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第2章 四邊形 復習課
復習目標
1.會計算多邊形的內角和與外角和,知道正多邊形的概念.
2.理解中心對稱的概念,知道所有平行四邊形都是中心對稱圖形.
3.梳理平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定.
4.掌握中位線定理和直角三角形的性質定理.
◎重點:特殊平行四邊形的性質與判定.
預習導學
體系建構
核心梳理
1.多邊形
(1)n邊形的內角和等于　 　;任意多邊形的外角和等于　 　.
(2)在平面內,邊相等、角也都相等的多邊形叫做　 　.
2.圖形變換——中心對稱
(1)如果一個圖形繞點O旋轉　 　,得到的像與另一個圖形重合,那么稱這兩個圖形關于點O　 　,點O叫做　 　.成中心對稱的兩個圖形中,對應點的連線經過　 　,且被對稱中心　 　.
(2)如果一個圖形繞一個點O旋轉　 　,所得到的像與原來的圖形相互重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點O叫做它的　 　.
(3)平行四邊形是　 　,　 　是它的對稱中心.
3.平行四邊形
(1)定義:兩組對邊分別　 　的四邊形叫做平行四邊形.
(2)性質:對邊分別　 　,對角分別　 　,對角線　 　.
(3)判定:兩組對邊分別　 　的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別　 　的四邊形是平行四邊形;對角線相互　 　的四邊形是平行四邊形;一組對邊　 　 的四邊形是平行四邊形.
(4)推理性質:兩條平行線中,一條直線上任意一點到另一條直線的距離,叫做這　 　;三角形的中位線　 　于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.
4.矩形
(1)定義:有一個角是　 　的平行四邊形叫做矩形.
(2)性質:矩形具有平行四邊形的所有性質,此外,矩形的四個角都是　 　;矩形的對角線　 　.
(3)判定:對角線相等的　 　是矩形;有三個角是　 　的四邊形是矩形.
(4)推理得直角三角形的性質:直角三角形斜邊上的中線等于　 　.
5.菱形
(1)定義:有一組鄰邊　 　的平行四邊形叫做菱形.
(2)性質:菱形具有平行四邊形的所有性質,此外,菱形的四條邊都　 　;菱形的兩條對角線　 　,并且每一條對角線平分一組　 　.
(3)判定:對角線互相　 　的平行四邊形是菱形;四條邊　 　的四邊形是菱形.
(4)面積為　 　的一半.
6.正方形
(1)定義:有　 　相等且有一個角是　 　的平行四邊形叫做正方形.
(2)性質:正方形具有平行四邊形的所有性質;正方形具有　 　和　 　的所有性質.
(3)判定:既是　 　,又是　 　的四邊形是正方形.
【答案】1.(1)(n-2)·180°　360°
(2)正多邊形
2.(1)180°　中心對稱　對稱中心　對稱中心　平分
(2)180°　對稱中心
(3)中心對稱圖形　對角線的交點
3.(1)平行
(2)相等　相等　相互平分
(3)相等　相等　平分　平行且相等
(4)兩條平行線之間的距離　平行
4.(1)直角
(2)直角　相等
(3)平行四邊形　直角
(4)斜邊的一半
5.(1)相等
(2)相等　互相垂直　對角
(3)垂直　相等
(4)兩條對角線長的乘積
6.(1)一組鄰邊　直角
(2)矩形　菱形
(3)矩形　菱形
合作探究
專題一 多邊形的內角和與外角和
1.如圖,在△ABC中,∠B=50°,若沿圖中虛線剪去∠B,則∠1+∠2等于 ( )
A.130° B.230°
C.270° D.310°
2.如圖,在六邊形ABCDEF中,AB∥CD,∠1,∠2,∠3,∠4分別是∠BAF,∠AFE,∠FED,∠EDC的外角,則∠1+∠2+∠3+∠4=　 　.
【答案】1.B　2.180°
專題二 中心對稱
3.下列交通標志中,是中心對稱圖形的是 ( )
　　 　A　 　　 B 　　　 C 　　D
4.如圖,這是一個中心對稱圖形,A為對稱中心,若∠C=90°,∠B=30°,BC=2,則BB'的長為　 　.
【答案】3.D　4.8
專題三 特殊四邊形的性質
5.(過程性學習)琳琳在做數學作業時,因鋼筆漏水,不小心將部分字跡污染了,作業過程如下(涂黑部分即為污染部分).如圖,已知四邊形ABCD是矩形,對角線AC,BD交于點O,求證:AC=BD.
證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴①,∠ABC=∠DCB=90°.
又∵②,
∴△ABC≌△DCB,
∴AC=BD.
污染部分的內容有以下四個選項供選擇,a.AD=BC;b.AB=CD;c.AO=CO;d.BC=CB.則下列說法正確的是 ( )
A.①是a,②是d B.①是b,②是c
C.①是a,②是c D.①是b,②是d
6.如圖,已知P是正方形ABCD對角線BD上一點,且BP=BC,則∠ACP的度數是 ( )
A.45° B.22.5°
C.67.5° D.75°
7.如圖,在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,則菱形的面積是　 　.
【答案】5.D　6.B
7.24
專題四 特殊四邊形的判定
8.下列說法:
①有一個角是直角的四邊形是矩形.
②有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
③一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.
其中正確的有 ( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
9.如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,在AC上截取OE=OF=OB,順次連接B,F,D,E四點.求證:四邊形BFDE是正方形.
10.如圖,在平行四邊形ABCD中,∠C=60°,M,N分別是AD,BC的中點,BC=2CD.
(1)求證:四邊形MNCD是平行四邊形.
(2)求證:BD=MN.
【答案】8.B
9.證明:∵菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,
∴AC⊥BD,OB=OD.
∵OE=OF=OB,
∴OE=OF=OB=OD,
∴四邊形BFDE是矩形.
又∵BD⊥EF,∴四邊形BFDE是正方形.
10.證明:(1)∵ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∵M,N分別是AD,BC的中點,
∴MD=NC,MD∥NC,
∴MNCD是平行四邊形.
(2)如圖,連接ND.
∵MNCD是平行四邊形,
∴MN=DC.
∵N是BC的中點,
∴BN=CN.
∵BC=2CD,∠C=60°,
∴△NCD是等邊三角形,
∴ND=NC,∠DNC=60°.
∵∠DNC是△BND的外角,
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.
∵DN=NC=NB,
∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°,
∴∠BDC=90°,
∴DB==CD=MN.
專題五 特殊四邊形的性質與判定
11.如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是BD延長線上的點,且△ACE是等邊三角形.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形.
(2)若∠AED=2∠EAD,AB=4,求四邊形ABCD的面積.
12.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,延長CB至點D,使得BD=CB,過點A,D分別作AE∥BD,DE∥BA,AE與DE相交于點E.下面是兩位同學的對話:
小星:根據題目的已知條件可知,若連接EB,則可證明EB⊥CD. 小紅:根據題目的已知條件可知,若連接CE,則可證明CE=DE.
(1)請你選擇一位同學的說法,并進行證明.
(2)連接AD,若AD=5,=,求AC的長.
【答案】11.解:(1)證明:∵△ACE是等邊三角形,∴EA=EC.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AO=OC,∴EO⊥AC,即BD⊥AC,
∴平行四邊形ABCD是菱形.
(2)∵△ACE是等邊三角形,∴∠EAC=60°.
由(1)知,EO⊥AC,AO=OC,
∴∠AEO=∠CEO=30°,△AOE是直角三角形,
∵∠AED=2∠EAD,
∴∠EAD=15°,∴∠ADO=∠AEO+∠EAD=45°,
∴∠ADC=2∠ADO=90°,
∴菱形ABCD是正方形,
∴四邊形ABCD的面積=AB2=(4)2=80.
12.解:(1)證明:
小星:如圖1,連接BE.
∵AE∥BD,DE∥BA,
∴四邊形ABDE是平行四邊形,
∴AE=BD.
∵BD=BC,∴AE=BC.
∵AE∥BC,∴四邊形AEBC是平行四邊形.
∵∠C=90°,∴平行四邊形AEBC是矩形,
∴∠EBC=90°,∴EB⊥CD;
小紅:如圖2,連接CE,BE.
∵AE∥BD,DE∥BA,
∴四邊形ABDE是平行四邊形,
∴AE=BD,AB=DE.
∵BD=BC,∴AE=BC.
∵AE∥BC,∴四邊形AEBC是平行四邊形.
∵∠C=90°,∴平行四邊形AEBC是矩形,
∴AB=CE,∴DE=CE.
(2)如圖3,連接AD.
∵=,∴設CB=2k,AC=3k,
∴CD=4k.
∵AC2+CD2=AD2,AD=5,
∴(3k)2+(4k)2=(5)2,
∴k=,∴AC=3.
專題六 四邊形的折疊問題
13.如圖,有一直角三角形紙片ABC,邊BC=6,AB=10,∠ACB=90°,將該直角三角形紙片沿DE折疊,使點A與點C重合,則四邊形DBCE的周長為　 　.
14.如圖,在一張矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=8,點E,F分別在AD,BC上,將紙片ABCD沿直線EF折疊,點C落在AD上的點H處,點D落在點G處,有以下四個結論:
①四邊形CFHE是菱形;
②EC平分∠DCH;
③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4;
④當點H與點A重合時,EF=2.
以上結論中,你認為正確的有 ( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
15.如圖,四邊形ABCD是矩形,把矩形沿對角線AC折疊,點B落在點E處,CE與AD相交于點O.
(1)求證:△AOE≌△COD.
(2)若∠OCD=30°,AB=,求△AOC的面積.
【答案】13.18　14.C
15.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠B=∠D=90°.
∵矩形ABCD沿對角線AC折疊點B落在點E處,
∴AB=AE,∠B=∠E,
∴AE=CD,∠D=∠E.
在△AOE和△COD中,
∴△AOE≌△COD(AAS).
(2)∵△AOE≌△COD,
∴AO=CO.
∵∠OCD=30°,AB=,
∴CO= 2,
∴△AOC的面積=AO·CD=×2×=.
2

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