資源簡介

1.4 第2課時 角平分線的性質定理及逆定理的應用
素養目標
1.掌握角平分線的性質定理和逆定理的綜合應用.
2.利用角平分線的性質定理和逆定理解決線段相等及作圖等問題.
◎重點:角平分線的性質定理和逆定理的綜合應用.
預習導學
知識點一 角平分線的性質定理及逆定理的應用
閱讀課本本課時“例2”之前的所有內容,回答下列問題.
1.由EF⊥AB,MN⊥AC可知,點M到AB,AC的距離分別是 ,即它們是點M到∠　 　兩邊的距離,增加條件　 　即可使點M在∠　 　的平分線上.
2.由MN⊥AC,EF⊥CD可知,點M到AC,CD的距離分別是 ,即它們是點M到∠　 　兩邊的距離,增加條件　 　即可使點M在∠　 　的平分線上.
3.∵M是EF的中點,∴　 　,∴只要增加條件　 　,即可使CM,AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線, 是∠ACD和∠CAB的公共邊;△AMC是 三角形,S△AMC= S梯形AFEC.
【答案】1.MF,MN　BAC　MN=ME　BAC
2.MF,MN,ME　ACD　MN=MF　ACD
3.ME=MF　MN=MF(或MN=ME)
AC　直角　
歸納總結　到三條兩兩相交的直線距離都相等的點,　 　任意兩條直線之間的夾角.
【答案】平分
對點自測
(1)人們常用兩個三角尺平分一個任意角,做法如下:如圖,∠AOB是一個任意角,在邊OA,OB上分別取OM=ON,使兩個三角尺的一直角邊分別與OA,OB重合,移動三角尺使兩個直角頂點分別與M,N重合,三角尺的另兩條直角邊相交于點C,作射線OC,可證得△MOC≌△NOC,從而得OC是∠AOB的平分線.在上述過程中,判定兩個三角形全等的方法是 ( )
A.HL B.ASA C.SAS D.SSS
(2)如圖,在△ABC中,D為BC的中點,DE⊥BC,交∠BAC的平分線AE于點E,EM⊥AB于點M,EN⊥AC交AC延長線于點N.求證:BM=CN.
【答案】(1)A
(2)證明:連接BE、EC,∵BD=DC,DE⊥BC,∴BE=EC.∵AE平分∠BAC,EM⊥AB,EN⊥AC,∴EM=EN,∠EMB=∠ENC=90°.在Rt△BME和Rt△CNE中,∵BE=EC,EM=EN,∴Rt△BME≌Rt△CNE(HL),∴BM=CN.
知識點二 與角平分線有關的作圖
閱讀課本本課時第二個“動腦筋”中的所有內容,回答下列問題.
1.點P要到三邊AB,BC,CA的距離相等,也就是到任意　 　距離相等,所以只要找到一點到AB,BC的距離相等,同時也要到BC,CA的距離相等,所以只要作兩個角的平分線即可.
2.滿足條件的點有　 　個,且這個點一定在三角形的　 　部.
3.通過作圖,我們可以看出,S△ABC=　 　.
【答案】1.兩邊
2.1　內
3.S△ABP+S△APC+S△BPC
歸納總結　三角形中任意兩條角平分線的　 　,也在第三個角的平分線上.
【答案】交點
對點自測　(1)在正方形網格中,∠AOB的位置如圖所示,到∠AOB兩邊距離相等的點應是 ( )
A.M點
B.N點
C.P點
D.Q點
(2)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和N,再分別以M,N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連接AP并延長交BC于點D,則下列說法中正確的個數是 ( )
①AD是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點D在AB的中垂線上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】(1)A (2)D
合作探究
任務驅動一 角平分線的定理與逆定理的應用
1.如圖,點B,C在∠A的兩邊上,且AB=AC,P為∠A內部一點,PB=PC,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:PE=PF.
【答案】1.
證明:如圖,連接AP,
在△ABP和△ACP中,
∴△ABP≌△ACP(SSS),
∴∠BAP=∠CAP.∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴PE=PF.
方法歸納交流　角平分線的性質的應用要注意:①找出相關　 　的角,在沒有角平分線的情況下先通過作線構造角平分線;②找出兩個　 　;③得出一個結論:通過兩個　 　相等,再轉移到兩個直角三角形中,用全等證明.
【答案】方法歸納交流　相等　距離　距離
任務驅動二 角平分線的作圖與應用
2.如圖,在四邊形ABCD中,BC=DC,請用尺規作圖法,在四邊形ABCD的AB邊上求作一點E,使S△BCE=S△DCE.(保留作圖痕跡,不寫作法)
3.(超市選址與角平分線)如圖,三條公路l1,l2,l3兩兩相交于A,B,C三點,現計劃修建一個商品超市,要求這個超市到三條公路的距離相等,可供選擇的地方有多少處 你能在圖中找出來嗎
【答案】2.解:如圖,點E即所求.
3.解:三角形的三條角平分線的交點到該三角形三條邊的距離相等;∠ACB,∠ABC的外角平分線交于一點,利用角的平分線的性質和判定定理,可以得到此點也在∠CAB的平分線上,且到公路l1,l2,l3的距離相等;同理還有∠BAC,∠BCA的外角平分線的交點;∠BAC,∠CBA的外角平分線的交點,因此滿足條件的點共有4個.
作法:(1)如圖所示,作出△ABC兩內角∠BAC,∠ABC的平分線的交點O1.
(2)分別作出∠ACB,∠ABC的外角平分線的交點O2,∠BAC,∠BCA的外角平分線的交點O3,∠BAC,∠CBA的外角平分線的交點O4,故滿足條件的修建點有四處,即點O1,O2,O3,O4處.
2

展開更多......

收起↑