資源簡介

第1章 直角三角形 復習課
復習目標
1.全面準確把握本章的知識體系.
2.綜合直角三角形性質與判定全面解決實際問題.
3.能利用勾股定理及其逆定理解決直角三角形中求相關線段長度問題.
4.角平分線性質定理及其逆定理的綜合應用.
◎重點:直角三角形的性質和判定,勾股定理及其逆定理,角平分線性質與判定在解決實際問題中的作用.
預習導學
體系建構
請你畫出本章知識結構圖,然后與下圖對照比較.
【答案】互余　中線　互余　“SAS”　“ASA”　“AAS”　“SSS”　“HL”　相等
核心梳理
1.直角三角形的性質:
(1)直角三角形兩個銳角　 　;
(2)直角三角形斜邊上的中線等于　 　;
(3)在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于　 　;
(4)在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的角為　 　;
(5)勾股定理:直角三角形兩直角邊a,b的平方和,等于斜邊c的平方,即　 　.
2.直角三角形的判定方法:
(1)有一個角是　 　的三角形是直角三角形;
(2)有兩個角　 　的三角形是直角三角形;
(3)勾股定理的逆定理:如果　 　,那么以a,b,c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形.
3.直角三角形全等的判定方法:　 　、　 　、　 　、　 　、　 　.
4.角平分線的性質定理:角平分線上的點到角兩邊的距離　 　.
5.角平分線的性質定理的逆定理:角的內部到角的兩邊距離相等的點在　 　上.
【答案】1.(1)互余
(2)斜邊的一半
(3)斜邊的一半
(4)30°
(5)a2+b2=c2
2.(1)直角
(2)互余
(3)a2+b2=c2
3.SAS　ASA　AAS　SSS　HL
4.相等
5.角的平分線
合作探究
專題一 直角三角形的性質
1.如圖,在直角△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于點D,AP平分∠BAC交BD于點P.
(1)求∠APD的度數.
(2)若∠BDC=58°,求∠BAP的度數.
【答案】1.解:(1)∵∠C=90°,∴∠ABC+∠BAC=90°,
∴(∠BAC+∠ABC)=45°.∵BD平分∠ABC,AP平分∠BAC,∴∠BAP+∠ABP=∠BAC+∠ABC=(∠BAC+∠ABC)=45°,
∴∠APD=∠BAP+∠ABP=45°.
(2)∵∠BDC=58°,∴∠DBC=90°-∠BDC=32°.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=32°,∴∠BAP=∠APD-∠ABD=45°-32°=13°.
專題二 勾股定理及其逆定理
2.如圖,在正方形ABCD中,E是BC上一點,且BC∶EC=4∶1,F是DC的中點.
(1)判斷△AEF的形狀,并說明理由.
(2)若正方形的邊長為4,求△AEF的面積.
【答案】2.解:(1)△AEF是直角三角形.理由如下:設正方形的邊長為4a,∵F是DC的中點,∴DF=CF=2a,∵BC∶EC=4∶1,∴EC=a,BE=4a-a=3a.
在Rt△ADF中,AF2=(4a)2+(2a)2=20a2,在Rt△ECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2,在Rt△ABE中,AE2=(4a)2+(3a)2=25a2,∴AF2+EF2=AE2,∴△AEF是直角三角形.
(2)正方形的邊長為4時,4a=4,a=1,AF==2,EF=,△AEF的面積=AF·EF=×2×=5.
方法歸納交流　本題綜合運用　 　定理及其　 　定理,合理地用正方形的邊長表示出△AEF的各邊的　 　是解決本題的關鍵.
【答案】勾股　逆　平方
專題三 勾股數
3.勾股定理最早出現在商高的《周髀算經》:“勾廣三,股修四,經隅五.”觀察下列勾股數:3,4,5;5,12,13;7,24,25;….這類勾股數的特點是勾為奇數,弦與股相差1.柏拉圖研究了勾為偶數,弦與股相差為2的一類勾股數,如:6,8,10;8,15,17;….若此類勾股數的勾為2m(m≥3,m為正整數),則其弦是　 　(結果用含m的式子表示).
【答案】3.m2+1
專題四 直角三角形全等
4.在△ABC中,AB=AC,DE是過點A的直線,BD⊥DE于D,CE⊥DE于點E.
(1)如圖1,若B,C在DE的同側且AD=CE.求證:AB⊥AC.
(2)如圖2,若B,C在DE的兩側,且AD=CE,其他條件不變,AB與AC仍垂直嗎 若是,請給出證明;若不是,請說明理由.
【答案】4.解:(1)證明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
∵∠DAB+∠DBA=90°,∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°,
∴AB⊥AC.
(2)仍垂直.
理由:同(1)一樣可證得Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.
專題五 角平分線的性質定理與逆定理
5.如圖,銳角△ABC的兩條高BD,CE相交于點O,且OB=OC.
(1)求證:△ABC是等腰三角形.
(2)判斷點O是否在∠BAC的平分線上,并說明理由.
6.如圖,在△ABC中,D是AB邊上的一點,且AC=AD.
(1)請用無刻度的直尺和圓規作出∠CAB的平分線AM,交BC于點M.(保留作圖痕跡,不寫作法,標明字母)
(2)在(1)的條件下,連接DM,試猜想CM與DM的數量關系,并證明你的猜想.
7.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,∠ACB的平分線交AD于點E,交AB于點F,FG⊥BC于點G,請猜測AE與FG之間有怎樣的數量關系,并說明理由.
【答案】5.解:(1)證明:∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O,∴∠BEC=∠BDC=90°,
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.
(2)如圖,連接AO并延長交BC于點F,∵AB=AC,OB=OC,AO=AO,∴△ABO≌△ACO,
∴∠BAF=∠CAF,
∴點O在∠BAC的角平分線上.
6.解:(1)如圖,AM為所求.
(2)CM=DM.
證明:如圖,連接DM.∵AM是∠CAB的平分線,
∴∠BAM=∠CAM.
在△MAC和△MAD中,
∴△MAC≌△MAD(SAS),
∴CM=DM.
7.解:AE=FG.
理由:∵CF平分∠ACB,FA⊥AC,FG⊥BC,
∴FG=FA,∵∠AFC+∠ACF=90°,∠DEC+∠ECD=90°,且∠ACF=∠ECD,∴∠AFC=∠DEC,∵∠AEF=∠DEC,∴∠AFC=∠AEF,∴AE=FA,∴AE=FG.
專題六 直角三角形性質的綜合應用
8.樂樂在學習中遇到了這樣的問題:
在如圖所示的三角形紙片ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,將△ABC沿某一條直線剪開,使其變成兩個三角形,且要求其中的一個三角形是等腰三角形,你有幾種方法呢
經過思考,樂樂發現要想沿一條直線把三角形分割成兩個三角形,這條直線需要經過三角形的某個定點,請你幫助樂樂寫出當這條直線經過定點點A時,剪出的等腰三角形的面積是　 　.
9.如圖,有兩條公路OM,ON相交成30°角,沿公路OM方向離O點80米處有一所學校A.當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時,在以P為圓心,50米長為半徑的圓形區域內都會受到卡車噪聲的影響,且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大.若一重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時.
(1)求對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離.
(2)求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間.
【答案】8.4.5或
9.解:(1)如圖,過點A作AD⊥ON于點D,∵∠NOM=30°,AO=80米,∴AD=40米,即對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離為40米.
(2)由圖可知,以點A為圓心,以50米長為半徑畫圓,分別交ON于B,C兩點,AD⊥BC于點D,BD=CD=BC,OA=80米.∵在Rt△AOD中,∠AOB=30°,∴AD=OA=×80=40(米),在Rt△ABD中,AB=50,AD=40,由勾股定理得BD===30(米),故BC=2×30=60(米),即重型運輸卡車在經過BC時對學校產生影響.∵重型運輸卡車的速度為18千米/小時,即=300(米/分鐘),∴重型運輸卡車經過BC時需要60÷300=0.2(分鐘).
答:卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間為0.2分鐘.
專題七 與直角三角形有關的閱讀理解題
10.(沒有直角尺也能作出直角)閱讀與思考
下圖是小宇同學的數學日記,請仔細閱讀,并完成相應的任務.
×年×月×日星期日 沒有直角尺也能作出直角 今天,我在書店一本書上看到下面材料:木工師傅有一塊如圖1所示的四邊形木板,他已經在木板上畫出一條裁割線AB,現根據木板的情況,要過AB上的一點C,作出AB的垂線,用鋸子進行裁割,然而手頭沒有直角尺,怎么辦呢 辦法一:如圖1,可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30 cm,然后分別以D,C為圓心,以50 cm與40 cm為半徑畫圓弧,兩弧相交于點E,作直線CE,則∠DCE必為90°. 辦法二:如圖2,可以取一根筆直的木棒,用鉛筆在木棒上點出M,N兩點,然后把木棒斜放在木板上,使點M與點C重合,用鉛筆在木板上將點N對應的位置標記為點Q,保持點N不動,將木棒繞點N旋轉,使點M落在AB上,在木板上將點M對應的位置標記為點R.然后將RQ延長,在延長線上截取線段QS=MN,得到點S,作直線SC,則∠RCS=90°.
續表
我有如下思考:以上兩種辦法依據的是什么數學原理呢 我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢 …
任務:
(1)填空:“辦法一”依據的一個數學定理是　　　　.
(2)根據“辦法二”的操作過程,證明∠RCS=90°.
(3)①尺規作圖:請在圖3的木板上,過點C作出AB的垂線(在木板上保留作圖痕跡,不寫作法).
②說明你的作法所依據的數學定理或基本事實.(寫出一個即可)
【答案】10.解:(1)勾股定理的逆定理.
提示:∵CD=30,DE=50,CE=40,
∴CD2+CE2=302+402=502=DE2,
∴∠DCE=90°.
故“辦法一”依據的一個數學定理是勾股定理的逆定理.
(2)證明:由作圖方法可知,QR=QC,QS=QC,
∴∠QCR=∠QRC,∠QCS=∠QSC.
∵∠SRC+∠QCS+∠QCR+∠QSC=180°,
∴2(∠QCR+∠QCS)=180°,
∴∠QCR+∠QCS=90°,
即∠RCS=90°.
(3)①如圖所示,直線PC即為所求.
②(答案不唯一)到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.
2

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