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(總課時28)§3.4 復習
【學習目標】梳理本章內容，理解“三大”變換的基本函義及性質；靈活運用“三大”變換解決問題.
【學習重難點】靈活運用“三大”變換解決問題.
【導學過程】
一.知識結構圖
二.基礎知識復習
要點一：圖形的平移
1.如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，將△ABC沿BC方向平移，得到△A'B'C'.
若四邊形ACC'A'的面積等于8，則平移的距離為____.
2.在平面直角坐標系中，若將三角形上各點的縱坐標都減去3，橫坐標保持不變，則所得圖形在原圖形的基礎上( )
A．向左平移了3個單位 B．向下平移了3個單位 C．向上平移了3個單位 D．向右平移了3個單位
3.如圖2，△A1B1C1是△ABC向右平移4個單位長度后得到的，且三個頂點的坐標分別為A1(1，1)，
B1(4，2)，C1(3，4)．
(1)請畫出△ABC，并寫出點A，B，C的坐標；
(2)求出△AOA1的面積．
要點二：圖形的旋轉
4.如圖3所示，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A旋轉，使得點B，A，C′在同一條直線上，則三角板ABC旋轉的角度是( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
5.如圖4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=58°,將Rt△ABC繞點C旋轉到
Rt△A'B'C',使點B恰好落在A'B'上,A'C交AB于點D,則∠ADC的度數為____.
6.如圖5，已知兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD,
證明：（1）（手拉手）△ABE≌△DBC；(2)AE=DC
(3)AE與DC的夾角為60°；（4）AE與DC的交點設為H，BH平分∠AHC.
要點三：中心對稱
7.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
8.如圖6所示,△ABO與△CDO關于點O中心對稱,點E,F在線段AC上,且AF=CE.求證:FD=BE.
三.課堂小結
1.初中幾何三大變換：①______變換，②______變換，③______變換.
2.軸對稱 關于兩個圖形的關系 中心對稱.
3.軸對稱圖形 關于一個圖形的特征 中心對稱圖形
四.分層過關
1.下列運動形式屬于旋轉的是( )
A．在空中上升的氫氣球 B．飛馳的火車 C．時鐘上鐘擺的擺動 D．運動員擲出的標槍
2.如圖7，點A，B，C，D都在方格紙的格點上，若△AOB繞點O按逆時針方向旋轉到△COD的位置，則旋轉的角度為( )
A．30° B．45° C．90° D．135°
3.如圖8所示，D是等腰直角三角形ABC內一點，BC是斜邊，如果將△ABD繞點A逆時針旋轉到△ACD′的位置，則∠ADD′的度數是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．45°
4.如圖9，△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，點D在AC上，DC＝4 cm.將線段DC沿著CB的方向平移7 cm得到線段EF，點E，F分別落在邊AB，BC上，則△EBF的周長為____cm.
5.如圖10，已知P是正方形ABCD內一點，PA=1，PB=2，PC=3，以點B為旋轉中心，將△ABP按順時針方向方向旋轉使點A與點C重合，這時P點旋轉到G點。
（1）請畫出旋轉后的圖形，你能說出此時△ABC以點B為旋轉中心旋轉了多少度嗎？
（2）求出PG的長度？
（3）請你猜想△PGC的形狀，并說明理由？
（4）請你計算出∠BGC的角度？
圖形的平移與旋轉（全等變換）
平 移
應用：①作圖②坐標平移變換規律：（x,y） (x±a,y±b);左__右__，上__下___.
定義：將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移.
性質：圖形經過平移①對應角____.②對應線段____________________________.
③對應點所連的線段____________________________.
①.對應角相等.②.對應線段平行（或在一條直線上）且相等.
③.對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等.
①.對應角相等.②.對應線段平行（或在一條直線上）且相等.
③.對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等.
要素：①基本圖形、②平移____、③平移____.
旋 轉
定義：將一圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉.這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角.
性質：①旋轉前、后的圖形____.②對應線段____；③對應角____
④一個圖形和它經過旋轉所得的圖形中，對應點到旋轉中心的距離____，
③任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于________．
三個要素：①旋轉____、②旋轉____、③旋轉____.
應用：①作圖②利用旋轉構造全等圖形：手拉手模型等.
中心對稱
應用：①作圖②常見的中心對稱圖形
定義：（兩個圖形的關系）
中心對稱圖形：（一個圖形自身的關系）
關于坐標原點對稱的點的坐標變化(a,b) (-a,-b)
性質：①中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段經過_________，且被_________所平分.②中心對稱的兩個圖形是_____圖形.
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
A
B
C
D
圖6
圖8
圖7
圖9
圖10
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(總課時28)§3.4 復習
一.選擇題：
1.如圖1，已知△ABC平移后得到△DEF，則下列說法中，不正確的是( C )[]
A．AB＝DE B．BC∥EF C．平移的距離是線段BD的長 D．平移的距離是線段AD的長
2.在平面直角坐標系中，將線段OA向左平移2個單位，平移后，點O，A的對應點分別為點O1，A1.若點O(0，0)，A(1，4)，則點O1，A1的坐標分別是( D )
A．(0，0)，(1，4) B．(0，0)，(3，4) C．(－2，0)，(1，4) D．(－2，0)，(－1，4)
3.如圖2,在5×5方格紙中,將圖①中的三角形甲平移到圖②中所示的位置,與三角形乙拼成一個長方形.下面的平移方法正確的是( D )
A.先向下平移3格,再向右平移1格 B.先向下平移2格,再向右平移1格
C.先向下平移2格,再向右平移2格[ D.先向下平移3格,再向右平移2格
4.如圖3,在4×4的正方形網格中,每個小正方形的頂點稱為格點,左上角陰影部分是一個以格點為頂點的正方形(稱格點正方形).若再作一個格點正方形,并涂上陰影,使這兩個格點正方形無重疊面積,且組成的圖形是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,則這個格點正方形的作法共有(C　)
A.2種 B.3種 C.4種 D.5種
5.在平面直角坐標系中，將點A(1，－2)向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A′，則點A′的坐標是(A)
A．(－1，1) B．(－1，－2) C．(－1，2) D．(1，2)
二.填空題：
6.如圖4所示，五角星的頂點是一個正五邊形的五個頂點．這個五角星可以由一個基本圖形（圖中的陰影部分）繞中心O至少經過4次旋轉而得到，每一次旋轉72度．
7.點A關于原點對稱的點的坐標是（3，﹣2），則點A的坐標是　（﹣3，2）　
8.若點P（m-1,5）與點Q(3,2-n)關于原點成中心對稱，則m+n的值是　5　
9.在正方形、長方形、線段、等邊三角形和平行四邊形這五種圖形中，是軸對
稱圖形不是中心對稱圖形的是　等邊三角形　．
10.如圖5，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，使點A的對應點D恰好落在
邊AB上，點B的對應點為E，連接BE，以下四個結論：①AC=AD；②AB⊥EB；
③BC=EC；④∠A=∠EBC，其中一定正確的是　③④　．
三.解答題：
11.已知：如圖，將△ADE繞點A順時針旋轉得到△ABC，點E對應點C恰在ED的延長線上，若BC//AE．
求證：△ABD為等邊三角形．
解：由旋轉知：△ADE≌△ABC，∴∠ACB=∠E，AC=AE，
∴∠E=∠ACE，∵BC//AE，∴∠BCE+∠E=180，即：∠ACB+∠ACE+∠E=180,
∴∠E=60,∵AC=AE,∴△ACE是等邊三角形，∴∠CAE=60，
又∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE=60，∵AB=AD∴△ABD為等邊三角形．
12.如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），
C（﹣1，3）．若△ABC和△A1B1C1關于原點O成中心對稱圖形，畫出圖形并寫出△A1B1C1的各頂點的坐標．
解：如圖所示：
△A1B1C1即為所求作的圖形．
A1（3，﹣5），B1（2，﹣1），C1（1，﹣3）．
13.(選作）如圖，O是正△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列五個結論中，其中正確的結論是( C )　
①△BO′A可以由△BPC繞點B逆時針旋轉60得到；
②點O與O′的距離為4；③∠AOB=150；
④；⑤．
A．①②③④ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．②③④⑥
解∵△ABC為等邊三角形，，，
線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60得到線段BO′，∴BO=BO′=4，∠OBO′=60，
∵∠OBO′=∠CBA=60，BO=BO′，BC=BA，∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60得到，所以①正確；∵為等邊三角形，∴OO′=OB=4，∠BOO′=60，所以②正確；∵BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60得到，∴AO′=OC=5，
在△OAO′中，∵OO′=4，AO=3，AO′=5，∴OA2+OO′2=AO′2，
∴△OAO′為直角三角形，∴∠AOO′=90，∴∠APB=90+60=150，所以③正確；
，所以O′錯誤；
作于H，如圖，
在RtAOH中，，，，
，，
，即，
，所以正確．
故選C．
圖4
圖2
圖3
圖1
圖5
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(總課時28)§3.4 復習
一.選擇題：
1.如圖1，已知△ABC平移后得到△DEF，則下列說法中，不正確的是( )[]
A．AB＝DE B．BC∥EF C．平移的距離是線段BD的長 D．平移的距離是線段AD的長
2.在平面直角坐標系中，將線段OA向左平移2個單位，平移后，點O，A的對應點分別為點O1，A1.若點O(0，0)，A(1，4)，則點O1，A1的坐標分別是( )
A．(0，0)，(1，4) B．(0，0)，(3，4) C．(－2，0)，(1，4) D．(－2，0)，(－1，4)
3.如圖2,在5×5方格紙中,將圖①中的三角形甲平移到圖②中所示的位置,與三角形乙拼成一個長方形.下面的平移方法正確的是( )
A.先向下平移3格,再向右平移1格 B.先向下平移2格,再向右平移1格
C.先向下平移2格,再向右平移2格[ D.先向下平移3格,再向右平移2格
4.如圖3,在4×4的正方形網格中,每個小正方形的頂點稱為格點,左上角陰影部分是一個以格點為頂點的正方形(稱格點正方形).若再作一個格點正方形,并涂上陰影,使這兩個格點正方形無重疊面積,且組成的圖形是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,則這個格點正方形的作法共有( 　)
A.2種 B.3種 C.4種 D.5種
5.在平面直角坐標系中，將點A(1，－2)向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A′，則點A′的坐標是( )
A．(－1，1) B．(－1，－2) C．(－1，2) D．(1，2)
二.填空題：
6.如圖4所示，五角星的頂點是一個正五邊形的五個頂點．這個五角星可以由一個基本圖形（圖中的陰影部分）繞中心O至少經過4次旋轉而得到，每一次旋轉____度．
7.點A關于原點對稱的點的坐標是（3，﹣2），則點A的坐標是________
8.若點P（m-1,5）與點Q(3,2-n)關于原點成中心對稱，則m+n的值是____
9.在正方形、長方形、線段、等邊三角形和平行四邊形這五種圖形中，是軸對
稱圖形不是中心對稱圖形的是________．
10.如圖5，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，使點A的對應點D恰好落在
邊AB上，點B的對應點為E，連接BE，以下四個結論：①AC=AD；②AB⊥EB；
③BC=EC；④∠A=∠EBC，其中一定正確的是________．
三.解答題：
11.已知：如圖，將△ADE繞點A順時針旋轉得到△ABC，點E對應點C恰在ED的延長線上，若BC//AE．
求證：△ABD為等邊三角形．
12.如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），
C（﹣1，3）．若△ABC和△A1B1C1關于原點O成中心對稱圖形，畫出圖形并寫出△A1B1C1的各頂點的坐標．
13.(選作）如圖，O是正△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列五個結論中，其中正確的結論是( C )　
①△BO′A可以由△BPC繞點B逆時針旋轉60得到；
②點O與O′的距離為4；③∠AOB=150；
④；⑤．
A．①②③④ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．②③④⑥
圖4
圖2
圖3
圖1
圖5
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(總課時28)§3.4 復習
【學習目標】梳理本章內容，理解“三大”變換的基本函義及性質；靈活運用“三大”變換解決問題.
【學習重難點】靈活運用“三大”變換解決問題.
【導學過程】
一.知識結構圖
二.基礎知識復習
要點一：圖形的平移
1.如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，將△ABC沿BC方向平移，得到△A'B'C'.
若四邊形ACC'A'的面積等于8，則平移的距離為2.
2.在平面直角坐標系中，若將三角形上各點的縱坐標都減去3，橫坐標保持不變，則所得圖形在原圖形的基礎上(B)
A．向左平移了3個單位 B．向下平移了3個單位 C．向上平移了3個單位 D．向右平移了3個單位
3.如圖2，△A1B1C1是△ABC向右平移4個單位長度后得到的，且三個頂點的坐標分別為A1(1，1)，
B1(4，2)，C1(3，4)．
(1)請畫出△ABC，并寫出點A，B，C的坐標；
(2)求出△AOA1的面積．
解：(1)如圖所示，A(－3，1)，B(0，2)，C(－1，4)．
(2)S△AOA1＝×4×1＝2.
要點二：圖形的旋轉
4.如圖3所示，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A旋轉，使得點B，A，C′在同一條直線上，則三角板ABC旋轉的角度是(D)
A．60° B．90° C．120° D．150°
5.如圖4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=58°,將Rt△ABC繞點C旋轉到
Rt△A'B'C',使點B恰好落在A'B'上,A'C交AB于點D,則∠ADC的度數為84°.
6.如圖5，已知兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD,
證明：（1）（手拉手）△ABE≌△DBC；(2)AE=DC
(3)AE與DC的夾角為60°；（4）AE與DC的交點設為H，BH平分∠AHC.
證：（1）由AB=DB，∠ABE=∠DBC，BE=BC得：△ABE≌△DBC
（2）由（1）可得：AE=DC
（3）由（1）可得：∠BAE=∠BDH，∵AH與BD交于一點O，∴∠DOH=∠AOB
∴∠DHO=∠DBA=60°
(4）如圖，作BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，由（1）得：S△ABE=S△DBC，
即：0.5AE×BG=0.5DC×BF，∵AE=DH，∴BG=BF，∴BH平分∠AHC.
要點三：中心對稱
7.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ D ）
8.如圖6所示,△ABO與△CDO關于點O中心對稱,點E,F在線段AC上,且AF=CE.求證:FD=BE.
證明：∵△ABO與△CDO關于點O中心對稱,
∴OB=OD,OA=OC.∵AF=CE,∴OF=OE.
在△DOF和△BOE中,OB=OD,∠DOF=∠BOE,OF=OE,
∴△DOF≌△BOE(SAS),∴FD=BE.
三.課堂小結
1.初中幾何三大變換：①軸對稱變換，②平移變換，③旋轉變換.
2.軸對稱 關于兩個圖形的關系 中心對稱.
3.軸對稱圖形 關于一個圖形的特征 中心對稱圖形
四.分層過關
1.下列運動形式屬于旋轉的是( C )
A．在空中上升的氫氣球 B．飛馳的火車 C．時鐘上鐘擺的擺動 D．運動員擲出的標槍
2.如圖7，點A，B，C，D都在方格紙的格點上，若△AOB繞點O按逆時針方向旋轉到△COD的位置，則旋轉的角度為(C)
A．30° B．45° C．90° D．135°
3.如圖8所示，D是等腰直角三角形ABC內一點，BC是斜邊，如果將△ABD繞點A逆時針旋轉到△ACD′的位置，則∠ADD′的度數是（ D ）
A．25° B．30° C．35° D．45°
4.如圖9，△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，點D在AC上，DC＝4 cm.將線段DC沿著CB的方向平移7 cm得到線段EF，點E，F分別落在邊AB，BC上，則△EBF的周長為13cm.
5.如圖10，已知P是正方形ABCD內一點，PA=1，PB=2，PC=3，以點B為旋轉中心，將△ABP按順時針方向方向旋轉使點A與點C重合，這時P點旋轉到G點。
（1）請畫出旋轉后的圖形，你能說出此時△ABC以點B為旋轉中心旋轉了多少度嗎？
（2）求出PG的長度？
（3）請你猜想△PGC的形狀，并說明理由？
（4）請你計算出∠BGC的角度？
解：（1）旋轉后的△BCG如圖所示，旋轉角為∠ABC=90°；
（2）連接PG，由旋轉的性質可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，
∴△BPG為等腰直角三角形，
又BP=BG=2，∴PG=2；
（3）由旋轉的性質可知CG=AP=1，已知PC=3，
由（2）可知PG=2 ，
∵PG2+CG2=（2)2+12=9，PC2=9，
∴PG2 +CG2 =PC2 ，∴△PGC為直角三角形．
(4）由（2）知∠BGP=45°，由（3）知：∠PGC=90°，
∴∠BGC=∠BGP+∠PGC=45°+90°=135°.
圖形的平移與旋轉（全等變換）
平 移
應用：①作圖②坐標平移變換規律：（x,y） (x±a,y±b);左加右減，上加下減.
定義：將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移.
性質：圖形經過平移①對應角相等.②對應線段平行（或在一條直線上）且相等.
③對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等.
①.對應角相等.②.對應線段平行（或在一條直線上）且相等.
③.對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等.
①.對應角相等.②.對應線段平行（或在一條直線上）且相等.
③.對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等.
要素：①基本圖形、②平移方向、③平移距離.
旋 轉
定義：將一圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉.這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角.
性質：①旋轉前、后的圖形全等.②對應線段相等；③對應角相等
④一個圖形和它經過旋轉所得的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，
⑤任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角．
三個要素：①旋轉中心、②旋轉方向、③旋轉角度.
應用：①作圖②利用旋轉構造全等圖形：手拉手模型等.
中心對稱
應用：①作圖②常見的中心對稱圖形
定義：（兩個圖形的關系）
中心對稱圖形：（一個圖形自身的關系）
關于坐標原點對稱的點的坐標變化(a,b) (-a,-b)
性質：①中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段經過對稱中心，且被對稱中心所平分.②中心對稱的兩個圖形是全等圖形.
圖1
圖2
圖3
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圖5
O
A
B
C
D
圖6
圖8
圖7
圖9
圖10
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