資源簡介

第1講　任意角和弧度制、三角函數的概念
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
1.了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性. 2.借助單位圓理解三角函數（正弦、余弦、正切）的定義. 任意角及其表示 該講知識比較基礎，單獨命題比較少，常見的命題點有三角函數定義的應用，扇形的弧長公式和面積公式的應用，有時也應用于圓錐的平面展開圖的有關計算，題型以選擇題和填空題為主，難度不大.預計2025年高考單獨命題的概率不大，但作為三角部分的基礎，還是需要掌握.
扇形的弧長公式與面積公式 2020新高考卷ⅠT15
三角函數定義的應用 2021北京T14；2020全國卷ⅡT2
1.任意角與弧度制
（1）任意角
角的分類
（2）弧度制
定義 長度等于④　半徑長　的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示，這種用弧度作單位來度量角的單位制叫做弧度制.
圓心角α的弧度數公式 ｜α｜＝（弧長用l表示，半徑用r表示）.
角度與弧度的換算 a.1°＝ rad≈0.017 45 rad；b.1 rad＝（）°≈57.30°.
弧長公式 l＝⑤?。粒黵　.
扇形面積公式 S＝⑥　l·r?。剑粒2.
注意　 1.用弧度制表示角的大小時，“弧度”二字或“rad”通常省略不寫，但用角度制表示角的大小時，度（°）一定不能省略.
2.正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.
3.利用扇形的弧長和面積公式時，要注意角的單位必須是弧度.
常用結論
1.象限角及軸線角
2.終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β｜β＝α＋2kπ，k∈Z}.
注意　 1.第一象限角未必是銳角，但銳角一定是第一象限角.
2.終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，不相等的角的終邊有可能相同.
2.任意角的三角函數
（1）任意角的三角函數
設α是一個任意角，α∈R，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sin α＝⑦　y　，cos α＝⑧　x　，tan α＝⑨　?。▁≠0）.
推廣：設角α終邊上任意一點P（原點除外）的坐標為（x，y），點P與原點的距離為r，即r＝，則sin α＝⑩　　，cos α＝ 　　，tan α＝ 　　（x≠0）.
（2）三角函數值在各象限內的符號
上述符號的規律可簡記為：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
注意　已知三角函數值的符號，判斷角的終邊所在位置時，不要遺漏終邊在坐標軸上的情況，如sin ＝1＞0，cos π＝－1＜0.
（3）特殊角的三角函數值
角α 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
角α的弧度數 0 　　 　　 　　
sin α 0 　　 　　 　　 1
cos α 1 　　 　　 　　 　0　
tan α 　0　 2－ 　　 　1　 　　 2＋ 　不存在　
3.角的終邊的對稱性
（1）β，α的終邊關于x軸對稱 β＝－α＋2kπ，k∈Z.
（2）β，α的終邊關于y軸對稱 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
（3）β，α的終邊關于原點對稱 β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
1.下列說法正確的是（　B?。?br/>A.三角形的內角是第一象限角或第二象限角
B.不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關
C.若sin α＝sin β，則α與β的終邊相同
D.若α，β的終邊關于x軸對稱，則α＋β＝0
解析　對于A，當三角形內角為時，角的終邊在y軸上，A錯誤；對于B，角的大小只與旋轉方向及角度有關，B正確；對于C，若α＝，β＝，此時sin α＝sin β，但α與β的終邊不相同，C錯誤；對于D，與的終邊關于x軸對稱，但＋＝2π≠0，D錯誤.
2.已知P（－4，3）是角α的終邊上一點，則cos α＝（　D?。?br/>A. B.－ C. D. －
解析　設點P（－4，3）到原點O的距離為r，則r＝＝5，所以cos α＝＝－，故選D.
3.已知α是第一象限角，那么是（　D?。?br/>A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角
解析　易知2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，故kπ＜＜＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角.
4.[全國卷Ⅰ]若tan α＞0，則（　C?。?br/>A.sinα＞0 B.cosα＞0 C.sin 2α＞0 D.cos 2α＞0
解析　因為tan α＞0，所以α為第一或第三象限角，即2kπ＜α＜2kπ＋或2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，則4kπ＜2α＜4kπ＋π或4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π，k∈Z.所以2α為第一或第二象限角或終邊在y軸的非負半軸上的角，從而sin 2α＞0.
5.在直徑為20 cm的圓中，的圓心角所對弧的長為　　cm.
解析　由弧長公式l＝｜α｜r可得，弧長為×＝（cm）.
6.[易錯題]已知扇形的圓心角為30°，其弧長為2π，則此扇形的面積為　12π　.
解析　∵圓心角α＝30°＝，l＝｜α｜r，∴r＝＝12，∴扇形面積S＝lr＝×2π×12＝12π.
研透高考 明確方向
命題點1　任意角及其表示
例1 （1）時針經過四個小時，轉過了（　B?。?br/>A. rad B.－ rad C. rad D.－ rad
解析　因為時針順時針旋轉，所以轉過一圈的弧度為－2π rad，則時針經過四個小時，轉過了×（－2π）rad＝－ rad.
（2）終邊在直線y＝x上的角的集合為（　B　）
A.{β｜β＝kπ＋，k∈Z} B.{β｜β＝kπ＋，k∈Z}
C.{β｜β＝2kπ＋，k∈Z} D.{β｜β＝2kπ＋，k∈Z}
解析　解法一　易知直線y＝x的傾斜角為.若終邊落在射線y＝x（x≥0）上，則有β＝2nπ＋，n∈Z，若終邊落在射線y＝x（x≤0）上，則有β＝2nπ＋，n∈Z.綜上可得β＝kπ＋，k∈Z.故終邊在直線y＝x上的角的集合為{β｜β＝kπ＋，k∈Z}.故選B.
解法二　易知直線y＝x的傾斜角為.終邊落在x軸上的角的集合為{α｜α＝kπ，k∈Z}，將其逆時針旋轉，即可得到終邊在y＝x上的角，故所求集合為{β｜β＝kπ＋，k∈Z}.
方法技巧
1.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k（k∈Z）賦值來求得所需的角.
2.確定kα，（k∈N*）的終邊位置的方法：先寫出kα或的范圍，然后根據k的可能取值確定kα或的終邊所在位置.
訓練1 [2023湖北十堰月考]與終邊相同的角的表達式中，正確的是（　D　）
A.45°＋2kπ，k∈Z B.k·360°＋，k∈Z
C.k·360°＋315°，k∈Z D.2kπ－，k∈Z
解析　在同一個表達式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯誤.與終邊相同的角可以寫成2kπ＋（k∈Z）的形式，k＝－2時，2kπ＋＝－，315°換算成弧度制為，所以C錯誤，D正確.故選D.
命題點2　扇形的弧長公式與面積公式
例2 [2023天津南開中學統練]如圖1是杭州第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，錢塘江和錢江潮頭是會徽的形象核心，綠水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表達了浙江兒女勇立潮頭的精神氣質，整個會徽形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發展.如圖2是會徽的幾何圖形，設弧AD長度是l1，弧BC長度是l2，幾何圖形ABCD面積為S1，扇形BOC面積為S2，若＝2，則＝（　A?。?br/>A.3 B.4 C.1 D.2
解析　設∠BOC＝α（α＞0），由＝2，得＝＝2，即OA＝2OB，則＝＝＝＝3.故選A.
方法技巧
有關扇形弧長和面積問題的解題策略
（1）求扇形面積的關鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.
（2）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
（3）扇形面積的最值問題，常轉化為二次函數的最值問題.
訓練2 （1）[2023廣東深圳統考]蕩秋千是中華大地上很多民族共有的游藝競技項目.據現有文獻記載，秋千源自先秦.位于廣東清遠的天子山懸崖秋千建在高198米的懸崖邊上，該秋千的纜索長8米，蕩起來最大擺角為85°，則該秋千最大擺角所對的弧長為（　B　）
A.米 B.米 C.13.6米 D.198米
解析　由題意得最大擺角，即圓心角｜α｜＝＝，半徑R＝8，由弧長公式可得l＝｜α｜·R＝×8＝（米）.故選B.
（2）[2024河北張家口期中]如圖，已知扇形的周長為6，當該扇形的面積取最大值時，弦長AB＝（　A　）
A.3sin 1 B.3sin 2
C.3sin 1° D.3sin 2°
解析　設扇形的圓心角為α（α＞0），半徑為r，弧長為l，則l＋2r＝6，l＝6－2r，由可得0＜r＜3，所以扇形的面積為S＝lr＝（3－r）r≤（）2＝，當且僅當3－r＝r，即r＝時，扇形的面積S最大，此時l＝6－2r＝3.因為l＝αr，所以扇形的圓心角α＝＝＝2.
如圖，取線段AB的中點E，連接OE，由垂徑定理可知OE⊥AB，因為OA＝OB，所以∠AOE＝∠AOB＝×2＝1，所以AB＝2AE＝2OAsin 1＝3sin 1.故選A.
命題點3　三角函數定義的應用
角度1　利用三角函數的定義求值
例3 [2023南京江寧區模擬]在平面直角坐標系中，角α的頂點在坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊過點（x，4）且tan（－π＋α）＝－2，則cos α＝（　B　）
A.－ B.－
C. D.
解析　∵角α的終邊過點（x，4）且tan（－π＋α）＝tan α＝－2，∴＝－2，∴x＝－2，∴cos α＝＝－，故選B.
方法技巧
三角函數的定義中常見的三種題型及解題方法
題型 解題方法
已知角α的終邊上的一點P的坐標，求角α的三角函數值. 先求出點P到原點的距離r，再利用三角函數的定義求解.
已知角α的一個三角函數值和終邊上一點P的橫（縱）坐標，求與角α有關的三角函數值. 先求出點P到原點的距離（帶參數），根據已知三角函數值及三角函數的定義建立方程，求出未知數，從而求解問題.
已知角α的終邊所在的直線方程（y＝kx，k≠0），求角α的三角函數值. 先設出終邊上一點P（a，ka），a≠0，求出點P到原點的距離，再利用三角函數的定義求解. 注意　由于終邊所在的象限不確定，因此取點時應分a＞0和a＜0兩種情況討論.
訓練3 已知角α的終邊經過點P（－1，m），且sin α＝－，則tan α的值是（　B　）
A.± B. C.－ D.
解析　∵角α的終邊經過點P（－1，m），∴sin α＝＝－，解得m＝－，∴tan α＝－m＝.故選B.
角度2　判斷三角函數值的符號
例4 （1）[全國卷Ⅱ]若α為第四象限角，則（　D　）
A.cos 2α＞0 B.cos 2α＜0
C.sin 2α＞0 D.sin 2α＜0
解析　由α為第四象限角，故－＋2kπ＜α＜2kπ（k∈Z），可得－π＋4kπ＜2α＜4kπ（k∈Z），所以2α的終邊
在第三、四象限或y軸的非正半軸上，因此sin 2α＜0，cos 2α的正負無法確定.
（2）已知角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊在直線y＝3x上，且
sin α＜0，P（m，n）是角α終邊上一點，且｜OP｜＝（O為坐標原點），則m－n等于（　A?。?br/>A.2 B.－2 C.4 D.－4
解析　因為P（m，n）在直線y＝3x上，所以n＝3m?、?，又sin α＜0，所以m＜0，n＜0.由｜OP｜＝，得m2＋n2＝10?、?
聯立①②，并結合m＜0，n＜0，可得m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2.
方法技巧
判斷三角函數值的符號，先確定角所在象限，再根據三角函數在各象限的符號確定正負.若不確定角所在象限，需分類討論求解.注意角的終邊在坐標軸上的情況.
訓練4 [2023福建漳州質檢]已知sin θ＜0，tan θ＜0，則角θ的終邊位于（　D?。?br/>A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析　由sin θ＜0，tan θ＜0，根據三角函數值的符號與角的終邊所在象限間的關系，可得角θ的終邊位于第四象限.故選D.第2講　同角三角函數的基本關系與誘導公式
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
1.理解同角三角函數的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 2.借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式（α±，α±π的正弦、余弦、正切） 同角三角函數關系的應用 2023全國卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全國卷甲T9；2020全國卷ⅠT9 本講主要考查利用同角三角函數的基本關系與誘導公式化簡與求值，常與三角恒等變換結合命題，考查基本運算能力.題型以選擇題、填空題為主，難度中等偏下.在2025年高考復習備考時，要掌握公式并會靈活運用.
誘導公式的應用 2020北京T9；2019全國卷ⅠT7
同角三角函數基本關系與誘導公式的綜合應用
1.同角三角函數的基本關系
（1）平方關系：sin2α＋cos2α＝1.
（2）商的關系：tan α＝（α≠＋kπ，k∈Z）.
（3）公式常見變形：sin2α＝1－cos2α；sinα＝±；sin2α＝＝，cos2α＝＝①　　；（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.
注意　利用平方關系時，若要開方，要注意判斷符號.
2.誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α（k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α ②?。璼inα　 －sinα ③　sinα　 cos α ④　cosα　
余弦 cos α ⑤　－cosα　 cos α ⑥　－cosα　 sin α ⑦　－sinα　
正切 tan α ⑧　tanα　 －tan α ⑨?。璽anα　
口訣 奇變偶不變，符號看象限.
1.[易錯題]已知α是第二象限角，sinα＝，則cosα＝（　A　）
A.－ B.－ C. D.
解析　因為α是第二象限角，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝
－＝－.
2.[2023貴州聯考]已知tan θ＝－2，則＝（　D?。?br/>A.－1 B.－3 C.－ D.
解析　因為tan θ＝－2，則＝1＋＝1－＝.
3.[2023上饒重點中學模擬]下面誘導公式使用正確的是（　C?。?br/>A.sin（θ－）＝cosθ B.cos（＋θ）＝－sinθ
C.sin（－θ）＝－cosθ D.cos（θ－）＝－sinθ
解析　∵sin（θ－）＝－sin（－θ）＝－cosθ，∴A錯誤；∵cos（＋θ）＝sinθ，∴B錯誤；∵sin（－θ）＝－cosθ，∴C正確；∵cos（θ－）＝cos（－θ）＝sinθ，∴D錯誤.
4.sin 1 050°＝　－　.
解析　sin 1 050°＝sin（－30°）＝－.
5.[2023成都八中模擬]已知tan（π＋α）＝2，則＝　　.
解析　因為tan（π＋α）＝tan α＝2，所以＝＝＝＝.
研透高考 明確方向
命題點1　同角三角函數關系的應用
例1 （1）[2024山東模擬]若tan θ＝2，則1＋sinθcosθ＝（　B　）
A. B.
C. D.
解析　易知cosθ≠0，則1＋sinθcosθ＝＝＝＝＝.
（2）[2023全國卷乙]若θ∈（0，），tan θ＝，則sinθ－cosθ＝?。?
解析　由且θ∈（0，），解得故sinθ－cosθ＝－.
方法技巧
同角三角函數基本關系的應用技巧
（1）利用sin2α＋cos2α＝1和tan α＝，可以解決sinα，cosα，tan α的知一求二的問題，注意判斷角的終邊所在的象限.
（2）利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以解決sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－
cos α知一求二的問題，注意方程思想的應用.
（3）利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正、余弦互化；利用tan α＝可以實現角α的弦、切互化，主要考查齊次式的使用技巧以及“1”的變形.
訓練1 [多選/2023江西省上饒市第一中學模擬]已知θ∈（－π，0），sinθ＋cosθ＝，則下列結論正確的是（　BD　）
A.θ∈（－π，－） B.cosθ＝
C.tanθ＝ D.sinθ－cosθ＝－
解析　由sinθ＋cosθ＝可得，cosθ＝－sinθ，
則（－sinθ）2＋sin2θ＝1，
解得sinθ＝或sinθ＝－.
由θ∈（－π，0），可得sinθ＝－，cosθ＝，故B正確；
由sinθ＝－＜0，cosθ＝＞0可得θ為第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈
（－，0），故A錯誤；
tan θ＝＝－，故C錯誤；
sin θ－cos θ＝－－＝－，故D正確.故選BD.
命題點2　誘導公式的應用
例2 （1）[全國卷Ⅲ]函數f（x）＝（x＋）＋cos（x－）的最大值為（　A　）
A. B.1 C. D.
解析　因為cos（x－）＝cos[（x＋）－]＝sin（x＋），所以f（x）＝（x＋），所以f（x）的最大值為，故選A.
（2）[北京高考]若函數f（x）＝sin（x＋φ）＋cosx的最大值為2，則常數φ的一個取值為?。ù鸢覆晃ㄒ唬?
解析　易知當y＝sin（x＋φ），y＝cosx同時取得最大值1時，函數f（x）＝sin（x＋φ）＋cosx取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cosx，則φ＝＋2kπ，k∈Z，故常數φ的一個取值為.
方法技巧
應用誘導公式的一般思路
（1）化負角為正角，化大角為小角，直到化到銳角；
（2）統一角，統一名；
（3）角中含有的整數倍時，用公式去掉的整數倍.
訓練2 （1）[2023山東省濟寧市模擬]已知cos（－θ）＝，則cos（＋θ）＋
2sin（－θ）的值為?。?　.
解析　原式＝cos[π－（－θ）]＋2sin[＋（－θ）]＝－cos（－θ）－2cos（－θ）＝
－3cos（－θ）＝－1.
（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，則·
tan2（π－α）的值為?。?
解析　原式＝·tan2α＝·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，得x1＝－，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－，∴cosα＝－，∴tan α＝.故原式＝－tan2α＝－.
命題點3　同角三角函數基本關系與誘導公式的綜合應用
例3 （1）[2023陜西模擬]已知0＜α＜，cos（α＋）＝－，則tan （－α）＝（　A?。?br/>A. B.－ C. D.－
解析　由0＜α＜，得＜α＋＜，則sin（α＋）＝＝＝，所以tan（α＋）＝＝－，所以tan（－α）＝tan[π－（α＋）]＝－tan（α＋）＝.故選A.
（2）[全國卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋）＝，則tan（θ－）＝?。?
解析　解法一　因為sin（θ＋）＝，所以cos（θ－）＝sin[＋（θ－）]＝sin（θ＋）＝.因為θ為第四象限角，所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin（θ－）＝－＝－，所以tan（θ－）＝＝－.
解法二　因為θ是第四象限角，且sin（θ＋）＝，所以θ＋為第一象限角，所以
cos（θ＋）＝，所以tan（θ－）＝＝＝－＝－.
方法技巧
利用同角三角函數基本關系與誘導公式解題的基本思路
（1）分析結構特點，尋求條件及所求間的關系，尤其是角之間的關系；
（2）選擇恰當公式，利用公式靈活變形；
（3）化簡求值.
注意?。?）角的范圍會影響三角函數值的符號，開方時要先判斷三角函數值的符號.
（2）化簡過程是恒等變換.
訓練3 [2024安徽省皖江名校聯考]已知在平面直角坐標系中，點M（2，4）在角α終邊上，則＝（　B?。?br/>A. B. C.－ D.－
解析　由題意可得tan α＝2，所以原式＝＝＝＝.故選B.第3講　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與二倍角公式
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
1.知道兩角差余弦公式的意義. 2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系. 和、差、倍角公式的直接應用 2023新高考卷ⅠT8；2021全國卷甲T9；2020全國卷ⅠT9；2020全國卷ⅢT9；2019全國卷ⅡT10 本講每年必考，主要考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的正用、逆用、變形用，主要體現在三角函數式的化簡和求值中.題型以選擇題、填空題為主，有時在解答題中也有應用，難度中等偏易.預計 2025年高考命題趨勢變化不大，在復習備考時要掌握公式及其變形，并能靈活應用，應用時注意角和函數名的變換.
和、差、倍角公式的逆用與變形用 2023新高考卷ⅡT7；2022新高考卷ⅡT6；2022北京T13；2021全國卷乙T6；2020全國卷ⅢT5
角的變換問題 2022浙江T13；2019江蘇T13
1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
S（α±β）：sin（α±β）＝①　sinαcosβ±cosαsinβ　.
C（α±β）：cos（α±β）＝②　cosαcosβ sinαsinβ　.
T（α±β）：tan（α±β）＝③　?。é粒?，α±β≠kπ＋，k∈Z）.
注意　在公式T（α±β）中，α，β，α±β都不等于kπ＋（k∈Z），即保證tan α，
tan β，tan（α±β）都有意義.
2.二倍角公式
S2α：sin 2α＝④　2sinαcosα　.
C2α：cos 2α＝⑤　cos2α－sin2α?。舰蕖?cos2α－1?。舰摺?－2sin2α　.
T2α：tan 2α＝⑧　　（α≠kπ＋且α≠＋，k∈Z）.
（1）對于兩角和的正弦、余弦、正切公式，分別令β＝α，可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.
（2）二倍角是相對的，如是的2倍，3α是的2倍.
3.輔助角公式
asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）（其中a≠0，sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝⑨　　）.
規律總結
1.兩角和與差的正切公式的變形
tan α±tan β＝tan（α±β）（1 tan αtan β）；tan α·tan β＝1－＝－1.
2.降冪公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α.
3.升冪公式：cos 2α＝2cos2α－1；cos 2α＝1－2sin2α.
4.其他常用變式
sin 2α＝；cos 2α＝；tan＝＝；1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2；1－sin 2α＝（sin α－cos α）2.
規律總結
1.積化和差
cos α·cos β＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]；sin α·sin β＝－[cos（α＋β）－cos（α－β）]；
sin α·cos β＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；cos α·sin β＝[sin（α＋β）－sin（α－β）].
2.和差化積
sin α＋sin β＝2sincos；sin α－sin β＝2cossin；
cos α＋cos β＝2coscos；cos α－cos β＝－2sinsin.
注意　和差化積和積化和差公式不要求記憶，可借助推導過程找規律，先得到積化和差的公式，再通過換元得到和差化積的公式.
1.[2023北京海淀區月考]若tan（α－）＝，則tan（α－）的值為（　A?。?br/>A.3 B. C.－3 D.－
解析　因為tan（α－）＝tan[（α－）－]＝＝，所以tan（α－）＝3.
2.已知sin α＝，α∈（，π），則cos（－α）的值為　　.
解析　∵sin α＝，α∈（，π），∴cos α＝－＝－＝－，
∴cos（－α）＝cos cos α＋sin sin α＝×（－）＋×＝.
3.[全國卷Ⅱ]若sin x＝－，則cos 2x＝　　.
解析　cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×（－）2＝.
4.[易錯題]＝　　.
解析?。剑絫an（45°＋15°）＝tan 60°＝ .
5.若sin x－cos x＝2sin（x－φ），φ＞0，則φ的最小值為　　.
解析　因為sin x－cos x＝2（sin x－cos x）＝2（sin xcosφ－cos xsinφ），所以cos φ＝，sin φ＝.因為φ＞0，所以φ的最小值為.
6.[積化和差]函數f（x）＝sin（x＋）cos x的最小值為?。?
解析　因為f（x）＝[sin（x＋＋x）＋sin（x＋－x）]＝sin（2x＋）＋，所以函數
f（x）的最小值為－＋.
7.[和差化積]在△ABC中， sin A＝cos B＋cos C，則△ABC的形狀是　直角三角形　.
解析　cos B＋cos C＝2cos·cos＝2sin·cos.
因為sin A＝cos B＋cos C，所以2sincos＝2sin·cos，
因為sin≠0，所以cos＝cos，易得與均小于，所以＝，即A＝｜B－C｜，
所以A＋C＝B或A＋B＝C，即π－B＝B或π－C＝C，即B＝或C＝，所以△ABC是直角三角形.
研透高考 明確方向
命題點1　和、差、倍角公式的直接應用
例1 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知sin（α－β）＝，cos αsin β＝，則cos（2α＋2β）＝（　B?。?br/>A. B. C.－ D.－
解析　依題意，得所以sin αcos β＝，所以sin（α＋β）＝
sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos（2α＋2β）＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×（）2＝，故選B.
（2）[全國卷Ⅲ]已知2tan θ－tan（θ＋）＝7，則tan θ＝（　D　）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
解析　由已知得2tan θ－＝7，得tan θ＝2.
方法技巧
應用和、差、倍角公式化簡求值的策略
（1）首先要記住公式的結構特征和符號變化規律，例如兩角和與差的余弦公式可簡記為“同名相乘，符號反”；
（2）注意與同角三角函數基本關系、誘導公式的綜合應用；
（3）注意配方法、因式分解和整體代換思想的應用.
訓練1 （1）[全國卷Ⅰ]已知α∈（0，π），且3cos 2α－8cos α＝5，則sin α＝（　A?。?br/>A. B. C. D.
解析　∵3cos 2α－8cos α＝5，∴3（2cos2α－1）－8cos α＝5，∴6cos2α－8cos α－8＝0，∴3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2（舍去）或cos α＝－.∵α∈（0，π），∴sin α＝＝.故選A.
（2）[2024廣西玉林市聯考]已知cos（α＋β）＝，cos αcos β＝，則cos（2α－2β）＝（　B　）
A.－ B.－ C. D.
解析　由cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β，即＝－sin αsin β，可得sin α·sin β＝，則cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsinβ＝＋＝，所以cos（2α－2β）＝2cos2（α－β）－1＝2×（）2－1＝－.故選B.
命題點2　和、差、倍角公式的逆用與變形用
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知α為銳角，cos α＝，則sin ＝（　D?。?br/>A. B. C. D.
解析　cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝（）2，又α為銳角，所以sin＞0，所以sin＝，故選D.
（2）[2021全國卷乙]cos2－cos2＝（　D?。?br/>A. B. C. D.
解析　解法一　原式＝－＝＝.
解法二　因為cos＝sin（－）＝sin，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝
cos（2×）＝cos＝.故選D.
（3）[2022新高考卷Ⅱ]若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cos（α＋）sin β，則（　C　）
A.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1
C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1
解析　sin （α＋β）＋cos （α＋β）＝sin （α＋β＋）＝2sin βcos （α＋），所以
sin（α＋）cos β＋sin βcos（α＋）＝2sin βcos （α＋），整理得sin（α＋）cos β－
sin βcos（α＋）＝0，即sin（α＋－β）＝0，所以α－β＋＝kπ，k∈Z，所以tan（α－β）＝tan（kπ－）＝－1.
方法技巧
1.運用兩角和與差的三角函數公式時，要熟悉公式的正用、逆用及變形用，如tan α＋
tan β＝tan（α＋β）·（1－tan αtan β）和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形用更能拓展思路，培養從正向思維向逆向思維轉化的能力.
2.對asinx＋bcosx化簡時，輔助角φ的值如何求要清楚.
訓練2 （1）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，則tan Atan B的值為（　B　）
A. B. C. D.
解析　解法一　由題意得tan（A＋B）＝－tan C＝－tan 120°＝，所以tan（A＋B）＝＝，即＝，解得tan Atan B＝，故選B.
解法二　由已知，可取A＝B＝30°，則tan Atan B＝×＝，故選B.
（2）[2022北京高考]若函數f（x）＝Asin x－cos x的一個零點為，則A＝　1??；
f（）＝　－　.
解析　依題意得f（）＝A×－×＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sin x－cos x＝
2sin（x－），所以f（）＝2sin（－）＝－.
命題點3　角的變換問題
例3 （1）[2024山東省部分學校聯考]已知sin（x＋）＝－，則cos（－2x）＝（　C?。?br/>A. B. C.－ D.－
解析　因為sin（x＋）＝－，所以cos（－2x）＝cos（π－－2x）＝－cos（＋2x）＝－[1－2sin2（x＋）]＝－[1－2×（－）2]＝－.故選C.
（2）若tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，則tan（α＋β）＝?。?　，tan α＝　　.
解析　因為tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，所以tan（α＋β）＝tan（α＋2β－β）＝＝＝－1，tan α＝tan（α＋β－β）＝＝.
方法技巧
角的變換問題的解題思路
1.當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和差倍半的形式.
2.當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和差倍半的關系，注意換元思想的應用.
3.常見的配角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；15°＝45°－30°；＋α＝－（－α）等.
訓練3 （1）[2024江蘇省南通市學情檢測]已知sin（α＋）＝，則sin（－2α）＝（　C　）
A.－ B. C.－ D.
解析　設α＋＝t，則α＝t－，sin t＝，∴sin（－2α）＝sin[－2（t－）]＝sin（－2t）＝cos 2t＝1－2sin2t＝1－2×（）2＝－，故選C.
（2）[2024遼寧省遼東南協作體聯考]已知＜α＜，0＜β＜，cos（－α）＝，sin（＋β）＝，則sin（α＋β）的值為　　.
解析　∵＜α＜，0＜β＜，∴－＜－α＜0，＜＋β＜π，∴sin（－α）＝
－＝－，cos（＋β）＝－＝－，∴sin（α＋β）＝－cos[＋（α＋β）]＝－cos[（＋β）－（－α）]＝－cos（＋β）cos（－α）－sin（＋β）sin（－α）＝×－×（－）＝.第4講　簡單的三角恒等變換
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
能運用和、差、倍角公式進行簡單的恒等變換（包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）. 三角函數式的化簡 2021新高考卷ⅠT6；2021全國卷甲T9 本講每年必考，主要考查利用三角函數的基本關系、誘導公式以及和、差、倍角公式進行化簡求值.題型以選擇題、填空題為主，有時在解答題中也有應用，難度中等偏易.預計2025年高考命題趨勢變化不大，在復習備考時要掌握公式及其變形，并能靈活應用，應用時注意角和函數名的變換.
三角函數式的求值 2022浙江T13；2021新高考卷ⅠT6；2021全國卷乙T6；2020全國卷ⅠT9；2020全國卷ⅢT9；2019全國卷ⅡT10
命題點1　三角函數式的化簡
例1 （1）[2021全國卷甲]若α∈（0，），tan 2α＝，則tan α＝（　A?。?br/>A. B. C. D.
解析　因為tan 2α＝＝，且tan 2α＝，所以＝，由α∈（0，）得cos α≠0，解得sin α＝，cos α＝，tan α＝＝.故選A.
（2）化簡：＝　1　.
解析　原式＝＝＝＝＝1.
方法技巧
化簡三角函數式的方法與技巧
1.三角函數式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結構特征.
2.化簡時要注意觀察條件中角之間的聯系（和、差、倍、互余、互補等），尋找式子與三角函數公式間的聯系，找到變形方向.
訓練1 [2021新高考卷Ⅰ]若tan θ＝－2，則＝（　C?。?br/>A.－ B.－ C. D.
解析　解法一　因為tan θ＝－2，所以＝＝sin θ（sin θ＋
cos θ）＝＝＝＝.故選C.
解法二　因為tan θ＝－2，所以角θ的終邊在第二或第四象限，
所以或所以＝＝sin θ（sin θ＋
cos θ）＝sin2θ＋sin θcosθ＝－＝.故選C.
命題點2　三角函數式的求值
角度1　給角求值
例2 （1）sin 50°（1＋tan 10°）＝　1　.
解析　sin 50°（1＋tan 10°）＝sin 50°（1＋tan 60°tan 10°）＝
sin 50°×＝sin 50°×＝＝＝＝1.
（2）sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝　　.
解析　原式＝cos 20°·cos 40°·cos 80°＝＝＝.
方法技巧
給角求值問題的解題策略
一般給出的角都是非特殊角，求解時要觀察所給角與特殊角的關系及三角函數名稱，然后進行角的變換和式子結構的變換，通過公式的正用、逆用及變形化簡求值.
注意　當式子中出現，1，，等數時，要考慮引入特殊角，通過“值變角”化簡計算.
角度2　給值求值
例3 （1）[2022浙江高考]若3sin α－sin β＝，α＋ β＝，則sin α＝　　，cos 2 β＝　　.
解析　因為α＋ β＝，所以 β＝－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin（－α）＝3sin α－cos α＝sin（α－φ）＝，其中sin φ＝，cos φ＝，所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sin α＝sin（＋φ＋2kπ）＝cos φ＝，k∈Z.因為sin β＝3sin α－＝－，所以cos 2 β＝1－2sin2 β＝1－＝.
（2）[江蘇高考]已知＝－，則sin（2α＋）的值是　　.
解析　解法一?。剑剑剑?，解得tan α＝2或tan α＝－.
當tan α＝2時，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此時sin 2α＋cos 2α＝.同理當tan α＝－時，sin 2α＝－，cos 2α＝，此時sin 2α＋cos 2α＝，所以sin（2α＋）＝（sin 2α＋cos 2α）＝.
解法二?。剑剑?，則sin αcos（α＋）＝－cos αsin（α＋），又＝sin[（α＋）－α]＝sin（α＋）cos α－cos（α＋）·sin α＝sin（α＋）cos α，則sin（α＋）cos α＝，則sin（2α＋）＝sin[（α＋）＋α]＝sin（α＋）cos α＋cos（α＋）sin α＝sin（α＋）·cos α＝×＝.
方法技巧
給值求值問題的解題策略
1.將待求式子化簡整理，看需要求相關角的哪些三角函數值，然后根據已知條件和角的范圍求出相應角的三角函數值，代入即可.
2.把已知角與未知角建立聯系求解.求解時要注意，角的范圍不確定時應分類討論.
角度3　給值求角
例4 （1）若sin 2α＝，sin（ β－α）＝，且α∈[，π]， β∈[π，]，則α＋ β的值是（　A?。?br/>A. B.
C.或 D.或
解析　因為α∈[，π]，所以2α∈[，2π].又sin 2α＝，所以2α∈（，π），α∈（，），所以cos 2α＝－＝－.因為 β∈[π，]，所以α＋ β∈（π，2π）， β－α∈（，），所以cos（ β－α）＝－＝－，所以cos（α＋ β）＝cos[2α＋（ β－α）]＝cos 2αcos（ β－α）－sin 2α·sin（ β－α）＝－×（－）－×＝.又α＋ β∈（，2π），所以α＋ β＝.
（2）已知α， β為銳角，且（1－tan α）（1－tan β）＝4，則α＋ β＝　　.
解析　將（1－tan α）（1－tan β）＝4展開，得－（tan α＋tan β）＝3（1－
tan α·tan β），即＝tan（α＋ β）＝－，由于α， β為銳角，所以0＜α＋ β＜π，故α＋ β＝.
方法技巧
給值求角問題的解題策略
1.給值求角問題可轉化為給值求值問題，通過求角的某個三角函數值來求角（注意角的范圍），在選取函數時，遵循以下原則.
（1）已知正切函數值，選正切函數.
（2）已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數.若角的范圍是（0，），選正、余弦函數皆可；若角的范圍是（0，π），選余弦函數較好；若角的范圍為（－，），選正弦函數較好.
注意　所選函數盡量在確定的角的范圍內單調，即一個函數值只對應一個角，避免產生多解.
2.準確縮小角的范圍也是求解的關鍵.常見的縮小角范圍的方法：一是靈活運用條件中角的取值范圍，運用不等式的性質（如“同向可加性”）求解；二是可以根據三角函數值的符號縮小角的范圍；三是可以把已知三角函數值與特殊角的三角函數值比較，縮到更小的范圍.
訓練2 （1）[2024湖南省長沙市第一中學模擬]已知0＜ β＜α＜，且cos（α－ β）＝，cos 2 β＝，則cos（α＋ β）＝（　A　）
A. B. C. D.
解析　由0＜ β＜α＜，得0＜α－ β＜，又cos（α－ β）＝，所以sin（α－ β）＝＝，因為0＜2 β＜π，cos 2 β＝，所以sin 2 β＝＝，所以
cos（α＋ β）＝cos[（α－ β）＋2 β]＝cos（α－ β）cos 2 β－sin（α－ β）sin 2 β＝×－×＝.故選A.
（2）[2024 河南省南陽市第一中學質量評估]已知tan α＝，sin β＝，α， β∈（0，），則α＋2 β＝　　.
解析　因為tan α＝，α是銳角，所以0＜α＜，因為sin β＝， β為銳角，所以0＜ β＜，0＜α＋2 β＜，因為sin β＝，所以cos β＝，tan β＝，則tan 2 β＝＝＝，tan（α＋2 β）＝＝＝1，故α＋2 β＝.
（3）（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝　2　.
解析　由題意知，（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°.因為tan 20°＋tan 25°＝tan 45°（1－tan 20°tan 25°）＝1－tan 20°tan 25°，所以（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.第5講　三角函數的圖象與性質
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
1.借助單位圓能畫出三角函數（正弦、余弦、正切）的圖象，了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大（?。┲? 2.借助圖象理解正弦函數、余弦函數在[0，2π]上，正切函數在（－，）上的性質. 三角函數的定義域 本講每年必考，主要考查三角函數的定義域、值域（最值）、周期性、單調性、對稱性和奇偶性，有時與函數零點和極值點綜合命題，題型以選擇題和填空題為主，難度中等.預計2025年高考命題趨勢變化不大，備考時要注意區分正弦函數和余弦函數的圖象與性質，不要混淆，另應關注新角度、新綜合問題.
三角函數的值域（最值） 2021全國卷乙T4
三角函數的性質及應用 2023新高考卷ⅠT15；2023全國卷乙T6；2023天津T5；2022新高考卷ⅠT6；2022全國卷乙T15；2022全國卷甲T11；2022北京T5；2021新高考卷ⅠT4；2020全國卷ⅢT16；2019全國卷ⅠT11；2019全國卷ⅡT9
1.用“五點法”作正弦函數和余弦函數的簡圖
在正弦函數y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象上，起關鍵作用的五個點是（0，0），（，1），①?。é?，0）　，（，－1），②?。?π，0）　.
在余弦函數y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象上，起關鍵作用的五個點是（0，1），（，0），③　（π，－1）　，（，0），④?。?π，1）　.
五點法作圖有三步：列表、描點、連線（注意光滑）.
2.正弦、余弦、正切函數的圖象與性質
三角函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R ⑤　{x｜x≠kπ＋，k∈Z}　
值域 ⑥　[－1，1]　 ⑦　[－1，1]　 R
周期性 周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑧　2π　. 周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑨　2π　. 周期是kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑩　π　.
對稱性 對稱軸方程是 　x＝kπ＋　（k∈Z），對稱中心是 ?。╧π，0）　（k∈Z）. 對稱軸方程是 　x＝kπ?。╧∈Z），對稱中心是 　（kπ＋，0）?。╧∈Z）. 無對稱軸，對稱中心是 ?。?，0）　（k∈Z）.
奇偶性 　奇函數　 　偶函數　 　奇函數　
單調性 在 　[－＋2kπ，＋2kπ]　（k∈Z）上單調遞增，在 　[＋2kπ，＋2kπ]?。╧∈Z）上單調遞減. 在 　[2kπ－π，2kπ]?。╧∈Z）上單調遞增，在 　[2kπ，2kπ＋π]?。╧∈Z）上單調遞減. 在 ?。ǎ玨π，＋kπ）?。╧∈Z）上單調遞增.
注意　y＝tan x在其定義域內不單調.
常用結論
1.三角函數的對稱性與周期T的關系
（1）相鄰的兩條對稱軸（或兩個對稱中心）之間的距離為；
（2）相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離為；
（3）相鄰的兩個最低點（或最高點）之間的距離為T.
2.與三角函數奇偶性有關的結論
（1）若函數y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）是奇函數，則φ＝kπ（k∈Z）；若為偶函數，則φ＝kπ＋（k∈Z）.
（2）若函數y＝Acos（ωx＋φ）（x∈R）是奇函數，則φ＝kπ＋（k∈Z）；若為偶函數，則φ＝kπ（k∈Z）.
（3）若y＝Atan（ωx＋φ）為奇函數，則φ＝kπ（k∈Z）.
1.設A是△ABC最小的內角，則sin A＋cos A的取值范圍是（　D?。?br/>A.（－，） B.[－，] C.（1，） D.（1，]
解析　∵A是△ABC最小的內角，∴0＜A≤，∴＜A＋≤，∴＜sin（A＋）≤1，則
sin A＋cos A＝sin（A＋）∈（1，]，故選D.
2.函數f（x）＝tan（－4x＋）的最小正周期為（　A　）
A. B. C.π D.2π
解析　函數f（x）＝tan（－4x＋）的最小正周期T＝＝＝.
3.[全國卷Ⅱ]若x1＝，x2＝是函數f（x）＝sin ωx（ω＞0）兩個相鄰的極值點，則ω＝（　A　）
A.2 B. C.1 D.
解析　依題意得函數f（x）的最小正周期T＝＝2×（－）＝π，解得ω＝2，選A.
4.函數f（x）＝sin（x－）的圖象的一條對稱軸的方程是（　C?。?br/>A.x＝ B.x＝ C.x＝－ D.x＝－
解析　函數y＝sin x的圖象的對稱軸方程為x＝kπ＋（k∈Z），令x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝kπ＋（k∈Z），故函數f（x）＝sin（x－）的圖象的對稱軸方程為x＝kπ＋（k∈Z）.令k＝－1，得x＝－.故選C.
5.[易錯題]函數y＝2sin（－x＋）（x∈[－π，0]）的單調遞增區間是（　A?。?br/>A.[－π，－] B.[－，－] C.[－，0] D.[－，0]
解析　令＋2kπ≤－x＋≤＋2kπ，k∈Z，則－－2kπ≤x≤－－2kπ，k∈Z.又x∈[－π，0]，所以所求單調遞增區間為[－π，－].
6.函數f（x）＝tan（3x＋）的圖象的對稱中心為?。ǎ?）（k∈Z）　.
解析　令3x＋＝，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，
所以f（x）的圖象的對稱中心為（－，0），k∈Z.
研透高考 明確方向
命題點1　三角函數的定義域
例1 函數y＝lg（sin x）＋的定義域為　{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}　.
解析　要使函數有意義，則解得所以2kπ＜x≤＋2kπ（k∈Z），所以函數的定義域為{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}.
方法技巧
求三角函數的定義域實質上是解不等式或不等式組，常借助于三角函數的圖象解決.
訓練1 函數f（x）＝的定義域為　{x｜x≠，k∈Z}　.
解析　tan 2x，tan x有意義，則k∈Z，又tan 2x－tan x≠0，即－
tan x≠0，則tan x≠0，即x≠kπ，k∈Z，綜上可得，x≠，k∈Z，則函數f（x）的定義域為{x｜x≠，k∈Z}.
命題點2　三角函數的值域（最值）
例2 （1）[2021全國卷乙]函數f（x）＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分別是（　C?。?br/>A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和2
解析　因為函數f（x）＝sin＋cos＝（sincos＋cossin）＝sin（＋），所以函數f（x）的最小正周期T＝＝6π，最大值為.故選C.
（2）已知函數f（x）＝cos（2x＋）＋2的定義域為[α，π]，值域為[，3]，則α的取值范圍是（　C?。?br/>A.[，π] B.[0，] C.[，] D.[，]
解析　由題意知，2x＋∈[2α＋，]，且y＝cos（2x＋）在[α，π]上的值域為[，1]，∴2α＋≥，且2α＋≤2π，解得≤α≤，∴α的取值范圍是[，]，故選C.
方法技巧
三角函數值域的不同求法
1.把所給的三角函數式變換成y＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式求值域.
2.把sin x或cos x看作一個整體，轉換成二次函數求值域.
3.利用sin x±cosx和sin xcosx的關系轉換成二次函數求值域.
訓練2 （1）[2023四川省模擬]已知函數f（x）＝cos2x＋sin x－的定義域為[0，m]，值域為[，1]，則實數m的最大值為（　A?。?br/>A.π B. C. D.
解析　由已知，得f（x）＝cos2x＋sin x－＝1－sin2x＋sin x－＝－sin2x＋sin x＋，令t＝sin x，函數f（x）可轉換為y＝－t2＋t＋＝－（t－）2＋1，因為y∈[，1]，所以根據二次函數的圖象與性質可得t∈[0，1]，即sin x∈[0，1]，又x∈[0，m]，所以根據三角函數的圖象與性質可得m∈[，π]，所以實數m的最大值為π，故選A.
（2）函數y＝sin x－cos x＋sin xcosx的值域為　[－－，1]　.
解析　令sin x－cos x＝t，則t＝sin（x－），t∈[－，]，t2＝sin2x＋cos2x－
2sin xcosx，故sin xcosx＝，所以y＝t＋＝－（t－1）2＋1，所以當t＝1時，函數有最大值1；當t＝－時，函數有最小值－－，即值域為[－－，1].
命題點3　三角函數的性質及應用
角度1　三角函數的周期性
例3 （1）[2023天津高考]已知函數f（x）圖象的一條對稱軸為直線x＝2，f（x）的一個周期為4，則f（x）的解析式可能為（　B?。?br/>A.f（x）＝sin（x） B.f（x）＝cos（x）
C.f（x）＝sin（x） D.f（x）＝cos（x）
解析　對于A，f（x）＝sin（x），其最小正周期為＝4，因為f（2）＝sin π＝0，所以函數f（x）＝sin（x）的圖象不關于直線x＝2對稱，故排除A；對于B，f（x）＝
cos（x），其最小正周期為＝4，因為f（2）＝cos π＝－1，所以函數f（x）＝
cos（x）的圖象關于直線x＝2對稱，故選項B符合題意；對于C，D，函數y＝sin（x）和y＝cos（x）的最小正周期均為＝8，均不符合題意，故排除C，D.綜上，選B.
（2）[全國卷Ⅲ]函數f（x）＝的最小正周期為（　C?。?br/>A. B. C.π D.2π
解析　f（x）＝＝＝＝sin xcosx＝sin 2x，所以f（x）的最小正周期T＝＝π.故選C.
方法技巧
1.求三角函數周期的基本方法
（1）定義法.（2）公式法：函數y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ））的最小正周期T＝，函數y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝.（3）圖象法：求含有絕對值符號的三角函數的周期時可畫出函數的圖象，通過觀察圖象得出周期.
2.有關周期的2個結論
（1）函數y＝｜Asin（ωx＋φ）｜，y＝｜Acos（ωx＋φ）｜，y＝｜Atan（ωx＋φ）｜的最小正周期T均為.
（2）函數y＝｜Asin（ωx＋φ）＋b｜（b≠0），y＝｜Acos（ωx＋φ）＋b｜（b≠0）的最小正周期T均為.
角度2　三角函數的單調性
例4 （1）[2022北京高考]已知函數f（x）＝cos2x－sin2x，則（　C　）
A.f（x）在（－，－）上單調遞減
B.f（x）在（－，）上單調遞增
C.f（x）在（0，）上單調遞減
D.f（x）在（，）上單調遞增
解析　依題意可知f（x）＝cos2x－sin2x＝cos 2x，對于A，因為x∈（－，－），所以2x∈（－π，－），函數f（x）＝cos 2x在（－，－）上單調遞增，所以A不正確；對于B，因為x∈（－，），所以2x∈（－，），函數f（x）＝cos 2x在（－，）上不單調，所以B不正確；對于C，因為x∈（0，），所以2x∈（0，），函數f（x）＝cos 2x在（0，）上單調遞減，所以C正確；對于D，因為x∈（，），所以2x∈（，），函數f（x）＝cos 2x在（，）上不單調，所以D不正確.故選C.
（2）[全國卷Ⅱ]若f（x）＝cos x－sin x在[－a，a]上是減函數，則a的最大值是（　A?。?br/>A. B. C. D.π
解析　f（x）＝cos x－sin x＝cos（x＋），因為函數y＝cos x在區間[0，π]上單調遞減，則由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因為f（x）在[－a，a]上是減函數，｜－｜＜，所以
－a≥－，解得a≤.又區間[－a，a]有意義時，a＞0，所以0＜a≤，所以a的最大值是.
方法技巧
三角函數單調性問題的常見類型及求解策略
常見類型 求解策略
已知三角函數解析式求單調區間 （1）將函數化簡為“一角一函數”的形式，如y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）； （2）利用整體思想，視“ωx＋φ”為一個整體，根據y＝sin x的單調區間列不等式求解.對于y＝Acos（ωx＋φ），y＝Atan（ωx＋φ），可以利用類似方法求解. 注意　求函數y＝Asin（ωx＋φ）＋b的單調區間時要先看A和ω的符號，盡量化成ω＞0的形式，避免出現增減區間的混淆.
已知三角函數的單調性求參數 （1）求出原函數的相應單調區間，由已知區間是求出的單調區間的子集，列不等式（組）求解. （2）由所給區間求出“ωx＋φ”的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集，列不等式（組）求解.
角度3　三角函數的奇偶性與對稱性
例5 （1）[2022全國卷甲]將函數f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的圖象向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則ω的最小值是（　C?。?br/>A. B. C. D.
解析　記曲線C的函數解析式為g（x），則g（x）＝sin[ω（x＋）＋]＝sin[ωx＋（ω＋）].因為函數g（x）的圖象關于y軸對稱，所以ω＋＝kπ＋（k∈Z），得ω＝2k＋（k∈Z）.因為ω＞0，所以ωmin＝.故選C.
（2）[2022新高考卷Ⅰ]記函數f（x）＝sin（ωx＋）＋b（ω＞0）的最小正周期為T.若＜T＜π，且y＝f（x）的圖象關于點（，2）中心對稱，則f（）＝（　A　）
A.1 B. C. D.3
解析　因為＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因為y＝f（x）的圖象關于點（，2）中心對稱，所以b＝2，且sin（ω＋）＋b＝2，即sin（ω＋）＝0，所以ω＋＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以
f（x）＝sin（x＋）＋2，所以f（）＝sin（×＋）＋2＝sin ＋2＝1.故選A.
方法技巧
1.三角函數圖象的對稱軸和對稱中心的求解方法：對于函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0），令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求出對稱軸方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求出對稱中心的橫坐標（縱坐標為0）.對于y＝Acos（ωx＋φ），y＝Atan（ωx＋φ），可以利用類似方法求解（注意y＝Atan（ωx＋φ）的圖象無對稱軸）.
說明　選擇題可以通過驗證f（x0）的值進行判斷，即f（x0）＝±A x＝x0是函數f（x）圖象的對稱軸方程；f（x0）＝0 點（x0，0）是函數f（x）圖象的對稱中心.
2.三角函數中奇函數一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函數一般可化為y＝Acosωx＋b的形式.
訓練3 （1）[2023全國卷乙]已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ）在區間（，）單調遞增，直線x＝和x＝為函數y＝f（x）的圖象的兩條相鄰對稱軸，則f（－）＝（　D?。?br/>A.－ B.－ C. D.
解析　由題意得×＝－＝，解得｜ω｜＝2，易知x＝是f（x）的最小值點.若ω＝2，則×2＋φ＝－＋2kπ（k∈Z），得φ＝－＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝sin（2x－＋2kπ）＝sin（2x－），f（－）＝sin（－×2－）＝sin（－）＝sin＝；若ω＝
－2，則×（－2）＋φ＝－＋2kπ（k∈Z），得φ＝－＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝
sin（－2x－＋2kπ）＝sin（－2x－）＝sin（2x－π），所以f（－）＝.故選D.
（2）在函數①y＝cos｜2x｜，②y＝｜cos x｜，③y＝cos（2x＋），④y＝tan（2x－）中，最小正周期為π的所有函數為（　A　）
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
解析　對于①，y＝cos｜2x｜＝cos 2x，其最小正周期為＝π；對于②，y＝｜cos x｜的最小正周期為π；對于③，y＝cos（2x＋）的最小正周期為＝π；對于④，y＝tan（2x－）的最小正周期為.所以最小正周期為π的所有函數為①②③.
（3）函數f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）為偶函數，則φ＝　　，f（x）圖象的對稱中心為?。ǎ?，1），k∈Z　.
解析　∵f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1為偶函數，∴－＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又φ∈（0，π），∴φ＝，∴f（x）＝3sin（2x＋）＋1＝3cos 2x＋1.由2x＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，∴f（x）圖象的對稱中心為（＋，1），k∈Z.第6講　函數y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的圖象及其應用
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
1.結合具體實例，了解y＝Asin（ωx＋φ）的實際意義；能借助圖象理解參數ω，φ，A的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響. 2.會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型. 三角函數的圖象及變換 2023全國卷甲T10；2021全國卷乙T7 本講是高考命題熱點，主要考查三角函數的圖象變換，根據圖象求解析式，圖象和性質的綜合應用以及三角函數模型的應用.題型以選擇題和填空題為主，難度中等.在2025年的高考備考中要掌握三角函數的圖象及其變換技巧，并能從已知圖象中識別出有效信息進行求解，同時關注命題新角度、新綜合以及三角函數模型的應用問題.
由圖象確定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 2023新高考卷ⅡT16；2021全國卷甲T16；2020新高考卷ⅠT10
三角函數的圖象與性質的綜合應用 2022新高考卷ⅡT9；2022天津T9；2019全國卷ⅢT12
三角函數模型的應用
1.用“五點法”作y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的圖象
設X＝ωx＋φ，由X取0，，π，，2π求出相應的x，通過列表（如下表所示），計算得出五點坐標，描點連線后得出圖象.
X＝ωx＋φ 0 π 2π
x － ①　　 ②　　 ③　　 ④　　
y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0
2.三角函數的圖象變換
函數y＝sin x的圖象通過變換得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ≠0）的圖象的兩種方法：
辨析比較
圖象兩種變換方法的區別與聯系
區別 先平移變換（左右平移）再周期變換（伸縮變換），平移的量是｜φ｜個單位長度，而先周期變換（伸縮變換）再平移變換（左右平移），平移的量是個單位長度.
聯系 兩種變換方法都是針對x而言的，即x本身加減多少，而不是ωx加減多少.平移規律：“左加右減，上加下減”，前提是先把x的系數提取出來.
3.函數y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的物理意義
y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0， x≥0）表示一個振動量時 振幅 周期 頻率 相位 初相
A ⑩　T＝　 f＝＝ 　ωx＋φ　 φ
注意　要求一個函數的初相，應先將函數解析式化成f（x）＝Asin（ωx＋φ）的形式（其中A＞0，ω＞0）.
1.要得到f（x）＝cos2x－sin2x的圖象，只需要將g（x）＝cos（2x＋）的圖象（　D　）
A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度
解析　f（x）＝cos2x－sin2x＝cos 2x，g（x）＝cos（2x＋）＝cos[2（x＋）]，故只需將g（x）的圖象向右平移個單位長度即可.
2.函數y＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）在一個周期內的圖象如圖所示，則此函數的解析式是（　B　）
A.y＝2sin（2x－） B.y＝2sin（2x＋）
C.y＝2sin（x＋） D.y＝2sin（＋）
解析　設函數的最小正周期為T，由圖象可知，＝－＝，∴T＝π.由T＝，得ω＝2，∴y＝2sin（2x＋φ）.∵點（，2）在函數圖象上，∴2＝2sin（2×＋φ），∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又｜φ｜＜，∴φ＝，故解析式為y＝2sin（2x＋）.
3.[2024江蘇淮安模擬]某個彈簧振子做簡諧運動，已知在完成一次全振動的過程中，時間t（單位：s）與位移y（單位：cm）之間滿足函數關系：y＝sin t＋cos（t－），則這個簡諧運動的振幅是（　C?。?br/>A.1 cm B.2 cm C. cm D.2 cm
解析　因為y＝sin t＋cos（t－）＝sin t＋cos tcos＋sin tsin＝sin t＋cos t＝sin（t＋），所以這個簡諧運動的振幅是cm.故選C.
4.用“五點法”畫y＝2sin（2x＋）在一個周期內的簡圖時，所描的五個點分別是（－，0），（，2），（，0），（，－2），?。?，0）　.
解析　令2x＋＝2π，則解得x＝，故最后一個關鍵點是（，0）.
研透高考 明確方向
命題點1　三角函數的圖象及變換
例1 （1）[2021全國卷乙]把函數y＝f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數y＝sin（x－）的圖象，則f（x）＝（　B?。?br/>A.sin（－） B.sin（＋）
C.sin（2x－） D.sin（2x＋）
解析　依題意，將y＝sin（x－）的圖象向左平移個單位長度，再將所得曲線上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，得到f（x）的圖象，所以y＝sin（x－）的圖象y＝sin（x＋）的圖象f（x）＝sin（＋）的圖象.
（2）[2023全國卷甲]函數y＝f（x）的圖象由函數y＝cos（2x＋）的圖象向左平移個單位長度得到，則y＝f（x）的圖象與直線y＝x－的交點個數為（　C?。?br/>A.1 B.2 C.3 D.4
解析　把函數y＝cos（2x＋）的圖象向左平移個單位長度后得到函數f（x）＝cos[2（x＋）＋]＝cos（2x＋）＝－sin 2x的圖象.作出函數f（x）的部分圖象和直線y＝x－，如圖所示.觀察圖象知，共有3個交點.故選C.
方法技巧
（1）當x的系數不等于1時，注意先伸縮后平移和先平移后伸縮的區別，同時也要分清哪個是原始函數（圖象），哪個是平移后的函數（圖象）.
（2）如果平移前后兩個圖象對應的函數名稱不一致，應先利用誘導公式化為同名函數.
訓練1 （1）[2023江西南昌聯考]為了得到函數y＝2cos（2x－）的圖象，只需將函數y＝2sin x（　A?。?br/>A.圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度
B.圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向左平移個單位長度
C.圖象向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
D.圖象向左平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
解析　將函數y＝2sin x＝2cos（x－）的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數y＝2cos（2x－）的圖象，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數y＝2cos[2（x－）－]＝2cos（2x－）的圖象，故A正確，B錯誤.
將函數y＝2sin x＝2cos（x－）的圖象上所有的點向右平移個單位長度得到函數y＝
2cos（x－－）＝2cos（x－）的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數y＝2cos（2x－）的圖象，故C，D錯誤.故選A.
（2）[2023鄭州二模]將函數y＝sin（2x＋）圖象上的點A（m，n）向右平移個周期（最小正周期）得到點A'，若A'位于函數y＝cos 2x的圖象上，則m的值可以是（　D　）
A. B. C. D.
解析　函數y＝sin（2x＋）的最小正周期T＝＝π，設A'（m'，n'），由題知將點
A（m，n）向右平移個單位長度得到點A'（m'，n'），則因為A'位于函數y＝cos 2x的圖象上，所以n'＝cos 2m'，所以n＝cos 2（m＋），又n＝sin（2m＋），所以sin（2m＋）＝cos 2（m＋）＝cos（2m＋）＝－sin 2m，即sin 2mcos＋cos 2msin＝
－sin 2m，化簡得sin 2m＝－cos 2m，所以tan 2m＝－，故2m＝－＋kπ（k∈Z），
m＝－＋（k∈Z），當k＝1時，m＝，故選D.
命題點2　由圖象確定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ），如圖，A，B是直線y＝與曲線y＝f（x）的兩個交點，若｜AB｜＝，則
f（π）＝?。?
解析　對比正弦函數y＝sin x的圖象，不妨設點（，0）為“五點作圖法”中的第五個點，所以ω＋φ＝2π?、?設A，B的橫坐標分別為xA，xB，由題知｜AB｜＝xB－xA＝，兩式相減，得ω（xB－xA）＝，即ω＝，解得ω＝4.代入①，得φ＝
－，所以f（π）＝sin（4π－）＝－sin＝－.
（2）[2021全國卷甲]已知函數f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分圖象如圖所示，則滿足條件（f（x）－f（－））（f（x）－f（））＞0的最小正整數x為　2　.
解析　由題圖可知，T＝－＝（T為f（x）的最小正周期），解得T＝π，所以ω＝±2.
當ω＝－2時，f（x）＝2cos（－2x＋φ），因為＋＝＋＝π，所以函數f（x）的圖象經過點（π，－1），所以2cos（－2×π＋φ）＝－1，所以－2×π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，令k＝－1，則φ＝，所以f（x）＝2cos（－2x＋）＝2cos（2x－）.
當ω＝2時，f（x）＝2cos（2x＋φ）.點（，0）可看作“五點作圖法”中的第二個點，則2×＋φ＝，得φ＝－，所以f（x）＝2cos（2x－）.
綜上，f（－）＝2cos[2×（－）－]＝2cos（－）＝2cos ＝1，f（）＝2cos（2×－）＝2cos＝0，所以（f（x）－f（－））（f（x）－f（））＞0，即（f（x）－1）
·f（x）＞0，可得f（x）＞1或f（x）＜0，所以cos（2x－）＞或cos（2x－）＜0.
當cos（2x－）＜0時，＋2kπ＜2x－＜＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，此時最小正整數x為2.當cos（2x－）＞時，－＋2kπ＜2x－＜＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，此時最小正整數x為3.綜上，最小正整數x為2.
方法技巧
確定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的解析式的步驟與方法
（1）求A，b.確定函數的最大值M和最小值m，則A＝，b＝.
（2）求ω.確定函數的最小正周期T，則ω＝.
（3）求φ.常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入（此時要注意該點在上升區間上還是在下降區間上）或把圖象的最高點或最低點代入.
訓練2 （1）[2023蕪湖模擬]已知函數f（x）＝Acos（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分圖象如圖所示，將函數f（x）的圖象上各點的橫坐標拉伸為原來的3倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度，得到函數g（x）的圖象，則函數g（x）的單調遞增區間為（　C?。?br/>A.[－＋3kπ，3kπ]（k∈Z）
B.[3kπ，3kπ＋]（k∈Z）
C.[－＋3kπ，－＋3kπ]（k∈Z）
D.[－＋3kπ，＋3kπ]（k∈Z）
解析　依題意，得解得∴f（x）＝2cos（ωx＋φ）－1，而
f（）＝1，f（）＝－1，設T是f（x）的最小正周期，∴＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，∴f（x）＝2cos（2x＋φ）－1.又2cos（＋φ）－1＝1，∴＋φ＝2kπ（k∈Z），∵｜φ｜＜，∴φ＝－，∴f（x）＝2cos（2x－）－1.將函數f（x）的圖象上各點的橫坐標拉伸為原來的3倍，得到y＝2cos（x－）－1的圖象，再向左平移個單位長度，得到g（x）＝2cos（x＋－）－1＝2cos（x＋）－1的圖象，令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ（k∈Z），解得－＋3kπ≤x≤－＋3kπ（k∈Z），∴函數g（x）的單調遞增區間為[－＋3kπ，－＋3kπ]（k∈Z）.
（2）[2023山東省泰安一中模擬]函數f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜）在區間[－，]上的圖象如圖所示，將該函數圖象上各點的橫坐標縮短到原來的一半（縱坐標不變），再向右平移θ（θ＞0）個單位長度后，所得到的圖象關于原點對稱，則θ的最小值為（　C?。?br/>A. B. C. D.
解析　由題圖可知函數f（x）的最小正周期T＝－（－）＝π，所以ω＝＝2，又
f（）＝1，故sin（＋φ）＝1，由于0＜φ＜，故φ＝，所以f（x）＝sin（2x＋）.
將該函數圖象上各點的橫坐標縮短到原來的一半（縱坐標不變），
再向右平移θ（θ＞0）個單位長度后，得到y＝sin（4x－4θ＋）的圖象，因為該函數圖象關于原點對稱，所以y＝sin（4x－4θ＋）為奇函數，所以－4θ＋＝kπ，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z，又θ＞0，所以θ的最小值為，故選C.
命題點3　三角函數的圖象與性質的綜合應用
例3 （1）[2022天津高考]已知f（x）＝sin 2x，關于該函數有下面四個說法：
①f（x）的最小正周期為2π；②f（x）在[－，]上單調遞增；③當x∈[－，]時，f（x）的取值范圍為[－，]；④f（x）的圖象可由g（x）＝sin（2x＋）的圖象向左平移個單位長度得到.
以上四個說法中，正確的個數有（　A?。?br/>A.1 B.2 C.3 D.4
解析?、賔（x）的最小正周期為T＝＝π，故①錯誤；
②解法一　當－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，即x∈[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z時，f（x）單調遞增，又因為[－，] [－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，故f（x）在[－，]上單調遞增，②正確；
解法二　當x∈[－，]時，設t＝2x∈[－，]，y＝sin t在[－，]上單調遞增，②正確；
③當x∈[－，]時，2x∈[－，]，f（x）∈[－，]，③錯誤；
④f（x）的圖象可由g（x）＝sin（2x＋）＝sin 2（x＋）的圖象向右平移個單位長度得到，④錯誤.故選A.
（2）[2023廣東六校聯考]已知函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（　C?。?br/>A.直線x＝π是f（x）圖象的一條對稱軸
B.f（x）圖象的對稱中心為（－＋kπ，0），k∈Z
C.f（x）在區間[－，]上單調遞增
D.將f（x）的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個奇函數的圖象
解析　根據函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分圖象，可得A＝2，·＝－，所以ω＝2.結合“五點作圖法”及｜φ｜＜，可得2×＋φ＝，所以φ＝，即f（x）＝2sin（2x＋）.令x＝π，得f（π）＝1，不是函數的最值，故直線x＝π不是
f（x）圖象的對稱軸，故A錯誤；令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，故f（x）圖象的對稱中心為（－＋，0），k∈Z，故B錯誤；x∈[－，]時，2x＋∈[－，]，函數f（x）單調遞增，故C正確；將f（x）的圖象向左平移個單位長度后，可得y＝
2sin（2x＋）的圖象，故D錯誤.故選C.
方法技巧
有關三角函數圖象與性質的綜合應用問題，常以多選題或填空題的形式出現，破解此類題的關鍵：
一是轉化思想的應用，如將函數轉化為“一角一函數”的形式；
二是見數思形，熟悉正、余弦及正切函數的圖象，并能適時應用；
三是整體思想的應用，會用整體換元的思想研究函數的性質.
訓練3 （1）[多選/2024江蘇省南通市模擬]已知（，0）是函數f（x）＝sin（ωx＋）（0＜ω＜3）圖象的一個對稱中心，則（　AC　）
A.ω＝2
B.x＝是函數f（x）圖象的一條對稱軸
C.將函數f（x）的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱
D.函數f（x）在區間[－，0]上的最小值是－
解析　對于A，由題意得sin（ω＋）＝0，故ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝3k－1，k∈Z，又0＜ω＜3，故0＜3k－1＜3，解得＜k＜，所以k＝1，ω＝2，A正確；
對于B，由選項A可得f（x）＝sin（2x＋），當x＝時，f（）＝sin（＋）＝，故x＝不是函數f（x）圖象的對稱軸，B錯誤；
對于C，將函數f（x）的圖象向右平移個單位長度后得到g（x）＝sin[2（x－）＋]＝
sin 2x的圖象，易知g（x）為奇函數，其圖象關于原點對稱，C正確；
對于D，令z＝2x＋，當x∈[－，0]時，z∈[－，]，由于y＝sin z在區間[－，]上的最小值為－1，當且僅當z＝－時，等號成立，故f（x）在區間[－，0]上的最小值是－1，D錯誤.故選AC.
（2）[多選/2024福建省漳州市一檢]函數f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（　ABD?。?br/>A.ω＝2
B.y＝f（x）的圖象關于直線x＝－對稱
C.將y＝f（x）的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象關于原點對稱
D.若y＝f（λx）（λ＞0）在[0，π]上有且僅有一個零點，則λ∈[，）
解析　由題圖可得，A＝2，設f（x）的最小正周期為T，則＝－＝，故T＝π，ω＝2，f（x）＝2sin（2x＋φ），A正確.
由f（）＝2sin（＋φ）＝2，得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，所以φ＝，f（x）＝2sin（2x＋）.
對于B，當x＝－時，2x＋＝－，y＝f（x）的圖象關于直線x＝－對稱，B正確.
對于C，將y＝f（x）的圖象向右平移個單位長度后，得到y＝2sin[2（x－）＋]＝
2sin（2x－）的圖象，不關于原點對稱，C錯誤.
對于D，設f（λx）＝2sin（2λx＋）在[0，π]上的唯一零點為x0，則2λx0＋∈[，2λπ＋]，∴π≤2λπ＋＜2π，∴≤λ＜，D正確.故選ABD.
命題點4　三角函數模型的應用
例4 水車（如圖1），又稱孔明車，是我國最古老的農業灌溉工具，有1 700余年歷史.如圖2是一個水車的示意圖，它的直徑為 3 m，其中心（即圓心）O距水面0.75 m.如果水車每4 min逆時針轉3圈，在水車輪邊緣上取一點P，我們知道在水車勻速轉動時，P點距水面的高度h（單位：m）是一個變量，它是時間t（單位：s）的函數.為了方便，不妨從P點位于水車與水面交點Q時開始計時（t＝0），則我們可以建立函數關系式h（t）＝
Asin（ωt＋φ）＋k（其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）來反映h隨t變化的規律.下面關于函數h（t）的描述，正確的是（　D?。?br/>A.最小正周期為80π
B.一個單調遞減區間為[30，70]
C.y＝｜h（t）｜的最小正周期為40
D.圖象的一條對稱軸方程為t＝－
解析　由題意可得，A＝，k＝，T＝4÷3×60＝80（T為h（t）的最小正周期），所以ω＝，由h（0）＝0及｜φ｜＜可得，φ＝－，所以h（t）＝sin（t－）＋.因為T＝80，所以A錯誤；令2kπ＋≤t－≤2kπ＋（k∈Z），解得80k＋≤t≤80k＋（k∈Z），取k＝0，得[，]為其中一個減區間，因為[30，70]不是[，]的子區間，所以B錯誤；函數y＝｜h（t）｜＝｜sin（t－）＋｜的圖象是把y＝h（t）的圖象在t軸下方的部分翻折到t軸的上方，最小正周期
仍為80，所以C錯誤；令t－＝kπ＋（k∈Z），得t＝40k＋（k∈Z），取k＝－1得t＝－，即函數圖象的一條對稱軸方程為t＝－，所以D正確.故選D.
方法技巧
構建三角函數模型求解實際問題時，一般需要根據實際問題得到解析式，求得的解析式一般為f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式，然后利用三角函數的有關性質和題中條件進行求解.
訓練4 [2023江西贛州五校聯考]在西雙版納熱帶植物園中有一種原產于美洲熱帶雨林的時鐘花，其花開花謝非常有規律.研究表明，時鐘花開花規律與溫度密切相關，時鐘花開花所需要的溫度約為20 ℃，但當氣溫上升到31 ℃時，時鐘花基本都會凋謝.已知某景區有時鐘花觀花區，且觀花區每天6時～14時的氣溫T（單位：℃）與時間t（單位：時，6時對應t＝6）近似滿足函數關系式T＝25＋10sin（t＋），則每天在6時～14時期間，觀花的最佳時段約為（參考數據：sin ≈0.6.假設在花期內，時鐘花每天開閉一次）（　C?。?br/>A.6.7時～11.6時 B.6.7時～12.2時
C.8.7時～11.6時 D.8.7時～12.2時
解析　當t∈[6，14]時，t＋∈[，]，則T＝25＋10sin（t＋）在[6，14]上單調遞增.設花開、花謝的時間分別為t1，t2（t1，t2∈[6，14]）.令T＝20，則sin（t1＋）＝
－0.5，即t1＋＝，解得t1＝≈8.7.令T＝31，則sin（t2＋）＝0.6≈sin＝sinπ，即t2＋≈，解得t2≈11.6.故每天在6時～14時期間，觀花的最佳時段約為8.7時～11.6時.

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