資源簡介

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6.2平面向量的運算
題型匯總
題型1：向量的加法運算 例1.如果表示“向東走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走”，那么下列向量具有什么意義？ （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）.
【變式1-1】化簡 (1)； (2) .
【變式1-2】如圖為正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則（ ） A． B． C． D．
【變式1-3】如圖，在矩形中，為中點，那么向量=（ ） A． B． C． D．
【變式1-4】如圖，四邊形是平行四邊形，點P在上，判斷下列各式是否正確（正確的在括號內打“√"，錯誤的打“×”） （1）．( ) （2）．( ) （3）．( )
【變式1-5】已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中結果為的是 .(填序號)
題型2：向量的減法運算 例2.如圖，已知向量，，求作向量．
【變式2-1】（多選）下列各式中能化簡為的有（ ） A． B． C． D．
【變式2-2】（ ） A． B． C． D．
【變式2-3】化簡： (1)； (2).
【變式2-4】在中，分別是的中點，則 .
【變式2-5】填空： ； ； ； ； ．
【變式2-6】如圖，已知向量，不共線，求作向量．
【變式2-7】如圖，點O是的兩條對角線的交點，，，，求證：．
題型3：向量加減法的幾何意義 例3.在四邊形中，若，則（ ） A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形 C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形
【變式3-1】證明：當向量不共線時，.
【變式3-2】在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD為（ ） A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【變式3-3】在平行四邊形ABCD中，，則必有（ ） A．四邊形ABCD是矩形 B．＝或＝ C．＝ D．四邊形ABCD是正方形
【變式3-4】已知四邊形和點O，若，則四邊形的形狀是 .
【變式3-5】已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（ ） A． B． C． D．
題型4：利用向量的加減法解決幾何問題 例4.在中，已知為上一點，若，則（ ） A． B． C． D．
【變式4-1】如圖，中，，，點E是的三等分點，則（ ） A． B． C． D．
【變式4-2】在中，是邊上的點且，若則 ．
【變式4-3】在中，點滿足，則與的面積比為 ．
【變式4-4】已知的三個頂點及平面內一點滿足，下列結論中正確的是（ ） A．在的內部 B．在的邊上 C．在的邊上 D．在的外部
【變式4-5】如圖，已知D， E， F分別是△ABC三邊AB， BC， CA的中點，求證：
題型5：向量的線性運算 例5計算： （1）； （2）； （3）．
【變式5-1】如圖6.2-15，的兩條對角線相交于點M，且，，用，表示，，和．
【變式5-2】化簡： (1)； (2)； (3)； (4).
【變式5-3】已知實數、和向量、，下列結論中正確的是（ ） A． B． C．若，則 D．若，則
【變式5-4】下列結論正確的是（ ） A．若，則或 B．若，，則 C．若，，則或 D．若，其中，則
題型6：向量共線定理及其應用 例6已知，則下列結論中成立的是（ ） A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線 C．A，D，C三點共線 D．D，B，C三點共線
【變式6-1】已知，則共線的三點為（ ） A． B． C． D．
【變式6-2】設，是兩個不共線向量，若向量與方向相反，則實數 .
【變式6-3】已知，是兩個不共線的向量，向量，共線，求實數的值．
【變式6-4】已知是兩個不共線的向量，，．若與是共線向量，求實數的值．
【變式6-5】設是不共線的兩個非零向量，已知，，若三點共線，則的值為（ ） A．1 B．2 C．-2 D．-1
【變式6-6】已知,是不共線的向量，，則共線的充要條件是（ ） A． B． C． D．
【變式6-7】已知，是不共線的向量，，若三點共線，則實數滿足（ ） A． B． C． D．
題型7：向量的線性表示 例7設為所在平面內一點，，則（ ） A． B． C． D．
【變式7-1】在等邊三角形中，與交于點F，則下列結論中正確的是（ ） A． B． C． D．
【變式7-2】四邊形中，，，則下列表示正確的是（ ） A． B． C． D．
【變式7-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別為線段AD，CD的中點，且，則（ ） A． B． C． D．
【變式7-4】在中，已知是邊上一點，若，則（ ） A．2 B．１ C．-2 D．－1
【變式7-5】在中，D為BC上一點.若，則的最小值為（ ） A． B． C． D．
【變式7-6】點P是所在平面上一點，若，則與的面積之比是（ ） A． B．3 C． D．
【變式7-7】如圖，平行四邊形ABCD中，點M在AB的延長線上，且BM＝AB，點N在BC上，且BN＝BC.求證：M、N、D三點共線．
【變式7-8】已知， 是兩個不共線的向量，向量－，－共線，求實數的值．
題型8：向量數量積的計算 例8（1）已知，，與的夾角，求． 設，，，求與的夾角． 已知，，與的夾角為60°，求
【變式8-1】已知，與的夾角為60°，求： (1)； (2)； (3).
【變式8-2】已知菱形的邊長為a，，則（ ） A． B． C． D．
【變式8-3】在邊長為2的等邊三角形中，，，則 ．
【變式8-4】如圖中，，，，，且，則 .
【變式8-5】已知平面向量均為非零向量，則下列結論正確的是（ ） A．若，則 B． C．若，則 D．若，則
【變式8-6】對于非零向量，，，給出下列結論： ①若，，則； ②若，則； ③； ④ 其中正確結論的有（ ） A．①④ B．①③ C．②③ D．①③④
題型9：向量垂直應用 例9若單位向量滿足，且，則實數k的值為 . 【答案】6 【分析】根據兩向量垂直，可得到=0，展開化簡即可求出值. 【詳解】因為，所以，因為，所以， 即，又是單位向量，所以，即. 故答案為：
【變式9-1】已知，，且與不共線．當為何值時，向量與相垂直？
【變式9-2】已知向量滿足,，與的夾角為，，則 ．
【變式9-3】已知平面向量，的夾角為120°，且.若，則 .
【變式9-4】已知兩個不共線的向量、的夾角為，且，，為正實數． (1)若與垂直，求； (2)若，求的最小值及對應的的值.
【變式9-5】已知，，且與互相垂直，求證：.
題型10：向量的模長 例10已知向量與的夾角為120°， ||＝2， ||＝3，求： (1)(＋)·(－)； (2)|－|．
【變式10-1】已知向量的夾角為，，，則 ．
【變式10-1】已知向量，滿足，，． (1)求； (2)若，求實數k的值．
【變式10-1】如圖，在△ABC中，，，，，． (1)設，求x，y的值，并求； (2)求的值．
【變式10-1】用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對角線．求證：．
題型11：向量的夾角 例11已知，，，則向量與向量的夾角為 ．
11-1若向量，滿足，，，則與的夾角為（ ） A． B． C． D．
【變式11-2】已知向量滿足，，則與的夾角為（ ） A． B． C． D．
【11-3】已知單位向量，滿足，若向量，則＝（ ） A． B． C． D．
【11-4】已知非零向量滿足，則向量與的夾角為（ ） A． B． C． D．
題型十二：向量的投影
例12已知，為單位向量，與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為 ；
12-1 已知，是兩個互相垂直的單位向量，則向量在向量上的投影向量為（ ） A． B． C． D．
12-2如圖，在平面四邊形中，，，則向量在向量上的投影向量為（ ） A． B． C． D．
1-3設平面向量，，在方向上的投影向量為，則（ ） A． B． C． D．
12-4已知向量滿足，，與的夾角為，則在上的投影為 ．
設向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實數，使得與垂直，則（ ） A．2 B． C． D．
題型十三：平面向量運算的應用
例13 一架救援直升飛機從地沿北偏東60°方向飛行了40 km到達地，再由地沿正北方向飛行40 km到達地，求此時直升飛機與地的相對位置.
13-1向量是近代數學中重要和基本的概念之一，它既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（ ） A． B．與的夾角為 C． D．在上的投影向量為
13-2飛機從甲地沿北偏西15°的方向飛行1400km到達乙地，再從乙地沿南偏東75°的方向飛行1400km到達丙地，畫出飛機飛行的位移示意圖，并說明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多遠？
13-3在四邊形中，，且，那么四邊形ABCD為（ ） A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
13-4已知中，，，B是中的最大角，若，試判斷的形狀．
13-5 ，是所在平面上的兩點，滿足和，則的形狀是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形
13-6（多選）設均為單位向量，對任意的實數有恒成立，則（ ） A．與的夾角為 B． C．的最小值為 D．的最小值為
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6.2平面向量的運算
題型匯總
題型1：向量的加法運算 例1.如果表示“向東走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走”，那么下列向量具有什么意義？ （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】（1）向東走；（2）向東走； （3）向東北走；（4）向西南走； （5）向西北走；（6）向東南走. 【解析】由向量加法及其幾何意義和位移的關系可得. 【詳解】由題意知：表示“向東走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走” （1）表示“向東走” （2）表示“向東走” （3）表示“向東北走” （4）表示“向西南走” （5）表示“向西北走” （6）表示“向東南走” 【點睛】本題考查向量加法及其幾何意義，屬于基礎題.
【變式1-1】化簡 (1)； (2) . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）按照向量加法的運算律直接計算即可. 【詳解】（1）= （2）==.
【變式1-2】如圖為正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據平面向量的概念及加法的運算法則，準確運算，即可求解. 【詳解】由平面向量的運算法則，可得. 故選：A.
【變式1-3】如圖，在矩形中，為中點，那么向量=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據向量的加法法則和矩形的性質求解 【詳解】因為在矩形中，為中點， 所以， 所以， 故選：A
【變式1-4】如圖，四邊形是平行四邊形，點P在上，判斷下列各式是否正確（正確的在括號內打“√"，錯誤的打“×”） （1）．( ) （2）．( ) （3）．( ) 【答案】 × √ × 【解析】（1）由圖形得；（2）、（3）利用向量加法幾何意義； 【詳解】對（1），因為，故（1）錯誤； 對（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正確； 對（3），，故（3）錯誤. 故答案為：(1) ×；(2) √；(3) × 【點睛】本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數形結合思想，求解時注意三角形法則的運用.
【變式1-5】已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中結果為的是 .(填序號) 【答案】①④##④① 【分析】利用向量加法的運算法則化簡各項向量的線性表達式，即可確定結果是否為. 【詳解】①; ②; ③; ④. 故答案為：①④.
題型2：向量的減法運算 例2.如圖，已知向量，，求作向量． 【答案】如圖，(1) (2) 【分析】如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點即可分別得出結果. 【詳解】解：(1)如圖，將向量的起點平移到向量的起點， 以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量； (2)如圖，將向量的起點平移到向量的起點， 以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；
【變式2-1】（多選）下列各式中能化簡為的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由向量的加法與減法法則逐一驗證即可 【詳解】對于A：，故A 錯誤； 對于B：，故B正確； 對于C：，故C正確； 對于D：，故D正確. 故選：BCD
【變式2-2】（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據向量的運算法則，準確化簡，即可求解. 【詳解】由向量的運算法則，可得 ． 故選：A.
【變式2-3】化簡： (1)； (2). 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據向量加法和減法的運算法則即可求解； （2）根據向量加法和減法的運算法則即可求解； 【詳解】（1）解：； （2）解：.
【變式2-4】在中，分別是的中點，則 . 【答案】 【分析】由向量的加法與減法法則求解即可 【詳解】利用三角形中位線定理知， 所以. 故答案為：
【變式2-5】填空： ； ； ； ； ． 【答案】 【解析】利用向量減法的三角形法則，進行向量的減法運算. 【詳解】因為向量的起點相同，可直接進行向量的相減運算， 所以；；；；． 故答案為：(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【點睛】本題考查向量減法的運算，求解時注意向量用兩個大寫字母表示，可直接進行代數的運算，而無需再畫圖形.
【變式2-6】如圖，已知向量，不共線，求作向量． 【答案】作圖見解析， 【分析】利用向量的加法法則求解. 【詳解】如圖， 在平面內任取一點O，作，． 因為，即， 所以．
【變式2-7】如圖，點O是的兩條對角線的交點，，，，求證：． 【答案】證明見解析 【分析】利用向量的加法法則和向量相等求解. 【詳解】證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形， 所以． 因為， ， 所以， 即．
題型3：向量加減法的幾何意義 例3.在四邊形中，若，則（ ） A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形 C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形 【答案】D 【分析】根據平面向量加法的運算法則及向量相等的充要條件判斷即可； 【詳解】解：，， ，且，四邊形是平行四邊形． 故選：D．
【變式3-1】證明：當向量不共線時，. 【答案】證明見解析 【分析】根據向量不共線，在OAB中，利用三角形的邊的關系證明. 【詳解】證明：因為向量不共線，如圖，在OAB中， 由三角形兩邊之和大于第三邊得：， 由三角形兩邊之差小于第三邊得：， 所以.
【變式3-2】在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD為（ ） A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】根據相等向量的性質，結合平面向量加法和減法的幾何意義、矩形的判定定理進行求解即可. 【詳解】由，所以四邊形ABCD是平行四邊形， 由，所以平行四邊形ABCD的對角線相等， 因此該四邊形是矩形， 故選：C
【變式3-3】在平行四邊形ABCD中，，則必有（ ） A．四邊形ABCD是矩形 B．＝或＝ C．＝ D．四邊形ABCD是正方形 【答案】A 【分析】在平行四邊形中，根據向量加法、減法的運算法則可判斷其對角線的關系，然后可知.或者兩邊平方，根據數量積為0可判斷四邊形形狀. 【詳解】由ABCD構成四邊形可知，BC錯誤；在平行四邊形ABCD中，，，由題知，即平行四邊形的對角線相等，所以四邊形ABCD是矩形，A正確；易知四邊形ABCD不一定是正方形，故D錯誤. 故選：A.
【變式3-4】已知四邊形和點O，若，則四邊形的形狀是 . 【答案】平行四邊形 【分析】將變形為，得到，進而根據相等向量的定義得到答案. 【詳解】已知四邊形和點O，若，則 所以，則四邊形的形狀是平行四邊形. 故答案為：平行四邊形.
【變式3-5】已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據向量加法的三角形法則及是正三角形，逐一判斷即可. 【詳解】解：對于A，因為，, 所以，故正確； 對于B，因為,(為中點)，故錯誤； 對于C，因為(為中點), (為中點), 所以，故正確； 對于D，因為，， 所以，故正確. 故選：B.
題型4：利用向量的加減法解決幾何問題 例4.在中，已知為上一點，若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】結合已知條件，利用向量的線性運算即可求解. 【詳解】因為， 所以 . 故選：B.
【變式4-1】如圖，中，，，點E是的三等分點，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據向量的加法法則和減法法則進行運算即可. 【詳解】 故選：B.
【變式4-2】在中，是邊上的點且，若則 ． 【答案】## 【分析】由題知，再根據求解即可. 【詳解】解：因為在中，是邊上的點且， 所以，即， 所以，，即 故答案為：
【變式4-3】在中，點滿足，則與的面積比為 ． 【答案】## 【分析】由平面向量的加法法則可得到點的位置，再用面積公示，即可得到面積的比值. 【詳解】取邊的中點，連接，如圖所示， 因為，即，所以，即點為的中點，所以. 故答案為：
【變式4-4】已知的三個頂點及平面內一點滿足，下列結論中正確的是（ ） A．在的內部 B．在的邊上 C．在的邊上 D．在的外部 【答案】C 【分析】將化簡，可得，即可選出答案. 【詳解】因為 所以 即， 所以點為中點. 故選：C.
【變式4-5】如圖，已知D， E， F分別是△ABC三邊AB， BC， CA的中點，求證： 【答案】證明見解析 【分析】根據向量運算得到，，，相加得到證明. 【詳解】如圖，連接DE， EF， FD, 因為D， E， F分別是△ABC三邊的中點，所以四邊形ADEF為平行四邊形． 由向量加法的平行四邊形法則，得①, 同理②，③，將①②③式相加， .
題型5：向量的線性運算 例5計算： （1）； （2）； （3）． 解：（1）原式； （2）原式； （3）原式．
【變式5-1】如圖6.2-15，的兩條對角線相交于點M，且，，用，表示，，和． 解：在中， ， ． 由平行四邊形的兩條對角線互相平分，得 ， ， ， ．
【變式5-2】化簡： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】根據平面向量數乘運算的運算律，對每個小問進行逐一運算，即可求得結果. 【詳解】（1） （2） （3） （4）
【變式5-3】已知實數、和向量、，下列結論中正確的是（ ） A． B． C．若，則 D．若，則 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的線性運算可判斷ABCD選項. 【詳解】對于A選項，，A對； 對于B選項，，B對； 對于C選項，若，則，所以，或，C錯； 對于D選項，若，則，所以，，即，D對. 故選：ABD.
【變式5-4】下列結論正確的是（ ） A．若，則或 B．若，，則 C．若，，則或 D．若，其中，則 【答案】C 【分析】根據相等向量，共線向量，數乘運算的定義分別進行判斷即可. 【詳解】對于A，當時，與可能不共線， 如，，滿足，但不滿足或，A錯誤； 對于B，若，此時，，但與可能不共線，B錯誤； 對于C，由向量數乘運算定義知C正確； 對于D，若，則，此時與可以是任意向量，D錯誤. 故選：C.
題型6：向量共線定理及其應用 例6已知，則下列結論中成立的是（ ） A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線 C．A，D，C三點共線 D．D，B，C三點共線 【答案】C 【分析】根據平面向量的線性運算可得，從而可求解. 【詳解】解：, 所以A，D，C三點共線. 故選:C.
【變式6-1】已知，則共線的三點為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據向量的線性運算以及共線定理判斷即可. 【詳解】不滿足共線定理，A錯誤； 不滿足共線定理，B錯誤； ， ， 不滿足共線定理，C錯誤； ，D正確. 故選：D.
【變式6-2】設，是兩個不共線向量，若向量與方向相反，則實數 . 【答案】 【分析】根據題意由共線定理可得存在實數，使，從而可得關于的方程組，進而可求出. 【詳解】由題意知，與共線， ∴存在實數，使. ∵，不共線， ∴解得或， ∵與反向， ∴，. 故答案為：
【變式6-3】已知，是兩個不共線的向量，向量，共線，求實數的值． 解：由，不共線，易知向量為非零向量．由向量，共線，可知存在實數，使得， 即． 由，不共線，必有.否則，不妨設，則．由兩個向量共線的充要條件知，，共線，與已知矛盾． 由，解得． 因此，當向量，共線時，．
【變式6-4】已知是兩個不共線的向量，，．若與是共線向量，求實數的值． 【答案】 【解析】根據平面向量的共線的充要條件列出等式計算即可. 【詳解】由已知，∵與是共線向量，∴存在，使，即，∴，∴∴的值為． 【點睛】本題考查平面向量共線定理的應用，屬于常考題.
【變式6-5】設是不共線的兩個非零向量，已知，，若三點共線，則的值為（ ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】D 【分析】由向量加法得，由三點共線知，共線，結合平面向量基本定理可解. 【詳解】因為，故存在實數，使得，又， 所以，因為不共線，故，即. 故選：D
【變式6-6】已知,是不共線的向量，，則共線的充要條件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三點共線，則向量，即存在實數，使得，根據向量相等的條件可得到一個方程組，從而可得解． 【詳解】若三點共線，則向量，即存在實數，使得，∵，∴，可得，兩式相除消去得，即三點共線的充要條件為， 故選C．
【變式6-7】已知，是不共線的向量，，若三點共線，則實數滿足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據向量的線性運算，可表達出，然后根據向量共線即可求解. 【詳解】,, 因為三點共線，所以,故 ，所以 故選：D
題型7：向量的線性表示 例7設為所在平面內一點，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法減法及數乘向量去表示向量 【詳解】為線段靠近點的三等分點 ， ． 故選：C．
【變式7-1】在等邊三角形中，與交于點F，則下列結論中正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用向量的線性運算證明選項AC正確，，故選項B錯誤；，故選項D錯誤． 【詳解】解：因為，所以，故選項A正確； 因為，所以，故選項B錯誤； 由于B，E，F三點共線，所以． 又，從而解得故選項C正確； ，故選項D錯誤． 故選：AC
【變式7-2】四邊形中，，，則下列表示正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據平面向量的線性運算可得答案. 【詳解】 因為，， 所以 故選：C
【變式7-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別為線段AD，CD的中點，且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的線性運算，結合其幾何應用求得、、、，即可判斷選項的正誤. 【詳解】，即A不正確； 連接AC，知G是△ADC的中線交點， 如下圖示 由其性質有 ∴，即B不正確； ，即C正確； 同理 ，即 ∴，即D不正確； 故選：C.
【變式7-4】在中，已知是邊上一點，若，則（ ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 【答案】C 【分析】由可得為線段的三等分點中靠近的點，由向量的加(減)法及數乘運算可得，即可求得. 【詳解】解：如圖所示： 因為， 所以為線段的三等分點中靠近的點， 所以=, 所以， 所以. 故選：C.
【變式7-5】在中，D為BC上一點.若，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的等量關系式，然后利用基本不等式求得正確答案. 【詳解】由于三點共線，所以， 所以 ， 當且僅當. 故選：C
【變式7-6】點P是所在平面上一點，若，則與的面積之比是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】如圖，延長交于點，設，則，根據平面向量共線定理得推理求出，從而可確定的位置，即可得出答案. 【詳解】如圖，延長交于點， 設，則， 因為共線， 所以，解得， 所以，， 則， 由， 得，即， 所以， 所以， 所以. 故選：D.
【變式7-7】如圖，平行四邊形ABCD中，點M在AB的延長線上，且BM＝AB，點N在BC上，且BN＝BC.求證：M、N、D三點共線． 【答案】見解析. 【分析】由題意畫出圖象，利用向量的加法和條件表示出，利用向量共線的充要條件，即可證明M、N、D三點共線． 【詳解】由題意畫出圖象： 因為BMAB，點N在BC上且BNBC， 所以， ， 因為，， 所以， 則，所以M、N、D三點共線． 【點睛】本題考查向量在幾何中的應用，向量的加法法則，以及利用向量共線的充要條件證明三點共線，屬于中檔題.
【變式7-8】已知， 是兩個不共線的向量，向量－，－共線，求實數的值． 【答案】. 【分析】由向量－，－共線得存在實數λ，使得－＝λ，整理，由， 不共線可得， 的系數都為零，列方程組求解即可. 【詳解】解　由，不共線，知向量－為非零向量．由向量－， －共線，可知存在實數λ，使得－＝λ，即＝. 由， 不共線，必有＋＝＋1＝0. 否則，不妨設＋≠0，則＝，得，共線，與已知矛盾． 由，解得＝. 因此，當向量－， －共線時，＝.
題型8：向量數量積的計算 例8（1）已知，，與的夾角，求． 設，，，求與的夾角． 已知，，與的夾角為60°，求 解： ． 解：由，得 ． 因為，所以．． 解： ．
【變式8-1】已知，與的夾角為60°，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】利用數量積的定義及運算律即可得到答案 【詳解】（1）； （2）； （3）
【變式8-2】已知菱形的邊長為a，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由題意易知，，，則可求出的值. 【詳解】由題意可知，在中，， ，又， 所以. 故選：D.
【變式8-3】在邊長為2的等邊三角形中，，，則 ． 【答案】## 【分析】把均用基底表示，再利用數量積運算求解 【詳解】因為，所以為的中點即， ∵，∴， ∴ . 故答案為：
【變式8-4】如圖中，，，，，且，則 . 【答案】 【分析】結合已知條件，首先用與表示出和，然后利用數量積的定義即可求解. 【詳解】由中，，，， 則，， 又，且，即， 故，即， 從而， 故， 因為， 所以. 故答案為：.
【變式8-5】已知平面向量均為非零向量，則下列結論正確的是（ ） A．若，則 B． C．若，則 D．若，則 【答案】A 【分析】由共線向量、相等向量、向量的數量積依次判斷4個選項即可. 【詳解】對于A，由可得同向，又分別表示方向上的單位向量，故，A正確； 對于B，，兩者不一定相等，B錯誤； 對于C，只能得到模長相等，方向不確定，C錯誤； 對于D，當，時，成立，但不成立，D錯誤. 故選：A.
【變式8-6】對于非零向量，，，給出下列結論： ①若，，則； ②若，則； ③； ④ 其中正確結論的有（ ） A．①④ B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根據向量共線定義判斷①，由數量積定義判斷②，由向量模的定義判斷③，把模轉化數量積運算判斷④． 【詳解】為，，是非零向量，因此由，，知與，與方向相同或相反，因此與方向相同或相反，可得，①正確； ，當時也成立，不能得出，②錯； 由三角形的性質，模的幾何意義得，③錯； ，④正確． 故選：A．
題型9：向量垂直應用 例9若單位向量滿足，且，則實數k的值為 . 【答案】6 【分析】根據兩向量垂直，可得到=0，展開化簡即可求出值. 【詳解】因為，所以，因為，所以， 即，又是單位向量，所以，即. 故答案為：
【變式9-1】已知，，且與不共線．當為何值時，向量與相垂直？ 解：與互相垂直的充要條件是 ， ． 因為，， 所以． 解得． 也就是說，當時，與互相垂直．
【變式9-2】已知向量滿足,，與的夾角為，，則 ． 【答案】2 【分析】由已知條件可得的值，再由可得，通過計算即可求出的值. 【詳解】因為，所以，即. 又，,與的夾角為，則， 所以． 故答案為：2.
【變式9-3】已知平面向量，的夾角為120°，且.若，則 . 【答案】11 【分析】根據數量積公式，可得的值，由題意得，展開計算，即可得答案. 【詳解】因為平面向量，的夾角為，且， 所以， 因為， 所以， 所以，解得， 故答案為：11.
【變式9-4】已知兩個不共線的向量、的夾角為，且，，為正實數． (1)若與垂直，求； (2)若，求的最小值及對應的的值. 【答案】(1) (2)時，最小值為 【分析】（1）由數量積為0求得后可得； （2）把平方轉化為數量積的運算得的函數，由函數可得最小值． 【詳解】（1）因為與垂直， 所以， 所以，， 所以， ； （2） ， 所以時，取得最小值．
【變式9-5】已知，，且與互相垂直，求證：. 【答案】證明見解析 【分析】根據與互相垂直，可得，結合題設條件，即可證明. 【詳解】因為與互相垂直， 所以，即， 因為，， 所以，， 所以， 因為，是非零向量， 所以.
題型10：向量的模長 例10已知向量與的夾角為120°， ||＝2， ||＝3，求： (1)(＋)·(－)； (2)|－|． 【答案】(1)－5. (2). 【分析】（1）根據向量的數量積運算得(＋)·(－)＝2－2可求得答案； （2）根據向量數量積的定義求得，再根據向量數量積的運算律求得|－|2，由此可求得答案. 【詳解】（1）解：因為向量與的夾角為120°， ||＝2， ||＝3，所以(＋)·(－)＝2－2＝－5． （2）解：因為向量與的夾角為120°， ||＝2， ||＝3，所以， 所以 |－|2＝(－)2＝2－2·＋2＝19，所以|－|＝．
【變式10-1】已知向量的夾角為，，，則 ． 【答案】 【分析】根據向量數量積定義以及向量模的定義即可求出結果. 【詳解】解：因為向量的夾角為，，， 所以， 因此，， 故答案為：.
【變式10-1】已知向量，滿足，，． (1)求； (2)若，求實數k的值． 【答案】(1)6 (2)或2 【分析】（1）先求出的平方，進而求出； （2）根據向量垂直得到方程，求出實數k的值. 【詳解】（1）． 所以； （2）由題意可得：，即， ∴，解得：或2， 所以實數k的值是-1或2.
【變式10-1】如圖，在△ABC中，，，，，． (1)設，求x，y的值，并求； (2)求的值． 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）以為基底，由向量的線性運算求出，再由向量數量積的運算性質求模即可； （2）根據向量的線性運算轉化為基底表示，再由數量積的運算求解即可. 【詳解】（1），， ， ， . （2） .
【變式10-1】用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對角線．求證：． 【答案】證明見解析 【分析】設， ，則且，即可求得，由此即可證明結果. 【詳解】證明：設， ． 因為四邊形為菱形，所以， 又 則，故． 所以.
題型11：向量的夾角 例11已知，，，則向量與向量的夾角為 ． 【答案】## 【分析】化簡，結合平面向量數量積的定義可求出向量與向量的夾角 【詳解】設向量與向量的夾角為， 因為，，， 所以， 得， 因為，所以， 故答案為：
11-1若向量，滿足，，，則與的夾角為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量垂直的數量積表示得，然后由向量夾角公式計算． 【詳解】由已知得，，， ，所以. 故選：C．
【變式11-2】已知向量滿足，，則與的夾角為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先對平方，代入已知條件整理得，再利用數量積公式可求得. 【詳解】，， 又，，， 設與的夾角為， ， 從而，所以與的夾角. 故選：C
【11-3】已知單位向量，滿足，若向量，則＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】計算出，及，從而利用向量余弦夾角公式計算得到，再利用同角三角函數平方關系求出. 【詳解】因為，是單位向量， 所以， 又因為，， 所以， ， 所以， 因為， 所以． 故選：B．
【11-4】已知非零向量滿足，則向量與的夾角為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，由可得，利用平面向量數量積的定義求解夾角即可. 【詳解】解：因為，所以，所以， 由得，所以， 設向量與的夾角為，則， 又，所以． 故選：B.
題型十二：向量的投影
例12已知，為單位向量，與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為 ； 【答案】 【分析】根據投影向量的定義及向量數量積的定義即得. 【詳解】因為， 所以向量在上的投影向量為. 故答案為：.
12-1 已知，是兩個互相垂直的單位向量，則向量在向量上的投影向量為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依題意可得，根據數量積的運算律求出，最后根據投影向量的定義計算可得. 【詳解】解：因為，是兩個互相垂直的單位向量， 所以，且， 所以， 所以向量在向量上的投影向量為. 故選：B
12-2如圖，在平面四邊形中，，，則向量在向量上的投影向量為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據圖形求出向量與的夾角，再根據投影向量的公式進行求解即可. 【詳解】延長，交于點，如圖所示， ，， ， 又， 向量在向量上的投影向量為， 故選：B.
1-3設平面向量，，在方向上的投影向量為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根據向量數量積的定義，逐一驗證，即可求解. 【詳解】設與的夾角為， 對于A, 當為銳角時，不一定相等，故A錯誤， 對于B. 當為銳角時，=，成立， 當為鈍角時，=，成立， 當為直角時，成立，故正確； 對于C.,故C對， 對于D. ，故D錯誤. 故選：BC.
12-4已知向量滿足，，與的夾角為，則在上的投影為 ． 【答案】 【分析】根據數量積的定義求解的值，再根據投影的定義求解的值即可. 【詳解】解：由于，，與的夾角為，則 則在上的投影為：. 故答案為：.
設向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實數，使得與垂直，則（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根據投影向量的定義結合已知求得，再由與垂直，得，結合數量積得運算律即可得解. 【詳解】解：因為在方向上的投影向量為， 所以， 所以， 因為與垂直， 所以， 即，解得. 故選：B.
題型十三：平面向量運算的應用
例13 一架救援直升飛機從地沿北偏東60°方向飛行了40 km到達地，再由地沿正北方向飛行40 km到達地，求此時直升飛機與地的相對位置. 【答案】直升飛機位于地北偏東30°方向，且距離地km處 【分析】根據向量加法的三角形法則及勾股定理即可求解. 【詳解】如圖所示， 設，分別是直升飛機的位移，則表示兩次位移的合位移，即. 在中，. 在中，，， 即此時直升飛機位于地北偏東30°方向，且距離地km處.
13-1向量是近代數學中重要和基本的概念之一，它既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（ ） A． B．與的夾角為 C． D．在上的投影向量為 【答案】BC 【分析】利用向量的模長公式以及題中條件即可判斷A,C,由夾角公式可判斷B，根據投影向量的求法即可判斷D. 【詳解】，, ,解得,故A錯誤 ,， 由于，與的夾角為，故B正確, ,故C正確 在上的投影向量為，故D錯誤, 故選：BC
13-2飛機從甲地沿北偏西15°的方向飛行1400km到達乙地，再從乙地沿南偏東75°的方向飛行1400km到達丙地，畫出飛機飛行的位移示意圖，并說明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多遠？ 【答案】圖見解析，北偏東45°方向，距甲地1400km. 【分析】作出方位示意圖，構造等腰三角形，解這個三角形即可得出答案 【詳解】如圖，丙地在甲地的北偏東45°方向，距甲地1400km. 設甲地為，乙地為，丙地為，作出示意圖， 則，，， ， 是等邊三角形， ，， ， 即丙地在甲地北偏東，丙地距甲地.
13-3在四邊形中，，且，那么四邊形ABCD為（ ） A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】結合向量運算以及平行四邊形、矩形、菱形、正方形等知識，確定正確答案. 【詳解】由，可得四邊形ABCD是平行四邊形． 由，， 所以，所以四邊形ABCD為菱形． 故選：C
13-4已知中，，，B是中的最大角，若，試判斷的形狀． 【答案】銳角三角形 【解析】設是與的夾角，由知，即為鈍角，又角B是中最大角，所以為銳角三角形. 【詳解】如圖，設是與的夾角，則，故，所以為鈍角， 故可得為銳角．又角B是中最大角，所以為銳角三角形． 【點睛】本題考查向量的數量積，由數量積的符號判斷夾角的大小，屬于基礎題.
13-5 ，是所在平面上的兩點，滿足和，則的形狀是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形 【答案】A 【分析】對化簡可得，對化簡變形可得，從而可判斷出三角形的形狀. 【詳解】由題知，所以，即． 因為，所以，即， 所以． 又因為，所以， 所以，即， 兩邊同時平方并展開化簡可得，即，所以． 綜上可知，的形狀是等腰直角三角形． 故選：A．
13-6（多選）設均為單位向量，對任意的實數有恒成立，則（ ） A．與的夾角為 B． C．的最小值為 D．的最小值為 【答案】BD 【分析】根據已知條件求得的夾角以及數量積，對每個選項進行逐一分析即可判斷和選擇. 【詳解】對：設的夾角為，， 兩邊平方可得：， 即對任意的恒成立， 故可得：，即， 則，又，故，故錯誤； 對：，故正確； 對： ，當且僅當時取得等號，故錯誤； 對： ，對，當且僅當時取得最小值， 故的最小值為，故正確. 故選：.
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