資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
七年級數(shù)學(xué)下冊 預(yù)習(xí)篇
5.1.2 垂線
1.垂線的概念：兩條直線相交形成的四個角中，有一個角是直角時，就稱這兩條直線互相垂直；例如直線AB垂直于直線CD，可寫成：；其中一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點稱為垂足。
2.垂線的性質(zhì)：平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
3.垂線段：過直線外一點作這條直線的垂線，這個點與垂足之間的線段叫作垂線段。
4.垂線段的性質(zhì)：在連接直線外一點與直線上各點的線段中垂線段最短，簡稱：垂線段最短。
5.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離。
6.垂線的畫法：用量角器畫垂線：
①經(jīng)過直線上一點畫已知直線的垂線：先讓量角器的底線落在已知直線上，并使量角器底邊的中心點與直線上已知點重合，再在量角器90°所對的位置處標(biāo)出一點，拿走量角器，連接即可。
②經(jīng)過直線外一點畫已知直線的垂線：先讓量角器的底線落在已知直線上，并使量角器90°的垂線經(jīng)過直線外的該點，再在量角器90°所對的位置出標(biāo)出一點，連接這兩點即可。
選擇題
1.如圖，直線a，b相交于點O，射線，垂足為點O，若，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了垂直的定義，鄰補角的定義，求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義可求的度數(shù)，然后根據(jù)鄰補角的定義求解即可．
【詳解】解：如圖，
∵，，
∴，
∴．
故選：C．
2.如圖，O是直線上一點．，射線平分，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂直的定義，鄰補角的計算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．先求出，再由平分，，再根據(jù)垂直的定義求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
3.如圖，直線交于點O，，若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查角的計算，掌握對頂角相等以及圖形中角的和差關(guān)系是正確解答的前提．根據(jù)垂直的定義，對頂角相等以及角的和差關(guān)系進行計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
又∵，
∴
故選：B．
4.如圖，點O在直線上，，、分別平分和，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計算，根據(jù)垂線的定義可得，由結(jié)合鄰補角的性質(zhì)求得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得．
【詳解】解：，
，
，
，
平分，
，
故選：C．
5.如圖，直線相交于點O，，，若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查對頂角，垂線的定義，角的和差關(guān)系，根據(jù)對頂角相等可得，進而可得，根據(jù)可得，則．
【詳解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故選：A．
6.如圖，直線、相交于點，于點，，則的度數(shù)為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了對頂角相等，垂直的定義．根據(jù)對頂角相等，垂直的定義即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故選：C
7.點是直線外一點，、、三點在直線上，又已知，，，那么點到直線的距離（ ）
A．8 B．10 C．大于8 D．不大于8
【答案】D
【分析】本題考查了點到直線的距離；根據(jù)點到直線的距離定義及垂線段最短，即可求解．
【詳解】在，，中最小，
若垂直于，則是垂線段，
到的距離就是，
若不垂直，
則大于垂線段的長度，
到的距離不大于．
故選D．
8.下列說法正確的個數(shù)為（）
①P點到直線l的距離是P點到直線l的垂線段；
②P點到直線l的距離是P點到直線l的垂線段長；
③過P點做直線l的垂線，垂足為O，P點到直線l的距離是P、O點兩點之間的距離．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】本題考查點到直線的距離，垂線，兩點的距離，關(guān)鍵是掌握點到直線距離的定義．
直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，由此即可判斷．
【詳解】解：①點到直線的距離是點到直線的垂線段的長，故①不符合題意；
②點到直線的距離是點到直線的垂線段長，正確，故②符合題意；
③過點作直線的垂線，垂足為點到直線的距離是、點兩點之間的距離，正確，故③符合題意．
∴正確的個數(shù)是2個．
故選：B．
填空題
1.如圖，想在河堤兩岸搭建一座橋，圖中搭建方式中，最短的是，理由是 ．
【答案】垂線段最短
【分析】本題考查垂線段最短定義．首先觀察圖形，可以看出哪條線段是最短的，根據(jù)連接直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短，結(jié)合即可得到答案．
【詳解】解：∵根據(jù)題意可知，
∴最短的是，
∴理由為：垂線段最短．
故答案為：垂線段最短．
2.如圖，直線，相交于點O，，O為垂足，若，則 ．
【答案】/54度
【分析】本題考查平面圖形中角的計算，平角的定義和垂直的定義，結(jié)合圖形計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平角的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)垂直的定義求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
3.如圖，直線、相交于點O，，O為垂足，如果，則 ， ．
【答案】
【分析】本題考查了垂線定義的理解，對頂角相等，求一個角的余角，求一個角的補角，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)對頂角相等可知，根據(jù)余角的定義求得，根據(jù)鄰補角的定義求得．
【詳解】，，
，
，
，
，
故答案為：．
4.如圖，中，，D為邊上的任意一點，連接，E為線段上的一個動點，過點E作，垂足為F點．如果，，，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正確運用三角形等面積法是解題的關(guān)鍵．過C作于F，交于E．則的最小值為，利用三角形等面積法求出，即為的最小值．
【詳解】解：過C作于F，交于E，
則的最小值為．
∵，，，
∴，
∴CF=，
即的最小值為：，
故答案為：．
5.下列三個日?，F(xiàn)象：
其中，可以用“兩點之間線段最短”來解釋的是 （填序號）．
【答案】②
【分析】本題考查了垂線段最短以及直線、線段的相關(guān)知識，熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：圖利用垂線段最短；
圖利用兩點之間線段最短；
圖利用兩點確定一條直線．
故答案為：．
解答題
1.在如圖所示的方格中，點A、B、C均為網(wǎng)格點，按要求畫圖并回答問題：
(1)畫直線．
(2)過點C畫線段的垂線，垂足為點D．
(3)點C與直線上各點連結(jié)的所有線段中，線段最短的數(shù)學(xué)道理是 ．
A．兩點之間，線段最短
B．兩點確定一條直線
C．垂線段最短
【答案】(1)圖見解析
(2)圖見解析
(3)C
【分析】本題考查畫直線，垂線，垂線段最短．
（1）畫出直線即可；
（2）取網(wǎng)格點E，如圖，畫直線交于點D，則為線段的垂線，垂足為點D；
（3）根據(jù)垂線段最短，作答即可；
掌握相關(guān)定義和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）如圖，過A，C畫直線，直線即為所求；
（2）取網(wǎng)格點E，如圖，畫直線交于點D，則為線段的垂線，垂足為點D．
（3）因為點到直線，垂線段最短，
所以點C與直線上各點連結(jié)的所有線段中，線段最短；
故選C．
2.如圖，直線AB，CD相交于點O，．
(1)若，判斷ON與CD的位置關(guān)系．請將下面的解題過程補充完整，在括號內(nèi)填寫理由．
解：ON______CD．理由如下：
因為，所以______°．
所以______．
又因為，所以______（等量代換），
即．
所以__________（__________）．
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)⊥，90，，，，垂直的定義
(2)
【詳解】（1）⊥ 90 垂直的定義
（2）因為，所以．
因為，所以．所以．
所以．
所以．
所以．
3.如圖，直線、相交于點，射線在內(nèi)部，且．過點作．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，那么平分嗎？為什么？
【答案】(1)的度數(shù)為
(2)能，理由見解析
【分析】本題主要考查了垂線，角平分線的有關(guān)計算，熟練掌握垂直的性質(zhì)，根據(jù)題意得到角與角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)直角的性質(zhì)，可得，根據(jù)補角的定義得，再由，即可求解；
（2）根據(jù)，，可得，再由，可得，從而得到，，即可求解．
【詳解】（1）解：（1），
，
，
，
，
，
的度數(shù)為；
（2）證明：平分，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
平分．
4.如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分，OF平分．
(1)求證：；
(2)若與的度數(shù)比為，，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）證明：因為OE平分，OF平分，
所以，．
所以．
所以．
（2）因為與的度數(shù)比為，
所以．
所以．
又因為OF平分，所以．
因為，，
所以．
所以．
5.已知一個角的兩邊與另一個角的兩邊互相垂直，探索兩角之間的數(shù)量關(guān)系．
(1)在圖①中，以點P為頂點作，使的兩邊分別與的兩邊互相垂直，量一量，和之間的數(shù)量關(guān)系是__________；
(2)在圖②和圖③中，作同樣的，使的兩邊分別與的兩邊互相垂直，量一量，圖②中，和之間的數(shù)量關(guān)系是__________；圖③中，和之間的數(shù)量關(guān)系是__________；
(3)由上述三種情形可以得到一個結(jié)論：如果一個角的兩邊分別和另一個角的兩邊互相垂直，那么這兩個角__________（只需寫出結(jié)論即可）；
(4)若兩個角的兩邊互相垂直，且一個角比另一個角的3倍少，求這兩個角的度數(shù)．
【答案】(1)互補
(2)相等，相等或互補
(3)相等或互補
(4)，或，
【詳解】（1）如圖①所示． 互補（或）
（2）如圖②③所示． 相等 相等或互補
（3）相等或互補
圖① 圖② 圖③
（4）設(shè)這兩個角分別為和，
由（1）（2）可知，或，解得或55，
所以這兩個角分別為，或，．
6.如圖，直線AB，CD相交于點O，，垂足為O．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，所以．
因為，所以．
所以．
（2）因為，，
所以．所以．
所以．
所以．
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5.1.2 垂線
1.垂線的概念：兩條直線相交形成的四個角中，有一個角是直角時，就稱這兩條直線互相垂直；例如直線AB垂直于直線CD，可寫成：；其中一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點稱為垂足。
2.垂線的性質(zhì)：平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
3.垂線段：過直線外一點作這條直線的垂線，這個點與垂足之間的線段叫作垂線段。
4.垂線段的性質(zhì)：在連接直線外一點與直線上各點的線段中垂線段最短，簡稱：垂線段最短。
5.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離。
6.垂線的畫法：用量角器畫垂線：
①經(jīng)過直線上一點畫已知直線的垂線：先讓量角器的底線落在已知直線上，并使量角器底邊的中心點與直線上已知點重合，再在量角器90°所對的位置處標(biāo)出一點，拿走量角器，連接即可。
②經(jīng)過直線外一點畫已知直線的垂線：先讓量角器的底線落在已知直線上，并使量角器90°的垂線經(jīng)過直線外的該點，再在量角器90°所對的位置出標(biāo)出一點，連接這兩點即可。
選擇題
1.如圖，直線a，b相交于點O，射線，垂足為點O，若，則的度數(shù)為（　?。?br/>A． B． C． D．
2.如圖，O是直線上一點．，射線平分，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，直線交于點O，，若，則（ ）

A． B． C． D．
4.如圖，點O在直線上，，、分別平分和，若，則（ ）
A． B． C． D．
5.如圖，直線相交于點O，，，若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
6.如圖，直線、相交于點，于點，，則的度數(shù)為（ ）．
A． B． C． D．
7.點是直線外一點，、、三點在直線上，又已知，，，那么點到直線的距離（ ）
A．8 B．10 C．大于8 D．不大于8
8.下列說法正確的個數(shù)為（）
①P點到直線l的距離是P點到直線l的垂線段；
②P點到直線l的距離是P點到直線l的垂線段長；
③過P點做直線l的垂線，垂足為O，P點到直線l的距離是P、O點兩點之間的距離．
A．3 B．2 C．1 D．0
填空題
1.如圖，想在河堤兩岸搭建一座橋，圖中搭建方式中，最短的是，理由是 ．
2.如圖，直線，相交于點O，，O為垂足，若，則 ．
3.如圖，直線、相交于點O，，O為垂足，如果，則 ， ．
4.如圖，中，，D為邊上的任意一點，連接，E為線段上的一個動點，過點E作，垂足為F點．如果，，，則的最小值為 ．
5.下列三個日?，F(xiàn)象：
其中，可以用“兩點之間線段最短”來解釋的是 （填序號）．
解答題
1.在如圖所示的方格中，點A、B、C均為網(wǎng)格點，按要求畫圖并回答問題：
(1)畫直線．
(2)過點C畫線段的垂線，垂足為點D．
(3)點C與直線上各點連結(jié)的所有線段中，線段最短的數(shù)學(xué)道理是 ．
A．兩點之間，線段最短
B．兩點確定一條直線
C．垂線段最短
2.如圖，直線AB，CD相交于點O，．
(1)若，判斷ON與CD的位置關(guān)系．請將下面的解題過程補充完整，在括號內(nèi)填寫理由．
解：ON______CD．理由如下：
因為，所以______°．
所以______．
又因為，所以______（等量代換），
即．
所以__________（__________）．
(2)若，求的度數(shù)．
3.如圖，直線、相交于點，射線在內(nèi)部，且．過點作．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，那么平分嗎？為什么？
4.如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分，OF平分．
(1)求證：；
(2)若與的度數(shù)比為，，求的度數(shù)．
5.已知一個角的兩邊與另一個角的兩邊互相垂直，探索兩角之間的數(shù)量關(guān)系．
(1)在圖①中，以點P為頂點作，使的兩邊分別與的兩邊互相垂直，量一量，和之間的數(shù)量關(guān)系是__________；
(2)在圖②和圖③中，作同樣的，使的兩邊分別與的兩邊互相垂直，量一量，圖②中，和之間的數(shù)量關(guān)系是__________；圖③中，和之間的數(shù)量關(guān)系是__________；
(3)由上述三種情形可以得到一個結(jié)論：如果一個角的兩邊分別和另一個角的兩邊互相垂直，那么這兩個角__________（只需寫出結(jié)論即可）；
(4)若兩個角的兩邊互相垂直，且一個角比另一個角的3倍少，求這兩個角的度數(shù)．
6.如圖，直線AB，CD相交于點O，，垂足為O．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，求的度數(shù)．
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