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第4講 正余弦定理
一、余弦定理
1.公式：a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accosB； c2＝
2.推論：cos A＝； cos B＝； cos C＝
3.在△ABC中，a2＋b2＝c2 C為直角；a2＋b2c2 C為 ．
二、正弦定理
1.公式：＝ ＝ ＝ ＝（R是△ABC的外接圓半徑）
2.推論：sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； ；
三、三角形面積公式
1.
2.
3.
4.，
【課堂訓練】
一、單選題
1．在中，，，，則的面積為（ ）
A． B．4 C． D．
2．如圖所示，在平面四邊形中，，，.若，，則的長為（ ）
A． B．2 C．3 D．
3．在中，，，若該三角形有兩個解，則邊范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，，，則的外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，則此三角形的解的情況是（ ）
A．有兩解 B．有一解 C．有無數個解 D．無解
6．中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，則b＝(　　)
A．5 B．10 C． D．5
8．的三個內角，，的對邊分別為，，，若三角形中，，且，則（ ）
A．3 B． C．2 D．4
9．△ABC的三邊長之比為，則最小角和最大角之和的余弦值為( )
A． B． C． D．
10．的內角A，B，C的對邊是a，b，c，若的面積為，則C的大小（ ）
A． B． C． D．
11．在中，下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知中，，，，角B等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、多選題
13．在△ABC中，已知，給出下列結論，其中正確的結論是（ ）
A．由已知條件，這個三角形被唯一確定 B．若，則△ABC的面積是
C． D．△ABC一定是鈍三角形
14．在中，角、、的對邊分別為、、，且滿足，的面積，，則、值分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．在中，角所對的邊分別為，且.若有兩解，則的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
16．在△ABC中，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則△ABC是等腰三角形
B．若，則△ABC是直角三角形
C．若，則△ABC是鈍角三角形
D．若，則△ABC是銳角三角形
17．在中，角所對的邊分別為，下列說法中正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則是直角三角形
D．若，三角形面積，則三角形的外接圓半徑為
18．在中，下列說法中正確的有（　　）
A．若，則
B．若，，則滿足條件的三角形共有兩個
C．若，，則為正三角形
D．若，的面積，則
三、填空題
19．已知△是等邊三角形，且，那么四邊形的面積為 ．
20．在中，，M在邊BC上，且，則 ．
21．在中，內角，，所對的邊分別為，，，若，的面積為，且，則 ．
22．在中，已知，，，則 .
23．在平面上，已知為兩個不平行的單位向量，O為定點，集合，若中所有的點構成圖形的面積為1，則與夾角的大小為 .
24．設△的內角 的對邊分別為，且，則
25．在梯形中，，則的面積是 .
26．若的三邊長分別為，，，則該三角形的內切圓半徑等于 ．
27．中，，，，是上一點且，則的面積為 .
28．已知等腰的內角的對邊分別為，且，延長線段至，使，若的面積，則 .
四、解答題
29．在中，已知，，且三角形面積. 求.
30．已知向量 ，把函數化簡為的形式后，利用“五點法”畫在某一個周期內的圖象時，列表并填入的部分數據如下表所示：
①
0
0 1 0 0
（1）請直接寫出①處應填的值，并求的值及函數在區間 上的單增區間、單減區間；
（2）設的內角所對的邊分別為 ，已知 ，求
31．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求C；
(2)求的最大值.
32．若ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，
(1)求值：
(2)從下列條件①，條件②，條件③三個條件中選擇一個作為已知，求的值，
條件①若；
條件②若；
條件③若
33．已知函數經化簡后利用“五點法”畫其在某一個周期內的圖象時，列表并填入的部分數據如下表：
①
0 1 0 0
(1)請直接寫出①處應填的值，并求函數在區間上的值域；
(2)的內角，，所對的邊分別為，，，已知，，，求的面積．
34．已知．
（1）化簡：；
（2）在中，內角A、B、C所對的邊長分別是a、b、c，若，，且的面積，求a、b的值．
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第4講 正余弦定理
1．C
【分析】首先根據余弦定理求，再利用面積公式，即可求解.
【詳解】由余弦定理可知，，
，解得：,
所以.
故選：C
2．C
【分析】由余弦定理求，同角平方關系求，設則，利用差角正弦公式求，最后應用正弦定理求的長.
【詳解】在中，由余弦定理得：，又，
∴，
設則，
∴，
在中，由正弦定理：，故.
故選：C.
3．D
【分析】根據三角形解的個數的結論可求出結果.
【詳解】因為三角形有兩個解，所以，
所以，所以.
故選：D
4．B
【分析】利用內角和定理求角，再用正弦定理求外接圓半徑即可求解
【詳解】因為
所以，所以
所以的外接圓的面積為
故選：B
5．D
【分析】作出示意圖，先確定邊a和角B，然后算出C到AB的距離即可解得.
【詳解】如圖，
則，而，∴這樣的三角形無解.
故選:D.
6．C
【分析】根據條件，由余弦定理可得角B得大小，再由正弦公式即可求得三角形得面積.
【詳解】∵，∴∴
則，.
故選：C.
7．D
【詳解】由正弦定理得 ，∴b＝·10＝5
故答案為D
8．D
【分析】易知，利用兩角差的正弦公式化簡原等式，可推出，從而知和的值，再結合三角形的內角和定理與兩角和的正弦公式，求得的值，然后由正弦定理，知，最后由，得解．
【詳解】，且，
，
，
，即，
，
，
，，，
，
由正弦定理知，，
，即，
，
．
故選：D
9．C
【分析】可設，，，k>0，根據余弦定理可求，于是可求．
【詳解】三邊的比為，不妨設角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，，，k>0，
則最大角為，最小角為，
由余弦定理得：，
．
故選：C．
10．A
【分析】利用三角形面積公式以及余弦定理建立等式，即可求得的大小.
【詳解】由余弦定理得：
的面積
，又
.
故選：A.
11．D
【解析】利用正弦定理、余弦定理以及誘導公式判斷四個選項的正誤，即可得正確答案.
【詳解】對于選項A：由正弦定理有，故，故選項A錯誤；
對于選項B：因為，故，故選項B錯誤；
對于選項C：，由余弦定理得；故選項C錯誤；
對于選項D：由正弦定理可得，再根據誘導公式可得：，即，故選項D正確；
故選：D
12．C
【分析】根據正弦定理，求得，結合，得到，即可求解.
【詳解】由正弦定理得，即，可得，
因為，所以，且，所以或，均滿足題意.
故選：C.
13．CD
【分析】由比值關系可得（），再結合正余弦定理逐項分析判斷即可得解.
【詳解】由可設：
（），
所以，
對A，只知道各邊的比值關系，并不能確定大小，
所以這個三角形不能被唯一確定，故A錯誤；
對B，若，即，
所以，所以，
所以，
所以，所以，故B錯誤；
對C，，故C正確；
對D，由，
所以為鈍角，故D正確.
故選：CD
14．AB
【分析】利用正弦定理對已知等式邊化角，結合兩角和的正弦公式，即可求得角C，繼而利用面積推出的值，再利用余弦定理即可求得的值，即可求得答案.
【詳解】由題意知，故，
即，
而，則，
又，故；
由，則，
又，即，即，
即，結合，解得或，
故選：AB
【點睛】方法點睛：此類同時含有邊和角的等式的化簡，一般利用正弦定理進行邊角互化，即可求得角或邊之間的關系，也可利用余弦定理邊角互化，進行求解.
15．BC
【分析】由題意畫出圖形，可知，求出的范圍，根據選項，得出結果即可.
【詳解】解：如圖：
要使有兩個解，則，
即，解得：，
故選：BC
16．CD
【分析】對于A，利用二倍角公式、正余弦定理轉化為邊的關系，化簡可得結果，對于B，舉例判斷，對于C，利用余弦函數的性質判斷，對于D，利用兩角和的正切公式化簡判斷
【詳解】解：對于A，由，得，由正余弦定理得，得，化簡得，，所以或，所以或，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，所以A錯誤，
對于B，若，則，而△ABC不是直角三角形，所以B錯誤，
對于C，因為，，所以中只有一個鈍角，所以△ABC是鈍角三角形，所以C正確，
對于D，因為，，所以，所以，所以，因為，所以都為銳角，△ABC是銳角三角形，所以D正確.
故選：CD
17．ABC
【分析】利用誘導公式化簡判斷A；利用正弦定理結合三角形邊角關系判斷B；利用余弦定理計算判斷C，利用面積定理、正余弦定理計算判斷D作答.
【詳解】對于A，在中，，A正確；
對于B，在中，由正弦定理得：，B正確；
對于C，在中，由余弦定理得：，整理得，，C正確；
對于D，依題意，，解得，
由余弦定理得：，
由正弦定理得外接圓半徑，D不正確.
故選：ABC
18．AC
【分析】由正弦定理求得，可判定A正確；利用余弦定理列出方程求得的值，可判定B錯誤；由正弦定理得，結合，可得，可判定C正確；由三角形的面積公式求得，得到，可判定D錯誤.
【詳解】對于A中，因為，由正弦定理得，即，
因為，所以，所以A正確；
對于B中，由余弦定理，即，
解得，此時三角形有唯一的解，所以B錯誤；
對于C中，因為，由正弦定理得，
又因為，可得，所以為等邊三角形，所以C正確；
對于D中，由三角形的面積公式，可得，解得，
則，所以D錯誤.
故選：AC.
19．/
【分析】根據已知向量的線性關系畫簡圖，令，結合求相關線段長度，進而求四邊形面積.
【詳解】若，則，且，如下圖示，

由△是等邊三角形，且為平行四邊形，，
易知：△、△是含的直角三角形，且，
又，則，，即△各邊為2，
綜上，四邊形的面積.
故答案為：.
20．
【分析】在中，由余弦定理求得，可得，在中由余弦定理即可求得答案.
【詳解】在中，,，
則 ,即,
解得 , (舍去)，由可得 ,
故 ,
故 ,
故答案為：
21．
【分析】利用余弦定理化簡，可得，利用面積公式可知，進而知，代入正弦定理可得答案.
【詳解】
利用余弦定理知
即，
又，
，，
，，即
利用正弦定理知
故答案為：
【點睛】方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；
22．/
【分析】已知三邊，利用余弦定理可得.
【詳解】已知，，，
由余弦定理得，，
解得.
故答案為：.
23．或
【分析】根據向量加法的平行四邊形法則求得正確答案.
【詳解】設的夾角為，，
依題意，在平面上，已知為兩個不平行的單位向量，O為定點，
集合，
根據向量加法的平行四邊形法則可知點的軌跡是以為鄰邊，且夾角為的平行四邊形，
所以，
所以或.
故答案為：或
24．
【詳解】：，由余弦定理得
則，即故
25．
【分析】在中，由余弦定理可得的值，進而求出的面積，由的面積為得結論．
【詳解】解：在中，由余弦定理可得：，
所以，
所以的面積為：，
因為.
所以的面積為.
故答案為：.
26．
【解析】利用余弦定理求出邊長為所對角的余弦值，再求出正弦值，利用三角形的面積公式：，即可求解.
【詳解】的三邊長分別為，
邊長為所對角的余弦值為，
所以，
設該三角形的內切圓半徑為，
所以，
即，解得.
故答案為：
27．
【分析】根據正弦定理，求出的值，由倍角公式求出的正余弦值，根據誘導公式求出的正余弦值，根據求出的正余弦，再求的正切值，在直角三角形中求出的長，最后求面積.
【詳解】由正弦定理得：，又因為
所以，且，
即，所以，又由且
所以，而
所以，又因為，所以
所以，而
又因為，所以
又因為，且為銳角，所以
即，在直角三角形中,
并且，所以，
所以的面積為：.
故答案為：
28．
【分析】由正弦定理結合余弦定理化簡可得，進而根據等腰可得等邊，再根據面積公式可得或，進而用余弦定理求解即可
【詳解】由正弦定理，，即，故，又，故，所以等邊.又的面積，故，解得，解得或.當時，，當時，，故，故
故答案為：
29．或
【分析】根據三角形面積公式及余弦定理可得結果.
【詳解】由，得，所以.
①當時，，從而；
②當時，，從而；
綜上，或.
30．（1）①處應填；；單減區間，單增區間；（2）1.
【分析】（1）先根據向量數量積及三角函數恒等變換可得，結合五點法可得函數解析式，再利用正弦函數性質求單調區間；
（2）先根據條件可得，再根據余弦定理及向量數量積定義即得.
【詳解】（1）由根據五點作圖法中等距性可得①處應填入，
∵，
∴，
因為 ，
所以 ，
所以 ，
因為，，
由，可得，
由，可得，
所以函數在區間 上的單增區間為，單減區間為．
（2）由，可得，
因為，
所以 ，即，又，
由余弦定理，
解得或（舍），
所以 ，
所以.
31．(1)
(2)
【分析】（1）將等式化簡，再結合余弦定理，即可求解；
（2）由（1）的結果可知，利用正弦定理邊角互化，得到，再結合基本不等式，即可求解.
【詳解】（1）由，化簡得，
由余弦定理得，
又因為，所以.
（2）由及正弦定理得，
即，
由基本不等式得，
所以
即
當且僅當，即為等邊三角形時，等號成立.
所以的最大值為.
32．(1)1
(2)詳見解析
【分析】（1）由，利用二倍角公式得到，再利用余弦定理求解；
（2）選條件①由，利用正弦定理求得a，c的關系，再結合（1）利用余弦定理求解；
選條件②，利用余弦定理結合（1）求得求得a，c的關系，再結合（1）利用余弦定理求解；選條件③，由（1），利用正弦定理得到，再結合兩角和的正弦公式得到求解.
【詳解】（1）解：由，
得，則，
化簡得 ，
由余弦定理得，
即，化簡得；
（2）選條件①若，
則，
解得或，
當，由（1）得，
此時，
當時，由（1）知不成立；
若選條件②，
則，結合（1）化簡得，
解得或，
當時，，
；
當，，
；
若選條件③若，
由（1）知：，則，
即，即，
聯立解得，
所以.
33．(1)，
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式將函數化簡，再結合函數的周期求出，即可求出函數解析式，根據五點作圖法確定①的值，由的取值范圍，求出的取值范圍，再根據正弦函數的性質計算可得；
（2）由求出的值，再由余弦定理求出，最后由面積公式計算可得.
【詳解】（1）解：因為
，
即，
，
，，
所以．
令，解得，所以①處應填入．
，，，，
即在區間上的值域為．
（2）解：，
又，，
所以，所以．
由余弦定理得，
即，，
的面積．
34．（1）；（2）．
【分析】（1）根據誘導公式可化簡；
（2）由（1）可得，再根據三角形的面積公式和余弦定理可求得，解之得答案.
【詳解】（1）因為，所以；
（2）因為，即，又，所以，
因為的面積，所以，解得，又，所以，
由，解得，所以.
【點睛】本題考查運用誘導公式化簡，三角形的面積公式和余弦定理的運用求解三角形，屬于中檔題.
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