資源簡介

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第15講 隨機事件與相互獨立事件
一、有限樣本空間
1.隨機試驗：(1)試驗可以在相同條件下重復進行；(2)試驗的所有可能結果都是明確可知的，并且不止一個；
(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果.
2.樣本點：我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，用ω表示樣本點.
3.樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，用Ω表示樣本空間.
4.有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.
5.樣本空間中樣本點的求法：列舉法，列表法，樹狀圖法.
二、三種事件的定義
1.隨機事件：樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生.
2.必然事件：Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以Ω總會發生，我們稱Ω為必然事件.
3.不可能事件：空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱 為不可能事件.
三、事件的關系和運算
1.包含關系：一般地，若事件A發生，則事件B一定發生，我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，記作B A(或A B)，特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，則稱事件A與事件B相等，記作A＝B
2.并事件：一般地，事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)，記作 A∪B(或A＋B).
3.交事件：一般地，事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)，記作 A∩B(或AB) .
4.互斥：一般地，如果事件A與事件B不能同時發生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝ ，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)
5.互為對立：一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，即A∪B＝Ω，
且A∩B＝ ，那么稱事件A與事件B互為對立．事件A的對立事件記為
6.總結事件的關系或運算
事件的關系或運算 含義 符號表示
包含 A發生導致B發生 A B
并事件(和事件) A與B至少一個發生 A∪B或A＋B
交事件(積事件) A與B同時發生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A與B不能同時發生 A∩B＝
互為對立 A與B有且僅有一個發生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
四、古典概型的判斷
1.我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
2.一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數．
五、概率的基本性質
性質1：對任意的事件A，都有P(A) ≥ 0.
性質2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性質5：如果A B，那么P(A) ≤P(B)．
性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
六、相互獨立事件
1.對任意兩個事件A與B，如果成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．
2.必然事件、不可能事件都與任意事件相互獨立.
3.如果事件A與事件B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立.
4.若事件相互獨立，則這個事件同時發生的概率.
【課堂訓練】
一、單選題
1．小張計劃高考結束后從北京 天津 廣州、西安、杭州這5個城市中隨機選取2個城市前去游玩，則他恰好選中前3個城市中的2個城市的概率（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，兩人下成和棋的概率為50%，那么乙不輸的概率是（ ）
A．20% B．70% C．80% D．30%
3．從2名女生和3名男生中任選2人參加社區服務，則選中的2人都是女生的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．某團體打算從貴州五個著名景區(西江千戶苗寨 鎮遠古鎮 黃果樹瀑布 小七孔景區 黔靈山公園)中隨機選取兩個進行游玩，則該團體沒有選擇黃果樹瀑布的概率為（ ）
A． B． C． D．
5．某大學強基測試有近千人參加，每人做題最終是否正確相互獨立，其中一道選擇題有5個選項，假設若會做此題則必能答對.參加考試的同學中有一部分同學會做此題；有一半的同學完全不會，需要在5個選項中隨機蒙一個選項；剩余同學可以排除一個選項，在其余四個選項中隨機蒙一個選項，最終統計該題的正答率為30%，則真會做此題的學生比例最可能為（ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
6．設為兩個互斥事件，且，，則下列各式一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．對擲一粒骰子的試驗，在概率論中把“出現零點”稱為（　　）
A．樣本空間 B．必然事件 C．不可能事件 D．隨機事件
8．我國數學家張益唐在“孿生素數”研究方面取得突破，孿生素數也稱為孿生質數，就是指兩個相差2的素數，例如5和7，在大于3且不超過20的素數中，隨機選取2個不同的數，恰好是一組孿生素數的概率為（ ）
A． B． C． D．
9．同時擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數是偶數”，事件C表示“兩枚骰子的點數相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數是奇數”. 則下列說法中正確的是（ ）
①A與C互斥 ②B與D對立 ③A與D相互獨立 ④B與C相互獨立
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
10．運動會乒乓球單打比賽采取淘汰制，每名選手負一次即被淘汰出局．每名參賽選手的實力排名各不相同．設參賽選手共16名，經過抽簽排定上半區比賽的程序如下（示意圖中的數字為抽簽決定的選手編號，與實力排名無關）：
下半區排法與此相似，最后由上半區僅剩的一名與下半區僅剩的一名決出冠亞軍．假設實力排名較前的選手一定能打敗實力排名較后的選手，則實力排名第二的選手能圓“銀牌之夢”的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．袋中有4個紅球，5個白球，6個黃球，從中任取1個，則取出的球是白球的概率為（　　）
A． B． C． D．
12．算盤是中國傳統的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎上發明的，是中國古代一項偉大的、重要的發明，在阿拉伯數字出現前是全世界廣為使用的計算工具．“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數術記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤的初始狀態，自右向左，分別是個位、十位、百位、……，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小．現從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠（上珠只能往下撥且每位至多撥1粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數能夠被3整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．某校為了解學校餐廳中午的用餐情況，分別統計了食用大米套餐和面食的人次數，剩下的為食用米線漢堡等其它食品（每人只選一種），結果如表所示：
總人次數 大米套餐人次數 面食人次數
1000 550 260
假設隨機抽取一位同學，記中午吃大米套餐為事件M，吃面食為事件N，吃米線漢堡等其他食品為事件H，若用頻率估計事件發生的概率，則（ ）
A． B．
C． D．
14．下列結論正確的有
A．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，恰有一個黑球與至少有一個紅球不是互斥事件
B．在標準大氣壓下，水在時結冰為隨機事件
C．若一組數據，，，的眾數是，則這組數據的平均數為
D．某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為的樣本進行調查.若該校一、二、三、四年級本科生人數之比為，則應從四年級中抽取名學生
15．現有分在問一組的三個代表隊參加黨史知識競賽，若對于某個問題3個隊回答正確的概率分別為，，，則關于該問題的回答情況，以下說法中正確的是（ ）
A．3個隊都正確的概率為
B．3個隊都不正確的概率為
C．出現恰有1個隊正確的概率比出現恰有2個隊正確的概率大
D．出現恰有2個隊正確的概率比出現恰有1個隊正確的概率大
16．一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數字1，2，3，4.連續拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數字，記事件A為“兩次記錄的數字之和為奇數”，事件B為“第一次記錄的數字為奇數”，事件C為“第二次記錄的數字為偶數”，則下列結論錯誤的是（ ）
A．事件B與事件C是對立事件 B．事件A與事件B不是相互獨立事件
C． D．
17．已知甲袋中有5個大小 質地相同的球，其中有4個紅球，1個黑球；乙袋中有6個大小 質地相同的球，其中有4個紅球，2個黑球.下列說法中正確的是（ ）
A．從甲袋中隨機摸出1個球是紅球的概率為
B．從乙袋中隨機摸出1個球是黑球的概率為
C．從甲袋中隨機摸出2個球，則2個球都是紅球的概率為
D．從甲 乙袋中各隨機摸出1個球，則這2個球是1紅1黑的概率為
18．不透明盒子中裝有質地、大小完全相同的黃色、紅色、白色小球各一個，現從中有放回地抽取三次，則下列事件概率小于的是（ ）
A．顏色相同 B．顏色不全相同 C．顏色全不相同 D．沒有出現白球
三、填空題
19．如果隨機試驗有兩步，其樣本空間的樣本點可以如何表示？ .
20．從長度為的條線段中任取條，則這三條線段能構成一個三角形的概率為 .
21．甲、乙兩人下棋，若甲獲勝的概率是，則乙不輸的概率是 .
22．在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．根據《周髀算經》記載，西周數學家商高就發現勾股定理的一個特例：若勾為三，股為四，則弦為五．一般地，像這樣能夠成為一個直角三角形三條邊長的正整數組稱為勾股數組．若從，，，，，，，，，這些勾股數組中隨機抽取1組，則被抽出的勾股數組中的三個數恰好構成等差數列的概率為 ．
23．甲、乙兩組各有三名同學，她們在一次測試中的成績的莖葉圖如圖所示，如果分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，則這兩名同學的成績之差的絕對值不超過3的概率是 .
24．某社區準備從ABCDE5位同學中隨機選取4位參加新時代文明實踐活動，若每人被選中的可能性相等，則A，E2名同學同時被選中的概率為 .
25．某輕軌列車有4節車廂，現有6位乘客準備乘坐，設每一位乘客進入每節車廂是等可能的，則這6位乘客進入各節車廂的人數恰好為0，1，2，3的概率為 .
26．已知甲同學投籃的命中率為0.6，若甲投籃兩次（兩次投籃命中與否互不影響），則兩次投籃至少投中一次的概率為 ．
27．已知直線，若 ,，則不經過第一象限的概率為 ．
28．已知甲、乙兩人投籃投中的概率分別為和，若兩人各投2次，則兩人投中次數相等的概率為 ．
四、解答題
29．甲、乙兩人每下一盤棋，甲獲勝的概率是0.4，甲不輸的概率為0.9．
(1)若甲、乙兩人下一盤棋，求他們下成和棋的概率；
(2)若甲、乙兩人連下兩盤棋，假設兩盤棋之間的勝負互不影響，求甲至少獲勝一盤的概率．
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第15講 隨機事件與相互獨立事件
1．B
【分析】基本事件總數，他恰好選中前3個城市中的2個城市包含的基本事件個數.由此求出他恰好選中前3個城市中的2個城市的概率.
【詳解】小張計劃高考結束后從北京 天津 廣州，西安，杭州這5個城市中隨機選取2個城市前去游玩，基本事件總數，
他恰好選中前3個城市中的2個城市包含的基本事件個數.
所以他恰好選中前3個城市中的2個城市的概率.
故選：B.
2．B
【分析】利用概率的加法運算即可求解.
【詳解】由題意可得乙勝的概率為30%50%%，
所以乙不輸的概率是%+50%=70%
故選：B
3．D
【分析】根據題意直接計算概率即可.
【詳解】從2名女生和3名男生中任選2人參加社區服務，
記女生分別為，男生分別為，
則所有可能情況為，
總共有10種方案，
選中的2人都是女生，有1種方案，
則所求概率為.
故選：D
4．C
【分析】基本事件總數，該團體沒有選擇黃果樹瀑布包含的基本事件個數，由此能求出該團體沒有選擇黃果樹瀑布的概率．
【詳解】解：從貴州五個著名景區（西江千戶苗寨、鎮遠古鎮、黃果樹瀑布、小七孔景區、黔靈山公園）中隨機選取兩個進行游玩，
基本事件總數，
該團體沒有選擇黃果樹瀑布包含的基本事件個數，
該團體沒有選擇黃果樹瀑布的概率．
故選：．
【點睛】本題考查概率的求法，古典概型、排列組合等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．
5．B
【分析】設測試總人數為，真會做此題的學生人數為，再由已知列式計算得解.
【詳解】設測試總人數為，真會做此題的學生人數為，
依題意，，解得.
故選：B
6．B
【分析】根據互斥事件的含義判斷各選項即可.
【詳解】因為為兩個互斥事件，，，
所以，即，且.
故選：B．
7．C
【分析】列出試驗中的樣本點數，即可求解.
【詳解】解：對擲一粒骰子的試驗，出現的點數分別為：1，2，3，4，5，6，
所以在擲一枚骰子的試驗中，出現零點是不可能事件，
故選：C．
8．D
【分析】寫出大于3且不超過20的素數，分別計算出隨機選取2個不同的數的所有情況和恰好是一組孿生素數的情況，再利用古典概型公式代入求解.
【詳解】大于3且不超過20的素數為：5，7，11，13，17，19，共6個，隨機選取2個不同的數，共有個情況，恰好是一組孿生素數的情況為：5和7，11和13，17和19，共3個，所以概率為.
故選：D
9．B
【分析】根據互斥事件、對立事件、獨立事件的定義逐一判斷即可.
【詳解】①；因為兩枚骰子的點數相同，所以兩枚骰子的點數之和不能為5，
所以A與C互斥 ，因此本序號說法正確；
②：當紅色骰子的點數是偶數，藍色骰子的點數是奇數時，B與D同時發生，
因此這兩個事件同時發生，所以本序號說法不正確；
③：，
顯然，所以A與D不相互獨立，所以本序號說法不正確；
④：，
顯然，所以B與C相互獨立，所以本序號說法正確，
故選：B
10．D
【分析】由古典概型的概率公式進行求解即可.
【詳解】不妨設實力排名第一的選手排在上半區1號位置，那么實力排名第二的選手共有15個位置可占，當且僅當實力排名第二的選手在下半區時，他才能圓“銀牌之夢”，因此所求概率為．
故選：D.
11．A
【分析】根據樣本空間和樣本點和古典概型的概率即可求解.
【詳解】在任取1個球的事件中，取記為取的是第個紅球，記為取的是第個白球，記為取的是第個黃球，記取出的球是白球的事件為，
所以樣本空間,
取出的球是白球的事件，
則取出的球是白球的概率為，
故選：A.
12．D
【分析】從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠，利用列舉法列出整數共有32個，其中能夠被3整除的整數有16個，進而根據古典概型的概率計算公式可解．
【詳解】解：從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠，得到的整數共有32個，分別為：
11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，
1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，
2，20，200，2000，6，60，600，6000，
其中算盤表示的整數能夠被3整除的整數有16個，分別為：
15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000，
則算盤表示的整數能夠被3整除的概率為．
故選：．
【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵點是利用列舉法把從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠所得到的整數列舉出來.
13．ABC
【分析】利用頻率求各事件對應的概率，應用互斥事件加法求，判斷各項正誤.
【詳解】用頻率估計概率得：，，，故A，B，C正確；
表示事件N發生或事件H發生，且N與H互斥，
故，故D錯誤，
故選：ABC．
14．AD
【解析】A.分別寫出兩個事件，根據互斥事件的概念判斷；B.根據自然知識之間判斷選項；C.根據眾數和平均數公式計算結果；D.根據分層抽樣的計算公式，計算結果.
【詳解】A.恰有一個黑球包含的事件是“一黑一紅”，至少有一個紅球包含的事件是“一紅一黑”和“兩個紅球”，兩個事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A正確；
B．在標準大氣壓下，水在時結冰為不可能事件，故B不正確
C.眾數是2，所以，平均數，故C不正確；
D.由條件可知名學生，故D正確.
故選：AD
15．ABC
【分析】對于A：3個隊都正確的概率為，可判斷；
對于B：3個隊都不正確的概率為，計算可判斷；
出現恰有1個隊正確的概率為（1個隊正確），
出現恰有2個隊正確的概率為（2個隊正確），計算并比較大小可判斷C、D選項.
【詳解】對于A：3個隊都正確的概率為，故A正確；
對于B：3個隊都不正確的概率為，故B正確；
出現恰有1個隊正確的概率為（1個隊正確），
出現恰有2個隊正確的概率為（2個隊正確），
因為，所以出現恰有1個隊正確的概率比出現恰有2個隊正確的概率大，故C正確，D不正確；
故選：ABC.
16．ABC
【分析】根據對立事件，獨立事件的概念及古典概型概率公式逐項分析即得.
【詳解】對于A，事件B與事件C是相互獨立事件，但不是對立事件，故A錯誤：
對于B.對于事件A與事件B，
連續拋擲這個正四面體木塊兩次，記錄的結果一共有種，
其中，事件A發生，則兩次朝下的點數為一奇一偶，有種，
所以，因為拋擲正四面體向下的數字為奇數和偶數的方法種數相同，
所以，，，，，
事件A與事件B是相互獨立事件，故B錯誤；
對于C，事件ABC表示第一次記錄的數字為奇數，第二次記錄的數字為偶數，
故，故C錯誤；
對于D， 由選項B的解答過程可得,所以，故D正確.
故選; ABC
17．ACD
【分析】根據古典概型概率公式可判斷ABC，利用互斥事件求和公式及概率的乘法公式可判斷D.
【詳解】對選項A，從甲袋中隨機摸一個球是紅球的概率為，故A對；
對選項B，從乙袋中隨機摸一個球是黑球的概率為，故B錯；
對選項C，從甲袋中隨機摸2個球，則2個球都是紅球的概率，故C對；
對選項D，從甲、乙袋中各隨機摸出1個球，則這2個球是一紅球一黑球的概率，故D對.
故選：ACD.
18．ACD
【分析】利用獨立事件的概率公式、以及對立事件的概率公式計算出每個選項中事件的概率，可得出合適的選項.
【詳解】由題意可知，從中任取一球，該球為黃色、紅色、白色的概率均為.
對于A選項，從中有放回地抽取三次，則事件“顏色相同”的概率為，A滿足條件；
對于B選項，從中有放回地抽取三次，事件“顏色不全相同”與事件“顏色相同”互為對立事件，
故事件“顏色不全相同”的概率為，B不滿足條件；
對于C選項，若三球顏色均不相同，則三球的顏色可依次為：黃紅白、黃白紅、紅黃白、紅白黃、白黃紅、白紅黃，
所以，事件“顏色全不相同”的概率為，C滿足條件；
對于D選項，事件“沒有出現白球”意味著每次摸的都不是白球，
故事件“沒有出現白球”的概率為，D滿足條件.
故選：ACD.
19．用有序數對或者兩個有前后次序的字母表示．
【分析】根據題意，結合試驗的步驟，即可求解.
【詳解】由題意，隨機試驗有兩步，其樣本空間的樣本點可以用有序數對或者兩個有前后次序的字母表示．
故答案為：用有序數對或者兩個有前后次序的字母表示．
20．/
【分析】采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個數，根據古典概型概率公式可得結果.
【詳解】從條線段中任取條，則有，，，，，，，，，，共個基本事件；
其中三條線段能夠成三角形的基本事件有：，，，共個；
所求概率.
故答案為：.
21．/
【分析】利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】因為甲獲勝的概率是，即乙輸的概率為，
由對立事件的概率公式可知，乙不輸的概率為.
故答案為：.
22．
【解析】根據題意可知基本事件總數為，剛好構成等差數列包含的基本事件有個，由古典概型的計算公式，即可求出.
【詳解】解：由題意知：從這組勾股數組中隨機抽取1組，
則被抽出的勾股數組中的三個數恰好構成等差數列的有：，，，共組，
故被抽出的勾股數組中的三個數恰好構成等差數列的概率為：.
故答案為：.
23．
【分析】根據古典概型的公式，求得所有情況數，采用正難則反的方法，可得答案.
【詳解】由題設所取兩名同學的可能共有，其中成績之差的絕對值超過的只有一種，所以這兩名同學的成績之差的絕對值不超過3的情形有種，故這兩名同學的成績之差的絕對值不超過3的概率是，
故答案為：．
24．/
【分析】若A，E同時被選中，需從B，C，D選兩人有3種，5人中選4人共有5種，再由古典概率公式代入即可得出答案.
【詳解】若A，E同時被選中，需從B，C，D選兩人有3種，5人中選4人共有5種，
∴A，E兩位同學同時選中的概率為.
故答案為：.
25．
【分析】根據分步計數原理得到試驗發生包含的所有事件數，滿足條件的事件數，根據等可能事件的概率公式得到結果．
【詳解】6位乘客進入4節車廂的方案共有46種.6位乘客按各節車廂人數恰好為0，1，2，3進入共有
A44C60C61C52C33＝1440種方法．
∴這6位乘客進入各節車廂的人數恰好為0，1，2，3的概率為．
故答案為．
【點睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點結合在一起，實際上是以概率問題為載體．
26．0.84
【分析】求出兩次投籃都不中的概率，再利用對立事件的概率公式計算作答.
【詳解】甲同學投籃的命中率為0.6，投籃兩次都不中的概率為，
所以兩次投籃至少投中一次的概率為.
故答案為：0.84
27．
【分析】由題列舉包含的基本事件，再根據不經過第一象限得，進而利用古典概型公式求出不經過第一象限的概率．
【詳解】解：直線，若，，
包含的基本事件有，共6種，
不經過第一象限，即不經過第一象限，
，，即，故有兩種基本事件，
滿足不經過第一象限的有：，共2個，
不經過第一象限的概率為．
故答案為：．
28．
【分析】兩人投中次數相等，包括兩人各投中一次，和兩人兩次都抽中，進而根據相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案．
【詳解】甲投中一次的概率為：，甲投中兩次的概率為：；
乙投中一次的概率為：，乙投中兩次的概率為：；
甲乙都投中一次的概率為：，
甲乙都投中兩次的概率為：，
甲乙兩人兩次都未投中的概率為：，
兩人投中次數相等的概率，
故答案為：
29．(1)0.5
(2)0.64
【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解決.
（2）分析至少有一次獲勝的事件包括兩次都獲勝，第一次獲勝第二次未獲勝和第一次未獲勝第二次獲勝三種情況。又因為三種情況之間互斥和兩盤棋之間的勝負互不影響.利用互斥事件的概率加法公式和獨立事件同時發生的概率乘法公式和對立事件概率的知識求解.
【詳解】（1）設事件表示甲獲勝，事件表示和棋，事件表示甲不輸．
則．
因為和棋與獲勝是互斥的，由概率的可加性，得
．
因為，
所以
（2）設事件表示甲獲勝，則表示甲未獲勝.設下兩次棋至少有一次獲勝的事件為，
則，因為兩盤棋之間的勝負互不影響，且至少有一次獲勝包括的三種情況是互斥的.
所以
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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