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八年級數學下冊 預習篇
16.2 二次根式的乘除
1.二次根式的乘法法則：二次根式的乘法法則：二次根式的乘法就是把被開方數相乘，二次根號不變，即。
2.積的算術平方根的性質：
（1）；
（2）用語言描述：積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積；
（3）運用積的算術平方根的性質，可以將二次根式化簡。
3.二次根式的除法法則：
（1）語言描述：兩個二次根式相除，將它們的被開方數（式）相除，二次根號不變；
（2）數學表達式：如果，那么；
4.在二次根式的除法法則中，條件與二次根式乘法的條件是有區別的；因為分母不能為0，所以被除式可以是非負數，而除式只能是正數，否則除法法則不成立。
5.商的算術平方根的性質
（1）商的算術平方根，等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根；
（2）數學表達式：如果，那么；
（3）運用商的算術平方根的性質，可以把二次根式化為最簡形式。
6.最簡二次根式的概念：
（1）滿足下列兩個條件的二次根式，叫作最簡二次根式：
①被開方數的因數是整數，因式是整式；②被開方數中不含能開的盡方的因數或因式；
（2）對最簡二次根式的理解：
①被開方數中不含分母，即被開方數的因數是整數，因式是整式；
②被開方數中每一個因數或因式的指數都小于根指數2，即每個因數或因式的指數都是1；
③分母中不含根號；
7.二次根式的乘除混合運算
（1）運算順序：二次根式的乘除混合運算順序與整式的乘除混合運算順序相同，按照從左到右的順序計算，有括號的先算括號里面的；
（2）公式、法則：整式乘除中的公式、法則在二次根式混合運算中仍然適用；
（3）運算律：整式乘法的運算律在二次根式運算中仍然適用；
8.在進行二次根式的運算時常見的錯誤：
（1）忽略計算公式的條件；
（2）不注意式子的隱含條件；
（3）除法運算時，分母開方后沒寫在分母的位置上；
9.二次根式的化簡：
（1）如果被開方數是分數或分式，先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式的形式，然后把分母化為有理式；
（2）如果被開方數是正數或整式，先將它分解因數或因式，然后把它開得盡方的因數或因式開出來；
10.化去分母中的根號：
（1）化去分母中的根號，其依據是分式的基本性質，關鍵是分子、分母同乘以一個式子，使它與分母相乘得整式；
（2）下面幾種類型的兩個含有二次根式的代數式相乘，它們的積不含有二次根式：
，，，；
（3）化去分母中的根號時，分母要先化簡；在進行二次根式的運算時，結果一般都要化為最簡二次根式。
選擇題
1.設的整數部分為，小數部分為，則的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查無理數的估算、二次根式的乘法運算、代數式求值，正確得出無理數的整數部分和小數部分是解答的關鍵．本題先求解，，再代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴的整數部分為，小數部分為，
∴，
故選：A．
2.下列等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查二次根式的計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．根據運算法則進行計算即可．
【詳解】解：，故選項A錯誤；
，故選項B錯誤；
，故選項C錯誤；
，故選項D錯誤．
故選：B．
3.下列二次根式中：，，，，，屬于最簡二次根式的個數有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查的是最簡二次根式，被開方數不含分母、被開方數中不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．根據最簡二次根式的概念判斷即可．
【詳解】解：、是最簡二次根式，
不是最簡二次根式，
不是最簡二次根式，
不是最簡二次根式，
故選：B．
4.下列二次根式是最簡二次根式的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查最簡二次根式的識別，如果一個二次根式符合下列兩個條件：1.被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；2.被開方數的因數是整數，因式是整式，那么這個根式叫做最簡二次根式．據此逐項判斷即可．
【詳解】解：A，中被開方數含能開得盡方的因數，，不是最簡二次根式；
B，是最簡二次根式；
C，中被開方數不是整數，，不是最簡二次根式；
D，中被開方數不是整數，，不是最簡二次根式；
故選B．
5.計算（）的結果是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，利用二次根式的性質進行化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵．
直接利用二次根式的混合運算法則，計算化簡即可．
【詳解】解：
，
故選：A．
6.下列判斷正確的是（ ）
A． B．與最接近的整數是5
C． D．與的積是有理數
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的性質化簡以及無理數的估算：先把A和C選項的二次根式化簡，再判斷正確；根據無理數的估算方法對B和D選項進行判斷，即可作答．
【詳解】解：A、因為，所以，則，故該選項是錯誤的；
B、因為，則與最接近的整數是6，故該選項是錯誤的；
C、，故該選項是錯誤的；
D、，則與的積是有理數，故該選項是正確的；
故選：D
7.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查最簡二次根式，根據最簡二次根式“被開方數是整式且不含有能開得盡方的因數或因式的二次根式是最簡二次根式”進行判斷即可．
【詳解】解：A. ，不是最簡二次根式，不合題意；
B. ，不是最簡二次根式，不合題意；
C. ，不是最簡二次根式，不合題意；
D. ，是最簡二次根式，符合題意；
故選：D．
8.下列根式中，屬于最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據最簡二次根式：“被開方數不含分母，不含能開方開的盡的因數或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式．”進行判斷即可．
【詳解】解：A、，不是最簡二次根式；
B、，是最簡二次根式；
C、，不是最簡二次根式；
D、，被開方數含有分母，不是最簡二次根式．
故選B．
填空題
1.化簡： ．
【答案】
【分析】根據題意知，然后根據平方根的 性質化簡．
本題考查的是二次根式的化簡，熟練掌握二次根式性質，是解答此題的關鍵．
【詳解】由知，，
∴，
∴．
故答案為：．
2.計算： ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的乘法，根據二次根式的乘法運算法則進行計算即可，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
3.如圖，從一個大正方形中截去面積分別為和的兩個小正方形，若，，則圖中留下來的陰影部分的面積為 ．
【答案】26
【分析】本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關鍵．先求出圖中留下來的陰影部分的面積等于兩個長方形的面積之和，再將的值代入計算即可得．
【詳解】解：由題意可知，圖中留下來的陰影部分的面積為，
，，
，
故答案為：26．
4.已知，，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查因式分解的應用，二次根式的運算，將因式分解為，把已知條件整體代入，運用二次根式的運算即可求解．
【詳解】∵ ，，
∴．
故答案為：
5.若，那么代數式的值為 ．
【答案】8
【分析】本題主要考查了求代數式的值，首先將已知條轉化為，然后整體代入代數式進行計算即可得出答案，熟練掌握求代數式值的方法于技巧，理解整體思想在解決問題中的應用是關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴
．
故答案為：8．
解答題
1.計算：（）．
【答案】
【分析】本題考查二次根式乘除法和性質，先根據二次根式的乘除法運算法則計算，再利用性質化簡即可求解．掌握二次根式的運算法則是解答的關鍵．
【詳解】解：
．
2.(1)計算：；
(2)解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次根式的除法，實數的混合運算，解分式方程．熟練掌握二次根式的除法，實數的混合運算，解分式方程是解題的關鍵．
（1）先計算二次根式的除法，乘方，然后進行加法運算；
（2）先去分母將分式方程化成整式方程，然后求整式方程的根，最后檢驗即可．
【詳解】（1）解： ．
（2）解：，
方程兩邊同時乘得，，
去括號得，，
移項合并得，，
系數化為1得，．
檢驗，當，，是原分式方程的解．
3.計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了二次根式的性質化簡、二次根式的混合運算、完全平方公式等知識點，靈活運用二次根式的性質化簡是解題的關鍵
（1）先根據二次根式的性質化簡、然后去括號、最后合并同類二次根式即可解答；
（2）先根據二次根式除法法則、完全平方公式計算，然后合并同類二次根式即可解答．
【詳解】（1）解：
．
（2）解：
．
4.先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查了整式的混合運算，二次根式的運算；
利用完全平方公式和整式乘法的法則展開，然后合并同類項可得最簡結果，再代入求值即可．
【詳解】解：原式
；
當時，原式．
5.先化簡，再求值：，其中，，．
【答案】，
【分析】本題考查二次根式的化簡求值．
根據二次根式的化簡方法先化成最簡二次根式，再代入求值即可．
【詳解】解：
當，，時，
原式
6.請閱讀下列材料：
問題：已知，求代數式的值．小敏的做法是：根據得，∴，得．把作為整體代入得．即：把已知條件適當變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：
(1)已知，求代數式的值；
(2)已知 ，求代數式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本題主要考查了完全平方公式的應用、整體思想等知識點，根據完全平方公式求出，然后代入計算即可；掌握整體思想是解題的關鍵；
（2）本題主要考查了二次根式的乘法、完全平方公式等知識點根據二次根式的乘法法則、完全平方公式計算可得，，然后整體代入計算即可；靈活運用相關運算法則是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
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八年級數學下冊 預習篇
16.2 二次根式的乘除
1.二次根式的乘法法則：二次根式的乘法法則：二次根式的乘法就是把被開方數相乘，二次根號不變，即。
2.積的算術平方根的性質：
（1）；
（2）用語言描述：積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積；
（3）運用積的算術平方根的性質，可以將二次根式化簡。
3.二次根式的除法法則：
（1）語言描述：兩個二次根式相除，將它們的被開方數（式）相除，二次根號不變；
（2）數學表達式：如果，那么；
4.在二次根式的除法法則中，條件與二次根式乘法的條件是有區別的；因為分母不能為0，所以被除式可以是非負數，而除式只能是正數，否則除法法則不成立。
5.商的算術平方根的性質
（1）商的算術平方根，等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根；
（2）數學表達式：如果，那么；
（3）運用商的算術平方根的性質，可以把二次根式化為最簡形式。
6.最簡二次根式的概念：
（1）滿足下列兩個條件的二次根式，叫作最簡二次根式：
①被開方數的因數是整數，因式是整式；②被開方數中不含能開的盡方的因數或因式；
（2）對最簡二次根式的理解：
①被開方數中不含分母，即被開方數的因數是整數，因式是整式；
②被開方數中每一個因數或因式的指數都小于根指數2，即每個因數或因式的指數都是1；
③分母中不含根號；
7.二次根式的乘除混合運算
（1）運算順序：二次根式的乘除混合運算順序與整式的乘除混合運算順序相同，按照從左到右的順序計算，有括號的先算括號里面的；
（2）公式、法則：整式乘除中的公式、法則在二次根式混合運算中仍然適用；
（3）運算律：整式乘法的運算律在二次根式運算中仍然適用；
8.在進行二次根式的運算時常見的錯誤：
（1）忽略計算公式的條件；
（2）不注意式子的隱含條件；
（3）除法運算時，分母開方后沒寫在分母的位置上；
9.二次根式的化簡：
（1）如果被開方數是分數或分式，先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式的形式，然后把分母化為有理式；
（2）如果被開方數是正數或整式，先將它分解因數或因式，然后把它開得盡方的因數或因式開出來；
10.化去分母中的根號：
（1）化去分母中的根號，其依據是分式的基本性質，關鍵是分子、分母同乘以一個式子，使它與分母相乘得整式；
（2）下面幾種類型的兩個含有二次根式的代數式相乘，它們的積不含有二次根式：
，，，；
（3）化去分母中的根號時，分母要先化簡；在進行二次根式的運算時，結果一般都要化為最簡二次根式。
選擇題
1.設的整數部分為，小數部分為，則的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
2.下列等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列二次根式中：，，，，，屬于最簡二次根式的個數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4.下列二次根式是最簡二次根式的為（ ）
A． B． C． D．
5.計算（）的結果是（　?。?br/>A． B． C． D．
6.下列判斷正確的是（ ）
A． B．與最接近的整數是5
C． D．與的積是有理數
7.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8.下列根式中，屬于最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
填空題
1.化簡： ．
2.計算： ．
3.如圖，從一個大正方形中截去面積分別為和的兩個小正方形，若，，則圖中留下來的陰影部分的面積為 ．
4.已知，，則的值為 ．
5.若，那么代數式的值為 ．
解答題
1.計算：（）．
2.(1)計算：；
(2)解方程：．
3.計算：
(1)；
(2)．
4.先化簡，再求值：，其中．
5.先化簡，再求值：，其中，，．
6.請閱讀下列材料：
問題：已知，求代數式的值．小敏的做法是：根據得，∴，得．把作為整體代入得．即：把已知條件適當變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：
(1)已知，求代數式的值；
(2)已知 ，求代數式的值．
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