資源簡介

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第7講 基本立體圖形與直觀圖
一、空間幾何體
1.多面體：一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.
2.旋轉體：一條平面曲線（包括直線）繞它所在的平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸.
二、棱柱
1.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體叫棱柱.其中兩個互相平行的面叫做棱柱的 ，它們是全等的多邊形；其余各面叫做棱柱的 ，他們都是平行四邊形；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的 ；側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.
2.按底面多邊形的邊數可以把棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；按側棱與底面的位置關系可以把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；
(1)直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱．
(2)斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱．
(3)正棱柱：底面是 的 棱柱．
(4)平行六面體：底面是 的四棱柱．
三、棱錐
1.有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的 ，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.
這個多邊形面叫做棱錐的 ；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的 ；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的 ；各個側面的公共頂點叫做棱錐的頂點。
2.按底面多邊形的邊數，可以把棱錐分成三棱錐、四棱錐和五棱錐，其中三棱錐又叫 .
底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做 .
四、棱臺
1.用一個平行與棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面與截面之間的部分叫做棱臺.原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和 ；其他各面叫做棱臺的 ；相鄰側面的公共邊叫做棱臺的 ；側面與底面的公共頂點叫做棱臺的定點.
【注意】棱臺上下底面是互相平行且相似的多邊形；側面都是梯形；各側棱的延長線交于一點.
2.由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……
五、圓柱
1.以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成的旋轉體角圓柱.旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的 ；平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的 ；
無論轉到什么位置，平行與軸的邊都叫做圓柱側面的 .
2.圓柱的母線有無數條，都平行與軸；圓柱的軸截面為矩形.
六、圓錐
1.以直角三角形的一條 所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐.圓錐也有軸、底面、側面和母線.
2.底面是圓面，橫截面是比底面更小的圓面，軸截面是等腰三角形；圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是圓錐的母線，母線有無數條且長度相等.
七、圓臺
1.定義一：用平行與圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.
2.定義二：以直角梯形垂直底邊的 所在的的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體.
3.圓臺上、下底面是半徑不相等且互相平行的圓面；母線有無數條且長度相等，各母線的延長線交于一點；
軸截面為 .
八、球
1.半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球.半圓的圓心叫做球的球心；連接圓心與球面上任意一點的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點并且經過球心的線段叫做球的直徑.
九、簡單組合體
組合體可以由簡單幾何體拼接、截去或挖去一部分形成.
十、立體圖形的直觀圖
1.斜二測畫法是一種平行投影畫法，我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．
2.平面圖形直觀圖的畫法步驟
(1)在已知圖形中取互相垂直的軸與軸，兩軸相交于．畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸與軸，兩軸相交于，且使（或），它們確定的平面表示水平面．
(2)已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段．
(3)已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半．
3.空間幾何體直觀圖的畫法步驟
(1)與平面圖形的直觀圖相比，多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，直觀圖中與之對應的是z′軸；
(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面；
(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．
(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．
4.直觀圖與原圖之間的“變”與“不變”
“三變”：坐標軸的夾角改變，與y軸平行的線段長度變為原來的一半，圖形改變.
“三不變”：平行性不改變，與x軸和z軸平行的線段長度不改變，相對位置不改變.
4.
【課堂訓練】
一、單選題
1．如圖所示的簡單組合體的組成是（ ）
A．棱柱、棱臺 B．棱柱、棱錐
C．棱錐、棱臺 D．棱柱、棱柱
2．如圖，已知圓錐的底面半徑為2，其側面展開圖扇形的圓心角為，則圓錐的母線長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．過正三棱柱底面一邊的截面是（ ）
A．三角形 B．梯形
C．不是梯形的四邊形 D．三角形或梯形
4．下列說法不正確的是（ ）
A．三棱錐是四面體 B．三棱臺是五面體
C．正方體是四棱柱 D．四棱柱是長方體
5．如圖，用斜二測畫法畫出水平放置的四邊形的直觀圖為四邊形，已知，，則（ ）
A． B． C． D．2
6．如圖，正方形的邊長為2cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長是（ ）cm．
A．12 B．16 C． D．
7．“中國天眼”是我國具有自主知識產權，世界最大單口徑，最靈敏的球面射電望遠鏡（如圖）．其反射面的形狀為球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，球冠面積，其中R為球的半徑，h為球冠的高），設球冠底的半徑為r，周長為C，球冠的面積為S，則當時，（ ）
A． B． C． D．
8．下列結論不正確的是（ ）
A．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
B．在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
C．存在每個面都是直角三角形的四面體
D．棱臺的側棱延長后交于一點
9．用一個平面去截一個正方體，所得截面形狀可能為：（ ）
①三角形②四邊形③五邊形④六邊形⑤圓
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤
10．下列說法中正確的是（ ）
A．直四棱柱是直平行六面體
B．直平行六面體是長方體
C．六個面都是矩形的四棱柱是長方體
D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱
11．用一平面截正方體，所得截面的面積最大時，截面的幾何形狀為（ ）
A．正六邊形 B．五邊形 C．矩形 D．三角形
12．如圖，在中，，，點E為線段AB上一點，將繞DE翻折．若在翻折過程中存在某個位置，使得，記為的最小值，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（ ）

A．是鈍角三角形
B．的面積是的面積的倍
C．是等腰直角三角形
D．的周長是
14．下列命題中不正確的是（ ）
A．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
B．底面是正多邊形的直棱柱一定是正棱柱
C．正三棱錐就是正四面體
D．側棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
15．在正方體的8個頂點中任意取4個不同的頂點，則下列說法正確的是（ ）
A．存在四個點，使得這四個點構成平行四邊形
B．存在四個點可以構成正四面體
C．不存在這樣的四個點，使得構成的四面體每個面都是直角三角形
D．存在有三個面是直角三角形、一個面是等邊三角形的四面體
16．如圖所示是斜二測畫法畫出的水平放置的三角形的直觀圖，為的中點，且軸，軸，那么在原平面圖形中（ ）
A．與相等
B．的長度大于的長度
C．的長度大于的長度
D．的長度大于的長度
17．正方體繞直線旋轉之后與其自身重合，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
18．下列命題中正確的有
A．空間內三點確定一個平面
B．棱柱的側面一定是平行四邊形
C．分別在兩個相交平面內的兩條直線如果相交，則交點只可能在兩個平面的交線上
D．一條直線與三角形的兩邊都相交，則這條直線必在三角形所在的平面內
三、填空題
19．已知，用斜二測畫法作它的直觀圖，若是斜邊平行于鈾的等腰直角三角形，則是 三角形（填“銳角”.“直角”.“鈍角”）.
20．長寬高分別為a，b，c的長方體，其對角線的長為 .
21．梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且梯形的面積為，則原梯形的面積為 .
22．在三棱錐中，，分別是和的重心，則直線與的位置關系是 ．
23．已知圓錐的表面積為，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑是 ．
24．一個圓錐的底面面積是S，側面展開圖是半圓，則該圓錐的側面積是 ．
25．一個空心球玩具里面設計一個棱長為4的內接正四面體，過正四面體上某一個頂點所在的三條棱的中點作球的截面，則該截面圓的面積是 ．
26．邊長為2的正方形的斜二測直觀圖的面積為 .
27．已知棱長為4的正四面體的四個頂點都在同一球面上，過棱的中點的一個平面截此球所得截面面積為（），請寫出一個符合條件的的值： ．
28．已知圓柱底面圓心分別為，，圓柱內有一個球，該球與圓柱的上下底面 圓柱側面均相切，過直線的平面截圓柱得到四邊形，其面積為12，若為圓柱底面圓弧的中點，則平面與球的交線長為 .
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第7講 基本立體圖形與直觀圖
1．B
【分析】直接觀察,即可出答案.
【詳解】由圖知，簡單組合體是由棱錐、棱柱組合而成.
故選：B.
2．D
【分析】由圓錐的底面周長與側面展開圖的半圓弧相等，結合弧長公式列方程即可求母線長.
【詳解】由題設母線長為，則，可得.
故選：D.
3．D
【分析】由正三棱柱截面的性質，若上部不過上底頂點，則所截四邊形上下底平行，即為梯形；若上部過頂點，則為三角形，進而可確定正確選項.
【詳解】當截面上部不過上底面的頂點時，所得截面為梯形，如下圖：
當截面上部過底面的頂點時，所得截面為三角形，如下圖：
故選：D
4．D
【分析】利用棱柱、棱錐、棱臺的定義，判斷選項即可.
【詳解】解：根據棱柱、棱錐、棱臺的定義，選項A、B、C正確；
對選項D：只有底面是矩形的直四棱柱才是長方體，所以四棱柱是長方體不正確；
故選：D.
5．C
【分析】畫出四邊形，分析可知四邊形為直角梯形，根據題中所給數據可計算出的長.
【詳解】作出四邊形如下圖所示：
由題意可知，四邊形是直角梯形，且，，，
過點作，垂足為點，
因為，，，則四邊形為矩形，且，，
所以，，由勾股定理可得.
故選：C.
6．B
【分析】根據直觀圖與原圖形的關系，可知原圖形為平行四邊形，結合線段關系即可求解.
【詳解】根據直觀圖，可知原圖形為平行四邊形，
因為正方形的邊長為2cm，
所以原圖形 cm，
，則，
所以原平面圖形的周長為，
故選：B.
【點睛】本題考查了平面圖形直觀圖與原圖形的關系，由直觀圖求原圖形面積方法，屬于基礎題.
7．B
【分析】根據題中所給的公式，結合勾股定理進行求解即可.
【詳解】解：由已知可得平面中心到球心的距離為，
又球冠底面周長為，所以，
又，所以，
因為，即，
解得，即，
故，
故選：B．
8．A
【分析】利用棱柱的定義判斷A；利用直棱柱的定義判斷B；畫出圖形判斷C；棱臺的定義判斷D.
【詳解】對A，有兩個面互相平行，其余各面為四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，
由這些面圍成的多面體叫做棱柱，側面不一定全等，故A錯誤，符合題意；
對B，在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，滿足直四棱柱側棱與底面垂直，則該四棱柱為直四棱柱，故B正確，不符合題意；
對C，存在每個面都是直角三角形的四面體，如圖四面體，故C正確，不符合題意；
對D，棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫棱臺，故D正確，不符合題意.
故選：A.
9．C
【分析】由正方體的結構特征，作出截面即可判斷.
【詳解】用一個平面去截一個正方體，分別是所在棱的中點，所得截面形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，
如圖所示：

故選：C.
10．C
【分析】根據平行六面體的各面都是平行四邊形，舉出反例進行判斷；根據直平行六面體的底面為平行四邊形判斷；根據長方體的結構特征判斷；由側棱與底面不垂直判斷．
【詳解】直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，如底面是梯形，故A錯；
直平行六面體的底面不一定是矩形，故B錯；
六個面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，底面是矩形，故為長方體，C正確；
底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D錯.
故選：C
【點睛】本題主要考查了直四棱柱，平行六面體和長方體的結構特征，注意關鍵的地方，如平行六面體的各個面是平行四邊形，長方體的各個面相互垂直等，屬于中檔題．
11．C
【解析】1
【詳解】由題意用一平面截正方體，所得截面可以為正六邊形、五邊形、矩形、三角形，而當截面為矩形時，為體對角線為長、正方體棱長為寬的矩形，可知該截面為最大面積.
故答案選C.
12．C
【分析】易知，A在以AD為母線的圓錐上的一部分（弧AF），與所成的最大角為，只需.
【詳解】如圖，與所成的最大角為，只需即可.
即，
即，即.
故選：C.
【點睛】本題考查幾何中的翻折問題，考查學生的空間想象能力、轉化與化歸能力，是一道難題.
13．CD
【分析】求出的邊長，計算出三角形的形狀和周長，即可得出結論.
【詳解】由題意，
在斜二測視圖中，，
∴，的面積是的面積相同，B錯誤.
∴在中，，
∴是的中線，，，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，A錯誤，C正確，
，D正確，
故選：CD.

14．AC
【分析】A.畫圖判斷；B.由正棱柱的定義判斷；C.由正三棱錐和正四面體的定義判斷；D.由直棱柱的定義判斷.
【詳解】解：A.如圖：
幾何體滿足有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形但不是棱柱，
B.由正棱柱的定義知：底面是正多邊形的直棱柱一定是正棱柱，故正確；
C.在正三棱錐中，當側棱與底面正三角形的邊長不相等時，不是正四面體，故錯誤；
D.由直棱柱的定義知：側棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正確；
故選：AC
15．ABD
【分析】由正方體的特征，結合選項即可找到對應的圖形，即可求解.
【詳解】對于A，如圖四邊形為平行四邊形，所以A正確，

對于B，四面體是正四面體，所以B正確，

對于C，如圖四面體中， ，故每個面都是直角三角形，所以C不正確，

對于D，如圖四面體中， ，,均是直角三角形、為等邊三角形，所以D正確，
故選：ABD．

16．AC
【分析】根據斜二測畫法的定義判斷．
【詳解】根據斜二測的定義，，，，
由勾股定理，由直角三角形，與的長度大小不確定．
故選：AC．
17．AC
【分析】由正方體的特點，對角線垂直于平面，且三角形為等邊三角形得答案．
【詳解】解：如圖，
正方體中，對角線垂直于平面，且三角形為等邊三角形，
正方體繞對角線旋轉能與原正方體重合．
故選：．
18．BC
【解析】利用平面的定義，棱柱的定義，對選項逐一判斷即可.
【詳解】對于A選項，要強調該三點不在同一直線上，故A錯誤；
對于B選項，由棱柱的定義可知，其側面一定是平行四邊形，故B正確；
對于C選項，可用反證法證明，故C正確；
對于D選項，要強調該直線不經過給定兩邊的交點，故D錯誤.
故選：BC.
【點睛】本題考查平面的基本性質及其推論的應用，考查棱柱的定義，屬于基礎題.
19．直角
【分析】根據斜二測畫法，，直接判斷的形狀．
【詳解】如圖所示，且，，將還原可得，所以，所以為直角三角形．
【點睛】本題考查斜二測畫法中直觀圖的還原，屬基礎題．
20．
【詳解】解析過程略
21．
【分析】根據原圖形面積是直觀圖面積的倍即可求解.
【詳解】設直觀圖的上下底為，高為，則直觀圖的面積為，
則原梯形的上下底為，高為，
所以原梯形的面積等于,
即原圖形面積是梯形的面積倍，
因為梯形的面積為，所以原梯形的面積是.
故答案為:4.
22．平行
【分析】根據三角形重心性質可得答案．
【詳解】取的中點，連接，
因為分別是， 的重心，
所以，所以.
故答案為：平行.
23．
【解析】設出圓錐的底面半徑，由它的側面展開圖是一個半圓，分析出母線與半徑的關系，結合圓錐的表面積為，構造方程，可求出半徑.
【詳解】設圓錐的底面的半徑為，圓錐的母線為，
則由得，
而
故，
解得，
故答案為：.
【點睛】本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長．正確理解這兩個關系是解題的關鍵．
24．
【解析】設圓錐的底面半徑為，母線長為，利用側面展開圖是半圓，求出，利用圓的面積公式可得結果.
【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，
則，底面周長，
因為側面展開圖是半圓，所以，，
所以側面積為．
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：利用側面展開圖是半圓求出母線長與底面半徑的關系是解題關鍵，屬于基礎題.
25．
【分析】先求出底面外接圓半徑，由勾股定理可求正四面體的高及外接球半徑，從而可求球心到截面的距離，然后利用勾股定理求截面圓的半徑，根據圓的面積公式即可求解.
【詳解】解：棱長為4正四面體的底面外接圓半徑為，
故正四面體的高為.
設外接球半徑為R，則，解得.
所以過正四面體上某一個頂點所在的三條棱的中點作球的截面，球心到截面的距離.
所以截面圓的半徑為.
所以截面圓的面積為.
故答案為:.
26．
【分析】根據斜二測畫法的原則得到直觀圖的對應邊長關系，即可求出相應的面積.
【詳解】作出直觀圖如圖，
根據斜二測畫法的原則可知,
所以對應直觀圖的面積為.
故答案為：
27．4或5或6（答案不唯一）
【分析】將正四面體，置入到正方體中，正方體的外接球即為正四面體的外接球，從而得到過點的截面面積的最值，得到過點的截面圓面積取值范圍為，得到答案.
【詳解】如圖，棱長為4的正四面體，置入到正方體中，

此正方體棱長為，四面體外接球即為此正方體外接球，球心即為正方體中心，
半徑．
則過點的最大截面圓即為過球心時，此時截面圓半徑即為球半徑，截面面積為，
當點為截面圓圓心時，此時截面圓面積最小，其中，
最小截面圓半徑為，
截面圓面積為，所以過點的截面圓面積取值范圍為，
所以．
故答案為：4或5或6
28．
【分析】根據題意畫出圖象，可知平面與球的交線為圓形，由三角形相似求出截面圓的直徑，再由圓的周長公式求解.
【詳解】解：由于球與圓柱的上下底面及母線均相切，
∴四邊形為正方形，其面積為12，
則，
平面與球的交線為圓形，如圖，即為截面圓的直徑，
由題意可得，，
，
，
則，∴.
故交線長為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵點一是根據畫圖，判斷平面與球的相交截面；關鍵點二是根據，求出的長.本題考查了空間想象能力和思維能力，考查運算求解能力，是中檔題。
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