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第6講 復數
一、復數的有關概念(a，b∈R)
1.定義：形如a＋bi的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，實部是 ，虛部是 .
2.虛數單位：規定i2＝ ，我們把i叫作虛數單位．
3.表示方法：復數通常用字母z表示，代數形式為z＝a＋bi．
4.復數集：全體復數組成的集合，用大寫字母C表示．
二、復數a＋bi的分類
1.當且僅當b＝0時，它是實數；當且僅當a＝b＝0時，它是實數0；
2.當b≠0時，叫做虛數；當a＝0且b≠0時，叫做純虛數．
三、復數相等
a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.
四、復數的幾何意義
1.復平面：當用直角坐標平面內的點來表示復數時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．
2.復數的幾何意義
復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．
復數z＝a＋bi與復平面內的向量是一一對應的．
【注意】實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，原點對應的有序實數對為
(0，0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數．
3.復數的模
向量的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ (r≥0，r∈R)．
五、共軛復數
1.如果兩個復數的實部 ，而虛部互為相反數，則這兩個復數叫做互為共軛復數．
2.復數z的共軛復數用表示，即當z＝a＋bi時，＝ .
3.（1）任一實數的共軛復數是它本身；（2）在復平面內，表示兩個共軛復數的點關于實軸對稱.
六、復數的加減法
1.設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，則z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
2.對任意的z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
3.設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
七、復數加法與減法的幾何意義
1.已知復數z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其對應的向量，，所以復數z1＋z2對應的向量是，復數z1－z2與向量對應．
復數三角不等式：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
八、復數的乘法
1.設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.對于任意z1、z2、z3∈C，有z1·z2＝z2·z1；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．
3.復數的乘方：zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝ (z≠0)．
4.i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1，i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝0．
九、復數的除法
規定兩個復數除法的運算法則：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）
＝＝(c＋di≠0)．
十、復數方程的解
在復數范圍內，實系數一元二次方程的求解方法：
1.當時，；
2.當時，（兩根互為共軛復數）
【課堂訓練】
一、單選題
1．設復數，若，則實數（ ）
A．0 B．2 C． D．
2．設復數z滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知復數，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
4．已知，若復數(是虛數單位)是純虛數，則（ ）
A．或 B． C． D．
5．設復數z滿足|z+1|＝|z-i|，z在復平面內對應的點為（x，y），則（ ）
A．x＝0 B．y＝0 C．x-y＝0 D．x+y＝0
6．已知復數滿足，則復數的虛部為（ ）
A．1 B． C． D．
7．若復數在復平面內對應的點在第二象限，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．若復數表示的點在第三象限，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
9．復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知復數，則（ ）
A． B． C． D．
11．已知，則（ ）
A． B． C． D．5
12．非零復數、在復平面內分別對應向量、（為坐標原點），若，則（ ）
A．、、三點共線 B．是直角三角形
C．是等邊三角形 D．以上都不對
二、多選題
13．若復數滿足(為虛數單位)，則下列結論正確的有（ ）
A．z的虛部為 B．
C．z的共軛復數為 D．z是第三象限的點
14．對于復數 （∈R），下列說法正確的是（ ）
A．若，則為實數
B．若，則為純虛數
C．若，則或
D．若，則點Z的集合所構成的圖形的面積為
15．設為復數，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若互為共軛復數，則為實數 D．若為虛數單位，n為正整數，則
16．已知集合，其中為虛數單位，則下列屬于集合的元素是（ ）
A． B． C． D．
17．已知與是共軛復數，以下4個命題一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知，則（ ）
A．存在實數解
B．共有20個不同的復數解
C．的復數解的模長都等于1
D．存在模長大于1的復數解
三、填空題
19．已知復數，則 ．
20．復數 ．
21．復數（其中為虛數單位）的虛部為 ．
22．已知復數為虛數單位），則 ．
23．已知為虛數單位，則復數可化簡為 ．
24．已知是虛數單位，則復數 .
25．若復數z滿足，則 ，(i為虛數單位，以下各題相同)
26．復數 的虛部為 ．
27．已知z1＝1＋i，z2＝cos θ＋(sin θ－1)i，且z1＋z20，則θ＝ .
28．若，則復數 .
四、解答題
29．計算：
(1)
(2)
(3)
30．化簡：．
31．已知復數滿足：.
(1)求復數；
(2)化簡：.
32．化簡：，，，，，，，．
33．計算下列各題:
(1)；
(2).
34．（1）化簡 ；
（2）已知復數的，求
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第6講 復數
1．A
【解析】利用共軛復數及復數相等的定義即可得到答案.
【詳解】因為，所以，解得．
故選：A.
【點睛】本題考查復數的概念，考查學生的基本運算能力，是一道容易題.
2．B
【分析】利用復數除法法則計算出，進而根據共軛復數和模長公式計算即可.
【詳解】，
故，.
故選：B
3．C
【分析】根據復數的除法運算法則化簡，再由虛部的定義求解即可.
【詳解】復數
所以的虛部為，
故選：C.
4．C
【分析】根據純虛數，實部為零且虛部不為零，即可求出實數.
【詳解】由復數(是虛數單位)是純虛數，
得：，即.
故選：C.
5．D
【分析】由復數z滿足|z+1|＝|z-i|，利用模的計算公式可得：化簡即可得到答案．
【詳解】復數z滿足|z+1|＝|z-i|，
∴，化簡，得x+y＝0.
故選：D．
【點睛】本題主要考查復數模的運算，涉及到復數的幾何意義，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.
6．D
【分析】由復數除法法則求得后可得，從而得出其虛部．
【詳解】由題意，所以，的虛部為．
故選：D．
7．A
【分析】把復數寫成代數形式，然后由實部、虛部對應的關系求解．
【詳解】因為復數在復平面內對應的點在第二象限，所以解得.
故選：A．
8．B
【分析】根據題意得出，解出不等式即可.
【詳解】復數表示的點在第三象限，
，解得.
故選：B.
9．A
【分析】由復數的四則運算以及復數的幾何意義即可得解.
【詳解】由題意，所以復數在復平面內對應的點為，它在第一象限.
故選：A.
10．A
【分析】根據復數的除法運算法則以及共軛復數的定義即可求解.
【詳解】由得
，
所以
故選：A．
11．B
【分析】利用復數的除法可求，從而可求其模.
【詳解】由題設可得，故，
故，
故選：B.
12．B
【分析】設，根據，可得，從而可將復數用表示，再判斷各個選項即可.
【詳解】解：設，
則，故，
因為，所以，
所以，
所以或，
故或，
當時，，
當時，，
所以，所以是直角三角形，
故、、三點不共線且不是等邊三角形.
故選：B.
13．BC
【分析】由求出復數，然后逐個分析判斷即可
【詳解】∵，∴，
所以虛部為，，共軛復數為，z是第四象限的點.
故選：BC
14．AD
【分析】對A，根據實數的定義分析即可；
對BC，舉反例判斷即可；
對D，根據復數的幾何意義判斷即可
【詳解】對A，則若，則為實數，故A正確；
對B，若，則為0為實數，故B錯誤；
對C，如，故C錯誤；
對D，若，則點Z的集合所構成的圖形為以坐標原點為圓心，半徑為1的圓內，其面積為，故D正確；
故選：AD
15．BC
【分析】根據復數的模、復數乘法、共軛復數、復數的乘方等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對于A項，取，滿足，但是不成立，故A項錯誤；
對于B項，當時，有，又，所以，故B項正確；
對于C項，互為共軛復數，則，
即為實數，故C項正確；
對于D項，，故D項錯誤．
故選：BC
16．BC
【分析】先求得集合，然后結合復數運算對選項逐一計算，由此確定正確選項.
【詳解】依題意，
，A錯誤，
，B正確，
，C正確，
，D錯誤.
故選：BC.
17．AC
【分析】設，根據復數的運算，可得A正確；分別求出，得到B不正確；根據，可得C正確；根據復數的除法運算，可得D不一定正確，即可求解．
【詳解】設，
由，，所以，所以A正確；
則，，所以B不正確；
由，所以C正確；
由不一定是實數，
所以D不一定正確.
故選：AC
18．BC
【分析】設，利用換元法可求得，從而可判斷的20個復數解的模都是1.
【詳解】設，則，
于是，這兩個t的取值都在區間內．
故有解，
因此有20個不同的復數解．
當時，由于，
因此的復數解的模長都等于1．
綜上所述，選項BC正確．
故選：BC.
19．
【解析】根據共軛復數的概念，先得到，再由復數的乘法運算，即可得出結果.
【詳解】因為，所以，
因此.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查共軛復數的相關計算，屬于基礎題型.
20．
【分析】利用復數的乘法和除法進行求解.
【詳解】.
故答案為：
21．
【分析】由復數的概念可直接得到虛部.
【詳解】由復數的概念可知復數的虛部為.
故答案為: .
22．2
【解析】由已知直接利用復數模的計算公式求解.
【詳解】由復數，則.
故答案為：.
【點睛】本題考查復數模的求法，屬于基礎題.
23．
【分析】根據復數的除法運算及加法運算計算即可得解.
【詳解】解：.
故答案為：.
24．
【解析】將分子分母同乘以分母的共軛復數，然后利用運算化簡可得結果.
【詳解】.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：利用復數的除法運算法則化簡復數常用的方法：分子、分母同乘以分母的共軛復數，化簡復數，考查學生的運算求解能力，屬于基礎題.
25．
【分析】由復數的除法運算即可得到答案.
【詳解】由得
故答案為：.
26．.
【詳解】試題分析：因為，所以復數 的虛部為-1.
考點：復數的運算.
27．2kπ，k∈Z.
【分析】根據z1＋z2＝1＋cos θ＋isin θ，由z1＋z20求解.
【詳解】∵z1＋z2＝1＋cos θ＋isin θ0，
∴
∴，k∈Z.
故答案為：2kπ，k∈Z.
28．0
【解析】設，由已知可得復數對應的點為線段垂直平分線和線段垂直平分線的交點，聯立兩垂直平分線方程，求解即可.
【詳解】設，
，復數對應的點在線段的垂直平分線上，
其方程為，，
復數對應的點在線段的垂直平分線上，其方程為，
所以復數對應的點為，即.
故答案為：.
【點睛】本題考查復數、復數減法和復數模的幾何意義，將代數問題幾何化，減少計算量，屬于基礎題.
29．(1)0
(2)
(3)
【分析】根據復數的加法運算公式，乘除運算公式逐個計算即可求解.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）.
30．
【分析】直接利用復數的除法運算即可.
【詳解】
故答案為：
31．(1)
(2)
【分析】（1）設復數，根據復數的模的計算公式結合復數相等的定義，列出方程組，求出，從而可得出答案；
（2）根據共軛復數的定義結合復數的模的計算公式及復數的除法運算計算即可得解.
【詳解】（1）解：設復數，
根據題意得，
，
則，
；
（2）解：由（1）得，
則
.
32．.
【分析】由復數的乘方法則即可求解.
【詳解】由復數乘方法則可知，
所以，，，，
，，，.
33．(1)
(2)
【分析】（1）利用復數的四則運算求解即可；
（2）利用復數的四則運算求解即可.
【詳解】（1）
.
；
（2）
.
.
34．（1）；（2）
【分析】（1）應用復數的乘法計算即可；
（2）先化簡得，再應用復數的除法運算可得結果.
【詳解】（1）;
（2）由已知得，
∴ .
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