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八年級數學下冊 預習篇
16.3 二次根式的加減
1.二次根式的加減法則：二次根式進行加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合并。
2.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫作同類二次根式。
3.合并二次根式：只需把二次根式的系數相加減，根指數和被開方數不變。
4.二次根式加減法的一般步驟：
（1）將每一個二次根式化成最簡二次根式；
（2）找出其中的同類二次根式；
（3）合并同類二次根式；
5.二次根式的加減混合運算
（1）二次根式的加減，就是合并同類二次根式；
（2）合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似，合并同類二次根式，只把系數相加減，根指數與被開方數不變；
（3）進行二次根式的加減混合運算時，交換律、結合律及去括號、添括號法則仍然適用。
6.二次根式的混合運算
（1）二次根式的混合運算的順序：先乘方，再乘除，最后加減；有括號時，要先算括號里面的。
（2）運算過程中一定要注意符合，運算結果一定要化為最簡形式。
選擇題
1.下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次根式的四則運算，掌握二次根式的運算法則是解題關鍵．
【詳解】解：不是同類二次根式，不能相加，故A錯誤；
，故B正確；
，故C錯誤；
，故D錯誤；
故選：B
2.設的整數部分是m，小數部分是n，則n的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，無理數的估算，熟練掌握無理數的估算方法是解題的關鍵．先根據二次根式的運算法則計算得出結果，然后估算取值范圍即可得出其整數部分和小數部分．
【詳解】解：，
∵，
即，
∴，
又∵
∴，
∴的整數部分是，小數部分是，
故選：D．
3.下列根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次根式的性質、同類二次根式的判斷，關鍵是熟知同類二次根式：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．據此逐項判斷即可．
【詳解】解：A、，故與不是同類二次根式，不符合題意；
B、，故與不是同類二次根式，不符合題意；
C、，故與是同類二次根式，符合題意；
D、，故與不是同類二次根式，不符合題意，
故選：C．
4.下列二次根式中，如果與是同類二次根式，那么這個根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是同類二次根式，“把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式”．先把各個二次根式化簡，根據同類二次根式的概念判斷即可．
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，故A錯誤；
B、與不是同類二次根式，故B錯誤；
C、與不是同類二次根式，故C錯誤；
D、與是同類二次根式，故D正確；
故選：D．
5.已知，，則a，b的關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查二次根式的運算，根據二次根式的運算法則求解、，進而逐項判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，，
故選項A、B、C錯誤，不符合題意，選項D正確，符合題意，
故選：D．
6.下列二次根式中，與不是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，同類二次根式的判斷．先將各個二次根式化簡，再根據同類二次根式的性質進行解答即可．
【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，符合題意；
B、，與是同類二次根式，不符合題意；
C、，與是同類二次根式，不符合題意；
D、，與是同類二次根式，不符合題意；
故選：A．
7.下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本題考查了同類二次根式的概念，根據：“被開方數相同的最簡二次根式，叫做同類二次根式”，進行判斷即可．
【詳解】解：A、不是同類二次根式，不符合題意；
B、，，是同類二次根式，符合題意；
C、，不是同類二次根式，不符合題意；
D、不是同類二次根式，不符合題意；
故選B．
8.如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】本題考查了同類二次根式的概念，化為最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式稱為同類二次根式，根據“最簡二次根式與是同類二次根式”可得，進行計算即可得出答案，熟練掌握同類二次根式的概念是解此題的關鍵．
【詳解】解：最簡二次根式與是同類二次根式，
它們的被開方數相等，
，
解得：，
故選：B．
填空題
1.計算： ．
【答案】/
【分析】本題考查分母有理數，給分子、分母同乘以，利用平方差公式求解即可．掌握分母有理數的求解方法是解答的關鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
2.比較大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本題考查了算術平方根和二次根式的大小比較，能選擇適當的方法比較兩個數的大小是解此題的關鍵．先把根號外的因式移入根號內，再比較即可．
【詳解】解： ， ，
∵，
∴
∴，
故答案為：．
3.已知 ，則代數式 ．
【答案】
【分析】本題考查的是二次根式的化簡求值，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．根據二次根式混合運算的法則進行計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
4.已知，則化簡的結果為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，偶次方和算術平方根的非負性，二次根式有意義的條件，分母有理化，根據二次根式有意義的條件得出，從而得到，根據非負數的性質得出，，最后代入式子中進行計算，即可解答，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得：，，
解得：，，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
5.若最簡二次根式與可以合并，則的值為 ．
【答案】3
【分析】本題考查了同類二次根式的定義，屬于基礎概念題型，熟知同類二次根式的概念是關鍵．令求解即可．
【詳解】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，
∴，
解得：，
故答案為：3
解答題
1.計算
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查的是二次根式的混合運算，掌握混合運算的運算順序是解本題的關鍵；
（1）先計算二次根式的乘法運算，再計算加減運算即可；
（2）先計算括號內的二次根式的減法運算，再計算二次根式的除法運算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）
．
2.先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】題主要考查二次根式的化簡及求值的知識，先運到平方差公式和單項式乘以多項式運算，然后合并同類項，再代入數值計算是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
當時，原式．
3.大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分不能全部寫出來，但是根據的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分，所以它的小數部分可以寫成．請解答下面題目．
(1)的整數部分是________；
(2)如果的整數部分是，的小數部分是，求的值；
(3)如果，其中是整數，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查二次根式的加減運算，估算無理數的整數部分和小數部分．
（1）估算的整數部分即可；
（2）求出a，b的值，再代入計算即可；
（3）求出x，y的值，再代入計算．
【詳解】（1）解：∵，即，
的整數部分是2，
故答案為：2；
（2）∵，即，
的整數部分是3，小數部分為，
，，
；
的值為；
（3）解：∵，即，
，
是整數，且，，
∴，，
．
4.計算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本題考查二次根式的運算和零指數冪的運算，解題關鍵掌握運算法則．
（）先進行分母有理化，然后合并同類二次根式即可；
（）根據平方差和完全平方公式進行計算即可；
（）先進行算術平方根，立方根和化簡絕對值運算，再進行加減即可；
（）先由二次根式的除法和零指數冪的運算法則計算，再進行加減即可；
【詳解】（1）原式，
；
（2）原式，
；
（3）原式，
；
（4）原式，
，
．
5.觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：
．
，
．
(1)用含n（n為正整數）的關系式表示上述各式子的變形規律為_______．
(2)利用上面的結論，求下列式子的值：．
【答案】(1)
(2)1011
【分析】本題主要考查利用平方差公式分母有理化，二次根式的混合運算等知識點，
（1）數字找規律，進行計算即可解答；
（2）利用前邊的規律，進行計算即可解答；
注意根據平方差公式的結構找到另一因式是求解的關鍵．
【詳解】（1）總結規律可知：
，
故答案為：；
（2）
．
6.請閱讀下列材料：
問題：已知，求代數式的值．
小敏的做法是：根據得，
∴，得：.
把作為整體代入：得
即：把已知條件適當變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：
(1)己知，求代數式的值；
(2)已知 ，求代數式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用、二次根式的乘法、整體思想等知識點，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．
（1）根據完全平方公式求出，然后代入計算即可；掌握整體思想是解題的關鍵；
（2）根據完全平方公式計算可得，然后利用整體代入計算即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∴
．
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八年級數學下冊 預習篇
16.3 二次根式的加減
1.二次根式的加減法則：二次根式進行加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合并。
2.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫作同類二次根式。
3.合并二次根式：只需把二次根式的系數相加減，根指數和被開方數不變。
4.二次根式加減法的一般步驟：
（1）將每一個二次根式化成最簡二次根式；
（2）找出其中的同類二次根式；
（3）合并同類二次根式；
5.二次根式的加減混合運算
（1）二次根式的加減，就是合并同類二次根式；
（2）合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似，合并同類二次根式，只把系數相加減，根指數與被開方數不變；
（3）進行二次根式的加減混合運算時，交換律、結合律及去括號、添括號法則仍然適用。
6.二次根式的混合運算
（1）二次根式的混合運算的順序：先乘方，再乘除，最后加減；有括號時，要先算括號里面的。
（2）運算過程中一定要注意符合，運算結果一定要化為最簡形式。
選擇題
1.下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2.設的整數部分是m，小數部分是n，則n的值是（ ）
A． B． C． D．
3.下列根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4.下列二次根式中，如果與是同類二次根式，那么這個根式是（ ）
A． B． C． D．
5.已知，，則a，b的關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
6.下列二次根式中，與不是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7.下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
8.如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
填空題
1.計算： ．
2.比較大小： ．（填“”、“”或“”）
3.已知 ，則代數式 ．
4.已知，則化簡的結果為 ．
5.若最簡二次根式與可以合并，則的值為 ．
解答題
1.計算
(1)
(2)
2.先化簡，再求值：，其中．
3.大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分不能全部寫出來，但是根據的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分，所以它的小數部分可以寫成．請解答下面題目．
(1)的整數部分是________；
(2)如果的整數部分是，的小數部分是，求的值；
(3)如果，其中是整數，且，求的值．
4.計算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5.觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：
．
，
．
(1)用含n（n為正整數）的關系式表示上述各式子的變形規律為_______．
(2)利用上面的結論，求下列式子的值：．
6.請閱讀下列材料：
問題：已知，求代數式的值．
小敏的做法是：根據得，
∴，得：.
把作為整體代入：得
即：把已知條件適當變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：
(1)己知，求代數式的值；
(2)已知 ，求代數式的值．
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