資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第3講 平面向量的坐標(biāo)表示
一、平面向量正交分解
1.平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2.在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使，把有序數(shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作，
3.設(shè)、，則＝( ， )，.
4.特殊向量的坐標(biāo)：．
5.當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．
二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則
a＋b＝ ；a－b＝ ；λa＝ .
2.設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，則 .
三、線段的定比分點(diǎn)
1.若點(diǎn)，，為實(shí)數(shù)，且點(diǎn)P坐標(biāo)為.
2.當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，＝1，點(diǎn)P坐標(biāo)為( ， ).
四、數(shù)量積的坐標(biāo)表示
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝ .
2.設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，則 .
三、用坐標(biāo)表示的三個(gè)重要公式
1.向量的模：設(shè)a＝(x，y)，則|a|＝ .
2.兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝ .
3.設(shè)兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝ .
注意：θ的取值范圍是0≤θ≤π.
【課堂訓(xùn)練】
一、單選題
1．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
2．如果向量，那么向量的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，且，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．或
4．已知，，若，則y的值為（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
5．已知四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，分別是，上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，已知a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊，S為△ABC的面積，若向量=(4， +-)，=(1，S)滿足∥，則∠C=(　　)
A． B． C． D．
7．在中，，，，則（ ）
A． B．1 C． D．4
8．設(shè)，，則等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，，若，則=（ ）
A．0 B． C．6 D．
10．已知向量，且，則（ ）
A． B． C．2 D．-2
11．已知向量，若與方向相反，則（ ）
A．0 B． C．－ D．±
12．已知向量，的夾角為，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，，，則的取值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
14．如圖，的方格紙（小正方形的邊長(zhǎng)為1）中有一個(gè)向量（以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)，格點(diǎn)為終點(diǎn)），則（ ）
A．分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與是相反向量的共有11個(gè)
B．滿足的格點(diǎn)共有3個(gè)
C．存在格點(diǎn)，，使得
D．滿足的格點(diǎn)共有4個(gè)
15．如圖，在梯形中，，，，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，則下列說法正確的是（ ）

A． B．若為線段的中點(diǎn)，則
C． D．的最小值為6
16．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
17．給出下列命題，其中錯(cuò)誤的選項(xiàng)有（ ）
A．非零向量，滿足且與同向，則
B．已知且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
C．若單位向量的夾角為，則當(dāng)取最小值時(shí)，
D．在中，若，則為等腰三角形
18．下列說法中錯(cuò)誤的為（ ）
A．已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
C．非零向量，，滿足且與同向，則
D．非零向量和，滿足，則與的夾角為
三、填空題
19．如圖，在矩形ABCD中，，，，M為BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為 .
20．已知向量，，滿足，則t= .
21．向量，向量，若兩向量夾角為鈍角，則x的取值范圍為 ．
22．已知向量＝(1，2)、＝(2，λ)，，∥，則λ＝ ．
23．已知向量，，若，則實(shí)數(shù) .
24．已知，，則在上的投影向量為 ．
25．已知，，，則 .
26．已知向量，，且，則 ．
27．已知，，則在方向上的投影為 ．
28．已知平面上三點(diǎn)，，，則的坐標(biāo)是 ．
四、解答題
29．已知，，求：
(1)；
(2)；
(3).
30．已知向量，，函數(shù)．
(1)若，求的值；
(2)若為銳角三角形，且，求的取值范圍．
31．（1）化簡(jiǎn)下列各式:
①；
②.
（2）已知向量，，與的夾角為.
①求；
②求.
（3）已知向量，.
①若，求實(shí)數(shù)的值；
②若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
32．已知，若，，求的坐標(biāo)．
33．已知向量，的坐標(biāo)分別是，，求，，，的坐標(biāo)．
34．已知向量，，求：
(1)；
(2)||；
(3).
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第3講 平面向量的坐標(biāo)表示
1．B
【分析】利用平方的方法化簡(jiǎn)，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算求得.
【詳解】由兩邊平方并化簡(jiǎn)得，
所以.
故選：B
2．B
【分析】直接根據(jù)坐標(biāo)的加法運(yùn)算可得解.
【詳解】向量，
所以，
故選：B.
3．C
【分析】分析可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由已知可得，，且，
所以，，解得.
故選：C.
4．B
【分析】利用平面向量共線定理求解.
【詳解】解：因?yàn)椋遥?br/>所以3y=-6，
解得y=-2，
故選：B
5．A
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，寫出A,B,C,D的坐標(biāo)，從而得相關(guān)向量的坐標(biāo)，再，設(shè)，進(jìn)而得，坐標(biāo)，利用公式計(jì)算，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的二次函數(shù)，求解最值.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
由是邊長(zhǎng)為2的菱形且，可得，，，，
所以，．
因?yàn)椋裕O(shè)，則，
則，
，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>故選：A．
6．A
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式，建立條件關(guān)系，利用余弦定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】因?yàn)橄蛄?(4， +-)，=(1，S)滿足∥，
所以+--4S=0，即4S=+-，
則4×absinC= +-，
即sinC==cosC，
則tanC=1，解得∠C=.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的應(yīng)用，以及余弦定理和三角形面積的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的公式．
7．A
【分析】根據(jù)給定條件，求出的坐標(biāo)，再利用垂直關(guān)系的向量表示計(jì)算作答.
【詳解】因，，則，又在中，，
即，則有，解得，
所以.
故選：A
8．B
【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則得到答案.
【詳解】．
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.
9．C
【解析】先建立方程，再求解即可.
【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚遥?br/>所以，解得：，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題.
10．D
【分析】利用列方程，化簡(jiǎn)求得
【詳解】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕?jiǎn)得.
故選：D.
11．C
【分析】解方程求出，再檢驗(yàn)得解.
【詳解】向量，，若與方向相反，
所以，解得.
當(dāng)時(shí)，，與方向相同，與已知不相符，所以舍去.
當(dāng)時(shí)，，與方向相反，符合已知.
故選：C
12．A
【分析】由可得，再由，可求出，從而可求得
【詳解】解：由，得，
因?yàn)橄蛄浚膴A角為，，
所以，所以，解得，
故選：A
13．CD
【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示列出方程，化簡(jiǎn)整理可得，令，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求解.
【詳解】由題意知
整理得．
令，則，且，
∴，
∴，∴的取值可能是3，6．
故選：CD
14．BCD
【分析】根據(jù)向量的定義及運(yùn)算逐個(gè)分析選項(xiàng)，確定結(jié)果．
【詳解】解：分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與是相反向量的共有 18個(gè)，故錯(cuò)，
以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，
設(shè)，若，
所以，，，且，，
得，，共三個(gè)，故正確．
當(dāng)，時(shí)，使得，故正確．
若，則，，，且，，
得，，，共4個(gè)，故正確．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查向量的定義，坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．
15．AC
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，過作的垂直，再根據(jù)條件即可求出，從而判斷出選項(xiàng)A的正誤；
對(duì)于選項(xiàng)BCD，通過建立平面直角從標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，逐一對(duì)BCD分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】選項(xiàng)A，過作的垂直，交于，所以，又，，，，，
所以，故選項(xiàng)A正確；
建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，
選項(xiàng)B，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，，，
所以，由，得到，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
設(shè)，則，，
選項(xiàng)C，由，得到，解得，故選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D，，，所以，
令，對(duì)稱軸為，又，當(dāng)時(shí)，所以的最小值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：AC.
16．ABC
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量模的坐標(biāo)表示及數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合和差角的余弦公式變形判斷作答.
【詳解】對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，
，
，
因此，B正確；
對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，C正確；
對(duì)于D，，
顯然與不恒等，即不恒成立，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
17．ABC
【分析】A選項(xiàng)，向量具有大小和方向的量，無法比較大小，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，向量夾角為銳角，要滿足夾角的余弦大于0且夾角余弦值不等于1，求出且，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算得到，得到時(shí)，取得最小值，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，從向量的幾何意義得到表示的平分線方向上的向量，由三線合一得到是等腰三角形.
【詳解】向量無法比較大小，故A錯(cuò)誤；
，要想與的夾角為銳角，
則，且，
，且，解得：且，B錯(cuò)誤；
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，C錯(cuò)誤；
在中，表示方向上的單位向量，表示方向上的單位向量，
則表示的平分線方向上的向量，
由得：的平分線方向上的向量與垂直，
由三線合一可知：，則為等腰三角形，D正確.
故選：ABC
18．AC
【分析】由向量的數(shù)量積即向量的夾角的知識(shí)可判斷A的正誤；由向量的基本定理可判斷B的正誤；由向量的定義可判斷C的正誤；由平面向量的基本定理與向量的夾角等基本知識(shí)可判斷D的正誤．
【詳解】對(duì)于A，，，且與的夾角為銳角，
，且（時(shí)，與的夾角為），所以且，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；
對(duì)于C，向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋瑑蛇吰椒降茫郑?br/>則，，
故，
而向量的夾角范圍為，所以和的夾角為，故D正確．
故選：AC．
19．
【分析】構(gòu)建直角坐標(biāo)系，令求的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.
【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD分別為x，y建系，則，，
又，，令，，
故，則，，
，
所以時(shí)，取最小值.
故答案為：.
20．
【分析】由向量垂直得向量的數(shù)量積為0，列出關(guān)于的方程，即可求解.
【詳解】解：因?yàn)椋瑒t，即，解得.
故答案為：.
21．
【分析】由題意可得，且與 不共線，由此求得的取值集合.
【詳解】∵向量，，若向量與向量夾角為鈍角，
∴，且與 不共線，
即 且，
解得
故答案為：.
22．－2
【分析】首先由的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，接下來由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算可得，求解即可得結(jié)果．
【詳解】∵，∴，
∵∥，，
∴，解得，
故答案為：－2．
23．
【分析】?jī)蛇吰椒胶螅玫剑鶕?jù)向量數(shù)量積計(jì)算結(jié)果.
【詳解】由，兩邊平方得，化簡(jiǎn)得：
，
，解得：
故答案為：
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查向量的模長(zhǎng)，根據(jù)已知條件選擇，若題目告訴的是坐標(biāo)形式，利用，若題目涉及夾角，利用，考查學(xué)生的審題與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
24．
【分析】由投影向量的定義求結(jié)果即可.
【詳解】由題意，在上的投影向量為.
故答案為：
25．
【分析】由向量共線定理的坐標(biāo)表示，列出方程解得m的值.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，
由，得，得.
故答案為：.
26．10
【詳解】因?yàn)橄蛄浚?br/>所以，
故．
故答案為10
27．
【分析】利用在方向上的投影的定義求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以在方向上的投影為，
故答案為：
28．
【分析】利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，
則.
故答案為：.
29．(1)
(2)
(3)
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)的線性運(yùn)算可得.
【詳解】（1）
（2）
（3）
30．(1)
(2)．
【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示式算出正切值，再運(yùn)用二倍角公式轉(zhuǎn)化即得；
（2）先對(duì)函數(shù)式進(jìn)行恒等轉(zhuǎn)化成正弦型函數(shù)，由題設(shè)條件求得角，再由銳角三角形推得角范圍，即得的范圍.
【詳解】（1）∵，∴，則；
；
（2）
，
由，得，
∵，∴，∴，即,
因?yàn)殇J角三角形，可得，解得，
∴，故的取值范圍為．
31．（1）①；②；（2）①；②；（3）①；②.
【分析】（1）①②根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）①根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算可得；②根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；（3）①首先求出的坐標(biāo)，依題意，即可求出參數(shù)的取值范圍；②且與不共線，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.
【詳解】（1）①；
②；
（2）①因?yàn)椋c的夾角為，
所以；
②.
（3）①因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕獾茫?br/>②因?yàn)榕c的夾角是鈍角，則，解得，
又當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)與的夾角為，故，
綜上可得
32．
【分析】通過兩個(gè)向量等式求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，即得的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)由 可得：即得：，即．
由可得：即得：，即.
于是.
33．，，，
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：，，可得：
，
，
，
．
34．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求解；
（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)，直接代入向量模的坐標(biāo)表示的公式，即可求解；
（3）分別求向量和的坐標(biāo)，再代入向量數(shù)量積的公式，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t.
（2）
（3）由已知可得，，
則
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑