資源簡介

1.4 第1課時 角平分線的性質及逆定理
素養(yǎng)目標
1.掌握角平分線的性質定理及其逆定理的簡單應用.
2.掌握作已知角平分線的方法.
◎重點:角平分線的性質定理及其逆定理的應用.
預習導學
知識點一 角平分線的性質定理
閱讀課本本課時“動腦筋”之前的所有內容,回答下列問題.
1.角平分線是一條　 　,它把這個角分成兩個相等的角.
2.通過折疊后,對應相等的線段有:　 　=　 　,　 = ,相等的角有∠　 　=∠　 　,∠　 　=∠　 　.
3.P是∠AOB的平分線OC上的任意一點,PD,PE是　 　;在這兩個三角形中有　 　對應相等,所以△PDO≌△PEO,根據　 　判定定理.
【答案】1.射線
2.PD　PE　OD　OE　AOC　BOC　DPO　EPO
3.垂線段　兩角一邊　AAS
歸納總結　角平分線的性質定理:角的平分線上的點到角的兩邊的　 　相等.
【答案】距離
對點自測　如圖,OP為∠AOB的平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D,則下列結論錯誤的是 ( )
A.PC=PD
B.∠CPD=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
【答案】B
知識點二 角平分線的性質定理的逆定理
閱讀課本本課時“動腦筋”至“例1”之前的一段內容,回答下列問題.
1.點到直線的距離是指過這點向這條直線所作的　 　的長.
2.角的內部到角的兩邊距離相等的點有　 　個,這樣的點都　 　上.
3.由PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E說明PD,PE就是點P到　 　,同時可以得出兩個直角相等,結合題目中的隱含條件　 　,根據　 　判定定理可得Rt△PDO≌Rt△PEO,得出結論.
【答案】1.垂線段
2.無數　在一條射線
3.角兩邊的距離　公共邊　HL
歸納總結　角平分線的性質定理的逆定理:角的內部到角的兩邊 相等的點在角的 上.
【答案】距離　平分線
對點自測
如圖,這是一個風箏骨架.為使風箏平衡,須使∠AOP=∠BOP.我們已知PC⊥OA于點C,PD⊥OB于點D,那么PC和PD應滿足　 　,才能保證OP為∠AOB的平分線.
【答案】PC=PD
合作探究
任務驅動一 角平分線的性質定理的應用
1.如圖,折疊直角三角形紙片的直角,使點C落在AB上的點E處.已知BC=12,∠B=30°,則DE的長是( )
A.6 B.4 C.3 D.2
2.如圖,OP為∠AOB的平分線,PC⊥OB于點C,且PC=3,點P到OA的距離為　 　.
3.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,連接EF,EF與AD交于點G,AD與EF垂直嗎 證明你的結論.
4.在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.
(1)如圖1,若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠BDC的度數.
(2)如圖2,連接AD,過點D作DE⊥AB于點E,DE=1,AC=4,求△ADC的面積.
【答案】1.B
2.3
3.解:AD與EF垂直.
證明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中,DE=DF,AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADF,∴∠ADE=∠ADF,又DE=DF,∴DA⊥EF.
4.解:(1)∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠DCB=∠ACB=×40°=20°,
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB
=180°-30°-20°=130°.
(2)如圖,過點D作DF⊥AC于點F,DH⊥BC于點H.
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC,
∴DH=DE=1.
∵CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC,
∴DF=DH=1,
∴S△ADC=DF·AC=×1×4=2.
任務驅動二 角平分線性質定理與逆定理的綜合
5.如圖,在△ABC中,BP,CP分別是△ABC的外角的平分線,求證:∠1=∠2.
【答案】證明:如圖,過點P作PE⊥AB于點E,PG⊥AC于點G,PF⊥BC于點F.
∵P在∠EBC的平分線上,PE⊥AB,PF⊥BC,∴PE=PF.同理可證PF=PG.∴PG=PE,又PE⊥AB,PG⊥AC,∴PA是∠BAC的平分線,∴∠1=∠2.
學習小助手　(1)角的平分線性質的應用涉及角平分線上的點到角的兩邊的距離,因此每一個角需要構造兩條垂線,所以過點P作PE　 　AB,PG　 　AC,PF　 　BC.
(2)由PE⊥AB,PF⊥BC得出:　 　.由PG⊥AC,PF⊥BC得出:　 　.
【答案】(1)⊥　⊥　⊥
(2)PE=PF　PF=PG
2

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