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第9講 空間點、直線、平面之間的位置關系
1．C
【分析】根據直線a和b沒有公共點，結合空間直線的位置關系進行判斷．
【詳解】∵直線a和b沒有公共點，
∴直線a與b不是相交直線．
∴直線a與b可能是相交直線或異面直線．
故選：C．
2．A
【分析】畫出圖形，利用點，線，面的關系，得到點直線，結合AC與BD為異面直線，所以直線BD.
【詳解】如圖，空間四邊形，因為平面ABC，平面ACD，
所以點平面ABC，且平面ACD，而平面ABC平面ACD=AC，
所以點直線.
因為AC與BD為異面直線，所以直線BD.
故選：A
3．C
【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關系逐一分析即可得出答案．
【詳解】解：由，，知：
若，則與平行或相交，故A不正確；
若，異面，則與平行或相交，故B不正確；
若，相交，則，相交，故C正確；
若，則與平行或相交，故D不正確．
故選：C．
4．B
【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解．
【詳解】①如果，，那么m，n相交、平行或異面直線，故①錯誤；
②根據線面平行性質定理可知正確；
③根據線面垂直判定定理可知正確；
④如果，，，那么m，n相交、平行或異面直線，故④錯誤；
故選B
【點睛】本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要注意空間思維能力的培養．
5．D
【分析】連接，由已知條件可證得平面，從而可得，由此可得答案
【詳解】連接，則，
因為平面，在平面內，
所以，
因為，
所以平面，
因為在平面內，
所以，
所以異面直線與所成的角為，
故選：D
【點睛】此題考查求異面直線所成的角，屬于基礎題
6．B
【解析】根據線線及線面關系一一判斷即可.
【詳解】對于選項A，當，都平行于與的交線時，，所以A為假命題.
對于選項B，根據異面直線垂直的情況知，，，，所以B為真命題.
若，，則，由，可得，所以C為假命題.
若，，，則，所以D為假命題.
故選：B.
7．D
【分析】先利用正方體的平面展開圖還原成正方體，分析6對對角線成角情況，得到答案.
【詳解】如圖所示，將平面展開圖還原成正方體，
AB與GH成角等價于HF與GH成角，
易得為等邊三角形，所以AB與GH成角為，
同理可得， AB與EF、GH與CD、EF與CD所成的角為，共4對.
AB與CD成角等價于HF與CD成角，
因為四邊形CFDH為正方形，所以HF與CD成角為，即AB與CD成角，
同理可得，EF與GH所成的角為.
故選：D.
8．A
【分析】根據線面角的定義，可求與成的角有最小值，根據異面直線所成角的范圍，可求與成的角有最大值，即可.
【詳解】因為斜線與平面所成的角為是直線與平面內任意一條直線所成角中的最小值，則與成的角有最小值.
又因為異面直線所成角的范圍為，所以與成的角有最大值.
故選：A
【點睛】本題考查線面角的定義以及兩條異面直線所成角的范圍，屬于較易題.
9．B
【分析】結合空間中點線面的位置關系，對選項逐個分析即可選出答案.
【詳解】解：對A，由，，得或與相交，故A錯誤；
對B，由，，得，由，得，故B正確；
對C，若，則或，故C錯誤；
對D，若，，，則或與相交或與異面，故D錯誤.
故選：B.
10．C
【解析】根據題意，畫出圖形，結合公理2，即可得出答案.
【詳解】在空間中，兩兩相交的三條直線最多可以確定3個平面
如圖，相交于一點，且不共面，則確定一個平面，確定一個平面，確定一個平面.
故選：C.
【點睛】本題主要考查了線確定平面數量問題，屬于基礎題.
11．B
【詳解】空間兩兩相交的三條直線，
如果交于一點，可以確定的平面個數是1個或3個，
如果交于不共線的三點，可以確定的平面個數是1個．
∴空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面個數是1或3．
故選B ．
12．D
【詳解】作交于時，為正三角形，，是與成的角，根據等腰三角形的性質，作交于，同理可得，當時，，故選D．
13．CD
【分析】由平面的公理和線面、面面的位置關系，結合空間想象可得.
【詳解】A中，因為兩兩相交且不共點，記兩兩相交的交點分別為A、B、C，易知A、B、C三點不共線，故過該三點有且只有一個平面，A正確；
B中，若，則過直線m和n有且只有一個平面，記為，若，則與相交，記交線為l，假設n與不相交，則n與l無公共點，則，則有，與已知矛盾，故假設不成立，故B正確；
C中，當直線l與平面相交時，顯然直線上有無數個點不在平面內，故C錯誤；
D中，當兩平面相交時，交線上的所有點都是兩平面的公共點，故D錯誤.
故選：CD
14．ABCD
【分析】根據直線與平面的位置關系，逐一分析選項，即可得答案.
【詳解】已知直線平面，直線平面，
則直線可能共面，可能異面，故B正確；
若直線共面，則直線可能平行、相交、垂直，故ACD正確
故選：ABCD
15．AC
【分析】利用錐體的體積公式可判斷A選項；利用斜二測畫法可判斷B選項；利用異面直線所成角的定義可判斷C選項；根據已知條件判斷線面位置關系，可判斷D選項.
【詳解】對于A，正六棱錐的底面邊長為，則該正六棱錐的底面積為，
又側棱長為，則棱錐的高，
所以該棱錐的體積為，A正確；
對于B，對于任意三角形，過點作，垂足為點，
以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
則，的直觀圖如下：
則，
所以，，
本題中，根據以上原理，，B錯誤；
由異面直線所成角可知C正確．
已知兩個平面垂直，一個平面內的直線與另一個平面不一定垂直，D錯誤.
故選：AC.
16．CD
【分析】根據公理1以及直線在平面內的定義，逐一對四個結論進行分析，即可求解．
【詳解】當時，，，但，故A錯；
當時，B錯；
如圖，∵，，∴，
∴由直線和點確定唯一平面，
又，由與確定唯一平面，但經過直線和點，
∴與重合，∴，故C正確；

兩個平面的公共點必在其交線上，故D正確．
故選：CD
17．ACD
【分析】根據平面的基本性質，以及線面位置關系的判定與性質，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，根據平行平面的性質，可得過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面平行，所以A是正確的；
對于B中，過平面外一點有無數個平面與已知平面垂直，所以B是錯誤的；
對于C中，若兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行，與兩條直線異面矛盾，所以C是正確的；
對于D中，過空間任意一點，分別作兩條異面直線的平行線，這兩條相交直線確定一個平面，可得兩條異面直線與這個平面都平行，又由空間中有無數個點，所以可作出無數個平面，所以是D正確.
故選：ACD.
【點睛】本題主要考查了空間中的直線與平面的位置關系的判定及應用，其中解答中熟記線面位置關系的判定和性質，逐項判定是解答的關鍵，著重考查空間想象能力.
18．ABC
【分析】A若是中點，連接并延長交于，連接，易得均共面且不在該平面上，由兩個相交的平面有交線則有且只有一條即可判斷正誤；B應用正方體的性質有面，又、面、在上，結合過一點與平面垂線有且只有一條即可判斷正誤；C、D首先確定過直線與成或時另一個點在面上軌跡，再應用數形結合判斷該軌跡上的點與的所有連線中與成或時位置，即可判斷正誤.
【詳解】若是中點，連接并延長交于，連接，則，
∴連接并延長交于，則均共面且不在該平面上，
由題設，相交直線所成面與相交直線所成面有且只有1條相交直線，
∴過點有且只有一條直線與，都相交，如圖直線，故A正確；
由，而，又面，又在上，
過一點有且只有一條直線與平面垂直：故過點只有垂直于面.
由面，知：，即，
∴過點有且只有一條直線與，都垂直，如圖直線，故B正確；
如下圖：要使過直線與成，即過直線與成即可，
∴為圓心，正方體棱長為半徑在面上畫圓，則圓上點與的連線均與成，而同時要使過直線與成，即與成即可，
如上圖，與上圖中圓上虛線部分點的連線有1條與成，根據對稱性知：另一側也有1條與成，過共2條直線與，都成角，故C正確；
同理，要使過直線與成，即過直線與成即可，
∴為圓心，正方體棱長的倍為半徑在面上畫圓，則圓上點與的連線均與成，而同時要使過直線與成，即與成即可，
∵與的連線分別與成、，故在上必有一點與連線與成，
∴由圓的對稱性知：圓上共有4個這樣的點，故過點有4條直線與，都成角，故D錯誤.
故選：ABC
19．
【分析】利用平面，可知，在直角三角形中可求出結果.
【詳解】連，如圖：
因為，所以，
因為平面，所以是與平面ABCD所成的角，
所以，所以，所以.
故答案為：.
20．平行或異面
【分析】根據直線與直線的位置關系直接判斷
【詳解】與無公共點，與可能平行，可能異面．
【點睛】本題考查兩直線的位置關系的判斷，解題時要認真審題，注意空間思維的培養，屬基礎題．
21．/
【分析】利用正方體的特征構造平行線求異面直線夾角即可.
【詳解】
如圖所示連接，根據正方體的特征易知，且為等邊三角形，
所以即異面直線 與 所成的角，且，.
故答案為：
22．
【分析】取，，的中點，，，由中位線的性質可得，，再由勾股定理即可求得.
【詳解】分別取，，的中點，，，連接，，，
則，，.

又，即.
.
故答案為：.
23．異面或相交
【分析】根據空間直線的位置關系直接判斷.
【詳解】因為，a與c相交，
所以b與c相交或者異面.
故答案為：異面或相交
24．
【分析】∠BEG是異面直線BE與CF所成的角（或補角），求出△BEG中各邊的長，由余弦定理求角的余弦值.
【詳解】如圖，取棱PC的中點G，連接BG，EG．
由題意可知，即E是PF的中點．
因為G是PC的中點，所以，則∠BEG是異面直線BE與CF所成的角（或補角）．
正四棱錐P－ABCD中，，設，
中，，，，
則，
正三角形中，，
與中，，，
∴，，
在△BEG中，由余弦定理可得．
故答案為：
25．①③④
【分析】利用兩交線直線確定一個平面可判斷命題的真假；利用三點共線可判斷命題的真假；利用異面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假.再利用復合命題的真假可得出結論.
【詳解】對于命題，可設與相交，這兩條直線確定的平面為；
若與相交，則交點在平面內，
同理，與的交點也在平面內，
所以，，即，命題為真命題；
對于命題，若三點共線，則過這三個點的平面有無數個，
命題為假命題；
對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，
命題為假命題；
對于命題，若直線平面，
則垂直于平面內所有直線，
直線平面，直線直線，
命題為真命題.
綜上可知，，為真命題，，為假命題，
為真命題，為假命題，
為真命題，為真命題.
故答案為：①③④.
【點睛】本題考查復合命題的真假，同時也考查了空間中線面關系有關命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題.
26．2
【分析】作出輔助線，得到為軸的圓錐母線（母線與成）是直線的運動軌跡，為軸的圓錐母線（母線與成）是直線的運動軌跡，兩個圓錐的交線即為滿足條件的直線的條數.
【詳解】設立方體的棱長為1，過作直線，
若直線與平面中的直線所成角的最小值為，
即與平面所成角為，
為軸的圓錐母線（母線與成）是直線的運動軌跡，
連接，由題意得，直線與直線所成角為，
直線與直線所成角為.
此時為軸的圓錐母線（母線與成）是直線的運動軌跡，
兩個圓錐相交得到兩條交線.
故答案為：2
27．
【分析】作圖，分別取的中點，則，，為異面直線AC與BD所成角，然后解三角形即可得出答案.
【詳解】
如圖所示，分別取的中點，
則 ，，
是異面直線AC與BD所成角.
設，則，
，
，
則異面直線AC與BD所成角的余弦值為
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題考查異面直線AC與BD所成角，考查學生的計算能力，正確作出異面直線AC與BD所成角是關鍵.
28．①④
【分析】根據空間點線面的位置關系依次分析各選項即可得答案.
【詳解】解：對于①，由面面垂直的判定定理可得，故①正確．
對于②，由題意知，滿足條件的平面的位置關系為∥或相交，故②不正確．
對于③，由題意知當滿足條件時有與相交或∥，故③不正確．
對于④，由線面平行的判定方法可得∥且∥，故④正確．
綜上可得①④正確．
答案：①④
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第9講 空間點、直線、平面之間的位置關系
一、點線、點面、線面位置關系的符號表示
1.點A在直線l上，記作A∈l；點A在直線l外，記作Al.
2.點A在平面α內，記作A∈α；點A在平面α外，記作Aα.
3.直線l在平面α內，記作l α；直線l在平面α外，記作lα.
二、平面的基本事實
1.基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.
（不共線的三點確定一個平面）
2.基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.
（A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α）
3.基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
（P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l）
4.三個推論
推論1：經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
三、空間直線、平面之間的位置關系
1.直線與直線的位置關系
異面直線的畫法：
① ②
2.直線與平面的位置關系
位置關系 直線在平面內 直線在平面外
直線與平面相交 直線與平面平行
公共點 無數個公共點 一個公共點 沒有公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
3.平面與平面的位置關系
位置關系 兩個平面平行 兩個平面相交
公共點 沒有公共點 無數個公共點(有一條公共直線)
符號表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
【課堂訓練】
一、單選題
1．如果直線a和b沒有公共點，那么a與b（　?。?br/>A．共面 B．平行
C．可能平行，也可能是異面直線 D．是異面直線
2．在空間四邊形的邊，，，上分別取，，，四點，如果直線與相交于點，那么（ ）
A．點一定在直線上
B．點一定在直線上
C．點可能在直線上，也可能在直線上
D．點既不在直線上，也不在直線上
3．在空間中，設m n是不同的直線， 是不同的平面，且，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若m n異面，則 平行
C．若m n相交，則 相交 D．若，則
4．設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：
① 如果，，那么；
② 如果，，，那么；
③ 如果，，那么；
④如果，，，那么.
其中正確的是
A．① ② B．② ③ C．② ④ D．③④
5．如圖，在正方體中，為的中點，則異面直線與所成的角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．已知，表示兩條不同的直線，、表示兩個不同的平面，則下列命題為真命題的是（　?。?br/>A．若，，，則 B．若，則，，
C．若，，，則 D．若，，，則與異面
7．正方體的平面展開圖如圖，、、、四條對角線兩兩一對得到6對對角線，在正方體中，這6對對角線所在直線成角的有（ ）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
8．已知斜線與平面所成的角為，在平面內任意作的異面直線，則與成的角
A．有最小值，最大值 B．有最大值，無最小值
C．有最小值，無最大值 D．既無最小值，又無最大值
9．已知,是空間兩條不同的直線，是空間兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，則 D．若，，，則
10．在空間中，兩兩相交的三條直線最多可以確定的平面的個數為
A．1 B．2 C．3 D．4
11．三條直線兩兩相交，可確定的平面個數是
A．1 B．1或3 C．1或2 D．3
12．如圖，正四面體，是棱上的動點，設（），分別記與，所成角為，，則（ ）
A． B． C．當時， D．當時，
二、多選題
13．下列說法不正確的是（ ）
A．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面
B．若兩條平行直線中的一條與一個平面相交， 則另一條直線也與這個平面相交
C．若直線上有無數個點不在平面內， 則
D．若兩個平面有無數個公共點， 則這兩個平面重合
14．已知直線平面，直線平面，則直線可能（ ）
A．平行 B．異面 C．相交 D．垂直
15．下列說法中正確的有（ ）
A．設正六棱錐的底面邊長為，側棱長為，那么它的體積為
B．用斜二測法作的水平放置直觀圖得到邊長為的正三角形，則面積為
C．若一條直線垂直于兩條平行直線中的一條，則它一定與另一條直線垂直
D．已知兩個平面垂直，一個平面內的任一直線必垂直于另一個平面
16．設P表示一個點，a、b表示兩條直線，、表示兩個平面，下列說法正確的是（　?。?br/>A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，，則
D．若，，，則
17．下列關于說法中正確的是（ ）
A．過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面平行
B．過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面垂直
C．兩條異面直線不能垂直于同一個平面
D．空間中與兩條異面直線同時平行的平面有無數個
18．已知正方體，點是棱的中點，設直線為，直線為，則下列判斷正確的是（ ）
A．過點有且只有一條直線與，都相交 B．過點有且只有一條直線與，都垂直
C．過點只有兩條直線與，都成角 D．過點只有兩條直線與，都成角
三、填空題
19．長方體中，，與平面ABCD所成角大小為，則的長為 ．
20．在空間中，若直線與無公共點，則直線的位置關系是 ；
21．已知正方體 的棱長為 ，則異面直線 與 所成的角的余弦值 ．

22．在空間四邊形中，，且，若分別為的中點，則 .
23．設是空間三條直線，，a與c相交，則b與c的位置關系為 ．
24．在正四棱錐P－ABCD中，，點E，F滿足，，則異面直線BE與CF所成角的余弦值為 ．
25．設有下列四個命題：
p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內.
p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.
p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.
p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.
則下述命題中所有真命題的序號是 .
①②③④
26．正方體中，過作直線，若直線與平面中的直線所成角的最小值為，且直線與直線所成角為，則滿足條件的直線的條數為 .
27．在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面，且，則異面直線與所成角的余弦值為 .
28．已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，給出下列命題：
① 若,則
② 若∥∥,則∥
③ 若,且是異面直線，則與相交
④ 若∥，且, 則∥且∥.
其中正確的命題是 （只填序號）.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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