資源簡介

2.5.2 矩形的判定
素養目標
1.會用矩形的定義來判定一個四邊形為矩形.
2.探究兩個矩形的判定定理,會證明一個四邊形為矩形.
3.能解決與矩形相關的幾何問題.
◎重點:矩形的判定定理.
預習導學
知識點一 矩形的判定定理1
閱讀課本本課時第一個“動腦筋”,回答下列問題.
1.思考:(1)一個四邊形有三個角都是直角,那么第四個角是什么角 為什么
(2)如圖,四邊形ABCD四個內角都為直角,則有∠A+∠B=　 　°,∠A+∠D=　 　°,則四邊形ABCD的兩組對邊有什么位置關系 四邊形ABCD是什么四邊形.
2.回顧矩形的定義:有一個角是直角的平行四邊形是　 　.
3.結論:有三個角是直角的四邊形　 　矩形的定義.(填“滿足”或“不滿足”)
【答案】1.(1)根據四邊形的內角和為360°,可知第四個角也是直角.
(2)180　180
分別平行.平行四邊形.
2.矩形
3.滿足
學法指導　此處,我們可以發現該判定定理的前提條件與矩形定義的條件是可以相互推理轉化的.但是,運用該判定定理可以直接證明一個滿足條件的四邊形是矩形,不必先說明它滿足矩形的定義,再說明它是矩形.
歸納總結　矩形的判定定理:有　 　的四邊形是矩形.
【答案】三個角是直角
知識點二 矩形的判定定理2
閱讀課本本課時第二個“動腦筋”至“例2”中的內容,回答下列問題.
1.如圖,若 ABCD的對角線AC=BD,思考:
(1)△ABC與△ABD全等嗎 為什么
(2)由(1)可知∠DAB=　 　,由AD∥BC可知∠DAB+　 　=　 　,于是,這兩個角都是　 　.
(3)結論:對角線相等的平行四邊形,一定有一個內角是　 　,即滿足矩形的定義.
2.揭示概念:對角線相等的平行四邊形是　 　.
【答案】1.(1)全等,根據AD=BC,AB=BA,AC=BD,再由SSS可判定這兩個三角形全等.
(2)∠CBA　∠CBA　180°　直角
(3)直角
2.矩形
合作探究
任務驅動一 矩形的判定
1.(過程性學習與矩形的判定)證明:有三個角是直角的四邊形是矩形.
已知:如圖,∠A=∠B=∠C=90°.
求證:四邊形ABCD是矩形.
證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°,
∴AD∥BC,AB∥DC(①),
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∵∠B=90°,
∴四邊形ABCD是矩形(②).
在證明過程中,依據①、②分別表示 ( )
A.①表示同旁內角互補,兩直線平行;②表示對角線相等的平行四邊形是矩形
B.①表示同旁內角互補,兩直線平行;②表示有一個角是直角的平行四邊形是矩形
C.①表示兩直線平行,同旁內角互補;②表示有一個角是直角的平行四邊形是矩形
D.①表示兩直線平行,同旁內角互補;②表示對角線相等的平行四邊形是矩形
2.如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,延長AD到E,使DE=AD,連接EB,EC,DB.添加一個條件,不能使四邊形DBCE成為矩形的是 ( )
A.AB=BE B.BE⊥DC
C.∠ADB=90° D.CE⊥DE
【答案】1.B 2.B
任務驅動二 矩形的判定與證明
3.如圖,在 ABCD中,過點D作DE⊥AB于點E,點F在邊CD上,DF=BE,求證:四邊形BEDF是矩形.
4.如圖,將 ABCD的邊AB延長至點E,使AB=BE,連接DE,EC,DE交BC于點O.
(1)求證:△ABD≌△BEC.
(2)連接BD,若∠BOD=2∠A,求證:四邊形BECD是矩形.
【答案】3.證明:由 ABCD可知,AB∥CD,
∵DF=BE,
∴四邊形BEDF為平行四邊形.
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,
∴四邊形BEDF為矩形.
4.證明:(1)在平行四邊形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AB∥CD,則BE∥CD.
又∵AB=BE,
∴BE=DC,
∴四邊形BECD為平行四邊形,
∴BD=EC.
∴在△ABD與△BEC中,
∴△ABD≌△BEC(SSS).
(2)由(1)知,四邊形BECD為平行四邊形,則OD=OE,OC=OB.
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.
又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,
∴∠OCD=∠ODC,
∴OC=OD,
∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,
∴平行四邊形BECD為矩形.
方法歸納交流　要獲取足夠證明一個四邊形為矩形的條件,往往需要結合圖形中其他的條件,進行相關地推理.應根據已知條件,猜測最可能獲取到的條件,從而選擇合適的判定方法.
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