資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第14講 用樣本估計總體
一、頻率分布直方圖
1.計算極差：找出數據的最大值與最小值，計算它們的差.
2.決定組距與組數：.
3.將數據分組：通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間．
4.列頻率分布表：.
5.繪制頻率分布直方圖：以數據的值為橫坐標，以的值為縱坐標繪制直方圖.
二、頻率分布直方圖的特點
1..
2.各個小長方形的面積的總和等于1.
3.平均數：每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和.
4.中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等.
5.眾數：最高小矩形底邊的中點所對應的數據.
三、百分位數的計算
1.一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，
且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值．
2.計算一組n個數據的第p百分位數的步驟：第1步，按從小到大排列原始數據．第2步，計算i＝n×p%.
第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數．
3.四分位數：.
四、總體離散程度的估計
1.極差是一組數據的最大值和最小值之差，反映一組數據的變動幅度.
2.樣本方差，樣本標準差.
標準差越大數據離散程度越大；標準差越小，數據離散程度越小．
3..
【課堂訓練】
一、單選題
1．已知數據的平均數為，方差為，數據的方差為，則（ ）
A． B． C． D．與的大小關系無法判斷
2．已知一組數據3，5，7，x，10的平均數為6，則這組數據的方差為（ ）
A． B．6 C． D．5
3．數據，0，1，2，5，6的方差是（ ）
A．46 B． C． D．
4．如圖是6名工人在一天中生產某種零件數量的莖葉圖，則這6名工人這一天生產這種零件的平均數為（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
5．已知樣本數據為3，1，3，2，3，2，則這個樣本的中位數與眾數分別為（ ）
A．2，3 B．3，3 C．2.5，3 D．2.5，2
6．某高職院校對年單招參考的名學生數學成績進行統計，得到樣本頻率分布直方圖（如圖），則數學成績在分以下的學生人數是（ ）
A． B． C． D．
7．某同學從6歲到12歲的年齡與身高的折線圖如圖所示，根據折線圖，下列說法正確的是（ ）
A．9歲到10歲的身高增長速度最快
B．從6歲到12歲，每年身高平均增長了5cm
C．7歲時，該同學的身高就超過了120cm
D．9歲到12歲比6歲到9歲的身高增長速度更快
8．校園環境對學生的成長是重要的，好的校園環境離不開學校的后勤部門.學校為了評估后勤部門的工作，采用隨機抽樣的方法調查100名學生對校園環境的認可程度（100分制），評價標準如下：
中位數
評價 優秀 良好 合格 不合格
2023年的一次調查所得的分數頻率分布直方圖如圖所示，則這次調查后勤部門的評價是（ ）
A．優秀 B．良好 C．合格 D．不合格
9．年月日，習近平總書記在學校考察調研時提出“文明其精神，野蠻其體魄”，“野蠻其體魄”就是強生健體，青少年的體質狀況不僅關乎個人成長和家庭幸福，也關乎國家未來和民族希望，為落實《國家學生體質健康標準》達標測試工作，全面提升學生的體質健康水平，某校在高二年級隨機抽取部分男生，測試立定跳遠項目，依據測試數據繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.已知立定跳遠以上成績為及格，以上成績為優秀，根據圖中的樣本數據估計該校高二年級男生立定跳遠項目的及格率和優秀率分別是（ ）
A．72.5%，5% B．78.75%，10% C．72.5%，10% D．78.75%，5%
10．設兩組數據分別為和，且，則這兩組數據相比，不變的數字特征是（ ）
A．中位數 B．極差 C．方差 D．平均數
11．某校高三年級邀請9位音樂教師擔任學校“國慶杯”歌詠比賽的評委．比賽計分辦法為工作人員收集所有評委對該班級的評分，把去掉一個最高分和一個最低分后的評分作為有效評分，以有效評分的平均分作為班級得分．采用莖葉圖記錄甲、乙兩個班所有得分（滿分為10分），已知甲班得分的中位數和乙班得分的平均數相等，甲班得分的平均數和乙班得分的中位數相等，則（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
12．已知一組數據的平均數是2，方差是，那么另一組數據的平均數和方差分別為（ ）
A．2， B．2，1 C．4， D．4，3
二、多選題
13．給定一組數5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（ ）
A．平均數為3 B．標準差為
C．眾數為2和3 D．第85百分位數為4.5
14．為了了解市民對各種垃圾進行分類的情況，加強垃圾分類宣傳的針對性，指導市民盡快掌握垃圾分類的方法，某市垃圾處理廠連續8周對有害垃圾錯誤分類情況進行了調查．經整理繪制了如圖所示的有害垃圾錯誤分類重量累積統計圖，圖中橫軸表示時間（單位：周）縱軸表示有害垃圾錯誤分類的累積重量（單位：噸），根據統計圖分析，下列結論正確的是（ ）
A．當時有害垃圾錯誤分類的重量加速增長
B．當時有害垃圾錯誤分類的重量勻速增長
C．當時有害垃圾錯誤分類的重量相對于當時增長了25%
D．當時有害垃圾錯誤分類的重量相對于當時減少了1.8噸
15．為了普及環保知識，增強環保意識，某學校分別從兩個班各抽取位同學分成甲、乙兩組參加環保知識測試，得分（十分組）如圖所示，則下列描述正確的有（ ）
A．甲、乙兩組成績的平均分相等 B．甲、乙兩組成績的中位數相等
C．甲、乙兩組成績的極差相等 D．甲組成績的方差小于乙組成績的方差
16．下列命題中，真命題的是（ ）
A．若回歸方程，則變量與負相關
B．線性回歸分析中決定系數用來刻畫回歸的效果，若該值越小，則模型的擬合效果越好
C．若樣本數據的方差為2，則數據的方差18
D．若與獨立，則
17．如圖所示是世界人口變化情況的三幅統計圖：

下列結論中正確的是（ ）
A．從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加
B．2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多
C．2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平
D．1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢
18．數據顯示，全國城鎮非私營單位就業人員平均工資在2011年為40000元，到了2020年，為97379元，比上年增長7.6%.根據下圖提供的信息，下面結論中正確的是（ ）
2011-2020年城鎮非私營單位就業人員年平均工資及增速
A．2011年以來，全國城鎮非私營單位就業人員平均工資逐年增長
B．工資增速越快，工資的絕對值增加也越大
C．與2011年相比，2019年全國城鎮非私營單位就業人員平均工資翻了一番多
D．2018年全國城鎮非私營單位就業人員平均工資首次突破90000元
三、填空題
19．對某商店一個月內每天的顧客人數進行了統計，得到的樣本數據如下：12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68，則該樣本的中位數、眾數、極差分別為 ， ， .
20．已知一組樣本數據5 2 3 6，則該組數據的第70百分位數為 ．
21．某機構開展關于環境保護的知識問卷（滿分100分），從中抽取了8份試卷，成績分別為72，85，80，81，86，81，92，90，則這8份試卷成績的第60百分位數為 ．
22．已知一組數據1，3，9，5，7，則這組數據的標準差為 ．
23．從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統計如下表所示．
分數 5 4 3 2 1
人數 20 10 30 30 10
則這100人成績的標準差為 ．
24．某抖音短視頻發出后，前五天收到的網友留言條數分別是，則該組數據的方差 ．．
25．已知一組數據，，，的方差為，則這組數據，，，的方差為 ．
26．已知某八個數據的平均數為5，方差為3，現又新加入一個數據14，此時這九個數據的方差為 ．
27．已知數據，，，，的方差為，則數據，，，，的方差為 ；
28．設樣本數據的平均數為，方差為，若數據的平均數比方差大4，則的最大值是 ．
四、解答題
29．為了了解甲、乙兩個工廠生產的輪胎的寬度是否達標，分別從兩廠隨機選取了 10個輪胎，將每個輪胎的寬度（單位：mm） 記錄下來并繪制出折線圖：
(1)分別計算甲、 乙兩廠提供10個輪胎寬度的平均值；
(2)輪胎的寬度在[193，195]內，則稱這個輪胎是標準輪胎，試比較甲、 乙兩廠分別提供的 10個輪胎中所有標準輪胎寬度的方差的大小，根據兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個廠的輪胎相對更好.
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第14講 用樣本估計總體
1．C
【分析】利用方差與均值的關系，結合方差公式即可判斷的大小.
【詳解】由題設，，即，
∴，，即有.
故選：C.
2．C
【分析】先根據平均數公式求出x，再利用方差公式求解.
【詳解】由題意得，得
所以這組數據的方差
故選：C
3．B
【分析】先求出數據的平均數，再利用方差公式求解.
【詳解】解：由題得數據的平均數為.
所以數據的方差為.
故選：B
4．A
【分析】直接利用平均數公式求解即可.
【詳解】這6名工人這一天生產這種零件的平均數為:
,
故選：A.
5．C
【分析】將樣本數據從小到大排列即可求得中位數，再找出出現次數最多的數即為眾數.
【詳解】將樣本數據從小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位數為，眾數為3.
故選：C.
【點睛】本題考查了中位數和眾數的概念，屬于基礎題.
6．D
【分析】根據頻率分布直方圖可計算得出數學成績在分以下的學生人數.
【詳解】由頻率分布直方圖可知，數學成績在分以下的學生人數為.
故選：D.
7．D
【分析】根據折線圖整理出年份與對應的身高變化的數據，再逐一分析判斷作答.
【詳解】由所給折線圖可知，6歲到7歲，身高增長了2cm；7歲到8歲，身高增長了3cm；8歲到9歲，身高增長了5cm；
9歲到10歲，身高增長了6 cm；10歲到11歲，身高增長了9 cm；1l歲到12歲，身高增長了3 cm，
因，即10歲到11歲身高增長速度比9歲到10歲的快，A錯誤；
從6歲到12歲，每年身高平均增長了，B錯誤；
7歲時，該同學的身高為118 cm，C錯誤；
6歲到9歲的身高增長速度為，9歲到12歲的身高增長速度為，顯然，D正確.
故選：D
8．B
【分析】根據頻率分布直方圖求解中位數即可得答案.
【詳解】解：由頻率分布直方圖可知，前3組的頻率分別為，第4組的頻率為
所以，中位數，即滿足，對應的評價是良好.
故選：B.
9．B
【解析】計算以上的矩形的面積之和，可得出該校高二年級男生立定跳遠項目的及格率，計算以上的矩形的面積之和，可得出該校高二年級男生立定跳遠項目的優秀率.
【詳解】由題意可知，該校高二年級男生立定跳遠項目的及格率為，
該校高二年級男生立定跳遠項目的優秀率為.
故選：B.
10．A
【解析】根據統計中的數字特征中位數，極差，方差，平均數進行判斷，
【詳解】原始中位數為，去掉，后剩余，中位數仍為，A正確；
原始平均數，后來平均數，
平均數受極端值影響較大，∴與不一定相同，D不正確；
，由②易知，C不正確；
原極差，后來極差，顯然極差變小，B不正確，
故選：A.
11．D
【分析】結合莖葉圖和已知條件，然后分別求出中位數，進而根據平均數即可求出結果.
【詳解】由題意可得，每個班級的評分會有9個，其中7個是有效得分通過觀察數據可知甲班的無效得分為9.8和6+0.1Z，乙班的無效得分為9.5和7.1．通過分析數據可得，甲班的中位數為8.3，則乙班的平均數為，
則，所以.
同理可得乙班的中位數為8.5，則甲班的平均數，
則，所以，
則，
故選：D．
12．D
【分析】根據平均數、方差的性質計算可得.
【詳解】由題意得數據的平均數，方差，
所以數據的平均數為，方差為.
故選：D.
13．AC
【分析】根據平均數的計算公式可判定A；根據方差、標準差的計算公式可判定B；由眾數的概念可判定C；由百分位數的概念可判定D.
【詳解】由平均數的計算公式，可得數據的平均數為，所以A項正確；
由方差的公式，可得，所以標準差為，所以B項不正確；
根據眾數的概念，可得數據的眾數為和，所以C項正確；
數據從小到大排序：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，根據百分位數的概念，可得第85百分位數是第9個數據的值，即為5，所以D項不正確.
故選：AC.
14．ABD
【分析】由函數圖像，可以讀出各段上對于變化狀態，逐一判斷可得選項.
【詳解】解：由統計圖可知，第2周增長數量比第1周增長數量明顯要多，是加速增長，所以選項A正確；
當時圖象是線段，所以是勻速增長，所以選項B正確；
當時增長數量比當時增長數量要少，所以選項C錯誤；
當時共增長2.4噸，當時共增長0.6噸，所以減少了1.8噸，所以選項D正確.
故選：ABD.
15．BCD
【解析】根據條形統計圖計算出甲、乙兩組成績的平均分、中位數、極差與方差，進而可判斷各選項的正誤.
【詳解】對于A選項，甲組成績的平均數為，
乙組成績的平均分為，
所以甲組成績的平均分小于乙組成績的平均分，A選項錯誤；
對于B選項，甲、乙兩組成績的中位數都為，B選項正確；
對于C選項，甲、乙兩組成績的極差都為，C選項正確；
對于D選項，甲組成績的方差為，
乙組成績的方差為，
所以甲組成績的方差小于乙組成績的方差，D選項正確.
故選：BCD.
16．AC
【分析】對于A，結合回歸方程的相關性的性質，即可求解;對于B，結合線性回歸決定系數的定義，即可求解;對于C，結合方差的線性公式，即可求解;對于D,舉反例說明.
【詳解】對于A，回歸方程為，又，所以變量與負相關，故A正確，
對于B，線性回歸分析中決定系數用來刻畫回歸的效果，若值越大，說明模型的擬合效果越好，故B錯誤．
對于C，若樣本數據的方差為2，則數據的方差，故C正確，
對于D, 擲一枚骰子，設事件A：點數小于3，則；
事件B：點數為偶數，則，
所以，即與獨立，
又，，故D錯誤.
故選：AC．
17．ABC
【分析】根據所給折線圖、扇形圖以及直方圖，分析每個選項中涉及的量的變化，即可得答案.
【詳解】對于A，從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加，故A正確；
對于B，從扇形圖中能夠明顯地看出2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故B正確；
對于C，從條形圖中能夠明顯地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平，故C正確；
對于D，由題中三幅統計圖可看得出北美洲人口數量最少，
并不能得出從1957年到2050年中哪個洲人口增長速度最慢，故D錯誤.
故選：ABC
18．AC
【分析】由圖中數據對各選項逐一分析即可得答案.
【詳解】解：對選項A：由圖可知，2011年以來，全國城鎮非私營單位就業人員平均工資逐年增長，只是每年增速有變化，故選項A正確；
對選項B：工資增速越快，工資的絕對值增加也越大，這是錯誤的，工資的絕對值的增加還與上一年的工資水平有關系，故選項B錯誤；
對選項C：根據數據2019年全國城鎮非私營單位就業人員平均工資為元，故選項C正確；
對選項D：根據數據2018年全國城鎮非私營單位就業人員平均工資為元，所以全國城鎮非私營單位就業人員平均工資首次突破90000元應為2019年，故選項D錯誤.
故選：AC.
19． 46 45 56
【分析】利用中位數、眾數、極差的定義求解即可
【詳解】一共有30個數據，中位數為第15個數和第16個數的平均數，即中位數為，
這30個數中出現次數最多的為45出現了3次，所以眾數為45，
極差為，
故答案為：46，45，56
20．5
【分析】首先計算指數，再由百分位數的定義可得答案.
【詳解】解：這組樣本數據5 2 3 6，從小到大排列為2、3、5、6，
又，
則該組數據的第70百分位數為第3個數5，
故答案為：5.
21．85
【分析】根據百分位數定義求解即可.
【詳解】解：這組數據為：72，80，81，81，85，86，90，92，
因為8×60%＝4.8，所以這8份試卷成績的第60百分位數為85．
故答案為：85.
22．
【分析】先求平均數，再求方差，從而可得標準差.
【詳解】這組數據的平均數為，
所以這組數據的方差為，
所以這組數據的標準差為．
故答案為：.
23．
【分析】先求平均數，再利用公式求出方差，最后利用標準差的平方等于方差，即可求出標準差
【詳解】改組數的平均數為：，
利用方差公式，得
,
標準差為
故答案為：
24．
【分析】首先計算這組數據的平均數，再計算方差即可.
【詳解】因為這組數據為，
所以這組數據的平均數為，
所以這組數據的方差：
，
故答案為：
【點睛】本題主要考查數據的平均數與方差的計算，處理這類問題關鍵是計算要認真，不能出錯.
25．
【分析】利用方差的性質直接求解．
【詳解】一組數據，，，的方差為5，
這組數據，，，的方差為：．
【點睛】本題考查方差的性質應用．若的方差為，
則的方差為．
26．
【分析】運用平均數、方差公式計算即可.
【詳解】由題意知，這9個數的平均數為，
所以這9個數的方差為.
故答案為：.
27．20
【分析】根據公式計算即可.
【詳解】因為數據，，，，的方差為，
所以數據，，，，的方差為.
故答案為：20
28．
【分析】根據平均數和方差的性質，以及二次函數的性質即可解出．
【詳解】數據的平均數為，方差為，所以，
，即，則，因為，所以，故當時，的最大值是．
故答案為：．
29．(1)甲、 乙兩廠提供10個輪胎寬度的平均值分別為195，194.
(2)從平均數上來看：乙廠提供的 10個輪胎中所有標準輪胎寬度高于甲廠提供的 10個輪胎中所有標準輪胎寬度，但乙廠提供的 10個輪胎中所有標準輪胎寬度方差較大，不夠穩定.
【分析】（1）由折線圖提供的數據，利用平均數公式代入計算即可；
（2）分別找出甲乙兩廠的所有標準輪胎寬度的數據，再分別求出平均值與方差，即可判斷.
【詳解】（1）由題：甲廠輪胎寬度的平均值為：
；
乙廠輪胎寬度的平均值為：
；
所以甲、 乙兩廠提供10個輪胎寬度的平均值分別為195，194.
（2）由題，甲廠提供的 10個輪胎中所有標準輪胎寬度為：
，其平均數為：，
其方差為：；
乙廠提供的 10個輪胎中所有標準輪胎寬度為：
，其平均數為：，
其方差為：；
從平均數上來看：乙廠提供的 10個輪胎中所有標準輪胎寬度高于甲廠提供的 10個輪胎中所有標準輪胎寬度，但乙廠提供的 10個輪胎中所有標準輪胎寬度方差較大，不夠穩定.
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