資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第11講 直線與平面垂直
一、兩條直線所成的角
1.平面內(nèi)兩條直線相交形成4個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角).
2.已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
3.兩條直線所成角θ的取值范圍：0° ≤ θ ≤ 90°. 當(dāng)兩條直線a，b相互平行時，θ＝0°，記作a∥b；當(dāng)兩條直線a，b相互垂直時，θ＝90°，記作a⊥b.
4.垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直．
5.異面直線所成角α范圍是0°＜α ≤ 90°.
二、直線與平面垂直
1.如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.
2.過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.
3.過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點(diǎn)到該平面的距離
三、直線與平面垂直的判定定理
1.文字語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
2.符號表示：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
四、直線和平面所成的角
1.①斜線PA：與平面α相交，但不與平面α垂直的直線. ②斜足A：斜線PA和平面α的交點(diǎn). ③射影AO：過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.
2.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
3.直線與平面所成的角θ的取值范圍是0° ≤ θ ≤ 90°. 當(dāng)直線和平面平行或在平面內(nèi)時，θ＝0°；當(dāng)直線垂直于平面時，θ＝90°.
五、直線與平面垂直的性質(zhì)定理
1.文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行.
2.符號表示： a∥b
3.常用性質(zhì)推論
(1)一條直線垂直于一個平面，它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．
(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直這個平面.
(3)若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它必垂直于另外一個平面.
(4)垂直于同一條直線的兩個平面平行.
4.設(shè)P是△ABC所在平面α外一點(diǎn)，O是P在α內(nèi)的射影：
(1)若PA＝PB＝PC，則O為△ABC的外心．
(2)若PA、PB、PC兩兩垂直，則O為△ABC的垂心．
(3)若P到△ABC三邊距離相等，則O為△ABC的內(nèi)心．
六、線面距與面面距
1.一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點(diǎn)到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．
2.如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．
【課堂訓(xùn)練】
一、單選題
1．在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四邊形ABCD中，，， 且平面ABCD，，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如圖，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
4．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于
A．直線AC B．直線A1A C．直線A1D1 D．直線B1D1
5．如圖，已知圓柱的底面半徑為4，高為3，是上底面的直徑，點(diǎn)在下底面的圓周上，則面積的最大值為（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
6．在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，在正方體中，在線段上運(yùn)動，則下列直線與平面的夾角為定值的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知m，n是兩條直線，，是兩個平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
9．如圖正方形折成直二面角，則二面角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
10．在棱長為的正方體中，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（ ）
A． B．
C． D．
11．如圖，四邊形為平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，分別將和沿和折起，點(diǎn)A和點(diǎn)C折起后分別記為，得到如圖幾何體，則兩點(diǎn)間的距離最小值為（ ）
A． B． C． D．1
12．已知是體積為的球體表面上的四點(diǎn)，，則平面與平面的夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．棱長為2的正方體中，是線段上的動點(diǎn)，下列正確的是（ ）
A．的最大值為90° B．
C．三棱錐的體積為定值 D．的最小值為4
14．如圖，已知正三棱柱中，為的中點(diǎn)，直線與平面的交點(diǎn)為，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．直線平面
C．在線段上不存在一點(diǎn)使得
D．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為
15．如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn) 是側(cè)面的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)存在無數(shù)個位置滿足
B．點(diǎn)存在無數(shù)個位置滿足到直線和直線的距離相等
C．三棱錐的體積最大值為
D．在線段上存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角也是
16．如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列判斷中正確的是（ ）
A．三棱錐的體積是
B．平面
C．平面與平面所成的二面角為
D．異面直線與所成角的范圍是
17．如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿BC向上翻折，得三棱錐設(shè)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BC，BD的中點(diǎn)，M為線段AE上的動點(diǎn).下列說法正確的是（ ）
A．存在某個位置，使
B．存在某個位置，使
C．當(dāng)三棱錐體積取得最大值時，AD與平面ABC成角的正切值為
D．當(dāng)時，的最小值為
18．如圖，在棱長為a的正方體中，M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)，P為線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．異面直線BC與MP所成的最大角為45°
C．不存在點(diǎn)P使得
D．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時，過M、N、P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積為
三、填空題
19．已知正方體，直線與平面所成角的正弦值為 .

20．如圖，長方體，，，，是棱上的一個動點(diǎn)，若點(diǎn)運(yùn)動到棱靠近的一個三等分點(diǎn)時，恰有，求此時與平面所成的角 ．
21．如圖，圓錐的高，底面⊙的直徑，是圓上一點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則直線和平面所成角的余弦值為 ．
22．已知四面體ABCD中，，平面ACD，平面ABD，則四面體ABCD外接球的半徑是
23．在底面是正方形的四棱錐中，底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，平面與交于點(diǎn)，且，，則 ，四棱錐的外接球的表面積為 .
24．如圖，對于直四棱柱，要使，則在四邊形中，滿足的條件可以是 ．（只需寫出一個正確的條件）
25．如圖，正方體的棱長為，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn).有下列四個命題
⑴點(diǎn)是的垂心 ⑵平面⑶二面角的正切值為
⑷點(diǎn)到平面的距離為則正確的命題有 .
26．如圖，長為4，寬為2的矩形紙片中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)至(平面)，若為線段的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過程中，下列正確的命題序號是 .
①平面；
②異面直線與所成角是定值；
③三棱錐體積的最大值是；
④一定存在某個位置，使
27．文峰塔位于重慶市南岸區(qū)黃桷埡的文峰山之巔，筆直挺拔，高插云表、雄姿擎天，巍然屹立.文峰塔建于清道光年間，木塔頂部可以近似地看成一個正八棱錐，其側(cè)面和底面的夾角大小為60°，則該正八棱錐的高和底面邊長之比為 .
28．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D為垂足，以AD為折痕，將△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，如圖所示，
有下列結(jié)論：
①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥平面BCD；④△ABC是等邊三角形．其中正確結(jié)論的個數(shù)為 ．
四、解答題
29．如圖，平行六面體的底面是菱形，且．試用盡可能多的方法解決以下兩問：

(1)若，記面為，面為，求二面角的平面角的余弦值；
(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面？
30．在長方體中，，．
(1)在邊上是否存在點(diǎn)，使得，為什么？
(2)當(dāng)存在點(diǎn)，使時，求的最小值，并求出此時二面角的正弦值．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第11講 直線與平面垂直
1．D
【分析】結(jié)合圖形證得或其補(bǔ)角為直線與所成角，求出的三邊長，然后結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果.
【詳解】
連接，取的中點(diǎn)，連接,，
則且，
所以或其補(bǔ)角為直線與所成角，
因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)槠矫妫忠驗(yàn)槠矫妫裕?br/>且，所以，則,
又因?yàn)椋?br/>在中， ,
在中， ,
所以直線與所成角的余弦值為，
故選：D.
2．B
【分析】先由余弦定理求得AC的值，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得PC．
【詳解】由余弦定理有，，
所以，
因?yàn)槠矫鍭BCD，AC在平面ABCD內(nèi)，
所以，
所以．
故選：B．
3．C
【分析】延長至使得，則與平行且相等，是平行四邊形，
所以，所以是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，設(shè)，通過解三角形可得．
【詳解】延長至使得，則與平行且相等，是平行四邊形，
所以，所以是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，
正三棱柱中，平面，平面，，同理，
設(shè)，則，
，，，
，
，
所以異面直線與所成角的余弦值．
故選：C．
4．D
【分析】連結(jié)，由為的中點(diǎn)，得到，由線面垂直的判定得到面，從而得到直線垂直于直線．
【詳解】解：如圖，直線垂直于直線
事實(shí)上，為正方體，為正方形，連結(jié)，
又為為的中點(diǎn)，．
，
面，，
又，面，而面，直線垂直于直線
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了空間直線與直線的位置關(guān)系，考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．
5．D
【分析】求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征，將的面積用CD表示，將問題轉(zhuǎn)化為求線段的最值問題.
【詳解】如圖，過作軸截面，可知四邊形為矩形，過點(diǎn)C作，交EF于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作，交AB于點(diǎn)D，連接CD，因?yàn)椋云矫妫驗(yàn)槊妫虼耍郑裕?br/>由圓柱的底面半徑為4，可得：，所以，
因?yàn)樗倪呅螢閳A柱的軸截面，所以AF⊥底面CEF，因?yàn)榈酌鍯EF，所以AF⊥，因?yàn)椋云矫妫驗(yàn)槠矫妫裕裕ǖ拈L小于等于半徑），等號成立的條件是剛好為半徑，所以，
故選：D.
6．B
【分析】根據(jù)正三棱錐的特征確定外接球球心位置及球半徑，再計(jì)算求球表面積即可.
【詳解】由已知可得是正三棱錐，設(shè)PH是正三棱錐的高，易知外接球球心O在PH上，且H為底面正的中心.
如圖，設(shè)外接球的半徑為R，由題可知，則.由得，解得，所以外接球的表面積為.

故選：B
7．B
【分析】由線面平行的判定定理可知平面，所以與平面的夾角始終為，而，，平面的夾角均會因?yàn)辄c(diǎn)位置的不同而夾角不同.
【詳解】連接，因?yàn)椋?br/>因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，所以與平面的夾角始終為，
而，，平面的夾角均會因?yàn)辄c(diǎn)位置的不同而夾角不同.
故選：B.
8．D
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間中線線、線面、面面位置關(guān)系逐一判斷各個選項(xiàng)作答.
【詳解】對于A，由知，存在過的平面與平面相交，當(dāng)為交線時，滿足，而，A錯誤；
對于B，當(dāng)與相交時，令交線為，若，則滿足，B錯誤；
對于C，，在平面內(nèi)存在直線垂直于，為此直線時，滿足，而，C錯誤；
對于D，因?yàn)椋瑒t存在過的平面與平面相交，令交線為，有，又，
因此，而，所以.
故選：D
9．B
【分析】連接、相交于，推導(dǎo)出平面，取的中點(diǎn)，可得出，進(jìn)而可得出二面角的平面角為，然后利用解三角形的知識可求得，進(jìn)而得解.
【詳解】正方形的對角線為棱折成直二面角，平面平面，
連接、相交于，則，

平面平面，平面，平面，
取的中點(diǎn)，則，有，所以即為所求.
不妨設(shè)正方形的邊長為，則，，所以.
.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二面角的求法.求二面角的大小既能考查線線垂直關(guān)系，又能考查線面垂直關(guān)系，同時可以考查學(xué)生的計(jì)算能力，是高考命題的熱點(diǎn)，求二面角的方法通常有兩個思路：一是利用空間向量，建立坐標(biāo)系，這種方法優(yōu)點(diǎn)是思路清晰、方法明確，但是計(jì)算量較大；二是傳統(tǒng)方法，求出二面角平面角的大小，這種解法的關(guān)鍵是找到平面角，本題很巧妙的應(yīng)用點(diǎn)到面的距離及點(diǎn)到線的距離求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小關(guān)系.
10．D
【分析】根據(jù)等體積法求解即可得答案.
【詳解】解：在棱長為的正方體中，是的中點(diǎn)，
所以是等腰三角形，且，，
所以的面積為，
由于的面積為，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離是，則，即，
所以
故選：D
11．A
【分析】分別取的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，進(jìn)而即得.
【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，
∵，M，N分別為的中點(diǎn)，
∴和為等邊三角形，
∴，
則平面，
故在折疊過程中始終在與垂直的平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，
同理，在折疊過程中始終在與垂直的平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，
所以當(dāng)平面時，兩點(diǎn)間的距離最小，等于與間的距離，
即兩點(diǎn)間的距離最小值為.
故選：A.
12．B
【分析】設(shè)球心為，取的外接圓圓心為，連接，易得、，由棱錐外接球性質(zhì)找到平面與平面的夾角為的余角，根據(jù)已知求其正弦值，即可得答案.
【詳解】設(shè)球心為，取的外接圓圓心為，連接，
由點(diǎn)為中點(diǎn)，則，

由為外心，則，
由題意，平面，故平面與平面的夾角為的余角．
在中，由正弦定理得，
由球體積為，易得球半徑為3，故，
由平面平面，可得，
則中，故的余角的余弦值為，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)及外接球性質(zhì)找到兩平面夾角的平面角為關(guān)鍵.
13．BC
【分析】對A，令，在中，根據(jù)余弦定理求得，再在中根據(jù)余弦定理求解的表達(dá)式，判斷出當(dāng)時，即可；
對B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定，證明平面即可；
對C，根據(jù)體積公式結(jié)合長方體的性質(zhì)證明即可；
對D，把與矩形展開在同一平面內(nèi)，再分析最小值即可
【詳解】對A，在正方體中，連接，如圖，而，則，令，
在中，，由余弦定理得，
根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，則，中，，，當(dāng)時，，即是鈍角，A不正確；
對B，因平面，平面，則，正方形中，，，平面，于是得平面，又平面，因此，，B正確；
對C，由題意，到平面的距離為定值，故為定值，C正確；
對D，把與矩形展開在同一平面內(nèi)，連接交于點(diǎn)，如圖，
在中，，由余弦定理得：，
因點(diǎn)M在線段上，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M與重合時取“=”，所以的最小值為，D錯誤；
故選：BC
14．AB
【分析】延長交于點(diǎn)，解三角形求，判斷A，連接交于點(diǎn)，證明，由線面平行判定定理證明平面，判斷B，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，由線面垂直判定定理證明平面，由此判斷C，根據(jù)球的截面性質(zhì)判斷D.
【詳解】如圖，延長交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋裕譃榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，故，所以，由，，所以，故正確；
連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危允堑闹悬c(diǎn)，
連接，則為的中位線，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫灾本€平面，故B正確；
取的中點(diǎn)，連接，則，又由可得平面，故.過點(diǎn)作，垂足為，連接，
又，平面，所以平面，所以，故C不正確；
因?yàn)槠矫妫运蠼痪€即為平面內(nèi)以為圓心，半徑為的圓與側(cè)面的交線，即圖中圓弧，因?yàn)?，所以，所以，同理，所以圓弧所對的圓心角為，故交線長為，故D不正確.
故選：AB.
15．ABC
【分析】證明平面可判斷A，由即為到的距離，結(jié)合拋物線定義可判斷B，通過求出三棱錐的體積及體積公式可判斷C，求出異面直線與所成的角是，求出其正切值結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)可判斷D．
【詳解】A．在正方體中，棱與側(cè)面垂直，則垂直于側(cè)面內(nèi)的直線，與是平面內(nèi)兩條相交直線，因此平面，只要在上，就有，A正確；
B．的長為點(diǎn)到的距離，只要在以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上，就滿足到直線和直線的距離相等，B正確；
C．由，側(cè)棱與底面垂直同，從而垂直于底面上的直線，與是平面內(nèi)兩相交直線，則有平面，從而與平面內(nèi)的直線垂直，同理可得，，平面，因此平面，，，由（通過是平行四邊形可得）可得，
而，，
所以．
在平面內(nèi)，則到平面的距離的最大值為，因此三棱錐的體積最大值為，C正確；
D．由于，因此為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），
易證，所以，
因?yàn)椋裕裕?br/>顯然，所以，即，D錯．
故選：ABC．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線面垂直，空間的距離，棱錐的體積及異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是掌握正方體的性質(zhì)，正方體中有許多直線、平面間的垂直與平行關(guān)系，利用這些平行垂直關(guān)系很容易找到“距離”、“角”，從而判斷各命題．
16．AB
【分析】利用等體積法，求得三棱錐的體積，即可得判斷A的正誤；利用面面平行的判定定理，可證平面平面，又平面，即可判斷B的正誤；根據(jù)面面垂直的判定定理，可證平面平面，可判斷C的正誤；分析可得點(diǎn)P位于兩端點(diǎn)時，與所成的角最小，P位于中點(diǎn)時，與所成角最大，即可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】對于A： 因?yàn)镃到平面的距離不變，為的一半，等于，
的面積不變，且
所以三棱錐的體積不變，
根據(jù)等體積法可得，故A正確；
對于B：連接DB，DP，，因?yàn)檎襟w，
所以平面，
平面，所以平面，
同理平面，，
所以平面平面，又平面，
所以平面，故B正確.
對于C：因?yàn)椋?br/>所以平面，所以，
同理，
所以平面，
所以平面平面，故C錯誤；
對于D：因?yàn)椋?br/>所以異面直線與所成角等于與所成的角，
因?yàn)椋?dāng)P與兩端點(diǎn)重合時，
與所成的角最小，且為，
當(dāng)P位于中點(diǎn)時，與所成角最大，且為，
所以異面直線與所成角的范圍是，故D錯誤.
故選：AB.
【點(diǎn)睛】證明線面平行時，常用判定定理，即線線平行推出線面平行，也可用面面平行的性質(zhì)定理，即先證兩個面平行，一個面內(nèi)一條線平行另一個平面，也可得線面平行.
17．ABCD
【分析】根據(jù)面面垂直可得線面垂直，即可判斷AB，由三棱錐體積取得最大值時知面面垂直，得出線面垂直，即可求出線面角判斷C，再由側(cè)面展開圖及余弦定理可判斷D.
【詳解】解：當(dāng)平面與平面垂直時，
，平面與平面的交線為，
平面，平面，
，，故AB正確；
當(dāng)三棱錐體積取得最大值時，頂點(diǎn)A到底面距離最大，
即平面與平面垂直時，
由上面可知，平面，故AD與平面ABC成角為，
因?yàn)椋裕?br/>，故C正確；
當(dāng)時,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，則，
又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，
又，所以，
所以，
如圖將沿旋轉(zhuǎn)，使其與在同一平面內(nèi)，
則當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，
即的最小值為，
在中，，
則，
所以，
所以的最小值為，故D正確.
故選：ABCD.
18．AD
【分析】對于A，點(diǎn)到平面的距離為為定值，利用體積公式即可判斷；對于B，利用異面直線所成角的求法即可判斷；對于C，利用線面垂直證明線線垂直即可判斷；對于D，先做出截面，再求其面積即可.
【詳解】點(diǎn)到平面的距離為為定值，
又，
所以，即三棱錐的體積為定值，故正確；
設(shè)中點(diǎn)為，連接，
則即為異面直線與所成的角
在中，
所以異面直線與所成的最小角為45°，故不正確；
若為中點(diǎn)，則，所以，又，，所以平面，平面，所以，故不正確；
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、，
所以過、、三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為正六邊形，面積為，故正確．
故選：．
19．/
【分析】作出線面角，然后根據(jù)三角函數(shù)定義可得.
【詳解】設(shè)正方體棱長為a，則，
由正方體性質(zhì)可知，平面，
所以即為直線與平面所成角，
所以.
故答案為：.
20．
【分析】結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知與平面所成的角為，由及勾股定理可得，進(jìn)而可求出得出結(jié)果.
【詳解】長方體中，因?yàn)椋?br/>所以，，，
因?yàn)榈酌妫矫妫裕?br/>所以與平面所成的角為，
，
由條件可得，解得，
因此，
因?yàn)椋?br/>所以，與平面所成的角為，
故答案為：
21．
【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,設(shè)直線和平面所成角為，則由等體積法有：，即，,，于是，故答案為.
22．1
【分析】根據(jù)給定的幾何體，取棱BC的中點(diǎn)O，再確定四面體外接球球心即可計(jì)算作答.
【詳解】在四面體ABCD中，因平面，平面，則，取棱BC的中點(diǎn)O，連AO，如圖，
則，又平面ABD，平面，則，連OD，有，
因此，所以四面體ABCD外接球球心為O，半徑為1.
故答案為：1
23．
【分析】如圖所示，延長，，交于，連接，與交于，則，過做，與交于，則，可得出長度，再利用球的截面的性質(zhì)，找出球心，求出半徑，進(jìn)而可求出的外接球的表面積．
【詳解】如圖所示，延長，，交于，連接，與交于，
因?yàn)椋郑裕玫剑?br/>過做，與交于，則．所以,
又，所以，
如圖，連接和交于，連，過作交于，因?yàn)榈酌媸钦叫危允堑酌娴闹行模值酌妫缘酌妫忠驗(yàn)闉橹苯侨危瑒t有，即為球心，又易知，
設(shè)球球的半徑為，所以，
則外接球的表面積，
故答案為：，．
24．（只要使得即可）.
【分析】利用線面垂直的判定定理及線面垂直的定義可得出結(jié)論.
【詳解】連接，如下圖所示：
因?yàn)槠矫妫矫妫瑒t，
若，，、平面，平面，
平面，.
故答案為：（只要使得即可）.
25．⑴⑵⑶
【詳解】由平面可得，由平面可得，
且，則平面，
同理可知，則點(diǎn)是的垂心，說法(1)正確；
很明顯，結(jié)合面面平行的判斷定理可知：平面平面，
結(jié)合平面可知平面，說法(2)正確；
如圖所示，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可知，則為二面角的平面角，直角三角形中，，說法(3)正確，
由射影定理可知平面，平面，
結(jié)合對稱性可知點(diǎn)為靠近點(diǎn)的線段的一個三等分點(diǎn)，
由相似性可知：點(diǎn)到平面的距離為，說法(4)錯誤.
綜上可得：正確的命題有⑴⑵⑶.
26．①②③
【分析】取中點(diǎn)F，連接FM、EF，可證四邊形BEFM為平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理，即可判斷①的正誤；因?yàn)椋约礊樗螅Y(jié)合圖象，分析判斷，即可判斷②的正誤；當(dāng)平面平面ADE時，三棱錐體積的最大，分析計(jì)算，即可判斷③正誤；假設(shè)，利用反證法，結(jié)合線面垂直的判定、性質(zhì)定理，即可判斷④正誤，即可得答案.
【詳解】對于①：取中點(diǎn)F，連接FM、EF，如圖所示：
因?yàn)镸、F分別為、中點(diǎn)，
所以，且，
又矩形ABCD，E為AB中點(diǎn)，
所以且，
所以，且，
所以四邊形BEFM為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，故①正確；
對于②：由①可得，
所以異面直線與所成角即為EF與所成角，即為，
由題意得，在旋轉(zhuǎn)過程中，形狀不變，
所以不變，
所以異面直線與所成角為定值，故②正確；
對于③：在旋轉(zhuǎn)過程中，形狀不變，即底面積不變，
所以當(dāng)?shù)狡矫鍭DE距離最大時，三棱錐的高最大，體積最大，
由圖象可得，當(dāng)平面平面ADE時，到平面ADE距離最大，
此時到DE的距離即為所求，且為，
所以三棱錐體積的最大值為，故③正確；
對于④：假設(shè)，由題意得，，DC=2，
所以，即，
所以平面，
所以，
由題意得矩形ABCD，所以，且在中，，
所以DE無法垂直，故假設(shè)錯誤，
所以不存在某個位置，使，故④錯誤；
故答案為：①②③
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行、垂直的判定、性質(zhì)定理，并靈活應(yīng)用，考查分析推理，空間想象的能力，屬中檔題.
27．/
【分析】設(shè)點(diǎn)是底面中心，是底面的一條邊，是的中點(diǎn)，，解三角形求，由二面角的定義確定其平面角，解三角形求，由此可得高和底面邊長之比.
【詳解】如圖所示：
點(diǎn)為正八棱錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)是底面中心，是底面的一條邊，是的中點(diǎn)，
則，，
所以，又
所以
設(shè)，則，
因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，
所以，所以為二面角的平面角，
又已知側(cè)面和底面的夾角大小為，所以.
故，
所以，
所以該正八棱錐的高和底面邊長之比.
故答案為：
28．4
【分析】利用△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面，判斷BD與CD的垂直關(guān)系，得出①正確；利用線面垂直的性質(zhì)，判斷②正確；根據(jù)折疊后AD與BD、CD的垂直性不變，判斷AD與平面BCD垂直，判斷③正確；根據(jù)得到的垂直關(guān)系，計(jì)算△ABC的各邊長，判斷④正確．
【詳解】①正確，因∠BDC為二面角B－AD－C的平面角，由題意知∠BDC＝90°，所以BD⊥CD；
②正確，易知BD⊥平面ACD，所以BD⊥AC；
③正確，因折疊后仍有AD⊥BD，AD⊥DC，易知AD⊥平面BCD；
④正確，因AD＝BD＝DC，且以D為頂點(diǎn)的三個角都是直角，由勾股定理知AB＝BC＝AC，即△ABC為等邊三角形．
故答案為4
【點(diǎn)睛】本題借助平面圖形的折疊問題，考查了空間直線與直線、直線與平面的垂直關(guān)系，是中檔題．
29．(1)
(2)1
【分析】（1）根據(jù)二面角的定義作圖分析確定二面角的平面角，計(jì)算二面角的平面角可結(jié)合直角三角形中的邊角關(guān)系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角的平面角的余弦值；
（2）可先猜測的值，然后證明平面，根據(jù)平行六面體法人幾何性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理證明、或者補(bǔ)形證明、或者利用空間向量的線性運(yùn)算證明．
【詳解】（1）連接、設(shè)和交于，連接，作，垂足為，作，垂足為，連接．

四邊形是菱形，
，又，．
又，，
△△，，
，，
又，，平面
平面，
又平面，．
是二面角的平面角．
方法一：∵，可得，，
又．
因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫妫?br/>而平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
而，平面，故平面，
而平面，故，
∴．
又，∴，
∴．
方法二：在中，．
由余弦定理知，
又，∴，
∴，即．
∴是中點(diǎn)，．
方法三：∵，，
∴，
即．
∴，
∴，
，．
∴，故．
（2）當(dāng)時，能使平面．
方法一 ：由前知平面，∴．
當(dāng)時，平行六面體的六個面是全等的菱形．
同的證法可得，
而平面，故平面．
方法二 ：∵，∴．
由題設(shè)可知三棱錐是正三棱錐，設(shè)與相交于．

∵，且，∴．
又是正三角形的邊上的高和中線，
∴點(diǎn)是正三角形的中心．
∴平面，即平面．
方法三 ：如圖，沿面補(bǔ)一個全等的平行六面體．

∴．若平面，則平面．
∴．令．
由余弦定理可知，．
又，則，
即．
∴，解得或（舍）．
由此可知當(dāng)時，平面．
方法四：如圖，若平面，則與成的角．過作交的延長線于，則．四邊形為平行四邊形．設(shè)，，則．
∵，∴．
∴，．
在Rt中，，即，
∴，解得或（舍去）．
由此可知當(dāng)時，平面．

方法五：記，菱形邊長為．
∵是菱形，∴．
又，∴平面，得，要使平面，還需．
由，
則，
得，即時成立．
30．(1)答案見解析
(2)的最小值為：，二面角的正弦值為
【分析】（1）假設(shè)存在，根據(jù)題意得到，進(jìn)而即可分析求出結(jié)果；
（2）結(jié)合第一小問的結(jié)果，做出二面角的平面角，進(jìn)而即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）
如圖，假設(shè)在上存在點(diǎn)，且．
∵，且平面，∴平面，
由平面，可得．
設(shè)，則．
∵，∴，于是．
化簡得．∴．
①當(dāng)時，，此時不存在點(diǎn)滿足；
②當(dāng)時，存在點(diǎn)，使，此時，且的最小值是4．
（2）
由（1）知的最小值是4；
當(dāng)時，，即是的中點(diǎn)，作，垂足為，則．
過作，連結(jié)．∵平面，∴．
又，則是二面角的平面角．
在中
．
∴，即二面角的正弦值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
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