資源簡介

19.3　正方形
素養目標
1.知道正方形的概念、性質和判別條件;知道正方形是軸對稱和中心對稱圖形;知道正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關系.
2.能運用正方形的性質進行有關計算,能運用正方形的判別進行合理的推理說明.
◎重點:正方形的性質和判別,以及正方形性質的應用.
預習導學
知識點一 正方形的定義及性質
閱讀教材本課時“例1”前面的內容,回答下列問題.
1.正方形是軸對稱圖形,其對稱軸有　　條,分別是　 　;正方形是中心對稱圖形,對稱中心是　 　.
2.正方形的性質:　 　.
3.如圖,使得矩形ABCD為正方形,可添加的一個條件是　 　.
4.小明制作了一個菱形,由于菱形具有不穩定性,小明將菱形的一個內角α變為直角(過程如圖),此時菱形變成的圖形是　 　.
5.根據小明的操作過程,你能得到什么結論 用文字表述.
歸納總結　有一個角是　 　的菱形是正方形;有一組鄰邊相等的　 　是正方形.正方形是特殊的矩形,特殊的　 　,特殊的平行四邊形.
【答案】1.四　兩組對邊的垂直平分線和兩條對角線所在的直線　兩條對角線的交點
2.四條邊都相等;四個角都是直角;兩條對角線互相垂直平分且相等;每一條對角線平分一組對角
3.AB=BC或AB=AD或BC=CD或DA=DC
4.正方形
5.有一個角是直角的菱形是正方形.
歸納總結　
直角　矩形　菱形
對點自測　正方形可以由兩個能夠完全重合的　 　三角形拼合而成.
【答案】等腰直角
知識點二 正方形的判定
閱讀教材本課時的“例1”, 回答下列問題.
1.判斷下列命題是真命題還是假命題,并說明理由.
(1)四條邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形;
(2)四個角相等且對角線互相垂直的四邊形是正方形;
(3)對角線互相垂直平分的四邊形是正方形;
(4)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形;
(5)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.
2.完成教材的“討論”,并與同伴交流.
　　歸納總結　判斷一個四邊形是正方形的思路:
【答案】1.解:(1)、(2)、(5)是真命題,(3)、(4)是假命題.
(3)是假命題的原因:對角線平分的四邊形是平行四邊形,對角線垂直的平行四邊形是菱形,所以它不一定是正方形.如圖1,滿足AO=CO,BO=DO且AC⊥BD,但四邊形ABCD不是正方形.
(4)是假命題的原因:它可能是任意四邊形.如圖2,AC⊥BD且AC=BD,但四邊形ABCD不是正方形.
2.小明的方法不可信,四條邊相等的四邊形是菱形,不一定是正方形.
小兵的方法也不可信,對角線相等的四邊形有可能是矩形,不一定是正方形.
小英的做法也不完善,對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,對角線相等的平行四邊形是矩形.
正確的做法有(方法不唯一):(1)測量四邊形的四條邊相等,再測一個內角為直角;(2)測量四個角是直角,再測一組鄰邊相等.
歸納總結
相等　直角　直角　相等
合作探究
任務驅動一 如圖,如果正方形CDEF旋轉后能與正方形ABCD重合,那么圖形所在的平面上可以作為旋轉中心的點共有 ( )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
【答案】B
任務驅動二 如圖,將一張矩形紙片ABCD折疊,使AB落在AD邊上,然后打開,折痕為AE,頂點B的落點為F.你認為四邊形ABEF是什么特殊四邊形 請說出你的理由.
變式演練　如圖,將一張長方形紙片對折兩次,然后剪下一個角,打開.如果要剪出一個正方形,那么剪口線與折痕成 ( )
A.22.5°角 B.30°角
C.45°角 D.60°角
【答案】解:四邊形ABEF是正方形.理由:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAF=∠B=90°.∵∠B與∠AFE折疊后重合,∴∠AFE=∠B=90°,∴四邊形ABEF是矩形.又∵AB、AF折疊后重合,AB=AF,∴四邊形ABEF是正方形.
變式演練　
C
任務驅動三 如圖,順次延長正方形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA至E、F、G、H,且使BE=CF=DG=AH.求證:四邊形EFGH是正方形.
【答案】證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG.
又∵BE=CF=DG=AH,∴CG=DH=AE=BF,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,
∴HE=EF=FG=GH,∴四邊形EFGH為菱形.
∵∠EFB+∠FEB=90°,∠EFB=∠HEA,
∴∠FEB+∠HEA=90°,∴四邊形EFGH是正方形.
任務驅動四 如圖,已知EG、FH過正方形ABCD的對角線的交點O,EG⊥FH.求證:四邊形EFGH是正方形.
【答案】證明:∵四邊形ABCD為正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠2+∠3.
∵EG⊥FH,∴∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2,∴△COH≌△BOE,∴OE=OH.
同理可證OE=OF=OG.∴OE+OG=OF+OH,即EG=FH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為正方形.
2

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