資源簡介

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第2講 數量積與平面向量基本定理
1．C
【分析】根據向量夾角公式即可求解.
【詳解】解：因為，為單位向量，且，，
所以，
又，
所以，
所以.
故選：C.
2．C
【分析】由結合平面向量的減法化簡計算可得出的表達式.
【詳解】因為，則，可得，
所以，.
故選：C.
3．D
【分析】根據題意，結合向量的數量積的運算公式，準確運算，即可求解.
【詳解】如圖所示，由是邊長為的等邊三角形，且，可得，
所以.
故選：D.
4．D
【分析】設，由等邊三角形的性質可知，即點為的中心，從而求出，利用向量數量積公式即可計算結果.
【詳解】設，則，因為為等邊三角形，
所以，，同理：，，
又，所以，則，
所以點為的中心，
，，且，
則
故選：D
5．A
【分析】由題意可知：，整理得：，由和是兩個不共線的非零向量，可得，解方程組即可得到所求值．
【詳解】解：，，三個向量的終點在同一條直線上，
，
整理得：，
由和是兩個不共線的非零向量，
，解得：，
當，，，的終點在同一條直線上．
故選：A.
6．B
【分析】根據正六邊形的性質代入計算即可.
【詳解】解：
，
故選：B.
【點睛】考查向量的數量積以及正六邊形的性質，基礎題.
7．C
【分析】根據平面向量的定義求出，再根據計算可得；
【詳解】解：因為，所以， 又，向量，的夾角為，所以，所以
故選：C
【點睛】本題考查平面向量定義法求數量積，以及向量模的計算，屬于基礎題.
8．C
【分析】由平面向量的線性運算求解，
【詳解】由題意得，
解得，
故選：C
9．A
【分析】把平方，再解方程，即可得出答案.
【詳解】，所以，
解得（負值舍去）.
故選：A .
【點睛】本題考查平面向量的數量積運算.
10．B
【分析】先求出的值， 將平方轉化為數量積計算.
【詳解】，所以，， ，所以.
故選：B
11．B
【分析】由題意得有三種可能取值，由其中的最小值列式求解.
【詳解】設，可知有三種可能取值，
，，
，而，，可得，
則最小值，解得，
因為，所以.
故選：B
12．A
【解析】利用向量加減法法則 中點的性質即可得出.
【詳解】解：∵是的中點，
∴，
故選：A.
【點睛】本題考查向量加減法則，考查數乘的意義．屬于基礎題．
13．BC
【分析】根據共線向量判斷A、B，根據投影向量的定義判斷C，根據數量積的運算律判斷D.
【詳解】對于A：當，、不平行時，滿足，，得不出，故A錯誤；
對于B：，，所以、不共線，、可作為平面內的一組基底，故B正確；
對于C：因為，，所以， ，
所以在上的投影向量為，故C正確；
對于D：，，，
，故D錯誤．
故選：BC．
14．BC
【分析】根據平面向量基底的定義，結合平行四邊形的性質逐一判斷即可.
【詳解】A項中與共線，D項中與共線，B，C項中兩向量不共線，
故選：BC
15．BD
【分析】根據向量的共線定理，向量垂直的數量積表示，向量的模的定義分別分析選項，即可求解.
【詳解】對于A，，只需垂直即可，故A不正確；
對于B，若，且,由非零向量、、可知，
所以可得，故，故B正確；
對于C，，模相等，兩向量可以不共線，故錯誤，故C不正確；
對于D，由可得，化簡可得，故D正確.
故選：BD
16．ABC
【分析】由向量數量積的運算律可知ABC正確，不一定成立，得到答案.
【詳解】對選項A：，正確；
對選項B：，正確；
對選項C：，正確
對選項D：令，則，而均為任意向量，所以不一定成立，錯誤.
故選：ABC
17．AD
【分析】利用平面向量加法法則可判斷A選項的正誤，利用平面向量數量積的運算可判斷BC選項的正誤，利用平面向量共線定理可判斷D選項的正誤.
【詳解】由題意可知，.
對于A選項，設線段的中點為，由平面向量加法的平行四邊形法則可得，
所以，，
所以，線段的中點的廣義坐標為，A選項正確；
對于B選項，，
所以，
，
故，B選項錯誤；
對于C選項，若，則，
C選項錯誤；
對于D選項，若，可設，即，
所以，，消去可得，D選項正確.
故選：AD.
18．AC
【分析】根據平面向量的數量積的定義及數量積的運算律逐項判斷.
【詳解】對于A：，故A正確；
對于B：∵，
∴與不垂直，故B錯誤；
對于C：∵，
∴，故C正確；
對于D：在上的投影向量的模為，故D錯誤.
故選：AC.
19．/
【分析】本題首先可根據題意得出，然后根據三點共線得出，最后通過基本不等式即可求出最值.
【詳解】如圖，結合題意繪出圖象，
因為，為邊的中點，
所以，
因為三點共線，所以，
則，
當且僅當，即、時取等號，
故的最小值為，
故答案為：.
20．
【分析】選取為基底，其他向量用基底表示再運算．
【詳解】由題意
，
∴，∴．
故答案為：
21．/0.5
【分析】利用向量加法、數乘的幾何意義有，結合已知即可確定m、n的值，進而求.
【詳解】由題設，，而，
所以，而，
所以，故.
故答案為：
22．/
【分析】根據數量積的運算律求出，再根據計算可得；
【詳解】解：因為，，且，
所以，即，即，
所以，設與的夾角為，
所以，因為，
所以；
故答案為：
23．0
【分析】由向量不共線列出方程組，解方程即可.
【詳解】∵不共線，∴解得
∴x＋y＝0.
故答案為：0.
24．
【分析】利用向量的投影數量公式，數量積的坐標運算公式以及向量的夾角公式求解.
【詳解】∵在方向上的投影數量為，∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，
∵，∴向量與的夾角為，
故答案為：.
25．2
【分析】根據向量的線性運算，化簡得到，結合，列出方程，求得，即可求解.
【詳解】如圖所示，，
因為，
可得，
即，所以，所以.
故答案為：.
26．/
【分析】對兩邊同時平方，由數量積公式求解.
【詳解】因為，，又，則有，.
解得
故答案為：
27．
【分析】根據C，F，E共線，設，用表示，同理由B，F，D共線，設，用表示，利用向量相等，求得，再根據G為重心，得到，由求解.
【詳解】解：如圖所示：
因為C，F，E共線，設，
則，
所以，
因為B，F，D共線，設，
則，
所以，
所以，
則，解得，
所以，
又因為G為重心，
所以，
所以，
即，
故答案為；.
28．/
【分析】利用數量積的運算律及函數的最小值為，可得恒成立，從而求出，再利用數量積的運算律和二次函數的性質即可得出．
【詳解】解：在中，為鈍角，，函數的最小值為．
函數，
即恒成立．
當且僅當時等號成立，代入得到，
又，．
，
當且僅當時，取得最小值，
的最小值為．
故答案為：．
29．
【分析】直接由數量積的運算律以及數量積公式運算即可.
【詳解】.
30．(1)9
(2).
【分析】（1）根據向量數量積的定義表達式進行計算即得；
（2）根據向量的模的計算公式計算即得.
【詳解】（1）
；
（2）因，
則
，
故.
31．（1）；（2）=，=，=
【分析】（1）根據向量加法的三角形法則進行求解；（2）利用向量基本定理利用，為基底表達出、、．
【詳解】（1）；
（2）在中，可得，
在中，可得，
在中，由條件可得為其重心，因此
32．(1)
(2)
【分析】（1）利用兩個向量的數量積的運算法則，以及求向量的模的方法，求出；
（2）設向量與的夾角的夾角為，根據兩個向量的夾角公式，求出的值.
【詳解】（1）已知，，
，
，
；
（2）設向量與的夾角的夾角為，
則，
向量與的夾角的余弦值為.
33．
【分析】利用投影向量的定義即可求解.
【詳解】∵，
∴，
∴在上的投影向量為.
34．(1)
(2)
【分析】（1）代入向量模的數量積公式，即可求解；
（2）代入向量夾角的數量積公式，即可求解.
【詳解】（1）是夾角為的單位向量，
．
（2）是夾角為的單位向量，
，
，
．
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第2講 數量積與平面向量基本定理
一、向量夾角
已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．當θ＝0時，a與b ；當θ＝π時，a與b ．當θ＝，a與b ，記作a⊥b.
二、數量積
若非零向量a與b的夾角為θ，則a與b的數量積(或內積)，記作a·b，a·b＝ .
注意：向量的數量積是一個實數，不是向量，它的值可正、可負、可為0.
規定：零向量與任一向量的數量積為0．
向量數量積的性質：設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1) a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2) a⊥b a·b＝0.
(3) 當a∥b時，a·b＝.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4) |a·b|≤|a||b|.
(5) cos θ＝.
三、投影向量
向量a在向量b上的投影向量為＝ (θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量)
如果一個物體在力的作用下產生位移，那么力所做的功就等于力與位移的數量積，即，其中是與的夾角.
四、數量積的運算律
(1) a·b＝b·a
(2) (λ a)·b＝λ (a·b)＝a·(λ b)
(3) (a+b)·c＝a·c+b·c
(4) (a+b)·(a－b)＝a2－b2
(5) (a±b)2＝a2±2a·b+b2
五、平面向量基本定理
1. 如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使
2. 基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．
3. 基底不唯一，同一平面內的任意兩個不共線向量都可以作為基底，零向量不能作為基底．
4. 設，是同一平面內的兩個不共線向量，若，則
5. 重要結論設是平面內一個基底，若，
①當時，與共線；②當時，與共線；③當時，．
【課堂訓練】
一、單選題
1．已知，為單位向量，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．在中，點D在邊上，若，則（ ）
A． B．
C． D．
3．等邊邊長為，，則（ ）
A． B． C． D．
4．十七世紀法國數學家皮埃爾·德·費馬提出了一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”，在費馬問題中所求的點被稱為費馬點，對于每個給定的三角形都存在唯一的費馬點，當△ABC的三個內角均小于120°時，使得的點為的費馬點.已知點為等邊的費馬點，且，則（ ）
A．-12 B．-36 C． D．-18
5．已知向量，不共線.若，的起點相同，且向量，，的終點在同一條直線上，則實數的值為（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
6．已知邊長為2的正六邊形，則的值是（ ）
A．6 B． C． D．
7．已知向量，滿足，，向量，的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．5
8．在△ABC中，點D在邊AB上，，記，則＝（ ）
A． B． C． D．
9．已知平面向量，的夾角為，且，，則（ ）
A．1 B． C．3 D．2
10．已知，滿足，，且，的夾角為，則（ ）
A． B．2 C．4 D．
11．設為非零向量，，兩組向量和均由2個和2個排列而成.若所有可能取值中的最小值為，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．0
12．在中，是的中點，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．已知，，，，是平面向量，則下列選項中，正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則，可以作為平面內的一組基底
C．若，，則在上的投影向量為
D．若，，，則
14．如圖所示，設是平行四邊形的兩條對角線的交點，給出下列向量組，其中可作為該平面內所有向量的基底的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
15．關于同一平面內的任意三個非零向量、、，下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，且，則
C．若，則 D．若，則
16．已知向量 和實數，則下列各式一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知單位向量、是平面內的一組基向量，為平面內的定點，對于平面內任意一點，當時，則稱有序實數對為點的廣義坐標，若點、的廣義坐標分別為、，則下列說法正確的是（ ）
A．線段的中點的廣義坐標為
B．、兩點間的距離為
C．若向量垂直于向量，則
D．若向量平行于向量，則
18．已知平面向量，，與的夾角為，則（ ）
A．·= 1 B．
C． D．在上的投影向量的模為
三、填空題
19．在中，為的中點，為線段上一點（異于端點），，則的最小值為 ．
20．如圖所示在中，邊上的中垂線分別交、于點、，若，，則
21．已知是平行四邊形對角線的交點，若，其中，則 ．
22．若，，且，則與的夾角為 .
23．已知向量不共線，實數x，y滿足(2x＋y)＋(3x＋2y)＝，則x＋y＝ .
24．已知向量，，且在方向上的投影數量為，則向量與的夾角為 ．
25．在中，點在邊上，且，若，則 .
26．已知非零向量，滿足，，，則 ．
27．在 ABC中，，點D在邊AC上，且滿足，E為AB中點，CE和BD交于點F，G是 ABC的重心，則= （用表示）
28．在中，為鈍角，，且，函數的最小值為，則的最小值為 ．
四、解答題
29．已知，且向量與的夾角為，求.
30．已知向量的夾角為，且，若求：
(1)；
(2).
31．（1）化簡
（2）如圖，平行四邊形中，分別是的中點，為BF與DE的交點，若=，，試以，為基底表示、、．
32．已知，，.
(1)求；
(2)求向量與的夾角的余弦值.
33．已知，|，，求在上的投影向量．
34．已知，其中是夾角為的單位向量．
(1)求；
(2)求與夾角的余弦值．
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