資源簡介

2.6.2 菱形的判定
素養目標
1.會用菱形的定義來判定一個四邊形為菱形.
2.探究菱形的判定定理,會判定一個四邊形為菱形.
3.能解決與菱形相關的簡單幾何問題.
◎重點:菱形的判定定理.
預習導學
知識點一 菱形的判定定理1
閱讀課本本課時“例2”及其前面的內容,回答下列問題.
1.回顧菱形的定義:有一組　 　相等的　 　是菱形.
2.思考:(1)四條邊都相等的四邊形是不是平行四邊形 理由是什么
(2)四條邊相等的四邊形是不是有一組鄰邊相等的平行四邊形
3.揭示概念:四條邊都相等的四邊形是　 　.
【答案】1.鄰邊　平行四邊形
2.(1)是的.兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形. (2)是的.
3.菱形
學法指導　根據菱形的定義,可以判定一個四邊形是菱形.
知識點二 菱形的判定定理2
閱讀課本本課時第二個“動腦筋”至“練習”間的內容,回答下列問題.
1.如圖,若四邊形ABCD為平行四邊形,且對角線AC⊥BD,
(1)思考:由平行四邊形對角線相互平分可知OB=OD,則AB與AD相等嗎 為什么
(2)討論:對角線相互垂直的平行四邊形是不是有一組鄰邊相等的平行四邊形 能不能滿足菱形的定義呢
2.揭示概念:對角線互相垂直的平行四邊形是　 　.
3.思考:(1)在課本“例3”中,如何證明四邊形ABCD為菱形
(2)為何要先證明四邊形ABCD為菱形
【答案】1.(1)由勾股定理可知AB2=OA2+OB2,AD2=OA2+OD2,所以AB=AD.
(2)是的,滿足.
2.菱形
3.(1)證明平行四邊形ABCD對角線互相垂直.即滿足菱形的判定條件.
(2)證明四邊形ABCD為菱形,才能運用菱形的性質求AB的長.
合作探究
任務驅動一 菱形的判定
1.如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,要使它成為菱形,那么需要添加的條件可以是
( )
A.AC⊥BD
B.AB=AC
C.∠ABC=90°
D.AC=BD
2.(過程性學習與菱形的判定)小惠自編一題:“如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,AC⊥BD,OB=OD.求證:四邊形ABCD是菱形”,并將自己的證明過程與同學小潔交流.
小惠:證明:∵AC⊥BD,OB=OD, ∴AC垂直平分BD,∴AB=AD,CB=CD, ∴四邊形ABCD是菱形. 小潔: 這個題目還缺少條件,需要補充一個條件才能證明.
若贊同小惠的證法,請在第一個方框內打“√”;若贊成小潔的說法,請你補充一個條件,并證明.
3.如圖,在△ABC中,D是BC的中點,點E,F分別在線段AD及其延長線上,且DE=DF.給出下列條件:
①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.
從中選擇一個條件使四邊形BECF是菱形,你認為這個條件是哪一個
【答案】1.A
2.解:(條件不唯一)贊成小潔的說法,補充條件:OA=OC.
證明如下:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
又∵AC⊥BD,
∴平行四邊形ABCD是菱形.
3.解:由題意得BD=CD,ED=FD,
∴四邊形EBFC是平行四邊形.
∵鄰邊相等或對角線垂直的平行四邊形是菱形,要使得AD⊥BC,
∴選擇AB=AC,
∴選擇條件③,使四邊形BECF是菱形.
任務驅動二 菱形的判定與性質
4.如圖,△ABC與△CDE都是等邊三角形,E,F分別為AC,BC的中點.
(1)求證:四邊形EFCD是菱形.
(2)若AD=8,則求D,F兩點之間的距離.
【答案】4.解:(1)證明:∵E,F分別為AC,BC的中點,
∴EF=AB,CE=AC,CF=BC.
∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=BC=AC,
∴EF=CE=CF.
∵△CDE為等邊三角形,
∴CD=DE=CE,
∴CD=DE=EF=CF,故四邊形EFCD是菱形.
(2)如圖,連接AD,DF.
∵AE=EF,∠AED=∠FED=120°,DE=ED,
∴△AED≌△FED,∴DF=AD=8.
方法歸納交流　判定四邊形EFCD是菱形后,就可以運用菱形具有的所有性質,推理并計算DF的長.
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