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八年級數學下冊 預習篇
16.1 二次根式
一、二次根式
1.二次根式：一般地，我們把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根號，叫作被開方數。
2.是二次根式有意義的條件。
二、二次根式的性質：
（1）是一個非負數；既是二次根式，又是非負數的算術平方根，所以一定是非負數。即為二次根式的非負性。
（2）（）；
（3）；
（4）的前提條件是，而中的為一切實數；，，是三個重要的非負數。
選擇題
1.下列各根式中，與不是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了同類二次根式的定義，解題的關鍵是先化簡二次根式，再看被開方數是否相同，被開方數相同的是同類二次根式．
【詳解】解：A、，與是同類二次根式，故此選項不符合題意；
B、，與是同類二次根式，故此選項不符合題意；
C、，與不是同類二次根式，故此選項符合題意；
D、與是同類二次根式，故此選項不符合題意，
故選：C．
2.若，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，根據可得，則．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選C．
3.下列語句：①2是4的平方根．②，，都是無理數．③實數和數軸上的點一一對應．④的立方根是2．⑤．⑥，則．正確的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】本題考查了實數與數軸，平方根，立方根，二次根式，無理數，①根據平方根的定義判斷即可；②先化簡各數，然后根據無理數的定義判斷即可；③根據實數與數軸的關系判斷即可；④根據立方根的定義判斷即可；⑤根據二次根式的性質判斷即可；熟練掌握這些知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：①2是4的平方根，故原說法正確；
②，，所以只有是無理數，故原說法錯誤；
③實數和數軸上的點一一對應，故原說法正確；
④，2的立方根是，故原說法錯誤；
⑤，故原說法錯誤；
⑥＝4，則，故原說法正確；
所以正確的有①③⑥，共3個，
故選：B．
4.已知實數a在數軸上的對應點位置如圖，則化簡的結果為（）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查二次根式的性質與化簡、實數與數軸，掌握二次根式的基本性質是解題關鍵．
根據二次根式的基本性質，先把二次根式寫成絕對值的形式，再用絕對值的性質化簡，最后計算．
【詳解】解：根據題意得：，
，
故選：A．
5.若有意義，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查二次根式有意義的條件：被開方數非負，根據二次根式有意義的條件求解即可．
【詳解】解：若有意義，則即，
故選：A．
6.下列式子中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的化簡，掌握二次根式的性質和化簡是解題的關鍵．
【詳解】解：A、，錯誤；
B、，錯誤；
C、，錯誤；
D 、，正確．
故選：D．
7.下列根式中，化簡后能與進行合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是同類二次根式的概念，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．
根據二次根式的性質把各個二次根式化簡，再根據同類二次根式的概念判斷即可．
【詳解】解：A、不能與進行合并，不符合題意；
B、,不能與進行合并，不符合題意；
C、,不能與進行合并，不符合題意；
D、,能與進行合并，符合題意；
故選：D．
8.已知，化簡二次根式的正確結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查的是二次根式的定義和性質；根據二次根式的被開方數為非負數可得到，由此可得到y的取值范圍，然后依據得到x的取值范圍，最后根據二次根式的性質進行化簡即可．
【詳解】解：由可知，
，
，
，
，，
，
故選：B．
填空題
1.化簡：（1） ；（2） ；（3） ．
【答案】 /
【分析】本題考查了二次根式的性質化簡，根據二次根式的性質化簡即可求解．正確的計算是解題的關鍵．
【詳解】（1）；
（2）；
（3）．
故答案為：，，．
2.若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據二次根式有意義的條件是被開方數非負即可求解．
【詳解】解：∵在實數范圍內有意義，
∴
∴，
故答案為：．
3.若，，則 ．
【答案】1
【分析】本題考查了完全平方公式的應用，二次根式的化簡，靈活運用完全平方公式進行變形是解題的關鍵．先求解，再由可得答案．
【詳解】解：∵，，
∴
，
∴；
故答案為：1．
4.已知數，，在數軸上的位置如圖所示，化簡： ．
【答案】
【分析】本題考查了絕對值的化簡，先根據數軸上，，的位置確定的符號，再根據絕對值的性質化簡即可，解題的關鍵是要能根據數軸上點的位置確定各式子的符號．
【詳解】解：由數軸可得：，，
∴
∴
，
故答案為：．
5.在實數范圍內有意義，則a的取值范圍是
【答案】且
【分析】本題考查了二次根式有意義，被開方數為非負數，分母不為0，據此即可作答．
【詳解】解：∵在實數范圍內有意義，
∴且
故答案為：且
解答題
1.計算：．
【答案】
【分析】本題考查了實數的混合運算，二次根式的性質；
先算乘方和括號內的減法，同時利用二次根式的性質化簡，然后計算乘法，最后計算加法即可．
【詳解】解：原式
．
2.計算下列各題
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次根式的計算：
（1）利用平方差公式和二次根式化簡計算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式化簡計算即可；
結合完全平方公式和平方差公式計算是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：
=
=
=；
（2）解：
=
=
=．
3.（1）已知和是某個正數a的平方根，求實數a的值：
（2）實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡：．
【答案】（1）或；（2）
【分析】本題考查了平方根和立方根的概念，由點在數軸上的位置來判斷式的正負等知識點，
（1）根據平方根的概念得到或兩個數相同，解方程求出x的值，然后代入即可求出a的值；
（2）首先根據在數軸上的位置得到，然后化簡求解即可；
熟練掌握相應的知識點是解決此題的關鍵．
【詳解】（1）∵和是正數a的平方根，
∴或，
∴或，
∴或，
∴或；
（2）由圖可知，，
∴，
∴
．
4.閱讀材料：
和為整數，；
和為整數，；
和為整數，；
……
小明發現結論：若和為相鄰的兩個整數，其中，則有，
并給出了證明：根據題意，得
．
等式兩邊同時___________，得
____________．
整理得
．
請根據以上材料，解決以下問題：
(1)請補全小明的證明過程.
(2)若和為兩個相鄰整數，則____________.
(3)若和為相差4的兩個整數，求的值．
【答案】(1)平方，
(2)25
(3)
【分析】本題考查了完全平方公式，二次根式的性質化簡，熟練掌握二次根式的性質是解題關鍵．
（1）根據證明過程補全即可；
（2）根據已知結論，得出，求出的值即可；
（3）根據題意，得，將等式兩邊同時平方，整理后求解即可．
【詳解】（1）解：根據題意，得，
等式兩邊同時平方，得，
整理得，
故答案為：平方，；
（2）解：由題意可知，，
，
即，
故答案為：25．
（3）解：根據題意，得，
等式兩邊同時平方，得，
整理得：，
，
，
．
5.已知a，b為等腰三角形的兩邊之長，它們滿足等式，求此等腰三角形的周長．
【答案】或/或
【分析】本題考查了等腰三角形、三角形三邊關系、根式有意義的條件等知識，注意要分兩種情況討論是正確解答本題的關鍵．根據根式有意義的條件求出a，b的值，利用分類討論的思想思考問題即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
當a為腰，b為底時，三邊為：4、4、5，，滿足三角形的條件，
∴三角形的周長為；
當a為底，b為腰時，三邊為：4、5、5，，滿足三角形的條件，
∴三角形的周長為．
∴該三角形的周長是13或14．
6.已知．求的值．
【答案】
【詳解】由題意知，，．
原式變形為
整理，得，兩邊平方，得
，即．
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八年級數學下冊 預習篇
16.1 二次根式
一、二次根式
1.二次根式：一般地，我們把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根號，叫作被開方數。
2.是二次根式有意義的條件。
二、二次根式的性質：
（1）是一個非負數；既是二次根式，又是非負數的算術平方根，所以一定是非負數。即為二次根式的非負性。
（2）（）；
（3）；
（4）的前提條件是，而中的為一切實數；，，是三個重要的非負數。
選擇題
1.下列各根式中，與不是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.若，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3.下列語句：①2是4的平方根．②，，都是無理數．③實數和數軸上的點一一對應．④的立方根是2．⑤．⑥，則．正確的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
4.已知實數a在數軸上的對應點位置如圖，則化簡的結果為（）
A．1 B． C． D．
5.若有意義，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6.下列式子中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
7.下列根式中，化簡后能與進行合并的是（　　）
A． B． C． D．
8.已知，化簡二次根式的正確結果為（ ）
A． B． C． D．
填空題
1.化簡：（1） ；（2） ；（3） ．
2.若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是 ．
3.若，，則 ．
4.已知數，，在數軸上的位置如圖所示，化簡： ．
5.在實數范圍內有意義，則a的取值范圍是
解答題
1.計算：．
2.計算下列各題
(1)；
(2).
3.（1）已知和是某個正數a的平方根，求實數a的值：
（2）實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡：．
4.閱讀材料：
和為整數，；
和為整數，；
和為整數，；
……
小明發現結論：若和為相鄰的兩個整數，其中，則有，
并給出了證明：根據題意，得
．
等式兩邊同時___________，得
____________．
整理得
．
請根據以上材料，解決以下問題：
(1)請補全小明的證明過程.
(2)若和為兩個相鄰整數，則____________.
(3)若和為相差4的兩個整數，求的值．
5.已知a，b為等腰三角形的兩邊之長，它們滿足等式，求此等腰三角形的周長．
6.已知．求的值．
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