資源簡介

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第10講 線、面平行的判定與性質
1．A
【分析】根據線面平行的判定方法可直觀想象得到結果.
【詳解】過點作直線的平行線，則經過且不經過的所有平面均與平行，故有無數個.
故選：A.
2．B
【分析】直接由面面平行的判定依次判斷5個命題即可.
【詳解】對于①，若，，且，則相交或平行，故①錯誤；
對于②，若，，則相交或平行，故②錯誤；
對于③，若，，且，則相交或平行，故③錯誤；
對于④，若相交，設，則由可得，由可得，故，與a、b是異面直線矛盾，故，④正確；
對于⑤，由，可得所在平面平行于，同理可得所在平面平行于，故，⑤正確.
故選：B.
3．D
【分析】A. 由無數個點不代表所有的點來判斷，B.由線面平行的性質來判斷， C. 由無數條不代表所有的來判斷，D. 由直線與平面平行的定義來判斷.
【詳解】A. 無數個點不是所有點，所以不正確；
B. 可以平行 可以異面，所以不正確；
C. 無數條直線不是所有的直線，所以不正確；
D. 由直線與平面平行的定義，正確.
故選：D.
4．C
【分析】根據線面平行的判定定理分析求解.
【詳解】如圖，設為相應棱的中點，
則//，且平面，平面，所以//平面，
同理可得：與平面平行，
由圖可知：其他的任意兩條棱的中點的連線與平面相交或在平面內，
所以與平面平行的直線有6條.
故選：C.

5．C
【分析】根據平面與平面平行的各類判斷方式，結合選項逐一判斷.
【詳解】對于A，由垂直于同一平面的兩個平面可以平行或相交可知，選項A錯誤；
對于B，由平面與平面平行的判定定理可知，若，則結論不成立，所以選項B錯誤；
對于C，因為是不全平行的共面直線，即至少兩條相交，所以成立.故選C正確；
對于D，由平行于同一直線的兩個平面平行或相交可知，選項D錯誤.
故選:C
6．B
【分析】過點作的平行線，交于點，交于點，連接，證明點軌跡是線段，然后根據勾股定理求得后可得最小值，由此求得．
【詳解】如圖，過點作的平行線，交于點，交于點，則底面，連接，平面，則，所以，
∵平面，/平面，，平面，
∴平面平面，又平面，∴平面．
又平面平面，平面，∴，
為的中點，∴為的中點，則為的中點，即在線段上（包含端點），
∴，∴，∴，，
故選：B．
7．C
【分析】利用直觀想象判斷直線與平面的位置關系可判斷ABD；利用線面平行的性質定理與面面平行的判定定理可判斷C，從而得解.
【詳解】因為、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面，
對于A，若，，則與可能相交，故A錯誤；
對于B，若，則與可能相交，故B錯誤；
對于C，因為，所以，又，
所以由線面平行的性質定理可知在內存在，則，進而可得，
因為是異面直線，，所以與相交，
又，所以由面面平行的判定定理得，故C正確；
對于D，平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則與可能相交，故D錯誤．
故選：C．
8．D
【分析】根據空間中直線平行的傳遞性，可判斷①；根據線線、線面、面面之間的位置關系即可判斷②③④⑤.
【詳解】解：因為，，根據空間中直線平行的傳遞性，得，故①正確；
因為，，所以直線平行，異面，相交均有可能，故②錯誤；
若，，則或，故③錯誤；
若，，則平面平行或相交，故④錯誤；
若，，則或，故⑤錯誤.
所以錯誤的命題是②③④⑤.
故選：D.
9．A
【分析】由已知可得出直線與直線在同一平面內，且無公共點，即可判斷出位置關系.
【詳解】因為平面平面，所以平面與平面無公共點，
直線平面，直線平面，
直線平面，直線平面，
所以直線與直線在同一平面內，且無公共點，故直線.
故選：A.

10．D
【解析】由面面平行的性質定理可得，，，可得，
由已知條件可求出，再利用平行線段的比例關系，即可求解.
【詳解】由平面平面ABC，側面分別與平面，
平面ABC交于，所以，
同理可得，，
因為 與方向相同，所以，
同理，所以，
所以，所以，
所以.
故選:D
【點睛】本題考查面面平行的性質定理的應用，考查等角定理，屬于中檔題.
11．B
【分析】取B1C1的中點為F，先證明平面EFD∥平面A1B1BA，再判定DE與平面A1B1BA的位置關系.
【詳解】如圖取B1C1的中點為F，連接EF，DF，
則EF∥A1B1，DF∥B1B，
且EF∩DF＝F，A1B1∩B1B＝B1，
∴平面EFD∥平面A1B1BA，
∴DE∥平面A1B1BA.
故選B
【點睛】本題考查面面平行判定與性質，考查基本分析論證能力，屬中檔題.
12．D
【分析】根據給定的幾何體，利用面面平行的性質結合平面的基本事實，探討截面形狀確定F點的位置，推理計算作答.
【詳解】在正方體中，平面平面，而平面，平面，
平面平面，則平面與平面的交線過點B，且與直線EF平行，與直線相交，令交點為G，如圖，
而平面，平面，即分別為與平面所成的角，
而，則，且有，
當F與C重合時，平面BEF截該正方體所得的截面為四邊形，，即G為棱中點M，
當點F由點C向點D移動過程中，逐漸增大，點G由M向點方向移動，
當點G為線段上任意一點時，平面只與該正方體的4個表面正方形有交線，即可圍成四邊形，
當點G在線段延長線上時，直線必與棱交于除點外的點，
而點F與D不重合，此時，平面與該正方體的5個表面正方形有交線，截面為五邊形，如圖，
因此，F為棱CD上異于端點的動點，截面為四邊形，點G只能在線段（除點M外）上，即,
顯然，，則，
所以線段的CF的取值范圍是.
故選：D
【點睛】關鍵點睛：作過正方體三條中點的截面，找到過三點的平面與正方體表面的交線是解決問題的關鍵.
13．BCD
【分析】根據直線與平面平行的性質即可判斷.
【詳解】因為直線a平行于平面α，所以a與平面α內的直線平行或異面，選項A錯誤；選項B，C，D正確.
故選：BCD.
14．ABC
【分析】根據的面積為矩形的面積的一半，且點到平面的距離不變，可判定A正確；由平面和平面，證得平面平面，可判定B正確；取的中點，把直線與直線所成的角即為直線與所成的角，在中，利用余弦定理求得，可判定C正確；結合，可判定D錯誤.
【詳解】對于A中，點在直線上運動時，的面積為矩形的面積的一半，
且點到平面的距離不變，所以三棱錐的體積不變，所以A正確；
對于B中，點在直線上運動時，
由分別為的中點，可得，
又由平面，平面，所以平面，
同理可證：平面，
因為且平面，所以平面平面，
又因為平面，所以平面，所以B正確；
對于C中，取的中點，分別連接，
因為的中點，所以，又由，所以，
所以異面直線與直線所成的角即為直線與所成的角，設，
設正方體的棱長為，可得，
在直角中，可得，所以，
所以，可得，所以C正確；
對于D中，由，
所以，所以D錯誤.
故選：ABC.

15．ABC
【分析】（1）由題意可知時，然后利用面積相等可求出；
（2）取的中點P，CD的中點H，利用等腰三角形三線合一即可證明；
（3）先作出AP與平面ABCD所成的角，再用幾何法求出，并利用基本不等式研究范圍，從而求出的范圍，即可判斷；
（4）根據面面平行與線面平行的性質定理可進行判斷
【詳解】如圖（1），連接，在中，，，，當時，有，故A正確.
如圖（2），取的中點P，CD的中點H，連接，BH.，，故B正確.
如圖（3），連接BD，過點P作，垂足為Q，則平面ABCD.設，則.連接AQ，
在中，由余弦定理可知.
在中，.
，，，
，則，
因此不存在點P使得AP與平面ABCD所成的角為，故C錯誤.
設過點，P，的平面為，根據面面平行與線面平行的性質定理可得平面截正方體所得截面形狀是平行四邊形，如圖（4）（5）（6），故D正確.
故選：ABD.
16．BCD
【分析】連接AD1，FD1，GF，BC1，證得EF//AD1，結合點到面的距離與點到線的距離關系判斷A，利用線面平行的判定判斷B，結合平面幾何的關系與異面直線與所成角是或其補角判斷C，梯形的面積計算判斷D即可.
【詳解】正方體中，連接AD1，FD1，GF，BC1，設，如圖：
對A，根據，，可得，又為中位線可得，，故，點C與點G到直線EF的距離不相等，故點C與點G到平面AEF的距離也不相等，故A錯誤；
對B，因點E，F是BC，CC1中點，則EF//BC1，而正方體的對角面ABC1D1是矩形，則AD1//BC1//EF，
連GF，因G是棱BB1中點，則GF//B1C1//A1D1，且，即四邊形A1GFD1是平行四邊形，A1G//D1F，
平面AEF，平面AEF，于是A1G//平面AEF，故B正確；
對C，因EF//AD1，A1G//D1F，則異面直線與所成角是或其補角，
作于M，顯然，即四邊形AEFD1是等腰梯形，，
，，故C正確；
對D，，平面截正方體所得的截面是等腰梯形AEFD1，其面積，故D正確.
故選：BCD
17．ABD
【分析】根據線面平行的判定、異面直線的夾角、外接球等知識點逐項判斷即可；
【詳解】將正八面體置于一個正方體中，如圖所示，該正八面體的頂點為正方體六個面的中心，，則正方體的邊長為2，
由圖可知，，
因為平面平面，所以平面，A正確．
連接，由圖可知，點到平面的距離為，B正確．

由圖可知，，則直線與所成角即與所成角，
因為為正三角形，所以，C錯誤．
四棱錐外接球的球心為正方形的中心，所以外接球的半徑為1，
故四棱錐外接球的表面積為，D正確．
故選：ABD.
【點睛】關鍵點睛：將正八面體放到正方體中是本題的突破點，然后根據線面平行的判定、異面直線的夾角、外接球等知識點逐項判斷.
18．AD
【分析】A項，通過作圖得出面直線與直線所成角，即可求出角度正切值；B項，通過作圖即可得出截面的形狀；C項，求出截面與四棱柱相交的5邊的各邊長，即可得出截面的周長；求出和的面積，即可得出截面面積.
【詳解】由題意，
設，則，
對于A選項，異面直線與直線所成的角，即為直線與直線所成的角，
連接，如下圖，則即為直線與直線所成的角或其補角.

易得，在中，，，
所以，所以A選項正確；
對于B選項，如下圖，延長交于點，連接交于點，延長交于點，連接交于點，連接，，

則五邊形即為平面截該四棱柱得到的截面，
即截面為五邊形，所以B選項錯誤；
對于C選項，易知，，所以，即.
又，所以，所以.
又，所以，所以，
，所以.
在中，.
又，所以，，
所以，
所以截面的周長為，
所以C選項錯誤；
因為，所以，所以為等腰三角形.
又，所以，
連接，

則，
所以，
易知，所以，則，
同理可得，所以截面的面積為，所以D選項正確；
故選：AD.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是根據平面的性質求截面形狀，進而求截面的周長和面積.
19．3
【分析】根據線面平行的判定定理即可判斷求解.
【詳解】
如圖，因為∥∥，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
所以∥平面，∥平面，∥平面，
故答案為：3.
20．平行
【解析】連接交于點，根據線面平行的判定定理，即可得出結果.
【詳解】
連接交于點，
在正方體中容易得到點為的中點．
又因為為的中點，所以.
又因為平面，平面，
所以平面.
故答案為：平行.
【點睛】本題主要考查判定線面位置關系， 熟記線面平行的判定定理即可，屬于基礎題型.
21．12
【詳解】如圖，取的中點的中點的中點，
連接，則，，
所以有平面，平面.
又，所以平面平面，
即平面為過點且與平面平行的截面,
易得此截面的周長為.
22．
【分析】由相交直線AA′，BB′所在平面和兩平行平面α，β相交于AB，A′B′，得到AB∥A′B′，進而得出△ABC與△A′B′C′的三內角相等，結合相似三角形的性質，即可求解.
【詳解】由題意，相交直線AA′，BB′所在平面和兩平行平面α，β相交于AB，A′B′，
所以AB∥A′B′，同理BC∥B′C′，CA∥C′A′，
所以△ABC與△A′B′C′的三內角相等，
所以△ABC∽△A′B′C′，可得,
又由,所以.
故答案為.
【點睛】本題主要考查了平面與平面的性質的應用，以及相似三角形的性質，其中熟練應用平面與平面平行的性質，合理應用相似三角形的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.
23．①②③
【分析】根據題意，證明四邊形為菱形，進而結合求解的面積判斷①②，根據等體積轉化求解幾何體的體積判斷③
【詳解】解：由正方體性質知平面平面，
因為平面平面，平面平面，
所以，同理可證，
所以，四邊形為平行四邊形，
又直角梯形和直角梯形全等，得，
所以四邊形為菱形，
所以，
由對稱性可知，當為棱，中點時，，當位于或時，，
所以，故①②正確；
對于③，棱錐的體積為，故③正確.
故答案為：①②③.
24．
【分析】先猜想點為的中點，取的中點，連接、，再證明平面．結合正四棱柱和中位線的性質可推出四邊形為平行四邊形，從而，然后由線面平行的判定定理可證得平面．
【詳解】如圖所示，分別取、的中點、，連接、，此點即為所求．
證明如下：
、分別為、的中點，
，，
為中點，
，
又，
，，
四邊形為平行四邊形，
，
平面，平面，
平面．
由于為的中點，
所以．
故答案為：．
【點睛】本題考主要查空間中線與面的平行關系，對于找點問題，一般可采用先猜后證的思想，熟練掌握線面平行的判定定理是解題的關鍵，考查學生的空間立體感、邏輯推理能力，屬于中檔題．
25．
【分析】畫出點的軌跡，從而計算出動點P的軌跡所形成的區域面積.
【詳解】設分別是的中點，
根據正方體的性質可知，，共面.
由于平面平面，
所以平面，
同理可證得平面，
由于，所以平面平面，
所以動點P的軌跡所形成的區域為正六邊形，
正六邊形的邊長為，面積為.
故答案為：
26．
【分析】分別取棱的中點，通過證明平面可得必在線段上，進而可求得長度的取值范圍.
【詳解】如下圖所示，分別取棱的中點，連接，連接，
因為為所在棱的中點，所以，所以，
又平面平面，所以平面；
因為，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，所以平面，
又，所以平面，
因為是側面內一點，且平面，則必在線段上，
在直角中，，
同理，在直角中，求得，所以為等腰三角形，
當在中點時，，此時最短，位于處時最長，
，，
所以線段長度的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題考查空間點的存在性問題，解題的關鍵是取棱的中點，得出點必在線段上，從而將問題轉化為在中.
27．或
【解析】根據題意畫出圖形，結合圖形進行分析，點可能在兩平面之間或在兩平面之外兩種情況，然后利用比例關系求出的長即可.
【詳解】
如圖：當點在兩平面之外即在延長線上時，
因為平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
所以，
因為，，，
所以，解得，
如圖：當點在兩平面之間即在線段上時，
因為平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
所以，
因為，，，
所以，解得，
所以，
綜上所述：的長為或，
故答案為：或
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是利用面面平行的性質定理可得，再利用平行線分線段成比例求的長，但是要注意需要討論點的位置.
28．
【分析】作出輔助線，證明平面平面，故點在線段上運動（含端點位置），當與或重合時，最大，當時，最小，由勾股定理求出最值，得到取值范圍.
【詳解】正方體的體積為27，所以正方體的棱長為3，
分別取線段、的中點、，連接、、，
分別是棱、的中點，
則，又平面平面，
所以平面，，
又平面平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面，故點在線段上運動（含端點位置），
當與或重合時，最大，
此時，
當時，最小，此時，
所以的取值范圍為.
故答案為：
29.如圖，E，F，G，H分別是正方體ABCD A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點．求證：
(1)EG∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
證明：(1)如圖，取B1D1的中點O，連接GO，OB，
因為OG綊B1C1，BE綊B1C1，所以BE綊OG，
所以四邊形BEGO為平行四邊形，故OB∥EG，
因為OB 平面BB1D1D，EG 平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.
(2)由題意可知BD∥B1D1.
連接HB，D1F，因為BH綊D1F，
所以四邊形HBFD1是平行四邊形，
故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
30．如圖，在四棱錐P ABCD中，∠ABC＝ ∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設M，N分別為PD，AD的中點．
(1)求證：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱錐P ABM的體積．
解：(1)證明：∵M，N分別為PD，AD的中點，
∴MN∥PA，
又MN 平面PAB，PA 平面PAB，∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB. ∵CN 平面PAB，AB 平面PAB，
∴CN∥平面PAB. 又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.
(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離．
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，
∴三棱錐P ABM的體積V＝VM PAB＝VC PAB＝VP ABC＝××1××2＝.
31.如圖，四棱錐P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．
(1)求證：MN∥平面PAB；
(2)求四面體N BCM的體積．
解：(1)證明：由已知得AM＝AD＝2.
取BP的中點T，連接AT，TN，
由N為PC的中點知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.
因為AT 平面PAB，MN 平面PAB，所以MN∥平面PAB.
(2)因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為PA.
取BC的中點E，連接AE.由AB＝AC＝3，得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距離為，故S△BCM＝×4×＝2.
所以四面體N BCM的體積VN BCM＝×S△BCM×＝.
32.如圖所示，幾何體E ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求證：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面BEC.
證明：(1)如圖所示，取BD的中點O，連接OC，OE.
∵CB＝CD，∴CO⊥BD.
又∵EC⊥BD，EC∩CO＝C，∴BD⊥平面OEC，∴BD⊥EO.
又∵O為BD中點．∴OE為BD的中垂線，∴BE＝DE.
(2)取BA的中點N，連接DN，MN. ∵M為AE的中點，∴MN∥BE.
∵△ABD為等邊三角形，N為AB的中點，
∴DN⊥AB.∵∠DCB＝120°，DC＝BC，
∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即BC⊥AB，
∴DN∥BC.∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B，∴平面MND∥平面BEC.
又∵DM 平面MND，∴DM∥平面BEC.
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第10講 線、面平行的判定與性質
一、直線與直線平行
1.基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質叫做空間平行線的傳遞性.
( a∥c )
2.等角定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
二、直線與平面平行的判定定理
1.文字語言：如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.
2.符號表示：aα，b α，且a∥b a∥α.
三、直線與平面平行的性質定理
1.文字語言：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.
2.符號表示：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
四、平面與平面平行的判定定理
1.文字語言：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.
2.符號表示：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α.
3.推論：如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行．
五、平面與平面平行的性質定理
1.文字語言：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.
2.符號表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
3.常用性質推論
(1)平行于同一個平面的兩個平面平行.
(2)垂直于同一條直線的兩個平面平行.
(3)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面.
(4)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.
【課堂訓練】
一、單選題
1．若是直線外一點，過點且與平行的平面（ ）
A．存在無數個 B．不存在
C．存在但只有一個 D．只存在兩個
2．已知a、b表示兩條直線，、、表示三個不重合的平面，給出下列命題：
①若，，且，則；
②若，，則；
③若，，且，則；
④若a、b是異面直線，且，，，，則；
⑤若a、b相交且都在、外，，，，，則．
其中真命題的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
3．下列說法中，與“直線a∥平面α”等價的是（ ）
A．直線a上有無數個點不在平面α內
B．直線a與平面α內的所有直線平行
C．直線a與平面α內無數條直線不相交
D．直線a與平面α內的任意一條直線都不相交
4．過四棱錐任意兩條棱的中點作直線，其中與平面平行的直線有（ ）
A．4條 B．5條 C．6條 D．7條
5．已知是不全平行的直線，是不同的平面，則下列能夠得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如圖，正方體的棱長為，是棱的中點，是四邊形內一點（包含邊界）．若平面，且線段長度的最小值為，則（ ）
A． B．2 C． D．3
7．已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若是異面直線，，則
D．平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則.
8．對于兩個不同的平面，和三條不同的直線，，.有以下幾個命題：
①若，，則；
②若，，則；
③若，，則；
④若，，則；
⑤若，，則.
則其中所有錯誤的命題是（ ）
A．③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤
9．已知平面平面，過平面內的一條直線a的平面，與平面相交，交線為直線b，則a、b的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定
10．如圖所示，P是所在平面外一點，平面平面ABC，分別交線段PA，PB，PC于點，，，若，則等于
A． B． C． D．1
11．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為BC的中點，E為A1C1的中點，則DE與平面A1B1BA的位置關系為（ ）
A．相交 B．平行
C．垂直相交 D．不確定
12．已知正方體的棱長為1，E為中點，F為棱CD上異于端點的動點，若平面BEF截該正方體所得的截面為四邊形，則線段CF的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．若直線a平行于平面α，則下列結論正確的是（ ）
A．a平行于α內的有限條直線
B．α內有無數條直線與a平行
C．直線a上的點到平面α的距離相等
D．α內存在無數條直線與a成90°角
14．棱長為1的正方體中，，，分別是，，的中點，則下列說法正確的有（ ）
A．點在直線上運動時，三棱錐的體積不變
B．點在直線上運動時，直線始終與平面平行
C．直線與直線所成的角為
D．三棱錐的體積為
15．已知正方體的棱長為1，點P為線段上的動點(不含端點)，則（ ）
A．線段AP的最小值為
B．在棱CD上，存在點H，使得
C．存在點P使得AP與平面ABCD所成的角為
D．過點，P，的平面截正方體得到的截面形狀始終是平行四邊形
16．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E，F，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則（ ）
A．點C與點G到平面AEF的距離相等 B．直線A1G與平面AEF平行
C．異面直線A1G與EF所成角的余弦值為 D．平面AEF截正方體所得的截面面積為
17．已知一個正八面體如圖所示，，則（ ）

A．平面 B．點到平面的距離為1
C．異面直線與所成的角為 D．四棱錐外接球的表面積為
18．在正四棱柱中，，，分別為棱，的中點，過，，三點作該正四棱柱的截面，則下列判斷正確的是（ ）
A．異面直線與直線所成角的正切值為
B．截面為六邊形
C．若，截面的周長為
D．若，截面的面積為
三、填空題
19．在長方體的六個表面與六個對角面(面、面、面、面、面及面)所在的平面中，與棱平行的平面共有 個．
20．正方體中，為的中點，則與過，，三點的平面的位置關系是 ．
21．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中點，過點G的截面與側面ABB1A1平行，若側面ABB1A1是邊長為4的正方形，則截面周長為 ．
22．如圖，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α，β內，線段AA′，BB′，C C′共點于O，O在α，β之間，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，則△A′B′C′的面積為 .
23．如圖，正方體的棱長為1，分別是棱，的中點，過點的平面分別與棱，交于點，給出以下三個命題：
①四邊形的面積的最大值為；
②四邊形的面積的最小值為1；
③四棱錐的體積為定值．
其中正確命題的序號為 ．
24．正四棱柱中，，為中點，若點滿足，且平面，則 ．
25．已知正方體的邊長為2，M是的中點，點P在正方體內部或表面上，且平面，則動點P的軌跡所形成的區域面積是 .
26．如圖，在棱長為1的正方體中，點 E，F分別是棱BC，的中點，P是側面內一點（包含邊界），若 平面AEF，則線段長度的取值范圍是 .
27．已知平面平面，過點的直線與，分別交于，兩點，過點的直線與，分別交于，兩點，且，，，則的長為 .
28．在棱長為3的正方體中，分別是棱、的中點，點在四邊形內運動（含邊界），若直線與平面無交點，則線段的取值范圍是 ．
29.如圖，E，F，G，H分別是正方體ABCD A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點．求證：
(1)EG∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
30．如圖，在四棱錐P ABCD中，∠ABC＝ ∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設M，N分別為PD，AD的中點．
(1)求證：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱錐P ABM的體積．
31.如圖，四棱錐P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．
(1)求證：MN∥平面PAB；
(2)求四面體N BCM的體積．
32.如圖所示，幾何體E ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求證：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面BEC.
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