資源簡介

16.3　可化為一元一次方程的分式方程 第1課時
素養目標
　　1.知道分式方程的概念,并能判斷一個方程是否為分式方程.
2.能類比一元一次方程的解法求分式方程的解.
3.能類比解一元一次方程的步驟說出可化為一元一次方程的分式方程的求解步驟.
4.知道分式方程中增根產生的原因,以及分式方程的解檢驗的必要性,并能應用兩種方法對分式方程的解進行檢驗.
◎重點:分式方程的概念及其解法.
預習導學
知識點一 分式方程的概念
閱讀教材本課時內容至“思考”前的所有內容,解決下列問題.
1.在行程問題中常見的量有哪些,它們之間存在怎樣的等量關系
2.在教材本課時“問題”中找出能表示相等關系的語句.
3.若輪船在靜水中的速度為x km/h,完成下表:
行駛路程 行駛速度 行駛時間
順水航行
逆水航行
　　根據問題中的相等關系可得:　 　=　 　.
　　4.觀察上面的方程,它是整式方程嗎 為什么
歸納總結　方程中含有分式,并且　 　中含有未知數,像這樣的方程叫做分式方程.
【討論】分式方程和整式方程最大的區別是什么
【答案】1.行駛路程、行駛時間、行駛速度;
行駛路程=行駛時間×行駛速度.
2.輪船在順水中航行80千米所需要的時間和逆水中航行60千米所需要時間相同.
3.80　x+3　　60　x-3　
　
4.不是,方程中含有分式.
歸納總結　分母
【討論】　分母中是否含有未知數.
對點自測　下列各式中是分式方程的有　 　.
(1)2x-3y=0;(2)-3=;(3)=;(4)+8.
【答案】(3)
知識點二 可化為一元一次方程的分式方程的解法
閱讀教材本課時“思考”后面至“例3”前面的內容,解決下列問題.
1.解方程-=1時,去分母時,應乘　 　,變形為　 　,方程的解為　 　.
2.類比問題1,解分式方程=,去分母時,應乘以最簡公分母　 　,把分式方程變形為整式方程　 　,解這個一元一次方程的解為　 　.
3.檢驗分式方程的解時,可以把分式方程的解代入到　 　或　 　中.問題2中,經檢驗x=3　 　分式方程的解,所以x=3　 　分式方程的解.
歸納總結　1.解分式方程的過程,實質上是將方程的兩邊都乘以　 　,約去　 　,把分式方程轉化為　 　來解.所乘的整式通常取方程中出現的各分式的　 　.
2.在解分式方程時,有時可能產生不適合　 　方程的解(或根),這種根通常稱為　 　.
3.分式方程的解一定要　 　,檢驗的方法有兩種:一代入　 　;二代入　 　中.
【答案】1.4　2(x+1)-x=4　x=2
2.2x(x-1)　3(x-1)=2x　x=3
3.原方程的左右兩邊　最簡公分母　是　是
歸納總結　1.同一個整式　分母　整式方程　最簡公分母
2.原分式　增根
3.檢驗　原分式方程　最簡公分母
對點自測　下面是四位同學解方程+=1過程中去分母的一步,其中正確的是 ( )
A.2+x=x-1 B.2-x=1
C.2+x=1-x D.2-x=x-1
【答案】D
合作探究
任務驅動一 判斷下列各式哪個是分式方程:
(1);(2)-=1;
(3)-=;
(4)+=x(a、b是常數,且ab≠0);
(5)x+2x=5.
方法歸納交流　分式方程必須具備兩個條件:(1)　 　;(2)　 　.
【答案】解:因為(1)是分式;(2)、(5) 中盡管有分母,但都是常數;(4)中分母中含有字母,但字母不是未知數;只有(3)符合分式方程的條件.故(3)是分式方程.
方法歸納交流　
是方程　分母中含有未知數
任務驅動二 解方程:(1)-=1;
(2)+=.
方法歸納交流　解分式方程的步驟:
(1)　 　,分式兩邊同時乘以　 　;(2)　 　;(3)　 　,　 　;(4)　 　;(5)　 　.
【答案】解:(1)方程兩邊都乘以(x+1)(x-1),得x2+x-2(x-1)=(x+1)(x-1),即x2+x-2x+2=x2-1,解得x=3.經檢驗,x=3是原方程的根.
(2)原方程可以化為+=,
所以方程兩邊同乘以x(x-1),得3(x-1)+6x=x+5,解得x=1.
檢驗:當x=1時,x-1=0,所以原方程無解.
方法歸納交流　
(1)去分母　各分母的最簡公分母　(2)去括號
(3)移項　合并同類項　(4)系數化為一　(5)檢驗
任務驅動三 當m為何值時,關于x的方程=會產生增根
方法歸納交流　分式方程的增根不是　 　,是分式方程去分母后的一元一次方程的解.
【答案】解:關于x的方程=有增根,則此增根必使3x-9=3(x-3)=0,所以增根為x=3.去分母,方程兩邊同乘以3(x-3),得3(x-1)=m2.
根據題意,x=3是上面整式方程的根,
所以3(3-1)=m2,則m=±.
方法歸納交流　
分式方程的解
任務驅動四 當x為何值時,分式與的和等于2
方法歸納交流　解分式方程時,一定要檢驗.檢驗的方法:
(1)把方程的解代入　 　中,若原分式方程的　 　等于分式方程的　 　,則說明這個解　 　分式方程的解,否則就是分式方程的　 　.
(2)把方程的解代入　 　中,若方程的解使得最簡公分母的值　 　,則這個解就　 　分式方程的解,若最簡公分母的值　 　,則這個解就是分式方程的　 　,原分式方程則　 　.
【答案】解:由題意可得+=2,即-=2,
方程兩邊都乘以x-1,得x-2=2(x-1).
解得x=0.
檢驗:x=0時,x-1≠0,∴x=0是原分式方程的解.
方法歸納交流　
(1)原分式方程　左邊　右邊　是　增根
(2)最簡公分母　不等于零　是　等于零　增根　無解
任務驅動五 若關于x的分式方程=1的解為x=2,則m的值為 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
　　變式演練　關于x的分式方程+=0的解為x=4,則常數a的值為 ( )
A.a=1 B.a=2
C.a=4 D.a=10
【答案】B
變式演練　D
任務驅動六 已知關于x的分式方程=1的解是負數,求m的取值范圍.
【答案】解:由=1,
解得x=m-3.
∵關于x的分式方程=1的解是負數,
∴m-3<0,
解得m<3.
當x=m-3=-1時,方程無解,
則m≠2,
故m的取值范圍是m<3且m≠2.
2

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