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第1講 平面向量的概念及運算
1．C
【分析】圖像是個有向線段，可知其表達是一個向量.
【詳解】圖像有起點有終點，有箭頭有方向，可知其代表的是向量.
故選：C.
2．C
【分析】由求解.
【詳解】因為，
所以，
為使它們平衡，需加力，
故選：C
3．B
【解析】根據共線向量的運算及向量模的概念即可判斷真假.
【詳解】對于①向量與反向，且，向量與的方向相同正確；
對于②，向量與的方向相同，故②說法不正確；
③向量與同向，則向量與的方向相同正確，
故①③說法正確.
故選：B
【點睛】本題主要考查了共線向量加法的運算，向量模的概念，屬于容易題.
4．A
【分析】根據向量相等與共線定義即可判斷結果．
【詳解】單位向量的長度，則A正確，
兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點也不一定相同，B錯；
當時，與可能不共線，則C錯；
兩個單位向量平行也可能反向，則不相等，故D錯，
故選：A.
5．A
【分析】根據向量加法的三角形法則計算可得；
【詳解】解：
故選：A
6．A
【分析】向量為鄰邊的平行四邊形是菱形，夾角為，可求與的夾角.
【詳解】設，，以為鄰邊作平行四邊形，如圖所示，
則有，，
由，則四邊形為菱形，，
則有與的夾角為.
故選：A．
7．A
【解析】根據向量的定義即可判斷；
【詳解】解：速度、位移、力、加速度4個物理量是向量，它們都有大小和方向.
故選：
【點睛】本題考查向量的定義的理解，屬于基礎題.
8．D
【分析】通過零向量的概念判斷A；
通過向量的概念判斷B；
通過共線向量的定義判斷C；
通過共線向量的定義判斷D.
【詳解】的方向是任意的，和任意向量都平行，故A正確；
向量的是既有大小又有方向的量，任意移動還是原向量，故B正確；
共線向量是方向相同或相反的向量，故C正確；
起點相同的共線向量可以是方向相反的向量，終點不一定相同，故D錯誤，
故選：D．
【點睛】本題考查向量的方向問題，是基礎題.
9．A
【分析】根據相等向量和向量加法運算直接計算即可.
【詳解】，.
故選：A.
10．D
【分析】先根據圖得到，再根據平面向量的線性運算求解即可.
【詳解】由題意，
所以.
故選：D.
11．B
【分析】結合圖象，根據向量的線性運算法則求解即可.
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B.

12．B
【解析】由于，，從而得，而由是的中點，可得，進而可得結果
【詳解】解：因為，，
所以，
因為是的中點，所以，
所以，
所以，
故選：B
13．ABD
【分析】根據向量的加減法法則逐個分析判斷即可
【詳解】對于①，，所以①符合題意，
對于②，，所以②符合題意，
對于③，，所以③不符合題意，
對于④，，所以④符合題意，
故選：ABD
14．AB
【分析】利用平面向量的線性運算可判斷AB選項；取，可判斷C選項；取，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，，A對；
對于B選項，，B對；
對于C選項，若，則、不一定相等，C錯；
對于D選項，若，則、不一定相等，D錯.
故選：AB.
15．ABC
【分析】根據相等向量的概念，可判斷A錯；根據相反向量的概念，可判斷B錯；根據向量相等，可得四點可能共線，判斷C錯；根據但單位向量的概念，可判斷D對.
【詳解】若，只能表示和的長度相等，不能說明為相等向量，A錯誤；
相反向量是方向相反，模相等的兩個向量，B錯誤；
若，則A，B，C，D四點可能共線，不能構成平行四邊形，C錯誤；
單位向量是模長等于1的向量，兩個單位向量之和的模長可能仍然為1（如兩單位向量夾角為時），故D正確.
故選：ABC.
16．AC
【分析】作出圖示，根據向量的平行四邊形法則逐項進行判斷即可.
【詳解】對于A：如下圖所示，可知在內部，故成立；
對于B：如下圖所示，可知在外部，故不成立；
對于C：因為，
如下圖所示，可知在內部，故成立；
對于D：因為，
如下圖所示，可知在外部，故不成立；
故選：AC.
【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是采用圖示結合向量的平行四邊形法則進行說明，其中CD選項中的向量關系式要根據進行化簡.
17．BCD
【詳解】對于A，表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同，故A正確；
對于B，若也有可能，長度不等，但方向相同或相反，即共線，故B錯誤；
對于C，若，則，可以方向不同，所以四邊形不一定是平行四邊形，故C錯誤；
對于D，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，故D錯誤.
故選：BCD.
18．ABC
【分析】根據向量共線定理判斷各選項即可.
【詳解】因為方向相同，且，所以，A正確，
因為方向相同，且，所以，B正確，
因為方向相反，且，所以，C正確，
因為方向相反，且，所以，D錯誤，
故選：ABC.
19．或
【分析】由平面向量的線性運算法則即可求出結果.
【詳解】若點靠近點，則由平面向量的線性運算法則可得
；
若點靠近點，則由平面向量的線性運算法則可得
；
故答案為：或.
20．24
【分析】每個小正方中有兩個符合條件，找到正方形個數即可.
【詳解】由題意知，的格點圖中包含12個小正方形，每個小正方形的對角線長為
與平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24個向量滿足.
故答案為：24.
21．
【分析】將轉化為用來表示，解方程求得的值.
【詳解】依題意,，解得.
【點睛】本小題主要考查向量的加法和減法運算，考查向量數量積的運算，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.
22．
【分析】根據平面向量的加法法則和減法法則進行運算.
【詳解】.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查向量的運算，明確向量加法和減法的運算規則是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.
23． ， ，，，， ，，，，
【解析】（1）在圖形中找出與向量相等的向量，即找出和已知向量大小相等，方向相同的向量．
（2）與向量共線且模相等的向量，是指所有與已知向量方向相同或相反的向量，且長度相等.
（3）與向量共線且模相等的向量，是指所有與已知向量方向相同或相反的向量，且長度相等.
【詳解】解：解：（1）與向量相等的向量是，；
（2）與向量共線且模相等的向量是，，，， ，
（3）與向量共線且模相等的向量，，，，
故答案為：（1），；
（2），，，，；
（3），，，，.
【點睛】向量知識，向量觀點在數學．物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，而它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”能融數形于一體，能與中學數學教學內容的許多主干知識綜合．
24．
【分析】依據向量加法法則去求解即可.
【詳解】
故答案為：.
25．
【分析】結合向量的線性運算的加法法則得出，
根據題意求出即可.
【詳解】因為,
所以,
又正方體的邊長為1，所以對角線,
即，所以.
故答案為：
26．4
【分析】由向量的平行四邊形法則，由向量共線，是的重心，可得，代入可得.
【詳解】
因為的中點，所以，
因是的重心，所以，所以
，
故，
故答案為：4
27．
【分析】由已知可知與共線反向，令，然后由和列方程求解即可.
【詳解】解：因為平面向量與的夾角是，
所以設，即，
因為，所以，得，
因為，所以，
所以，
故答案為：
【點睛】此題考查共線向量，向量的模，向量的坐標運算，屬于基礎題.
28．
【分析】由題意計算出的值，可得的值.
【詳解】解：由
可得,
故：，
故答案為：.
【點睛】本題主要考查向量的加法運算與向量的摸的求法，屬于基礎題型.
29．①；② ；③
【解析】根據加法的三角形運算法則和基本規律首尾相連求解.
【詳解】①＋＝+＝；
②＋＋＝＋＋＝；
③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.
【點睛】本題主要考查平面向量的加法運算，其規律是首尾相連，同時注意加法運算結果是向量，屬于中檔題.
30．(1)；
(2).
【分析】（1）（2）根據給定條件，利用向量的線性運算求解作答.
【詳解】（1）.
（2）.
31．(1)
(2)
【詳解】（1）
（2）
32．(1)；(2)證明見解析.
【分析】(1)延長AG交BC于D，由重心定理可得，在中用表示出即可得解；
(2)利用(1)的結論，借助向量的線性運算即可得解.
【詳解】(1)延長AG交BC于D，如圖，

因點為的重心，則D是BC邊中點，并且有，即，
又是的中線，則有，于是得,
所以；
(2)由(1)知：，取所在平面內任意一點O，
則有，即，亦即，
所以.
33．(1)答案見詳解圖形
(2)
【分析】（1）作中點，延長至，使得，結合向量線性運算的加法公式和點乘運算化簡即可；
（2）將向量結合線性運算的加法和減法運算表示成以為基底的向量，由對應關系即可求解，，值．
【詳解】（1）作中點，延長至，使得，
則
（2）結合向量線性運算的加法與減法運算可得
，
又，所以.
34．(1)
(2)
【分析】(1)利用向量加法的結合律，將已知式子變形為，從而可化簡得出答案.
(2) 利用向量加法的結合律，將已知式子變形為，從而可化簡得出答案
【詳解】（1）
（2）
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第1講 平面向量的概念及運算
一、向量的概念及表示
1.向量：既有大小又有 的量叫做向量.
2.數量：只有大小，沒有方向的量(如年齡、身高、長度、面積、體積和質量等)，稱為數量．
3.有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．
4.向量的表示方法：如，，等.
5.有向線段可以表示向量，但向量不是有向線段．
二、向量的有關定義
1.向量的模：向量的 叫向量的模.
2.向量不能比較大小，但是實數，可以比較大小．
3.零向量：長度為 的向量叫零向量.記作，它的方向是 的．
4.單位向量：長度等于1個單位的向量.
5.平行向量：方向 或 的非零向量，叫平行向量(共線向量).規定：與任一向量平行.
6.相等向量：長度相等且方向相同的向量.
7.相反向量：長度相等且方向相反的向量.
三、向量的加減法運算
1.三角形法則：a＋b＝＋＝
2.平行四邊形法則：＝a＋b
3.a－b＝a＋(－b)
4.a－b＝－＝
5.結合律：a＋b＝b＋a 交換律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
6.向量三角不等式：|a|－|b|≤|a ± b|≤|a|＋|b|
四、向量的數乘運算
1.定義：規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作：λa
①|λa|＝|λ||a|；
②當λ＞0時，λa的方向與a的方向 ；當λ＜0時，λa的方向與a的方向 ；當λ＝0時，λa＝0.
2.①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb；
3.向量線性運算:λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
五、共線定理
1.向量a（a≠0）與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使 .
2.若平面內三點A，B，C共線，則＝x＋ .
【課堂訓練】
一、單選題
1．對下面圖形的表示恰當的是（ ）．

A． B． C． D．
2．作用于原點的兩個力，為使它們平衡，需加力等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，均為非零向量，則下列說法不正確的個數是（ ）
①向量與反向，且，則向量與的方向相同；
②向量與反向，且，則向量與的方向相同；
③向量與同向，則向量與的方向相同.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列說法正確的是（ ）
A．兩個單位向量的長度相等
B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同
C．若，，則
D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等
5．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量滿足，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
7．給出下列物理量：①質量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有（ ）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
8．下列說法中不正確的是（ ）
A．與任意一個向量都平行
B．任何一個非零向量都可以平行移動
C．長度不相等而方向相反的兩個向量一定是共線向量
D．兩個有共同起點且共線的向量其終點必相同
9．如圖，在正六邊形中，等于（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，、為互相垂直的單位向量，向量可表示為（ ）
A． B．
C． D．
11．已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中點為E，則（ ）
A． B．
C． D．
12．在中，是的中點.若，，則＝（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．化簡以下各式：①；②；③；④．結果為零向量的是（ ）．
A．① B．② C．③ D．④
14．（多選）已知、是實數，、是向量，下列命題正確的是（　 ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
15．下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則與為相等向量
B．若與方向相反，則與為相反向量
C．若，則A，B，C，D四點一定可以構成平行四邊形
D．兩個單位向量之和可能仍然是單位向量
16．設是內部（不含邊界）的一點，以下可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
17．下列結論中，錯誤的是（ ）
A．表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；
B．若，則，不是共線向量；
C．若，則四邊形是平行四邊形；
D．有向線段就是向量，向量就是有向線段.
18．(多選)如圖，設P，Q兩點把線段AB三等分，則下列向量表達式正確的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
19．在平行四邊形中，、為對角線的三等分點，設，，用、表示，則 .
20．如圖是3×4的格點圖(每個小方格都是單位正方形)，若起點和終點都在方格的頂點處，則與平行且模為的向量共有 個.
21．圖，在梯形，，，，，且，則的值為 .
22．化簡： .
23．如圖所示，和是在各邊的處相交的兩個全等的等邊三角形，設的邊長為，圖中列出了長度均為的若干個向量
則：（1）與向量相等的向量有 ；
（2）與向量共線，且模相等的向量有 ；
（3）與向量共線，且模相等的向量有 .
24．化簡： ．
25．已知正方形的邊長為1，則 ．
26．在中，，，，分別是邊，，的中點，是的重心，若，則 .
27．若平面向量與的夾角是，且，則等于 ．
28．已知向量則
四、解答題
29．化簡：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
30．化簡：
(1)；
(2).
31．化簡
(1)；
(2)．
32．若點為的重心.
（1）化簡：；
（2）求證：.
33．已知是平行六面體．
(1)化簡，并在圖中標出其結果；
(2)設M是底面ABCD的中心，N是側面對角線上靠近的四等分點，設，試求的，，值．
34．化簡下列各式：
(1)
(2)
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