資源簡介

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第8講 簡單幾何體的表面積與體積
1．A
【分析】幾何體是長方體截去如圖的三棱錐，利用棱柱和棱錐的體積公式計算即可．
【詳解】如圖，幾何體是長方體截去如圖紅色截面的三棱錐，所以幾何體的體積是 ，
故選：A
2．A
【分析】求出長方體的體對角線長，可得出其外接球的半徑，再利用球體的體積公式可求得結果.
【詳解】長方體的體對角線的長是，
長方體外接球的半徑是，這個球的體積為．
故選：A．
3．C
【分析】設圓錐和圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，圓錐的高為，圓錐的母線長為，利用圓錐、圓柱的側面積、表面積、體積公式以及三角形、矩形的面積公式判斷可得出合適的選項.
【詳解】設圓錐和圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，圓錐的高為，圓錐的母線長為.
對于①，，，則，①對；
對于②，，，則，②錯；
對于③，，，則，③對；
對于④，，，
則，④對.
故選：C.
4．A
【分析】作出圓錐和其內切球的軸截面，求得母線長，根據內切球性質以及勾股定理可列式求得內切球半徑，即可求得答案.
【詳解】如圖，作出圓錐和其內切球的軸截面，設O為內切球球心，半徑為r，內切球與圓錐母線AB相切于D，
設E為圓錐底面中心，則，

易得，圓錐的底面半徑為1，則，，
在中，，即，
解得，
故圓錐內切球的體積為，
故選：A
5．B
【分析】三棱錐可視為棱長分別為1，2，3的長方體被一平面所截而成，求出長方體體對角線即可得解.
【詳解】以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長方體被平面ABC所截的三棱錐符合要求，如圖：
長方體與三棱錐有相同外接球，其外接球直徑為長方體體對角線長，
設外接球的半徑為，則，
則所求表面積.
故選：B
6．C
【分析】液面為平面時所盛水最多，利用體積之比即可求解.
【詳解】如圖所示，過作與底面平行的截面，則為的中點，為的中點，過作與底面平行的截面，則分別為的中點，
設三棱錐的體積為，高為，的體積為，高為，
則，，
三棱錐的體積與三棱錐的體積的比是（高的比），
由題可知液面為平面時所盛水最多，
所以最多可盛水的容積為，即最多所盛水的體積是原來的.
故選：C．
【點睛】本題主要考查了棱柱、棱錐、棱臺的體積的求解問題，解答關鍵是掌握相應的體積公式及幾何體的結構，將求不規則幾何體的體積變為幾個規則的幾何體的體積，分割法求體積是求解不規則幾何體的體積的常用技巧和方法，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．
7．D
【分析】先判斷出點位于垂直于面的直徑端點時四面體的體積最大.由球的表面積求出半徑，即可求出體積的最大值.
【詳解】如圖所示.
要使三棱錐的體積最大，只需點位于垂直于面的直徑端點.
設球的半徑為，此時.
又球的表面積，故，所以．
故選：D
8．A
【分析】由已知可得，結合直角三角形的性質，找到棱錐外接球的球心為的中點，可得，再由基本不等式可求得的最大值.
【詳解】因為，所以，
又因為，所以，取的中點，連接，
所以為三棱錐的外接球的球心，外接球的體積為，
所以，則，所以，則，
因為，兩邊同時加上，則，
因為，所以，
當且僅當時等號成立，
又因為，所以，
則的最大值為.
故選：A.

9．A
【分析】由棱柱體積求得棱柱的高，然后求得外接球的半徑，得表面積．
【詳解】設的邊長為a，由的外接圓半徑為可得，故，
則的面積.由三棱柱的體積為可得，故，
設三棱柱外接球的半徑為R，則，
故該三棱柱外接球的表面積為.
故選：A．
10．D
【分析】設，，，則有，以、、為鄰邊可構造一個長方體，此時可知，然后由可得答案.
【詳解】解：設，，，
因為直線兩兩垂直，若，，的面積之和為72，
所以，有，
以、、為鄰邊可構造一個長方體，則該長方體為此球的內接長方體，
所以，．
因為
所以，
所以，即，當且僅當時等號成立，
所以，此球體積的最小值為．
故選：D
11．B
【分析】根據正八面體的結構特征結合條件可得外接球的半徑，進而由球的體積公式即得體積.
【詳解】如圖正八面體，連接和交于點，

因為，，
所以，，又和為平面內相交直線，
所以平面，所以為正八面體的中心，
設正八面體的外接球的半徑為，因為正八面體的表面積為,所以正八面體的棱長為，
所以，，，
則， .
故選：B.
12．C
【解析】根據正方體的幾何特征，求出內切球和外接球的半徑關系，利用球的體積公式即可得解.
【詳解】設正方體的棱長為，則其內切球的半徑為，
外接球的直徑為體對角線長，所以外接球的半徑為，
所以內切球與外接球的體積之比為.
故選：C
【點睛】此題考查求正方體的內切球與外接球的半徑大小關系，關鍵在于熟練掌握正方體的幾何性質，根據公式準確求解.
13．AD
【分析】對于A，由壇子的容積為結合圓臺的體積公式可求出的值，從而可求出下圓臺的體積，對于B，利用圓臺的表面積公式求解判斷，對于C，直線與圓臺底面所在平面所成角為，然后求解判斷，對于D，設該圓柱的底面半徑為，然后表示出圓柱的高，從而可求其側面積的最大值
【詳解】解：因為該壇子的容積，，所以，
故下圓臺的體積為，即升，A正確．
，故下圓臺的表面積為，B錯誤．
由圖易知，直線與圓臺底面所在平面所成角為，則，C錯誤．
設該圓柱的底面半徑為，則圓柱高，
所以圓柱側面積，D正確．
故選：AD
14．ACD
【分析】分別表示出與即可判斷A；當時，即可判斷B；由，然后作差即可判斷CD.
【詳解】
如圖所示，設，則，，
于是，故A正確.
當時，有，此時，故B不正確；
設點到平面的距離為，
由于，
故
由于，，所以，，
從而，從而，即，故C正確；
又，故，故D正確.
故選:ACD
15．BCD
【分析】根據圖形分別求出，，結合勾股定理判斷垂直；表面積是由4個正方形和16個與梯形BDEF全等的梯形組成，分別計算；體積用兩個柱體體積減去重疊部分體積；分別計算按路線和在表面內移動最短的路徑長．
【詳解】如圖一個正四棱柱的某個側面與另一個正四棱柱的兩個側面的交線CE、DE
則在梯形BDEF中，可知，
設，則
根據立體圖可得，，顯然
即CE、DE不垂直，A不正確；
該“十字貫穿體”的表面積是由4個正方形和16個與梯形BDEF全等的梯形組成
則表面積，B正確；
如圖兩個正四棱柱的重疊部分為多面體，取的中點I
則多面體可以分成8個全等三棱錐，則
該“十字貫穿體”的體積即為，C正確；
若按路線，則路線長為
若在表面內移動，則有：
借助部分展開圖，如圖所示：
∵，即為鈍角，過B作NE的垂線BH，垂足為H，則BH在展開圖內
根據對稱可知此時最短路徑為
則從頂點出發，沿表面到達頂點的最短路徑為，D正確；
故選：BCD．
16．AB
【分析】設三棱柱的高為，，三棱柱側面積得，可得，設，分別是三棱柱上下底面的外心，則三棱柱外接球球心是中點，由正弦定理求得外接圓的半徑，由勾股定理結合基本不等式求得外接球半徑的最小值，再由球的體積公式結合選項即可求解．
【詳解】設三棱柱的高為，．因為，
所以，
則該三棱柱的側面積為，故，
設分別是三棱柱上下底面的外心，則三棱柱外接球球心是中點，
設的外接圓半徑為，則，
設球的半徑為，則，
所以，故球的體積為：．
結合選項可知：球體積可能是，，
故選：AB．
17．BC
【分析】由題意，可利用柱體體積公式和多面體表面積公式進行計算，沿表面最短距離可將臨近兩個面側面展開圖去計算，即可求解正確答案.
【詳解】長方體的表面積為，A錯誤.長方體的體積為，B正確.如圖（1）所示，長方體中，，，.求表面上最短（長）距離可把幾何體展開成平面圖形，如圖（2）所示，將側面和側面展開，
則有，即經過側面和側面時的最短距離是；如圖（3）所示，將側面和底面展開，則有，即經過側面和底面時的最短距離是；如圖（4）所示，將側面和底面展開，
則有，即經過側面和底面時的最短距離是.因為，所以沿長方體表面由A到的最短距離是，C正確，D不正確.
故選：BC.
【點睛】本題考查長方體體積公式、表面積公式和沿表面的最短距離，考查空間想象能力，屬于基礎題.
18．AB
【分析】結合向量的線性運算和三棱錐體積公式，逐一判斷選項即可.
【詳解】設第一切交邊BC BD分別交于G H，不失一般性，設BH≥BG，設BC中點為M，A E在底面的射影分別為O F，則F∈BO；設=，=()，
，則
∵∴
又，則從而①
②
A選項AE=2時，，則，為定值上；
B選項聯立①②解得：，
故邊長為及；
C選項此時=1，此時聯立①②無解，故不能；
D選項此時應有GH⊥BO，即，聯立①②有，故BE=AB=.
故選：AB
【點睛】在求解立體幾何有關截面的計算時務必找出截面，結合向量的有關運算可以快速的解決問題.
19．
【分析】根據正四面體的每個面都是正三角形且都相等，計算出其中一個三角形的面積再乘4即可.
【詳解】解：邊長為的正三角形的面積
故正四面體的表面積為
故答案為：
【點睛】本題考查錐體的表面積計算，三角形的面積，屬于基礎題.
20．
【分析】根據三視圖還原幾何體，可知其為正方體切割所得，且正方體的外接球即為所求外接球；根據正方體外接球半徑為其體對角線長的一半可求得，代入球的表面積公式即可求得結果.
【詳解】由三視圖可還原幾何體為如下圖所示的棱長為的正方體切割所得的四棱錐，
由圖形可知：該正方體的外接球即為四棱錐的外接球，
正方體外接球半徑，所求外接球表面積.
故答案為：.
21．6800
【分析】首先將幾何體進行分割，然后分別求得各部分的體積即可確定大成殿的體積．
【詳解】大成殿下面的部分是一個長方體，上面的部分可以分割為一個三棱柱和兩個四棱錐，
其中長方體的體積，
三棱柱的體積：，
四棱錐的體積：，
故大成殿的體積：．
故答案為：6800．
22．
【分析】一個球與一個正方體的每條棱都相切，則這個球的半徑為正方體的面對角線一半，從而求出這個球的體積
【詳解】解：一個球與一個正方體的每條棱都相切，則這個球的半徑為正方體的面對角線一半，
即解得，
則其體積，
故答案為：．
23．
【解析】考慮正方體的內切球恰好與每個面相切，切點為每個面的中心，該球為由六條面對角線構成的正四面體的內切球，即可求得求得半徑.
【詳解】可采用補體的方法，先畫一個正方體，
正方體的棱長為，那么正方體的面對角線為3，
取四點構成棱長為3的三棱錐，若與三棱錐的各棱均相切，即與正方體的各面相切，
所以正方體的內切球就是所求的球，球的半徑為棱長的一半，即，
這樣球的表面積為.
故答案為：
【點睛】此題考查根據求滿足條件的求得表面積，關鍵在于準確構造物體關系，求出球的半徑，結合圖形轉化，利于解題.
24．
【分析】作出大圓截圖，利用弦心距、直角三角形得到兩個球缺的高，再利用球的體積公式、球缺的體積公式進行求解.
【詳解】記兩球面的交線為圓，其大圓截面如圖所示，
則，且，
解得，，且圓的半徑為12，
兩球體的公共部分可看作兩個球缺，
小球中的球缺高為，，
大球中的球缺高為，，
故
.
故答案為：.
25．
【分析】設正方形紙片為，其內的小正方形為，取，的中點分別為，連接，對稱性可知，從而求出的長，從而得到正四棱錐中的斜高，從而可求出其高，得到體積與表面積.
【詳解】如圖，
設正方形紙片為，其內的小正方形為，做成的正四棱錐為
取，的中點分別為，連接
由題意，,由對稱性可知，
所以，所以
即在正四棱錐中，，又
所以
所以正四棱錐的體積為，
表面積 ,
所以,
故答案為：
26．
【分析】根據題設確定的最小為面與面沿展開平面上的，利用余弦定理求四面體的棱長，進而求外接球半徑，即可得面積.
【詳解】由題設，如下圖，將面與面沿展開為一個平面，
要使的最小值為，即展開圖中，是棱的中點，
令，故，
所以，故正四面體的棱長，
則，，
如圖，若是的中心，為正四面體的外接球球心，且球體半徑為，
所以，
故該正四面體的外接球表面積是.
故答案為：
27．
【分析】設，首先求得的表達式，結合二次函數的性質求得的最大值.
【詳解】設，由題意，，得，
將（※）代入（#），可得.
因為，所以，則，
，
當時，取得最大值.
故答案為：
28．
【分析】首先根據條件,確定，的軌跡，然后確定外接球的球心位置，從而表示出外接球半徑的關系式，最后結合函數分析求得的取值范圍；
【詳解】由題意，在中，，，，
由余弦定理得：，
所以，由勾股定理逆定理得：，
取、、的中點分別為、、，則，，
又，故點在平面的軌跡為以為直徑的圓，記為．
，故點在平面的軌跡為以為直徑的圓，記為，
則經過點，且三棱錐的外接球球心在直線上．

設，，球的半徑為，
則在中，，
在中，則，
則，由知，
則，，所以．
故三棱錐的外接球的表面積．
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：典型的外接球問題，能夠通過條件確定，的軌跡，然后確定外接球的球心位置，是本題的難點和突破點，值得收藏和借鑒；
29．側面積是32，表面積是48
【分析】由正四棱錐的高，斜高，邊心距組成的直角三角形，依據題意可以求出高與斜高，即可求得正四棱錐的側面積和表面積．
【詳解】如圖所示，設正四棱錐的高為，斜高為，
底面邊心距為，它們組成一個直角三角形；
，
，
所以正四棱錐的側面積，
底面正方形面積為，
則正四棱錐的表面積為，
即該正四棱錐的側面積是32，表面積是48.
30．
【分析】根據圖形特征旋轉后根據圓錐側面積及圓柱表面積公式計算可得.
【詳解】如圖所示，直角梯形中，，
作，垂足為，則，
故，
在旋轉生成的旋轉體中，形成了一個圓面，
形成一個圓柱的側面，形成一個圓錐的側面，
設其面積分別為，
則，
所以次旋轉體的表面積為.
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第8講 簡單幾何體的表面積與體積
一、圓柱、圓錐、圓臺的側面積
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
二、柱體、錐體、臺體的體積
1.柱體的體積公式：
2.錐體的體積公式：
3.臺體的體積公式：
4.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系
三、球的表面積和體積
1.球的表面積公式：
2.球的體積公式：
四、球的截面的性質
1.用一個平面去截一個球，截面是圓面，如圖，球的截面有以下性質：
(1)球心和截面圓圓心的連線垂直于截面；
(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r滿足關系d＝.
五、常用結論
1.(a、b、c分別為長方體的長寬高)
2.
【課堂訓練】
一、單選題
1．已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是
A． B． C． D．
2．已知長方體的長、寬、高分別為、、，且其頂點都在球面上，則該球的體積是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一個圓柱與一個圓錐的底面半徑相等，圓柱的高等于其底面直徑，圓錐的高等于其底面直徑的倍．給出下列結論：
①設圓柱與圓錐的體積分別為、，則；
②設圓柱與圓錐的軸截面面積分別為、，則；
③設圓柱與圓錐的側面積分別為、，則；
④設圓柱與圓錐表面積分別為、，則.
其中所有正確結論的序號是（ ）
A．① B．②③ C．①③④ D．①②③④
4．已知圓錐的底面半徑為1，高為，則該圓錐內切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱錐中，已知，，兩兩垂直，且，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
6．一個盛滿水的三棱錐容器，不久發現三條側棱上各有一個小洞，且知，若仍用這個容器盛水，則最多可盛水的體積是原來的（ ）
A． B．
C． D．
7．設A,B是球O的球面上兩點,,C是球面上的動點.若球的表面積是,則四面體的體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在三棱錐中，，若三棱錐外接球的體積為，則的最大值為（ ）

A． B． C． D．8
9．在體積為的直三棱柱中，為等邊三角形，且的外接圓半徑為，則該三棱柱外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
10．半徑為的球面上有四點，且直線兩兩垂直，若，，的面積之和為72，則此球體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
11．六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無毒、不燃的穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途．如圖所示，其分子結構是六個氟原子處于頂點位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將其六個頂點看作正方體各個面的中心點．若正八面體的表面積為，則正八面體外接球的體積為（ ）

A． B． C． D．
12．正方體的內切球與外接球的體積之比為
A．1：3 B． C． D．
二、多選題
13．壇子是我們日常生活中耳熟能詳的生活用品，一般指用陶土做胚子燒成的用來腌制菜品或盛放物品的器物如圖，某壇子的主體部分壇身可以看作是由上下兩個同底的圓臺燒制而成的，其中，，且該壇子的容積為升，則（ ）
注：若圓臺的上、下底面半徑分別為，，高為，母線為，則圓臺的體積，側面積．
A．下圓臺的體積為升
B．下圓臺的表面積含上下圓臺同底的部分為
C．直線與圓臺底面所在平面所成的角為
D．若在該壇子內封裝一個圓柱，則圓柱的側面積最大為不考慮能否放入和容器厚度
14．已知三棱錐，過頂點B的平面分別交棱，于M，N（均不與棱端點重合）．設，，，，其中和分別表示和的面積，和分別表示三棱錐和三棱錐的體積．下列關系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．素描是使用單一色彩表現明暗變化的一種繪畫方法，素描水平反映了繪畫者的空間造型能力．“十字貫穿體”是學習素描時常用的幾何體實物模型，如圖是某同學繪制“十字貫穿體”的素描作品．“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點，另外兩條相對的側棱交于一點（該點為所在棱的中點）．若該同學繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為6的正四棱柱構成，則（ ）
A．一個正四棱柱的某個側面與另一個正四棱柱的兩個側面的交線互相垂直
B．該“十字貫穿體”的表面積是
C．該“十字貫穿體”的體積是
D．一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點出發，沿表面到達頂點的最短路線長為
16．已知三棱柱的個頂點全部在球的表面上，，，三棱柱的側面積為，則球體積可能是（ ）
A． B． C． D．
17．長方體的長、寬、高分別為3，2，1，則（ ）
A．長方體的表面積為20
B．長方體的體積為6
C．沿長方體的表面從A到的最短距離為
D．沿長方體的表面從A到的最短距離為
18．中國飲食文化是有著長遠歷史，博大精深的中國文化.譬如粽子，有人說是因為紀念愛國詩人屈原人們用艾葉或葦葉 荷葉包住食物，用五色絲線捆好，投江祭奠；也有人說是為了清明節紀念晉文公名臣介子推.現在粽子已演變出不同品種 不同類別，很多地方逢年過節懷著美好祝愿以粽子為食物.其中一種粽子被包成比較對稱的四面體形狀.現有一只質地均勻的粽子各棱長為12的四面體ABCD，兄弟三人分食此粽.大哥將粽子平放桌面上(面BCD在桌面)，準備用垂直于桌面的兩刀將粽子體積三等分，忽略粽子的變形，第一刀經過了棱AB上點E，切截面與棱BC，BD均相交；則以下結論正確的是（ ）
A．若AE=2，第一刀切底面所得的三角形面積是定值；
B．若AE=2，截面截底面兩邊的長度為及；
C．點E能與點A重合；
D．若第二刀將剩余部分分為全等的兩塊，則BE長為.
三、填空題
19．棱長為2的正四面體，其表面積為 .
20．已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球表面積為
21．鎮海中學大成殿具有悠久的歷史，始建于北宋年間，大成殿建筑美觀大氣，如圖：上建筑屋脊狀楔體，下建筑是長方體．假設屋脊沒有歪斜，即的中點在底面上的投影為矩形的中心點，，，，，，（長度單位：米）．則大成殿的體積為 （體積單位：立方米）．
22．棱長為3的正方體內有一個球，與正方體的12條棱都相切，則該球的體積為 ;
23．已知球與棱長均為3的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為 .
24．無窮符號在數學中是一個重要的符號，該符號的引入為微積分和集合論的研究帶來了便利，某校在一次數學活動中以無窮符號為創意來源，設計了如圖所示的活動標志，該標志由兩個半徑分別為15和20的實心小球相交而成，球心距，則該標志的體積為 .
附：一個半徑為的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高（記為），球缺的體積公式為.
25．如圖，一塊邊長為4的正方形紙片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形和一個正方形做成一個正四棱錐，則該四棱錐的體積與表面積之比為 ．
26．正四面體中，是棱的中點，是棱上一動點，的最小值為，則該正四面體的外接球表面積是 .
27．如圖，某校學生在開展數學建模活動時，用一塊邊長為的正方形鋁板制作一個無底面的正棱錐（側面為等腰三角形，底面為正邊形）道具，他們以正方形的兒何中心為田心，為半徑畫圓，仿照我國古代數學家劉徽的割圓術裁剪出份，再從中取份，并以O為正棱錐的頂點，且落在底面的射影為正邊形的幾何中心，側面等腰三角形的頂角為，當時，設正棱錐的體積為，則的最大值為 .
28．如圖，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，，，，，點在上底面所在平面上，使得，點在下底面所在平面上，使得，若三棱錐的外接球表面積為，則的取值范圍是 ．

四、解答題
29．已知正四棱錐底面邊長為4，高與斜高夾角為.求它的側面積和表面積．
30．一個直角梯形的兩底長為2和5，高為4，將其繞較長的底旋轉一周，求所得旋轉體的表面積．
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