資源簡介

1.2 第1課時 勾股定理的認識及證明
素養目標
1.通過學生動手體驗,利用等面積法探索勾股定理.
2.運用勾股定理和轉化思想,從方程的角度求直角三角形的邊長.
3.通過猜想和運用數形結合的思想分析幾何圖形,解決求邊長的問題.
◎重點:勾股定理在直角三角形中的應用.
預習導學
知識點一 利用網格中的條件求斜邊
閱讀課本本課時“做一做”中的內容,回答下列問題.
1.圖中的已知量:∠ACB=　 　°,AC=b=　 　,BC=a=　 　.未知量:斜邊AB=c=　 　.
2.如果改變數據:a=5,b=12.在圖中畫一畫,再量一量,可知c=　 　.
【答案】1.90　4　3　5
2.13
歸納總結　在上述兩個問題中,都是已知三個量:一個角是　 　、兩條直角邊長,求出了　 　.
【答案】直角　斜邊長
知識點二 認識勾股定理
閱讀課本本課時“議一議”中的內容,回答下列問題.
1.圖中的直角邊是　 　,斜邊是　 　.
2.圖中的三個正方形的面積,S1=9、S2=　 　、S3=　 　,而9+　 　=　 　,所以S1+　 　=　 　.
即BC2+　 　=　 　.
【答案】1.AC,BC　AB
2.16　25　16　25　S2　S3　AC2　AB2
溫馨提示　求S3時,可以用邊長為　 　的大正方形的面積,減去4個小直角三角形的面積.
【答案】7
知識點三 勾股定理的證明
閱讀課本本課時“探究”至結束的內容,回答下列問題.
1.本探究證明勾股定理的方法運用　 　法.
2.兩種不同的算法計算正方形EFGD的面積:
(1)直接利用正方形的面積公式求S正方形EFGD;
(2)組合求面積,即S正方形EFGD=4·S△DHK+S正方形HIJK.
3.在直角三角形中,斜邊大于　 　.
【答案】1.等面積
3.任一直角邊
歸納總結　直角三角形兩直角邊a,b的　 　和,等于斜邊c的　 　.即a2+b2=　 　.
【答案】平方　平方　c2
溫馨提示　勾股定理體現了直角三角形三邊的數量關系,也就是說在直角三角形中,只要知道其中的兩條邊的長度,就可以求出　 　的長度.
【答案】第三邊
對點自測　(1)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,則AB的長為 ( )
A.4　　　　 B.
C. D.5
(2)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分線.已知AB=5,AD=3,則BC的長為 ( )
A.5 B.6
C.8 D.10
(3)在△ABC中,∠C=90°.若a=2.4,b=3.2,則c=　 　;若∠A=45°,c=18,則a=　 　;若c=17,b=15,則△ABC的面積等于　 　.
【答案】(1)C
(2)C
(3)4　9　60
合作探究
任務驅動一 利用勾股定理求三角形的邊長或面積
1.(分類討論)若一個直角三角形的兩邊長分別為6和8,求第三邊長.
【答案】1.解:本題需要分類討論:①當8 cm是斜邊時,第三邊長==2(cm);②當6 cm和8 cm是直角邊時,第三邊長==10(cm).故第三邊的長為2cm或10 cm.
方法歸納交流　應用勾股定理時,在不明確直角邊、斜邊的情況下,我們要針對三角形三邊的________進行討論,根據“斜邊大于　 　”的情況,正確運用勾股定理解題.
【答案】長度　直角邊
2.(希波克拉底月牙問題)右圖表示的是數學史上著名的“希波克拉底月牙問題”:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,分別以Rt△ABC的各邊為直徑向外作半圓,則圖中兩個“月牙”,即陰影部分的面積為　 　 .(用含a,b,c的式子表示)
【答案】2.ab　提示:由勾股定理得a2+b2=c2,
則S陰影部分=×π×2+×π×2+ab-×π×2
=π××(b2+a2-c2)+ab
=ab.
故答案為ab.
任務驅動二 用等面積法證明勾股定理
3.【背景閱讀】勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一,也被稱為畢達哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三,股四,則弦五”的記載,我國漢代數學家趙爽為了驗證勾股定理,創制了一幅“弦圖”(如圖1),后人稱之為“趙爽弦圖”,流傳至今.
【實踐操作】勾股定理的證明,人們已經找到了400多種方法,圖1,圖2,圖3是三種常見的
證明方法,請你從中任選一種證明勾股定理(圖中出現的直角三角形的大小和形狀均相同).
【探索發現】如圖4,以直角三角形的三邊為邊向外部作等邊三角形,請判斷S1,S2,S3的數量關系并說明理由.
【答案】3.解:【實踐操作】證明:在題圖1中,大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和,
即c2=ab×4+(b-a)2,
整理得a2+b2=c2.
如圖1,連接MN.
則梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和,
即(a+b)(a+b)=ab×2+c2,
整理得a2+b2=c2.
在題圖3中,大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和,
即(a+b)2=c2+ab×4,
整理得a2+b2=c2.
【探索發現】S1+S2=S3.
理由:設S3所在的等邊三角形為△ABC.
如圖2,過點A作AD⊥BC于點D,
則∠BAD=30°,∠ADB=90°,
∴BD=AB,
∴AD==AB,
∴S3=c·c=c2.
同理,S2=b·b=b2,S1=a·a=a2,
∴S1+S2=a2+b2=(a2+b2).
∵a2+b2=c2,
∴S1+S2=S3.
方法歸納交流　等面積法在證明題中的應用一般包括以下算法:(1)圖形的整體面積等于每部分面積　 　;(2)采用相同的算法,但計算時從不同的角度(或方向)計算　 　圖形的面積;(3)用　 　的方法計算同一圖形面積等.
【答案】和　同一　不同
2

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