資源簡介

19.2.2　菱形的判定 第2課時
素養目標
1.通過動手操作,歸納出菱形的判定定理2的內容.
2.能應用菱形的判定定理2證明有關問題.
3.綜合應用菱形的各種判定方法證明有關問題.
◎重點:菱形判定定理2的證明及其應用.
預習導學
知識點 菱形的判定定理2
閱讀教材本課時第二個“思考”至第二個“練習”前的所有內容,解決下列問題.
1.菱形的對角線有什么性質 關于對角線,哪個是平行四邊形具有的一般性質 哪個是菱形所特有的
2.取兩個長度相等的細木棒,讓兩個木棒的中點重合并固定在一起,轉動其中一個木棒,重復上面的做法,當兩個木棒之間的夾角等于90°時,用筆和直尺畫出木棒四個端點的連線,得到的圖形是什么圖形呢
　　3.通過上面的操作,你能得到什么結論 用文字描述你得到的結論,并證明你的結論.
【討論】對角線互相垂直的四邊形一定是菱形嗎
歸納總結　對角線　 　的平行四邊形是菱形,對角線　 　的四邊形是菱形.
【答案】1.菱形的性質:“兩條對角線互相垂直平分”.“對角線互相平分”是平行四邊形所具有的一般性質,而“對角線互相垂直”是菱形所特有的性質.
2.菱形.
3.結論:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC、BD相交于點O,且AC⊥BD.
求證:四邊形ABCD是菱形.
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC.又∵AC⊥BD,∴BD所在的直線是線段AC的垂直平分線,∴AD=DC.∴四邊形ABCD是菱形(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形).
【討論】
不一定.
歸納總結　
互相垂直　互相垂直平分
對點自測　如圖,小聰在作線段AB的垂直平分線時,他是這樣操作的:分別以點A和點B為圓心,以大于AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點C、D,則直線CD為所求.根據他的作圖方法,可知四邊形ADBC一定是 ( )
A.矩形　　　　　　B.菱形
C.正方形 D.梯形
【答案】B
合作探究
任務驅動一 如圖,菱形ABCD的周長為40 cm,∠BAD∶∠ABC=1∶2,求兩條對角線的長.
方法歸納交流　解決與菱形有關的線段計算問題時,要注意勾股定理和方程思想的應用.
【答案】解:∵菱形的周長為40 cm,∴AB=10 cm.
∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°.
∵∠BAD∶∠ABC=1∶2,∴∠ABC=60°.
又∵AB=BC,∴△ABC是等邊三角形,
∴AC=AB=10 cm.
∵AC⊥BD,∴在Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2,
∴OB2+52=102,
∴OB=5,∴BD=10 cm.
任務驅動二 如圖,ABCD是對角線互相垂直的四邊形,且OB=OD,請你添加一個適當的條件　 　,使ABCD成為菱形.(只需添加一個即可)
【答案】OA=OC或AD=BC或AD∥BC或AB=BC等
任務驅動三 一位同學剪了個菱形的紙片,如圖所示,如果在菱形ABCD的AC上截去兩段,使AE=CF,然后又沿BE、DE、DF、FB剪下,得到了一個小四邊形,你能告訴這個同學這是一個什么形狀的四邊形嗎 并說明理由.
【答案】解:菱形.理由:如圖,連接BD,交AC于點O.
∵四邊形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,OE=OF.又∵OB=OD,∴四邊形DEBF是平行四邊形.∵AC⊥BD,∴ DEBF是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形).
任務驅動四 如圖1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠DCE=90°,AB與CE交于點F,ED與AB、BC分別交于點M、H.如圖2,△ABC不動,將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時,試判斷四邊形ACDM是什么四邊形,并證明你的結論.
【答案】解:四邊形ACDM是菱形.
證明:∵∠ACB=∠DCE=90°,
∠BCE=45°,∴∠1=∠2=45°.∵∠E=45°,∴∠1=∠E,∴AC∥DE,∴∠AMH=180°-∠A=135°=∠ACD.又∵∠A=∠D=45°,∴四邊形ACDM是平行四邊形.∵AC=CD,∴平行四邊形ACDM是菱形(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形).
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