資源簡介

1.2 第2課時 勾股定理的應用
素養目標
1.結合實際,利用勾股定理解決求直角三角形的邊長問題.
2.在應用過程中掌握“轉化”思想,在沒有直角三角形的圖形中,通過構造出直角三角形再利用勾股定理解決實際問題.
◎重點:應用勾股定理知識解決有關問題.
預習導學
知識點 勾股定理的應用
閱讀課本本課時的全部內容,回答下列問題.
1.“動腦筋”中梯子的底部從點C移到點C',則梯子的頂部從點A移到點　 　.所以梯子底部移動的距離是線段CC'的長,而頂部移動的距離是線段　 　的長.
2.“動腦筋”的圖中的直角三角形有兩個,分別是　 　和　 　,梯子的長是兩個直角三角形的斜邊　 　和　 　,它們的長度　 　,所以兩個直角三角形的兩直角邊的平方和　 　.
3.“例2”解決的是已知一邊B'C,并且能找出另外兩邊AB',AC之間的關系　 　,這樣,只要設　 　個未知數,根據　 　即可得出方程,并解決問題.
【答案】1.A'　AA'
2.Rt△ABC　Rt△A'BC'　AC　A'C'　相等　相等
3.AC=AB—BC=AB'—AC　一　勾股定理
歸納總結　在斜邊長不變的兩個直角三角形中,兩直角邊的平方和　 　.
【答案】相等
對點自測
(1)如圖,一根垂直于地面的旗桿在離地面5 m處折斷,旗桿頂部落在離旗桿底部12 m處,則旗桿折斷之前的高度是 ( )
A.5 m B.12 m C.13 m D.18 m
(2)如圖,廠房屋頂的人字架是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC于點D,若跨度BC=16 m,上弦長AB=10 m,求中柱AD的長.
【答案】(1)D
(2)解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC.
∵BC=16 m,∴BD=8 m.
∵AD2+BD2=AB2,∴AD2=AB2-BD2,
∴AD2=102-82=36,∴AD=6或AD=-6(舍去),
∴中柱AD的長為6 m.
合作探究
任務驅動一 勾股定理的應用
1.如圖,這是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,經測量得到如下數據:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,則警示牌的高CD為　 　米.(結果精確到0.1米,參考數據:≈1.41,≈1.73)
2.(數學文化)在如圖所示的象棋盤中,各個小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中的位置出發,不走重復路線,按照“馬走日”的規則,走兩步后的落點與出發點間的最短距離為　 .
3.在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發,現有C處需要爆破.已知點C與公路上的停靠站A的距離為300米,與公路上另一?？空綛的距離為400米,且CA⊥CB,如圖,為了安全起見,爆破點C周圍半徑250米范圍內不得進入,問在進行爆破時,公路AB段是否有危險 是否需要暫時封鎖 請通過計算進行說明.
【答案】1.2.9
2.
提示:如圖,第一步到①,第二步到②,故走兩步后的落點與出發點間的最短距離為=.
3.解:如圖,過點C作CD⊥AB于點D.∵BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,∴根據勾股定理得AB=500米.∵AB·CD=BC·AC,∴CD=240米.∵240米<250米,故有危險,因此AB段公路需要暫時封鎖.
方法歸納交流　本題的條件中含有60°,90°兩個特殊角,但這兩個特殊角都沒有在直角三角形中,因此我們就用這兩個特殊角構造一個或多個　 　三角形,以便用　 　定理去求相應邊長.
【答案】直角　勾股
任務驅動二 方程思想在勾股定理中的應用
4.(數學文化)我國古代數學著作《九章算術》中記載了這樣一個問題:“今有立木,系索其末,委地三尺,引索卻行,去本八尺而索盡,問索長幾何 ”大意:如圖,木柱AB⊥BC,繩索AC比木柱AB長3尺,BC長8尺,則繩索AC的長為　　　　尺.
5.如圖,鐵路上A,B兩站相距25 km,C,D為兩村莊,DA⊥AB于點A,CB⊥AB于點B,已知DA=15km,CB=10 km,現在要在鐵路AB上建一個貨運站E,使得C,D兩村莊到E站的距離相等,則E站應建在離A站多少千米處
【答案】4.
提示:設AC=x尺,則AB=(x-3)尺.
∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
由勾股定理得AB2+BC2=AC2,
即(x-3)2+82=x2,
解得x=,即繩索AC的長為尺.
故答案為.
5.解:∵C,D兩村到E站的距離相等,∴DE=CE.
∵DA⊥AB于點A,CB⊥AB于點B,
∴∠A=∠B=90°,
∴AE2+DA2=DE2,BE2+CB2=CE2,
∴AE2+DA2=BE2+CB2,設AE=x km,則BE=AB-AE=(25-x) km.
∵DA=15 km,CB=10 km,
∴x2+152=(25-x)2+102,解得x=10,∴AE=10 km.
答:E站應建在離A站10 km處.
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