線有兩個交點可得且，
解得且，
因為為弦AB的中點，所以，解得，
所以弦AB所在直線的方程為，即．
方法二：設，，
所以兩式相減得，
所以．
又因為，，
所以，
所以弦AB所在直線的方程為，即．
由得，，符合題意，
即所求直線方程為．
【方法總結】（1）直線與雙曲線相交，求弦的中點坐標，其方法有兩種：
①將直線方程與雙曲線方程聯立，整理得到關于x或y的一元二次方程，然后利用根與系數的關系求出中點坐標；
②應用“點差法”求得中點橫坐標的關系式，然后和直線方程聯立方程組求解．
（2）已知弦中點坐標，求直線方程時，也是上述兩種方法，“點差法”雖然是優解，特點是設而不求，但需要解后檢驗．
（3）求平行弦中點軌跡，必須知道該組弦的斜率；求相交弦中點軌跡，必須知道該組弦的交點坐標．
【舉一反三2-1】（2024·江蘇鹽城·高二統考期末）
5．已知雙曲線，過點的直線與相交于兩點，且的中點為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【舉一反三2-2】（2024·河北邢臺高二期末）
6．過點的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，且P為線段AB的中點，求直線l的方程．
【舉一反三2-3】（2024·陜西渭南·高二期末）
7．已知雙曲線上兩個不同的點A，B關于直線對稱，求實數k的取值范圍．
（江蘇·高考真題）
8．在平面直角坐標系中，雙曲線的中心在坐標原點，焦點在軸上，一條漸近線的方程為，則它的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
（全國·統考高考真題）
9．已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（福建·高考真題）
10．已知，是雙曲線的兩個焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）．
A． B． C． D．
（全國·高考真題）
11．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為
A． B．
C．2 D．
（全國·統考高考真題）
12．已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
（湖南·高考真題）
13．雙曲線的右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（全國·統考高考真題）
14．雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（北京·統考高考真題）
15．已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為 ．
（全國·統考高考真題）
16．已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據雙曲線的一條漸近線與直線垂直求出，進而求出離心率.
【詳解】雙曲線：的漸近線方程為，
雙曲線的一條漸近線與直線垂直，
雙曲線一條漸近線的斜率為，所以，即，
因此雙曲線C的離心率.
故選：C.
2．B
【分析】利用雙曲線通徑的知識明確點P，Q的坐標，根據雙曲線的對稱性就可以得到B點坐標，再結合Q，A，B三點共線，用向量方法可求，的關系，得到離心率.
【詳解】易知，，不妨設，則．設直線與直線的交點為B，
因為B在雙曲線E上，所以B，P關于原點對稱，即．
因為Q，A，B三點共線，所以．
因為，，
所以，所以，．
故選：B
3．A
【分析】由向量的關系求出線段之間的關系，設，則，，再由雙曲線的定義可得，，再由數量積為可得直線的垂直，分別在兩個直角三角形中由余弦定理可得，的關系，可求出離心率．
【詳解】，設，則，，
由雙曲線的定義可得，，
因為，
在中，由余弦定理有，
即，①
在中，由余弦定理有，
即，②
由②可得，代入①可得，即.
所以C的離心率為：，
故選：A.
4．A
【分析】設出根據題意有，利用余弦定理表示出，，結合，求出離心率的取值范圍.
【詳解】
設，顯然，
則，
所以的離心率．由于，
所以，所以的取值范圍是；
故選：A
5．B
【分析】由點差法得出，進而由離心率公式求解即可.
【詳解】設，，由的中點為，則，
由，兩式相減得：=，
則==，
由直線的斜率，∴，則，
雙曲線的離心率，
∴雙曲線的離心率為，
故選：B．
6．
【分析】由“點差法”求出直線的斜率，再由點斜式方程求解即可.
【詳解】解：設，，則，，
兩式相減得．
∵P為線段AB的中點，∴，．
∴，即所求直線l的斜率為1，
∴直線l的方程為，即．經檢驗符合題意．
7．
【分析】設AB所在的直線方程為，聯立方程，結合判別式可得，根據韋達定理結合中點可得，代入運算求解即可.
【詳解】設A，B的坐標分別為，，線段AB的中點為，
依題意直線AB的斜率存在且不為0，不妨設AB所在的直線方程為，
聯立方程，消去y得．
由得①．
則，可得，代入，得．
且中點在直線上，
則，且，可得，
將代入①可得，解得或，
即或，且，
可得實數k的取值范圍是．
8．A
【分析】由一條漸近線的斜率為，得到求解.
【詳解】因為一條漸近線的斜率為，即，
所以．
故選：A
9．A
【分析】根據雙曲線的定義及條件，表示出，結合余弦定理可得答案.
【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，
所以，；
因為,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故選：A
【點睛】關鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關系是求解的關鍵.
10．D
【分析】由題意有可得坐標，進而求得的中點坐標，代入雙曲線方程得到參數的齊次方程，即可求離心率.
【詳解】依題意知，若雙曲線焦點為，，
∴，則△的高為，即，
∴，代入雙曲線方程：，整理得：，
∵，
∴，整理得，得，
∵，
∴．
故選：D．
【點睛】關鍵點點睛：利用雙曲線、等邊三角形、中點的性質求點坐標，由點在雙曲線上可得雙曲線參數的齊次方程.
11．A
【分析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．
【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，
又，為以為直徑的圓的半徑，
為圓心．
，又點在圓上，
，即．
，故選A．
【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．
12．D
【分析】根據離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的一條漸近線為，
則圓心到漸近線的距離，
所以弦長.
故選：D
13．C
【分析】根據右支上存在一點到右焦點及左準線的距離相等，通過得到關于的不等式，最后根據，綜合可得答案．
【詳解】解：，
，
，
，
而雙曲線的離心率，，
故選：C．
14．AC
【分析】依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，利用正弦定理結合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為B，
所以，因為，所以在雙曲線的左支，
，， ，設，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，
若分別在左右支，
因為，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
15．
【分析】根據給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.
【詳解】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，
由雙曲線的離心率為，得，解得，則，
所以雙曲線的方程為.
故答案為：
16．##
【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數積的幾何意義得到關于的表達式，從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
方法二：依題意設出各點坐標，從而由向量坐標運算求得，，將點代入雙曲線得到關于的齊次方程，從而得解；
【詳解】方法一：
依題意，設，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因為，所以，則，
又，所以，則，
又點在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關鍵是充分利用雙曲線的定義，結合勾股定理與余弦定理得到關于的齊次方程，從而得解.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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