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第19章 矩形、菱形與正方形 復習課
復習目標
　　1.知道矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念和性質,知道它們之間的關系.
2.能運用性質和判定進行有關證明和計算,能判定一個四邊形是否是矩形、菱形、正方形、等腰梯形.
◎重點:矩形、菱形、正方形的性質和判定的綜合應用.
預習導學
體系建構
【答案】相等　相等　直角　三個角都是直角的四邊形　對角線相等
相等　互相垂直　鄰邊相等　四條邊都相等　對角線互相垂直
核心梳理
1.一組鄰邊相等的平行四邊形是　 　;一個角是直角的平行四邊形是　 　.
2.一組鄰邊相等的　 　是正方形;一個角是直角的　 　是正方形.
3.判斷一個圖形是正方形的方法:
(1)先證明四邊形是菱形,再證明四邊形是矩形;
(2)先證明四邊形是矩形,再證明四邊形是菱形.
【答案】1.菱形　矩形
2.矩形　菱形
合作探究
專題一 矩形的性質和判定
1.如圖,在矩形ABCD中,E是BC的中點,矩形ABCD的周長是20 cm,AE=5 cm,則AB的長為　 　cm.
　　2.如圖,在△ABC中,點D在AB上,AD=BD=CD且DE、DF分別平分∠BDC、∠ADC.
求證:四邊形CEDF是矩形.
方法歸納交流　矩形的判定中,除了“對角線相等的平行四邊形是矩形”外,其他判定都需要滿足一個角是直角.
【答案】1.4
2.證明:∵DE、DF分別平分∠BDC、∠ADC,
∴∠FDC=∠ADC,∠CDE=∠BDC.∵∠ADB=180°,∴∠EDF=90°.∵AD=BD=CD,∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCD.∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=90°.∵DA=DC,DF平分∠ADC,∴DF⊥AC,∴四邊形CEDF是矩形.
專題二 菱形的性質和判定
3.如圖,菱形ABCD的周長為8,對角線AC和BD相交于點O,AC∶BD=1∶2,則AO∶BO=　 　,菱形ABCD的面積S=　 　.
4.如圖,已知O為矩形ABCD對角線的交點,過點D作DE∥AC,過點C作CE∥BD,且DE、CE相交于點E.
(1)請你判斷四邊形OCED的形狀,并說明理由.
(2)若AB=6,BC=8,求四邊形OCED的面積.
【答案】3.1∶2　16
4.解:(1)四邊形OCED的形狀是菱形.
理由如下:∵CE∥BD,DE∥AC,∴四邊形CODE是平行四邊形.
∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,∴OD=OC,∴四邊形CODE是菱形.
(2)∵AB=6,BC=8,∴矩形ABCD的面積=6×8=48.
∵S△ODC=S矩形ABCD=12,∴四邊形OCED的面積=2S△ODC=24.
專題三 正方形的性質和判定
5.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,且BE=BF.添加一個條件,仍不能證明四邊形BECF為正方形的是 ( )
A.BC=AC
B.CF⊥BF
C.BD=DF
D.AC=BF
6.如圖,點A'、B'、C'、D'分別是正方形ABCD四條邊上的點,并且AA'=BB'=CC'=DD'.求證:四邊形A'B'C'D'為正方形.
方法歸納交流　注意全等三角形的性質在正方形的判定中的應用.
【答案】5.D
6.證明:∵四邊形ABCD為正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.又∵AA'=BB'=CC'=DD',∴D'A=A'B=B'C=C'D,∴D'A'=A'B'=B'C'=C'D'.∵△AA'D'≌△DD'C'.∴∠AD'A'=∠DC'D'.∵∠DD'C'+∠DC'D'=90°,∴∠DD'C'+∠AD'A'=90°,∴∠A'D'C'=180°-(∠DD'C'+∠AD'A')=90°,∴四邊形A'B'C'D'為正方形.
專題四 各種判定方法、性質的綜合應用
7.如圖,在正方形ABCD中,點E、F分別在CD、BC上,且BF=CE,連接BE、AF相交于點G,則下列結論不正確的是 ( )
A.BE=AF
B.∠DAF=∠BEC
C.∠AFB+∠BEC=90°
D.AG⊥BE
　　8.已知:如圖,在矩形ABCD中,M、N分別是邊AD、BC的中點,E、F分別是線段BM、CM的中點.
(1)求證:△ABM≌△DCM.
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結論.
　　(3)當AD∶AB=　　　　時,四邊形MENF是正方形.(只寫結論,不需證明)
【答案】7.C
8.解:(1)證明:在矩形ABCD中,AB=CD,∠A=∠D=90°.
又∵M是AD的中點,∴AM=DM,∴△ABM≌△DCM(SAS).
(2)四邊形MENF是菱形.
證明:E、F、N分別是BM、CM、CB的中點,∴NF∥ME,NF=ME,
∴四邊形MENF是平行四邊形.由(1)得BM=CM,∴ME=MF,∴ MENF是菱形.
(3)2∶1.
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