資源簡介

2.6.1 菱形的性質
素養目標
1.明確菱形的定義,知道菱形是特殊的平行四邊形.
2.知道菱形具有平行四邊形的所有性質;探究菱形的特殊性質.
3.知道菱形的對稱性,能根據對角線計算菱形的邊長、周長、面積.
◎重點:菱形的性質.
預習導學
知識點一 菱形的定義與性質
閱讀課本本課時“做一做”及其前面的內容,回答下列問題.
1.明晰概念:有一組鄰邊　 　的　 　叫做菱形.
2.(1)思考:平行四邊形一定是菱形嗎 菱形一定是平行四邊形嗎
(2)結論:菱形　 　(填“具有”或“不具有”)平行四邊形的所有性質.
3.探究:如圖, ABCD的一組鄰邊AD=AB,
(1)由 ABCD對邊相等可知AD=　 　,AB=　 　,故平行四邊形的四條邊都　 　;
(2)由AB=AD可知點A在線段BD的 　線上,由BC=CD可知點C在線段BD的　 　線上,即AC　 　BD,同理,BD　 　AC;
(3)由(2)可知在等腰△ABD中,∠DAO等于∠BAO嗎 還有幾個類似的等腰三角形呢
【答案】1.相等　平行四邊形
2.(1)不一定,一定.
(2)具有
3.(1)BC　CD　相等
(2)垂直平分　垂直平分　垂直平分　垂直平分
(3)由三線合一可知相等.還有三個類似的等腰三角形.
歸納總結　(1)菱形具有平行四邊形的所有性質;(2)菱形的特殊性質:四條邊都　 　,對角線互相　 　,且每一條對角線　 　.
【答案】相等　垂直　平分一組對角
4.(1)思考:菱形是中心對稱圖形嗎 為什么
(2)課堂操作:沿一個菱形的對角線對折,左右兩邊的圖形能完全重合嗎 以其他直線為折痕將菱形對折,能使得折痕左右兩邊的圖形完全重合嗎
【答案】4.(1)是的,因為菱形具有平行四邊形的所有性質.
(2)能.不能.
歸納總結　菱形　 　中心對稱圖形,對稱中心為　 　;　 　軸對稱圖形,對稱軸有　 　條,即　 　所在的直線.
【答案】是　對角線的交點　也是　2　兩條對角線
知識點二 菱形的相關計算
閱讀課本本課時第二個“動腦筋”與“例1”中的內容,回答下列問題.
1.討論:(1)菱形的對角線將菱形分成了四個小三角形,它們的面積相等嗎 試根據知識點一中菱形的對角線的性質說一說理由.
(2)如圖,若已知菱形的對角線AC與BD的長,則S菱形ABCD=4S△AOB=　 　.
【答案】1.(1)相等.由菱形的對角線互相垂直且平分,可得這四個小三角形的面積相等.
(2)4××OA×OB=AC×BD
歸納總結　菱形的面積等于乘以　 　.
【答案】兩條對角線長度的乘積
2.思考:在“例1”中,已知菱形的對角線的長,可運用　 　計算菱形的邊長,從而得到菱形的周長.
【答案】2.勾股定理
合作探究
任務驅動一 菱形的性質
1.下列命題中,錯誤的是 ( )
A.平行四邊形的對角線互相平分
B.菱形的對角線互相垂直平分
C.菱形的對角線相等且互相平分
D.菱形的對角線是內角的平分線
2.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC=6,BD=10,則菱形ABCD的面積為　 　.
【答案】1.C
2.30
任務驅動二 菱形中的幾何問題
3.如圖,在菱形ABCD中,M,N分別在AB,CD上,且AM=CN,MN與AC交于點O,連接BO.若∠DAC=28°,求∠OBC的度數.
4.如圖,四邊形ABCD是菱形,AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F.
(1)求證:△ABE≌△ADF.
(2)若AE=4,CF=2,求菱形的邊長.
【答案】3.解:由菱形ABCD可知,AB∥CD,AD∥BC,
∴∠MAO=∠NCO.
∵AM=CN,∠AOM=∠CON,
∴△AOM≌△CON,
∴AO=OC,故點O為菱形ABCD對角線的交點,
∴BO⊥AC.
∵∠DAC=28°,AD∥BC,
∴∠BCO=∠DAC=28°,
∴∠OBC=90°-28°=62°.
4.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(AAS).
(2)設菱形的邊長為x.
∵AB=CD=x,CF=2,∴DF=x-2.
∵△ABE≌△ADF,∴BE=DF=x-2.
在Rt△ABE中,根據勾股定理得,AE2+BE2=AB2,
即42+(x-2)2=x2,解得x=5,
∴菱形的邊長是5.
方法歸納交流　在解決與菱形相關的幾何問題時,應注意菱形特有的性質(鄰邊相等,對角線垂直,對角線平分一組內角)的應用,菱形與平行四邊形共有的性質往往不是考查的重點.
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