資源簡介

第1講　數(shù)列的概念
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
了解數(shù)列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù). 由an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式 2023全國卷甲T17；2022新高考卷ⅠT17 本講為高考命題熱點，主要考查數(shù)列的不同呈現(xiàn)形式及相應(yīng)形式下的通項求解，常見的形式有an與Sn的關(guān)系，不同項間的遞推關(guān)系（常需變形利用累加法、累乘法、構(gòu)造法求解），題型既有客觀題，也有主觀題，難度中等.預計2025年高考命題穩(wěn)定.
由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式 2020浙江T20
數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 2023北京T10；2021北京T10
1.數(shù)列的有關(guān)概念
名稱 概念
數(shù)列 按照確定的順序排列的一列數(shù).
數(shù)列的項 數(shù)列中的每一個數(shù).
通項公式 如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子①　an＝f（n）　（n∈N*）表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.
遞推公式 如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.
注意　{an}表示數(shù)列a1，a2，…，an，…，是數(shù)列的一種簡記形式；而an只表示數(shù)列{an}的第n項.
辨析比較
通項公式和遞推公式的區(qū)別
1.通項公式：可根據(jù)某項的序號n的值，直接代入求出an.
2.遞推公式：可根據(jù)第一項（或前幾項）的值，通過一次（或多次）賦值，逐項求出數(shù)列的項，直至求出所需的an.也可通過變形轉(zhuǎn)化，直接求出an.
2.數(shù)列的函數(shù)特性
（1）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
數(shù)列可以看成一類特殊的函數(shù)an＝f（n），它的定義域是正整數(shù)集N*或正整數(shù)集N*的有限子集{1，2，3，4，…，n}，所以它的圖象是一系列孤立的點，而不是連續(xù)的曲線.
注意　函數(shù)an＝f（n）定義域為N*時，對應(yīng)的數(shù)列{an}為無窮數(shù)列.當其定義域為N*的有限子集{1，2，3，…，n}時，對應(yīng)的數(shù)列{an}為有窮數(shù)列.
（2）數(shù)列的性質(zhì)
a.單調(diào)性——對任意的n∈N*，若an＋1②　＞　an，則{an}為遞增數(shù)列；若an＋1③　＜　an，則{an}為遞減數(shù)列.否則為常數(shù)列或擺動數(shù)列.
b.周期性——若an＋k＝an（n∈N*，k為常數(shù)且為正整數(shù)），則{an}為周期數(shù)列，④　k　為{an}的一個周期.
3.數(shù)列的前n項和Sn與通項an的關(guān)系
（1）Sn＝a1＋a2＋…＋an（n∈N*）.
（2）若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則an＝
注意　利用an＝求通項時，對n＝1的情形要檢驗.若當n＝1時，a1符合an＝Sn－Sn－1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項公式用一個式子表示；否則，用分段形式表示.
1.已知遞增數(shù)列{an}的通項an＝n2－kn（n∈N*），則實數(shù)k的取值范圍是（　B　）
A.（－∞，2] B.（－∞，3） C.（－∞，2） D.（－∞，3]
解析　因為數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以an＜an＋1對任意n∈N*都成立，即n2－kn＜
（n＋1）2－k（n＋1），即k＜2n＋1對任意n∈N*恒成立，因此k＜3.故選B.
2.[易錯題]已知數(shù)列{an}的前5項分別為2，－5，10，－17，26，則{an}的一個通項公式為　an＝（－1）n＋1（n2＋1）（答案不唯一）　.
解析　由題意易得，數(shù)列{an}各項的絕對值為2，5，10，17，26，…，記為數(shù)列{bn}，則bn＝n2＋1，考慮到（－1）n＋1具有轉(zhuǎn)換正負號的作用，所以原數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝（－1）n＋1（n2＋1）.
3.[教材改編]在數(shù)列{an}中，a1＝－，an＝1－（n≥2，n∈N*），則a2 025的值為　　.
解析　由題意可得，a1＝－，a2＝5，a3＝，a4＝－，a5＝5，…，所以可觀察出數(shù)列{an}為以3為周期的數(shù)列.又2 025÷3＝675，所以a2 025＝a3＝.
4.[教材改編]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋5，則數(shù)列{an}的通項公式為　an＝　.
解析　當n＝1時，a1＝S1＝.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝（n2＋n＋5）－[（n－1）2＋
（n－1）＋5]＝2n－.又2×1－＝≠a1，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝
研透高考 明確方向
命題點1　由an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式
例1 （1）[全國卷Ⅰ]記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn＝2an＋1，則S6＝　－63　.
解析　因為Sn＝2an＋1，所以當n＝1時，a1＝S1＝2a1＋1，解得a1＝－1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－（2an－1＋1），所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以S6＝＝－63.
（2）[2023湖北武漢三模]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－，且5an＋1＋Sn＋16＝0.則an＝　－4×（）n　.
解析　當n＝1時，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－，
由5an＋1＋Sn＋16＝0　①，得5an＋Sn－1＋16＝0（n≥2）　②，①－②得5an＋1＝4an（n≥2），∵a2＝－≠0，∴an≠0，∴＝（n≥2），又＝，∴{an}是首項為－，公比為的等比數(shù)列，∴an＝－×（）n－1＝－4×（）n.
方法技巧
1.已知Sn與an的關(guān)系求an的思路
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.
2.已知Sn＝f（n）求an的一般步驟
（1）先利用a1＝S1求出a1；
（2）用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）便可求出當n≥2時an的表達式；
（3）檢驗a1是否滿足n≥2時an的表達式并得出結(jié)論.
訓練1 （1）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝2an＋1－1.若a1＝，則an＝　×（）n－1　；若a1＝1，則an＝　　.
解析　①若a1＝.當n＝1時，S1＝2a2－1＝，∴a2＝.當n≥2時，Sn－1＝2an－1，則an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，∴an＋1＝an（n≥2）.又∵a2＝a1，∴{an}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴an＝×（）n－1.
②若a1＝1.
解法一　當n＝1時，S1＝2a2－1＝1，a2＝1.當n≥2時，Sn－1＝2an－1，則an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，an＋1＝an，∴{an}從第2項起是等比數(shù)列，公比為，∴an＝a2×（）n－2＝
（）n－2（n≥2）.∵a1＝1≠（）1－2，∴an＝
解法二　∵Sn＝2an＋1－1，∴Sn＝2（Sn＋1－Sn）－1，即Sn＋1＝Sn＋，∴Sn＋1＋1＝（Sn＋1），∴{Sn＋1}是以S1＋1＝a1＋1＝2為首項，為公比的等比數(shù)列，∴Sn＝2×（）n－1－1.當n≥2時，Sn－1＝2×（）n－2－1，則an＝Sn－Sn－1＝（）n－2（n≥2）.∵a1＝1≠
（）1－2，∴an＝
（2）已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（2n－1）×3n，n∈N*，則an＝　　.
解析　由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（2n－1）×3n，n∈N*得，當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝（2n－3）×3n－1，兩式作差得nan＝（2n－1）×3n－（2n－3）×
3n－1＝（6n－3）×3n－1－（2n－3）×3n－1＝4n×3n－1，則an＝4×3n－1，n≥2.當n＝1時，a1＝3，不滿足an＝4×3n－1，所以an＝
命題點2　由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式
角度1　累加法
例2 [江西高考]在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋），則an＝（　A　）
A.2＋ln n B.2＋（n－1）ln n
C.2＋nlnn D.1＋n＋ln n
解析　由題意可得，an＋1－an＝ln（1＋），∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋2＝ln（··…·）＋2＝ln n＋2.故選A.
角度2　累乘法
例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*），則數(shù)列{an}的通項公式為　an＝　.
解析　由Sn＝n2an，可得當n≥2時，Sn－1＝（n－1）2an－1，則an＝Sn－Sn－1＝n2an－（n－1）2an－1，即（n2－1）an＝（n－1）2an－1，易知an≠0，故＝（n≥2）.
所以當n≥2時，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
當n＝1時，a1＝1滿足an＝.
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝.
方法技巧
1.形如an＋1－an＝f（n）的遞推公式，用累加法求通項，即利用恒等式an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）（n≥2）求解.
2.形如＝f（n）的遞推公式，用累乘法求通項，即利用恒等式an＝a1····…·（an≠0，n≥2）求解.
訓練2 [浙江高考]已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足a1＝b1＝c1＝1，cn＝an＋1－an，cn＋1＝cn，n∈N*.
（1）若{bn}為等比數(shù)列，公比q＞0，且b1＋b2＝6b3，求q的值及數(shù)列{an}的通項公式.
（2）若{bn}為等差數(shù)列，公差d＞0，證明：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜1＋，n∈N*.
解析　（1）由b1＋b2＝6b3得1＋q＝6q2，又q＞0，解得q＝.
由c1＝1，cn＋1＝4cn得cn＝4n－1.
由an＋1－an＝4n－1得an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝a1＋1＋4＋…＋4n－2＝（n≥2）.
當n＝1時，a1＝＝1，滿足上式.故an＝.
（2）由cn＋1＝cn得＝，所以cn＝c1···…·＝c1···…·＝＝
（－），
所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝（1－）.
由b1＝1，d＞0得bn＋1＞0，因此c1＋c2＋c3＋…＋cn＜1＋，n∈N*.
命題點3　數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用
角度1　數(shù)列的周期性
例4 若非零數(shù)列{an}滿足anan＋2＝an＋1（n∈N*），則稱數(shù)列{an}為“等積數(shù)列”.若等積數(shù)列{an}中a1＝4，a2＝5，則a2 025＝　　.
解析　由題意知anan＋2＝an＋1，則an＋2＝，結(jié)合a1＝4，a2＝5，可得a3＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，a6＝＝，a7＝＝4，a8＝＝5，…，故數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列，所以a2 025＝a337×6＋3＝a3＝.
角度2　數(shù)列的單調(diào)性與最大（小）項問題
例5 （1）[2023北京高考]已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝（an－6）3＋6（n＝1，2，3，…），則（　B　）
A.當a1＝3時，{an}為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M≤0，使得an＞M恒成立
B.當a1＝5時，{an}為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M≤6，使得an＜M恒成立
C.當a1＝7時，{an}為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M＞6，使得an＞M恒成立
D.當a1＝9時，{an}為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M＞0，使得an＜M恒成立
解析　對于A，當a1＝3時，a2＝×（－3）3＋6，a3＝×（－3）9＋6，…，所以{an}為遞減數(shù)列.又三次函數(shù)y＝x3單調(diào)遞增，所以y＝（x－6）3＋6單調(diào)遞增，則當n→＋∞時，an→－∞，所以an無最小值，故A錯誤.
對于B，當a1＝5時，a2＝－＋6，a3＝－＋6，a4＝－＋6，…，所以{an}為遞增數(shù)列，且n→＋∞時，an→6.取M＝6，則對任意n∈N*，都有an＜M＝6，故B正確.
對于C，當a1＝7時，a2＝＋6，a3＝＋6，易知{an}為遞減數(shù)列，且n→＋∞時，an→6，故不存在M＞6，使得an＞M恒成立，故C錯誤.
對于D，當a1＝9時，a2＝＋6，a3＝＋6，易知{an}為遞增數(shù)列，且當n→＋∞時，an→＋∞，所以an無最大值，故D錯誤.
（2）若數(shù)列{an}的前n項積bn＝1－n，則an的最大值與最小值之和為（　C　）
A.－ B. C.2 D.
解析　由題意a1a2…an＝1－n　①.當n＝1時，a1＝1－＝；當n≥2時，a1a2…an－1＝1－
（n－1）＝－n　②.由①÷②得an＝＝＝1＋（n≥2）.
又a1＝也滿足上式，所以an＝1＋（n∈N*）.作出函數(shù)f（x）＝1＋的圖象，如圖所示，易知當x∈N*時，f（x）max＝
f（5），f（x）min＝f（4），所以an的最小值為a4＝－1，最大值為a5＝3，所以an的最大值與最小值之和為－1＋3＝2，故選C.
方法技巧
1.解決數(shù)列單調(diào)性問題的3種常用方法
作差比 較法 an＋1－an＞0 數(shù)列{an}是遞增數(shù)列； an＋1－an＜0 數(shù)列{an}是遞減數(shù)列； an＋1－an＝0 數(shù)列{an}是常數(shù)列.
作商比 較法 當an符號確定時，利用與1的大小關(guān)系確定{an}的單調(diào)性.
數(shù)形結(jié) 合法 利用數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.注意“函數(shù)”的自變量為正整數(shù).
2.求數(shù)列中的最大（小）項的方法
（1）利用求數(shù)列中的最大項an；利用求數(shù)列中的最小項an.
（2）結(jié)合數(shù)列單調(diào)性判斷數(shù)列的最大（小）項.
3.解決數(shù)列周期性問題的方法
先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.
訓練3 （1）已知數(shù)列{an}滿足an＝ncosπ，bn＝an＋an＋1，則數(shù)列{bn}的前50項和為－52.
解析　解法一　由題意得，bn＝an＋an＋1＝ncosπ＋（n＋1）cosπ＝ncosπ－（n＋1）sinπ，則b4n＝4ncos 2nπ－（4n＋1）sin 2nπ＝4n，同理可得b4n－1＝4n，b4n－2＝2－4n，b4n－3＝2－4n，所以b4n－3＋b4n－2＋b4n－1＋b4n＝4，于是數(shù)列{bn}的前50項和b1＋b2＋b3＋…＋b48＋b49＋b50＝12（b1＋b2＋b3＋b4）＋b4×13－3＋b4×13－2＝12×4＋2－4×13＋2－4×13＝
－52.
解法二（列舉法）　由題意可得a1＝0，a2＝－2，a3＝0，
a4＝4，則a1＋a2＋a3＋a4＝2.通過列舉可知，a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝2，且a2k－1＝0，k∈N*.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S50＝12（a1＋a2＋a3＋a4）＋a49＋a50＝12×2＋49cos＋50cos＝－26.又bn＝an＋an＋1，所以{bn}的前50項和為2S50－a1＋a51＝－52.
（2）已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，當an最大時，n＝　3　.（3≈1.44）
解析　設(shè)an是數(shù)列{an}的最大項，則所以解得≤n≤.因為≈1.44，所以n的值為3.
（3）已知數(shù)列{an}的首項a1＝m，其前n項和為Sn，且滿足Sn＋Sn＋1＝2n2＋3n，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)m的取值范圍是（，）.
解析　由Sn＋Sn＋1＝2n2＋3n可得，Sn－1＋Sn＝2（n－1）2＋3（n－1）（n≥2），兩式相減得an＋an＋1＝4n＋1（n≥2），∴an－1＋an＝4n－3（n≥3），由此可得an＋1－an－1＝4（n≥3）.∴數(shù)列a2，a4，a6，…是以4為公差的等差數(shù)列，數(shù)列a3，a5，a7，…是以4為公差的等差數(shù)列.將n＝1及a1＝m代入Sn＋Sn＋1＝2n2＋3n可得a2＝5－2m，將n＝2代入an＋an＋1＝4n＋1（n≥2）可得a3＝4＋2m.∵a4＝a2＋4＝9－2m，∴要使得任意n∈N*，an＜
an＋1恒成立，只需要a1＜a2＜a3＜a4即可，∴m＜5－2m＜4＋2m＜9－2m，解得＜m＜.
∴實數(shù)m的取值范圍是（，）.第2講　等差數(shù)列
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
1.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義. 2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系. 3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題. 4.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系. 等差數(shù)列的基本運算 2023新高考卷ⅠT20；2023全國卷乙T18；2023全國卷甲T5；2022新高考卷ⅡT3；2022全國卷乙T13；2021新高考卷ⅡT17；2021北京T6；2019全國卷ⅠT9；2019全國卷ⅢT14 本講的命題熱點為等差數(shù)列的基本運算、等差數(shù)列的判定與證明、等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用、等差數(shù)列前n項和的最值，在客觀題和主觀題中都有可能出現(xiàn)，難度中等.考查學生的函數(shù)與方程思想和數(shù)學運算能力.預計2025年高考命題穩(wěn)定，重點掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式及其變形應(yīng)用，同時也要關(guān)注等差數(shù)列與其他知識的綜合運用.
等差數(shù)列的判定與證明 2023新高考卷ⅠT7；2022全國卷甲T17；2021全國卷乙T19；2021全國卷甲T18
等差數(shù)列的性質(zhì) 2020全國卷ⅡT4；2020新高考卷ⅠT14
等差數(shù)列前n項和的最值 2022全國卷甲T17
1.等差數(shù)列的概念
（1）等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的①　差　都等于②　同一個常數(shù)　，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.
（2）等差中項
如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的③　等差中項　，且A＝④　　.
（3）等差數(shù)列的通項公式及其變形
通項公式：⑤　an＝a1＋（n－1）d　，其中a1是首項，d是公差.
通項公式的變形：an＝am＋（n－m）d（m，n∈N*）.
由an＝dn＋（a1－d）可知，當d≠0時，an可看作關(guān)于n的一次函數(shù).
規(guī)律總結(jié)
等差數(shù)列的單調(diào)性
當d＞0時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；當d＜0時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；當d＝0時，數(shù)列{an}為常數(shù)列.
2.等差數(shù)列的前n項和
（1）等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝＝⑥　na1＋d　.
（2）由Sn＝na1＋d＝n2＋（a1－）n可知，當d≠0時，Sn可看作關(guān)于n的二次函數(shù)，故可借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究Sn的最值問題.
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
（1）等差數(shù)列項的性質(zhì)
設(shè)數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列.
a.若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），則ak＋al＝am＋an，特別地，若p＋q＝2m，則⑦　ap＋aq＝2am　.反之不一定成立.
b.若{an}公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為⑧　2d　.
c.{pan＋qbn}（p，q為常數(shù)）也是等差數(shù)列.
d.若{an}與{bn}有公共項，則{an}與{bn}的公共項從小到大排成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，首項是第一個相同的公共項，公差是{an}與{bn}的公差的⑨　最小公倍數(shù)　.
e.若{an}公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）組成公差為⑩　md　的等差數(shù)列，即下標成等差數(shù)列，則相應(yīng)的項也成等差數(shù)列.
f.若c是非零常數(shù)，則{}是等比數(shù)列.
（2）等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)
設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.
a.{}是等差數(shù)列，其首項等于 　a1　，公差是{an}的公差的.
b.Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…（m∈N*）是等差數(shù)列.
c.兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn之間的關(guān)系為＝ 　　.
1.[教材改編]如果三角形的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，則中間角的大小為　60°　.
解析　由題意可設(shè)三個內(nèi)角分別為x－d，x，x＋d，則有（x－d）＋x＋（x＋d）＝180°，可得x＝60°.
2.若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，則當n＝　8　時，{an}的前n項和最大.
解析　由a7＋a8＋a9＞0可得a8＞0，由a7＋a10＜0可得a8＋a9＜0，所以a9＜0，所以當n＝8時，{an}的前n項和最大.
3.[教材改編]已知{an}為等差數(shù)列，且a20＝30，a30＝20，則a50＝　0　.
解析　由題意可得，公差d＝＝－1，所以a50＝a20＋30d＝30－30＝0.
4.[教材改編]某公司購置了一臺價值220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，每經(jīng)過一年，其價值減少20萬元.當設(shè)備價值低于購進價值的5％時，設(shè)備將報廢，則該機器最多使用　10　年.
解析　設(shè)使用n年后，該設(shè)備的價值為an萬元，則易知{an}是以（220－20）為首項，－20為公差的等差數(shù)列，所以an＝（220－20）＋（n－1）×（－20）＝220－20n.令220－20n≥220×5％，得n≤10.45，所以該設(shè)備最多使用10年.
5.已知等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項和為290，所有偶數(shù)項和為261，則該數(shù)列的項數(shù)為　19　.
解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，項數(shù)為2k－1，則＝＝，解得k＝10，則項數(shù)為2×10－1＝19.
6.[易錯題]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋an＋1＝n，則a20＝　9　.
解析　因為an＋an＋1＝n，所以a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，…，a19＋a20＝19.因為a1＝1，所以可得a1＝1，a3＝2，a5＝3，a7＝4，…，和a2＝0，a4＝1，a6＝2，a8＝3，…，奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以a2k＝k－1（k∈N*），所以a20＝10－1＝9.
研透高考 明確方向
命題點1　等差數(shù)列的基本運算
例1 [2023全國卷甲]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5＝（　C　）
A.25 B.22 C.20 D.15
解析　解法一　由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＝＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20，故選C.
解法二　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5　①，由a4a8＝45，可得（a1＋3d）（a1＋7d）＝45　②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20，故選C.
例2 [2023新高考卷Ⅰ]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞1.令bn＝，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項和.
（1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通項公式；
（2）若{bn}為等差數(shù)列，且S99－T99＝99，求d.
解析　（1）因為3a2＝3a1＋a3，所以3（a2－a1）＝a1＋2d，
所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，所以an＝nd.
因為bn＝，所以bn＝＝，所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝.
因為S3＋T3＝21，所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝，
因為d＞1，所以d＝3.所以{an}的通項公式為an＝3n.
（2）因為bn＝，且{bn}為等差數(shù)列，
所以2b2＝b1＋b3，即2×＝＋，
所以－＝，所以－3a1d＋2d2＝0，
解得a1＝d或a1＝2d.
①當a1＝d時，an＝nd，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×50d，
T99＝＝＝.
因為S99－T99＝99，所以99×50d－＝99，即50d2－d－51＝0，解得d＝或d＝－1（舍去）.
②當a1＝2d時，an＝（n＋1）d，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×51d，
T99＝＝＝.
因為S99－T99＝99，所以99×51d－＝99，即51d2－d－50＝0，解得d＝－（舍去）或d＝1（舍去）.
綜上，d＝.
方法技巧
1.等差數(shù)列基本運算中常用的數(shù)學思想
方程 思想 等差數(shù)列中有五個量a1，an，d，n，Sn，一般可“知三求二”，通過列方程（組）求解.
整體 思想 將已知和所求都用a1和d表示，尋求兩者之間的聯(lián)系，整體代換求解.
2.等差數(shù)列基本運算中常用的設(shè)元技巧
若三個數(shù)成等差數(shù)列，可將三個數(shù)設(shè)為a－d，a，a＋d；若四個數(shù)成等差數(shù)列，可將四個數(shù)設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
訓練1 （1）[2021北京高考]已知{an}和{bn}是兩個等差數(shù)列，且（1≤k≤5）是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，則b3的值為（　C　）
A.64 B.100 C.128 D.132
解析　因為{an}和{bn}是兩個等差數(shù)列，所以2a3＝a1＋a5＝288＋96＝384，所以a3＝192，又當1≤k≤5時，是常值，所以＝，即＝，從而b3＝128.故選C.
（2）[2022全國卷乙]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3＝3S2＋6，則公差d＝　2　.
解析　因為2S3＝3S2＋6，所以2（3a1＋3d）＝3（2a1＋d）＋6，化簡得3d＝6，解得d＝2.
命題點2　等差數(shù)列的判定與證明
例3 [2021全國卷甲]已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.
①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.
解析　①③ ②.
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，故d＝2a1，所以Sn＝na1＋d＝n2a1.
因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以＝n，
所以－＝（n＋1）－n＝（常數(shù)），所以數(shù)列{}是等差數(shù)列.
①② ③.
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{}是等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
則Sn＝na1＋d＝dn2＋（a1－）n.
因為數(shù)列{}是等差數(shù)列，所以數(shù)列{}的通項是關(guān)于n的一次函數(shù)，則a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③ ①.
已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1 .
設(shè)數(shù)列{}的公差為d，則d＞0，－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋（n－1）d＝nd，所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－（n－1）2d2＝2d2n－d2（n≥2），a1＝d2也滿足上式，所以an＝2d2n－d2.
因為an－an－1＝2d2n－d2－[2d2（n－1）－d2]＝2d2（常數(shù)）（n≥2），所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
方法技巧
等差數(shù)列的判定與證明的方法
定義法 an－an－1（n≥2，n∈N*）為同一常數(shù) {an}是等差數(shù)列
等差中項法 2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N*）成立 {an}是等差數(shù)列
通項公式法 an＝pn＋q（p，q為常數(shù)）對任意的正整數(shù)n都成立 {an}是等差數(shù)列
前n項和 公式法 Sn＝An2＋Bn（A，B為常數(shù)）對任意的正整數(shù)n都成立 {an}是等差數(shù)列
訓練2 （1）[2023新高考卷Ⅰ]設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{}為等差數(shù)列.則（　C　）
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
解析　若{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則an＝a1＋（n－1）d，所以Sn＝na1＋d，所以＝a1＋（n－1）·，所以－＝a1＋（n＋1－1）·－[a1＋（n－1）·]＝，為常數(shù)，所以{}為等差數(shù)列，即甲 乙；若{}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為t，則＝＋（n－1）t＝a1＋（n－1）t，所以Sn＝na1＋n（n－1）t，所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n（n－1）t－[（n－1）a1＋（n－1）（n－2）t]＝a1＋2（n－1）t，當n＝1時，S1＝a1也滿足上式，所以an＝a1＋2（n－1）t（n∈N*），所以an＋1－an＝a1＋2（n＋1－1）t－[a1＋2（n－1）t]＝2t，為常數(shù)，所以{an}為等差數(shù)列，即甲 乙.所以甲是乙的充要條件，故選C.
（2）[多選/2023福建莆田九中質(zhì)檢]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則下列結(jié)論正確的是（　BCD　）
A.若數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列
B.若數(shù)列{}為等差數(shù)列，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列
C.若數(shù)列{an}和{}均為等差數(shù)列，則S3＝2a3
D.若數(shù)列{an}和{}均為等差數(shù)列，則數(shù)列{an}是常數(shù)列
解析　對于A，若數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，可得an＝Sn－Sn－1＝d（n≥2），但是首項a1的值不確定，所以數(shù)列{an}不一定為等差數(shù)列，故選項A錯誤；對于B，若數(shù)列{}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d'，則＝S1＋（n－1）d'，可得Sn＝nS1＋n（n－1）d'，當n＝1時，a1＝S1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝nS1＋n（n－1）d'－（n－1）S1－（n－1）（n－2）d'＝S1＋（2n－2）d'，則an－an－1＝2d'（n≥3），由a2＝S1＋2d'，a1＝S1，得a2－a1＝2d'，所以an－an－1＝2d'（n≥2），故數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故選項B正確；對于C，由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可設(shè)an＝kn＋b，k，b為常數(shù)，則＝k2n2＋2kbn＋b2，所以＝k2n＋2kb＋，因為數(shù)列{}為等差數(shù)列，所以n≥2時，－＝k2＋－＝k2＋b2（－）為常數(shù)，則b2＝0，所以b＝0，故an＝kn，所以S3＝a1＋a2＋a3＝6k，又a3＝3k，所以S3＝2a3，故選項C正確；對于D，由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可設(shè)an＝pn＋q，p，q為常數(shù)，則＝p2n2＋2pqn＋q2，因為{}為等差數(shù)列，所以－＝（2n－1）p2＋2pq為常數(shù)，則p＝0，所以an＝q，則數(shù)列{an}是常數(shù)列，故選項D正確.故選BCD.
命題點3　等差數(shù)列的性質(zhì)
例4 （1）[新高考卷Ⅰ]將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為　3n2－2n　.
解析　{2n－1}與{3n－2}的第一個公共項為1，則易知{an}是以1為首項，2×3＝6為公差的等差數(shù)列，則Sn＝n＋×6＝3n2－2n.
（2）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且＝3，則＝　　.
解析　設(shè)S3＝m（m≠0），則S6＝3m.因為{an}為等差數(shù)列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…成等差數(shù)列，公差為m，所以可推出S9＝6m，S12＝10m，故＝.
訓練3 （1）數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，且a1＝－5，b1＝－15，a2 025＋b2 025＝100，則數(shù)列{an＋bn}的前2 025項和為　81000　.
解析　易得數(shù)列{an＋bn}為等差數(shù)列，首項為a1＋b1＝－20，∴{an＋bn}的前2 025項和為2 025×＝81 000.
（2）等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若＝，則＝　　，＝　　.
解析　由題意可得＝＝＝＝＝＝.由＝＝及等差數(shù)列前n項和性質(zhì)可設(shè)Sn＝A·2n2，Tn＝A（3n2＋n）（A≠0），∴a10＝S10－S9＝
A（2×102－2×92）＝38A，b11＝T11－T10＝A[（3×112＋11）－（3×102＋10）]＝64A，∴＝＝.
命題點4　等差數(shù)列前n項和的最值
例5 [2022全國卷甲]記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知＋n＝2an＋1.
（1）證明：{an}是等差數(shù)列.
（2）若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值.
解析　（1）由＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n　①，
所以2Sn＋1＋（n＋1）2＝2an＋1（n＋1）＋（n＋1）　②，
②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1（n＋1）－2ann＋1，
化簡得an＋1－an＝1，所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列.
（2）由（1）知數(shù)列{an}的公差為1.
由＝a4a9，得＝（a1＋3）（a1＋8），解得a1＝－12.
所以Sn＝－12n＋＝＝（n－）2－，所以當n＝12或n＝13時，Sn取得最小值，最小值為－78.
方法技巧
求等差數(shù)列前n項和Sn的最值的方法
（1）通項法：①若a1＞0，d＜0，則Sn必有最大值，n可用不等式組來確定；
②若a1＜0，d＞0，則Sn必有最小值，n可用不等式組來確定.
（2）二次函數(shù)法：由于Sn＝n2＋（a1－）n，故可用二次函數(shù)求最值的方法求Sn的最值，結(jié)合n∈N*及二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值.
（3）不等式組法：一般情況下，Sn最大時，有（n≥2，n∈N*），解得n的范圍，進而確定n的值和對應(yīng)的Sn的值（即Sn的最值）.
訓練4 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若 n∈N*，Sn≤S7，則數(shù)列{an}的通項公式可能是（　B　）
A.an＝16－3n B.an＝15－2n
C.an＝2n－14 D.an＝2n－15
解析　因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且 n∈N*，Sn≤S7，所以該數(shù)列從第8項起為非正數(shù)，即a7≥0，a8≤0.
對于A，a7＝16－3×7＝－5＜0，故A不正確；對于B，a7＝15－2×7＝1＞0，a8＝15－2×8＝－1＜0，故B正確；對于C，a7＝2×7－14＝0，a8＝2×8－14＝2＞0，故C不正確；對于D，a7＝2×7－15＝－1＜0，故D不正確.故選B.第3講　等比數(shù)列
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
1.理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義. 2.探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系. 3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題. 4.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 等比數(shù)列的基本運算 2023新高考卷ⅡT8；2023全國卷乙T15；2023全國卷甲T5；2023天津T6；2022全國卷乙T8；2020全國卷ⅠT17；2020新高考卷ⅠT18；2020新高考卷ⅡT18；2019全國卷ⅠT14；2019全國卷ⅢT5 本講的命題熱點為等比數(shù)列的基本運算、等比數(shù)列的判定與證明、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，整體比等差數(shù)列的運算量大.在客觀題與主觀題中都有可能出現(xiàn)，難度中等.預計2025年高考命題穩(wěn)定，重點掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式及其變形應(yīng)用，同時也要關(guān)注等比數(shù)列與其他知識的綜合運用.
等比數(shù)列的判定與證明 2020全國卷ⅡT6
等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用 2023新高考卷ⅡT8；2023全國卷乙T15，2021全國卷甲T7
1.等比數(shù)列的概念
（1）等比數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示.
注意　（1）等比數(shù)列中的任何一項都不為0，且公比q≠0.（2）若一個數(shù)列是常數(shù)列，則此數(shù)列一定是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列，如：0，0，0，….
（2）等比中項的概念
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時G2＝ab.
注意　只有當兩個數(shù)同號且不為0時，才有等比中項，且等比中項有兩個.
（3）等比數(shù)列的通項公式及其變形
通項公式：①　an＝a1·qn－1　，其中a1是首項，q是公比.
通項公式的變形：an＝am·qn－m.
說明　當q＞0且q≠1時，an＝·qn可以看成函數(shù)y＝cqx，其表示一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積.
規(guī)律總結(jié)
等比數(shù)列的單調(diào)性
當或時，{an}是遞增數(shù)列；當或時，{an}是遞減數(shù)列；
當q＝1時，{an}是常數(shù)列；當q＜0時，{an}是擺動數(shù)列.
2.等比數(shù)列的前n項和
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.
（1）Sn＝
（2）當q≠1時，Sn＝＝－qn＋，若設(shè)a＝，則Sn＝④　－aqn＋a　（a≠0，q≠0，q≠1）.由此可知，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)y＝－aqx＋a的圖象上一系列孤立的點，且qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).
當q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)y＝a1x的圖象上一系列孤立的點.
注意　在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，要注意對q＝1與q≠1進行討論.
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
（1）等比數(shù)列項的性質(zhì)
設(shè)數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列.
a.若m＋n＝k＋l，則⑤　aman＝akal　，其中m，n，k，l∈N*，反之，不一定成立，如當數(shù)列{an}是非零常數(shù)列時，此結(jié)論不成立.
b.相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）仍是等比數(shù)列，公比為⑥　qm　.
c.數(shù)列{λan}，{}，{}，{an·bn}和{}（λ≠0，n∈N*）也是等比數(shù)列.
d.若an＞0，則數(shù)列{lg an}是等差數(shù)列.
（2）等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)
設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和.
a.Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
b.當q≠－1（或q＝－1且k為奇數(shù)）時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是⑦　等比　數(shù)列.
注意　當q＝－1且k為偶數(shù)時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比數(shù)列.
1.下列說法正確的是（　B　）
A.滿足an＋1＝qan（q≠0，n∈N*）的數(shù)列{an}為等比數(shù)列
B.a，b，c三個數(shù)成等比數(shù)列是b2＝ac的充分不必要條件
C.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項和，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列
D.若等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則其公比q＞1
2.[多選]已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為q，前n項和為Sn，則下列說法錯誤的是（　BC　）
A.{}為等比數(shù)列 B.{log2an}為等差數(shù)列
C.{an＋an＋1}為等比數(shù)列 D.若Sn＝3n－1＋r，則r＝－
解析　令bn＝，則＝＝（非零常數(shù)），所以{}是等比數(shù)列，選項A正確；若an＜0，則log2an無意義，所以選項B錯誤；當q＝－1時，an＋an＋1＝0，此時{an＋an＋1}不是等比數(shù)列，所以選項C錯誤；當q≠1時，Sn＝A－A·qn（A＝），由Sn＝3n－1＋r＝×3n＋r可得r＝－，所以選項D正確.故選BC.
3.[易錯題]設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝6，則S4＝　8或－10　.
解析　設(shè)公比為q.當q＝1時，S3＝3a1成立，所以S4＝4a1＝8.當q≠1時，S3＝＝6，解得q＝－2，所以S4＝6＋2q3＝－10.所以S4＝8或－10.
4.[教材改編]有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，第一個數(shù)與第四個數(shù)的和為21，中間兩個數(shù)的和為18，則這四個數(shù)依次為　3，6，12，18或，，，　.
解析　設(shè)后三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d，則第一個數(shù)為，因此這四個數(shù)為，a－d，a，a＋d.由題意得解得或故這四個數(shù)為3，6，12，18或，，，.
研透高考 明確方向
命題點1　等比數(shù)列的基本運算
例1 （1）[2023全國卷甲]設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，則S4＝（　C　）
A. B. C.15 D.40
解析　解法一　若該數(shù)列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由＝5×－4，化簡得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1（舍）或q2＝4，由于此數(shù)列各項均為正數(shù)，所以q＝2，所以S4＝＝15.故選C.
解法二　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5（1＋q＋q2）－4，整理得q（1＋q）（q2－4）＝0，由于此數(shù)列各項均為正數(shù)，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故選C.
（2）[2023天津高考]已知{an}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，an＋1＝2Sn＋2，則a4的值為（　C　）
A.3 B.18 C.54 D.152
解析　解法一　因為an＋1＝2Sn＋2，所以當n≥2時，an＝2Sn－1＋2，兩式相減得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，所以等比數(shù)列{an}的公比q＝＝3.當n＝1時，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故選C.
解法二　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為an＋1＝2Sn＋2，所以公比q≠1，且a1qn＝＋2＝－qn＋＋2，所以又a1≠0，所以q＝3，a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故選C.
方法技巧
1.等比數(shù)列基本運算中常用的數(shù)學思想
方程 思想 等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）求解.
分類討 論思想 等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論（分q＝1和q≠1兩種情況討論）.
2.等比數(shù)列基本運算中常用的技巧
（1）（對稱設(shè)元）一般地，若連續(xù)奇數(shù)個項成等比數(shù)列，則可設(shè)
這些項為…，，x，xq，…；若連續(xù)偶數(shù)個符號相同的項成等比數(shù)列，則可設(shè)這些項為…，，，xq，xq3，….
（2）求解等比數(shù)列基本量時注意運用整體思想、設(shè)而不求等，同時合理運用q＝＝＝…＝＝.
（3）注意立方差公式的應(yīng)用：a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）.
訓練1 （1）[2022全國卷乙]已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168，a2－a5＝42，則a6＝（　D　）
A.14 B.12 C.6 D.3
解析　解法一　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
由題意可得
即解得
所以a6＝a1q5＝3，故選D.
解法二　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，易知q≠1，由題意可得解得所以a6＝a1q5＝3，故選D.
（2）[全國卷Ⅰ]設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝（　D　）
A.12 B.24 C.30 D.32
解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以＝＝q＝2，所以a6＋a7＋a8＝（a1＋a2＋a3）·q5＝25＝32，故選D.
命題點2　等比數(shù)列的判定與證明
例2 [全國卷Ⅰ]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.設(shè)bn＝.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（3）求{an}的通項公式.
解析　（1）由條件可得an＋1＝an.
將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.
由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.
（3）由（2）可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
方法技巧
判定與證明等比數(shù)列的常用方法
定義法 若＝q（q為非零常數(shù)且n≥2），則{an}是等比數(shù)列
等比 中項法 若數(shù)列{an}中，an≠0且＝an·an＋2，則{an}是等比數(shù)列
通項 公式法 若數(shù)列{an}的通項公式可寫成an＝c·qn－1（c，q均為非零常數(shù)），則{an}是等比數(shù)列
前n項和 公式法 若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k（k為非零常數(shù)，q≠0且q≠1），則{an}是等比數(shù)列
訓練2 [2023江蘇省七市模擬]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝5，an＋2＝5an＋1－6an.
（1）證明：{an＋1－2an}是等比數(shù)列.
（2）證明：存在兩個等比數(shù)列{bn}，{cn}，使得an＝bn＋cn成立.
解析　解法一　（1）∵an＋2＝5an＋1－6an，
∴an＋2－2an＋1＝5an＋1－6an－2an＋1＝3an＋1－6an＝3（an＋1－2an），
∵a1＝1，a2＝5，∴a2－2a1＝3≠0，
∴數(shù)列{an＋1－2an}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.
（2）∵an＋2＝5an＋1－6an，∴an＋2－3an＋1＝5an＋1－6an－3an＋1＝2an＋1－6an＝2（an＋1－3an）.
∵a1＝1，a2＝5，∴a2－3a1＝2≠0，
∴數(shù)列{an＋1－3an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴an＋1－3an＝2n　①，
由第（1）問得an＋1－2an＝3n　②，
由②－①得，an＝3n－2n.
故存在通項為bn＝3n，cn＝－2n的兩個等比數(shù)列，使得an＝bn＋cn成立.
解法二　（1）令an＋2＋λan＋1＝μ（an＋1＋λan），
由an＋2＝5an＋1－6an得解得或
∴an＋2－2an＋1＝3（an＋1－2an）或an＋2－3an＋1＝2（an＋1－3an）.
∵a1＝1，a2＝5，
∴a2－2a1＝3≠0，
∴數(shù)列{an＋1－2an}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.
（2）由（1）知an＋1－2an＝3n　①，
由an＋2－3an＋1＝2（an＋1－3an）可得an＋1－3an＝2n　②，
由①－②得，an＝3n－2n，
故存在通項為bn＝3n，cn＝－2n的兩個等比數(shù)列，使得an＝bn＋cn成立.
命題點3　等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用
例3 （1）[2023新高考卷Ⅱ]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝（　C　）
A.120 B.85 C.－85 D.－120
解析　解法一　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），由題意易知q≠1，則化簡整理得所以S8＝＝×（1－44）＝－85.故選C.
解法二　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6為等比數(shù)列，所以＝S2·（S6－S4），解得S2＝－1或S2＝.當S2＝－1時，由（S6－S4）2＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝
－85；當S2＝時，結(jié)合S4＝－5得化簡可得q2＝－5，不成立，舍去.所以S8＝－85，故選C.
（2）[2023全國卷乙]已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝　－2　.
解析　解法一　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1　①.又a9a10＝a1q8·a1q9＝q17＝－8　②，所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.
解法二　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.因為a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.
訓練3 （1）[2021全國卷甲]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若S2＝4，S4＝6，則S6＝（　A　）
A.7 B.8 C.9 D.10
解析　易知公比q≠－1，則S2，S4－S2，S6－S4構(gòu)成等比數(shù)列，
由等比中項得S2（S6－S4）＝，即4（S6－6）＝22，所以S6＝7.故選A.
（2）若公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a1a5＝144，a2＋a4＝30，則公比q＝　2　.
解析　解法一　由題意知a1a5＝a2a4＝144　①，a2＋a4＝
30　②，由①②得或因為公比q＞1，所以an＋1＞an，所以則q2＝＝4，故q＝2.
解法二　由題意知a1＞0，q＞1，
由得解得第4講　數(shù)列求和
命題點 五年考情 命題分析預測
用公式法和分組轉(zhuǎn)化法求和 2023新高考卷ⅡT18；2021新高考卷ⅠT17；2020新高考卷ⅠT18 本講是高考熱點，主要考查數(shù)列求和，常用方法有公式法、錯位相減法、裂項相消法、分組轉(zhuǎn)化法、倒序相加法，在客觀題與主觀題中都有可能出現(xiàn)，難度中等.預計2025年高考命題穩(wěn)定，常規(guī)備考的同時也要關(guān)注分段數(shù)列的形式.
用錯位相減法求和 2023全國卷甲T17；2021新高考卷ⅠT16；2021全國卷乙T19；2020全國卷ⅠT17；2020全國卷ⅢT17
用裂項相消法求和 2022新高考卷ⅠT17
用倒序相加法求和
數(shù)列求和的幾種常用方法
1.公式法
（1）直接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式求和.
（2）①12＋22＋32＋…＋n2＝，②13＋23＋33＋…＋n3＝[]2.
2.分組轉(zhuǎn)化法
（1）利用分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型
（2）思路：將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列，從而求得原數(shù)列的前n項和.如an＝bn＋cn＋…＋hn，則ak＝bk＋ck＋…＋hk.
注意　對含有參數(shù)的數(shù)列求和時要對參數(shù)進行討論.
3.錯位相減法
（1）適用的數(shù)列類型：{anbn}，其中數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列.
（2）求解思路：
Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn　①，
qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1　②，
①－②得（1－q）Sn＝a1b1＋d（b2＋b3＋…＋bn）－anbn＋1，進而利用公式法求和.
4.裂項相消法
（1）利用裂項相消法求和的基本步驟
（2）常見數(shù)列的裂項方法
數(shù)列（n為正整數(shù)） 裂項方法
{}（k為非零常數(shù)） ＝（－）
{} ＝（－）
{} ＝（－）
{} ＝－
5.倒序相加法
已知數(shù)列的特征是“與首末兩端等距離的兩項之和等于同一常數(shù)”，可用倒序相加法求和.解題時先把數(shù)列的前n項和表示出來，再把數(shù)列求和的式子倒過來寫，然后將兩個式子相加，即可求出該數(shù)列的前n項和的2倍，最后求出該數(shù)列的前n項和.
1.[教材改編]已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則S20＝　400　.
解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
由得即所以d＝－2，a1＝39，所以S20＝20×39＋×（－2）＝400.
2.[教材改編]已知an＝（－1）nn，則a1＋a2＋…＋a2n＝　n　.
解析　由題意可得，a2n－1＋a2n＝－（2n－1）＋2n＝1，∴a1＋a2＋…＋a2n＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋…＋（a2n－1＋a2n）＝1＋1＋…＋1＝n.
3.已知等差數(shù)列的前三項和為2，后三項和為4，且所有項和為64，則該數(shù)列有　64　項.
解析　設(shè)該等差數(shù)列為{an}，由題意可得，a1＋a2＋a3＝2　①，an＋an－1＋an－2＝4　②，①＋②得3（a1＋an）＝6，又64＝，可得n＝64，所以該數(shù)列有64項.
4.[易錯題]數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－10，則｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a15｜＝　130　.
解析　易知{an}為等差數(shù)列.設(shè){an}的前n項和為Sn，當an＝2n－10＝0時，n＝5，所以
｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a15｜＝－（a1＋a2＋…＋a5）＋a6＋a7＋…＋a15＝S15－2S5＝130.
研透高考 明確方向
命題點1　用公式法和分組轉(zhuǎn)化法求和
例1 [2021新高考卷Ⅰ]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝
（1）記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）求{an}的前20項和.
解析　（1）因為bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，
b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.
因為bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，
所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，
所以數(shù)列{bn}是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，bn＝2＋3（n－1）＝3n－1，n∈N*.
（2）因為an＋1＝
所以k∈N*時，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1　①，
a2k＋1＝a2k＋2　②，
a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1　③，
所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，
所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；
②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，
又a2＝2，所以數(shù)列{an}的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列.
所以數(shù)列{an}的前20項和S20＝（a1＋a3＋a5＋…＋a19）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a20）＝10＋×3＋20＋×3＝300.
訓練1 公差為2的等差數(shù)列{an}中，a1，a2，a4成等比數(shù)列.
（1）求{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn＝求{bn}的前20項和.
解析　（1）因為等差數(shù)列{an}的公差為2，
所以a2＝a1＋2，a4＝a1＋6.
因為a1，a2，a4成等比數(shù)列，
所以（a1＋2）2＝a1（a1＋6），解得a1＝2.
所以{an}的通項公式為an＝2＋（n－1）×2＝2n.
（2）因為bn＝所以b16＋b17＋…＋b20＝b11＋b12＋…＋b15＝b6＋b7＋…＋b10，
所以{bn}的前20項和：
T20＝（b1＋b2＋…＋b5）＋（b6＋b7＋…＋b10）＋（b11＋b12＋…＋b15）＋（b16＋b17＋…＋b20）
＝（b1＋b2＋…＋b5）＋3（b6＋b7＋…＋b10）
＝（a1＋a2＋…＋a5）＋3（a6＋a7＋…＋a10）
＝＋3×
＝＋3×
＝270.
命題點2　用錯位相減法求和
例2 [2023全國卷甲]記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝1，2Sn＝nan.
（1）求{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{}的前n項和Tn.
解析　（1）當n＝1時，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.
當n≥2時，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝（n－1）an－1，
兩式相減得2an＝nan－（n－1）an－1，
即（n－1）an－1＝（n－2）an，
故當n≥3時，＝，則··…·＝··…·，
整理得＝n－1，因為a2＝1，所以an＝n－1（n≥3）.
當n＝1，n＝2時，均滿足上式，所以an＝n－1.
（2）令bn＝＝，則Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋　①，
Tn＝＋＋…＋＋　②，
由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，即Tn＝2－.
方法技巧
用錯位相減法求和的注意事項
（1）在書寫qSn時注意“錯位對齊”，以方便后續(xù)運算.
（2）兩式相減時注意最后一項的符號.
（3）注意相減后的和式結(jié)構(gòu)的中間為（n－1）項的和.
訓練2 [2021全國卷乙]設(shè){an}是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝.已知a1，3a2，9a3成等差數(shù)列.
（1）求{an}和{bn}的通項公式.
（2）記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和.證明：Tn＜.
解析　（1）設(shè){an}的公比為q，則an＝qn－1.
因為a1，3a2，9a3成等差數(shù)列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故an＝，bn＝.
（2）由（1）知Sn＝＝（1－），
Tn＝＋＋＋…＋＋　①，
Tn＝＋＋＋…＋＋　②，
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝（1－）－，
整理得Tn＝－，
則Tn－＝－－（1－）＝－＜0，故Tn＜.
命題點3　用裂項相消法求和
例3 （1）已知an＝，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
（2）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，求證：Sn＜.
（3）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，求證：Sn＜.
解析　（1）易得an＝＝（－），所以Sn＝[（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＋（－）]＝（1＋－－）＝－（＋）＝－.
（2）由題意可得，an＝＝（－），
所以Sn＝[（1－）＋（－）＋…＋（－）]＝（1－）＝－.
因為＞0，所以Sn＜.
（3）易知an＝＜＝（－）.
當n＝1時，a1＝＜；
當n≥2時，Sn＝＜＋＝＋[（－）＋（－）＋…＋（－）]＝＋（－）＝－＜.綜上，Sn＜.
方法技巧
利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗裂項前后是否等價，又要注意求和時正負項消去哪些項，保留哪些項.
訓練3 [2022新高考卷Ⅰ]記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，{}是公差為的等差數(shù)列.
（1）求{an}的通項公式.
（2）證明：＋＋…＋＜2.
解析　（1）因為a1＝1，所以＝1，
又{}是公差為的等差數(shù)列，
所以＝1＋（n－1）×＝.
所以Sn＝an.
因為當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
所以an－1＝an（n≥2），
所以＝（n≥2），
所以××…××＝××…××＝（n≥2），
所以an＝（n≥2），又a1＝1也滿足上式，
所以an＝（n∈N*）.
（2）因為an＝，所以＝＝2（－），
所以＋＋…＋＝2[（1－）＋（－）＋…＋（－）]＝2（1－）＜2.
命題點4　用倒序相加法求和
例4 已知函數(shù)f（x）＝x＋sin πx－3，則f（）＋f（）＋f（）＋…＋f（）＋f（）＝　－8098　.
解析　令y＝f（）＋f（）＋…＋f（）＋f（）　①，y＝f（）＋
f（）＋…＋f（）＋f（）　②，
①＋②，得2y＝[f（）＋f（）]＋[f（）＋f（）]＋…＋[f（）＋
f（）]＋[f（）＋f（）].
因為f（x）＋f（2－x）＝x＋sin πx－3＋（2－x）＋sin[π（2－x）]－3＝－4，所以2y＝
－4×4 049，故y＝－8 098.
方法技巧
可以利用倒序相加法求和的數(shù)列所對應(yīng)的函數(shù)的圖象一般有對稱中心，所以可以對比理解記憶.
訓練4 已知數(shù)列{an}的通項an＝，則a1＋a2＋…＋a100＝（　C　）
A.98 B.99 C.100 D.101
解析　因為an＝，所以an＋a101－n＝＋＝＋＝＝2，所以a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a100＋a1＝2，所以a1＋a2＋…＋a100＝50×2＝100.第5講　數(shù)列的綜合應(yīng)用
命題點 五年考情 命題分析預測
等差、等比數(shù)列的綜合問題 2022新高考卷ⅡT17；2022天津T18；2020浙江T20；2019全國卷ⅡT19 該講的命題重點是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，數(shù)列與不等式的綜合，難度中等.預計2025年高考可能會出現(xiàn)新的數(shù)列綜合題，備考時，應(yīng)關(guān)注數(shù)列與其他知識的綜合.
數(shù)列與其他知識綜合 2023新高考卷ⅠT7；2023全國卷乙T10；2023天津T19；2021浙江T10
命題點1　等差、等比數(shù)列的綜合問題
例1 [全國卷Ⅱ]已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
（1）證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列.
（2）求{an}和{bn}的通項公式.
解析　（1）由題設(shè)得4（an＋1＋bn＋1）＝2（an＋bn），即an＋1＋bn＋1＝（an＋bn）.因為a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列.
由題設(shè)得4（an＋1－bn＋1）＝4（an－bn）＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
因為a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，
所以an＝[（an＋bn）＋（an－bn）]＝＋n－，
bn＝[（an＋bn）－（an－bn）]＝－n＋.
訓練1 已知數(shù)列{an}的首項a1＝4，{an＋1－2an}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.
（1）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式.
（2）在①bn＝an＋1－an，②bn＝log2，③bn＝這三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并加以解答.
已知數(shù)列{bn}滿足 　，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解析　（1）因為{an＋1－2an}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1－2an＝4×
2n－1＝2n＋1，
故－＝1，所以數(shù)列{}是以＝2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以＝2＋n－1＝n＋1，所以an＝（n＋1）×2n.
（2）若選條件①bn＝an＋1－an，則bn＝（n＋3）×2n，
所以Tn＝4×2＋5×22＋6×23＋…＋（n＋3）×2n，
2Tn＝4×22＋5×23＋6×24＋…＋（n＋3）×2n＋1，
兩式相減，得－Tn＝4×2＋22＋23＋…＋2n－（n＋3）×2n＋1，
所以－Tn＝8＋－（n＋3）×2n＋1＝4－（n＋2）×2n＋1，所以Tn＝（n＋2）×2n＋1－4.
若選條件②bn＝log2，則bn＝log2＝2n－1，
所以bn＋1－bn＝2（n＋1）－1－（2n－1）＝2，b1＝1，
所以{bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
所以Tn＝＝n2.
若選條件③bn＝，則bn＝＝（－），
故Tn＝（－＋－＋…＋－）＝（－）＝.
命題點2　數(shù)列與其他知識綜合
角度1　數(shù)列與函數(shù)綜合
例2 [2023福建寧德一中段考]設(shè)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函數(shù)f（x）＝＋log2的圖象上的任意兩點.
（1）當x1＋x2＝1時，求f（x1）＋f（x2）的值；
（2）設(shè)Sn＝f（）＋f（）＋…＋f（）＋f（），其中n∈N*，求Sn；
（3）對應(yīng)（2）中Sn，已知an＝（）2，其中n∈N*，設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項和，求證：≤Tn＜.
解析　（1）∵A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函數(shù)f（x）＝＋log2的圖象上的任意兩點，
∴ x1，x2∈（0，1），且當x1＋x2＝1時，
f（x1）＋f（x2）＝＋log2＋＋log2＝1＋log2＝1＋log2＝1＋log21＝1.
（2）∵＋＝＋＝＋＝…＝1，
∴由（1）知f（）＋f（）＝f（）＋f（）＝f（）＋f（）＝…＝1.
∵Sn＝f（）＋f（）＋…＋f（）＋f（），
∴2Sn＝[f（）＋f（）]＋[f（）＋f（）]＋…＋[f（）＋f（）]＝n，故Sn＝.
（3）∵an＝（）2＝（）2＝（）2，
∴Tn＝＋＋＋…＋.
∵an＞0，∴Tn＜Tn＋1，∴{Tn}是遞增數(shù)列，
∴Tn≥T1＝a1＝，又an＝＜＝＝2（－），
∴Tn＝＋＋＋…＋＋＜2（－＋－＋－＋…＋－＋－）＝2（＋－－）＝2（－－）＜，
∴≤Tn＜.
方法技巧
數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的解題策略
（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象等進行研究.
（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，一般要利用數(shù)列的有關(guān)公式對式子化簡變形.
注意　數(shù)列是自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù)，要靈活運用函數(shù)的思想方法求解.
訓練2 （1）函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x＋1）＝2f（x），且當x∈[0，1）時，
f（x）＝sin πx.當x∈[0，＋∞）時，將函數(shù)f（x）的極大值點從小到大依次記為a1，a2，a3，…，an，…，并記相應(yīng)的極大值為b1，b2，b3，…，bn，…，則數(shù)列{an＋bn}的前9項和為　　.
解析　當x∈[0，1）時，f（x）＝sin πx，此時a1＝，b1＝1.由于f（x＋1）＝2f（x），則
f（x）＝2f（x－1）.
當x∈[1，2）時，x－1∈[0，1），則f（x－1）＝sin（x－1）π，所以f（x）＝2sin（x－1）π，此時a2＝，b2＝2.
……
當x∈[n－1，n）時，x－（n－1）∈[0，1），所以f（x）＝2n－1sin[x－（n－1）]π，此時an＝，bn＝2n－1.
令cn＝an＋bn，則c1＋c2＋c3＋…＋c9＝（＋＋＋…＋）＋（1＋2＋22＋…＋28）＝＋29－1＝.
（2）設(shè)曲線y＝xn＋1（n∈N*）在點（1，1）處的切線與x軸交點的橫坐標為xn.令an＝
lg xn，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝　－lg（n＋1）　.
解析　因為y＝xn＋1（n∈N*），所以y'＝（n＋1）xn，當x＝1時，y'＝n＋1，所以曲線y＝xn＋1在點（1，1）處的切線方程為y－1＝（n＋1）（x－1），令y＝0，則x＝，即xn＝，an＝lg xn＝lg n－lg（n＋1），則Sn＝a1＋a2＋…＋an＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg n－lg（n＋1）＝－lg（n＋1）.
角度2　數(shù)列與不等式綜合
例3 [2023天津高考]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＋a5＝16，a5－a3＝4.
（1）求{an}的通項公式和ai.
（2）已知{bn}為等比數(shù)列，對于任意k∈N*，若2k－1≤n≤2k－1，則bk＜an＜bk＋1.
（i）當k≥2時，求證：2k－1＜bk＜2k＋1；
（ii）求{bn}的通項公式及其前n項和.
解析　（1）設(shè){an}的公差為d，
由得解得
所以{an}的通項公式為an＝3＋2（n－1）＝2n＋1.
＝2×2n－1＋1＝2n＋1，＝2（2n－1）＋1＝2n＋1－1.
從到共有2n－1－2n－1＋1＝2n－1（項）.
所以ai＝＝＝＝3×22n－2.（或ai＝2n－1×（2n＋1）＋×2＝3×22n－2）
（2）（i）因為當2k－1≤n≤2k－1時，bk＜an＜bk＋1，
所以當2k≤n＋1≤2k＋1－1時，bk＋1＜an＋1＜bk＋2，
可得an＜bk＋1＜an＋1.
由（1）知{an}為遞增數(shù)列，所以若2k－1≤n≤2k－1，則≤an≤，得2k＋1≤an≤2k＋1－1.
同理可得2k＋1＋1≤an＋1≤2k＋2－1.
故可得2k＋1－1＜bk＋1＜2k＋1＋1，
所以2k－1＜bk＜2k＋1.
綜上，當k≥2時，2k－1＜bk＜2k＋1.
（ii）由題意知{bn}是q≠1的正項等比數(shù)列，
設(shè){bn}的通項公式為bn＝p·qn（p＞0，q＞0且q≠1），
由（i）知，2n－1＜bn＜2n＋1，即2n－1＜p·qn＜2n＋1，
則有1－＜p·（）n＜1＋.
①當＞1，即q＞2時，
n0∈N*，使得p·（＞2，與p·（＜1＋矛盾；
②當0＜＜1，q≠1，即0＜q＜2且q≠1時，
n1∈N*，使得p·（＜，與p·（＞1－矛盾.
故q＝2.
因為2n－1＜bn＜2n＋1，所以bn＝2n.
設(shè){bn}的前n項和為Sn，則Sn＝＝2n＋1－2.
方法技巧
1.數(shù)列與不等式的綜合問題的解題策略
（1）判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性或者借助數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性求解.
（2）對于與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題，要靈活選擇不等式的證明方法，有時需構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、最值來證明.
2.放縮技巧
（1）對（n∈N*）的放縮，根據(jù)不同的要求，大致有四種情況：
①＞＝－；
②＜＝－（n≥2）；
③＜＝（－）（n≥2）；
④＜＝2（－）.
（2）對（n∈N*）的放縮，根據(jù)不同的要求，大致有兩種情況：
①＞＝－；
②＜＝－.
訓練3 [2021浙江高考]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝（n∈N*），記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則（　A　）
A.＜S100＜3 B.3＜S100＜4
C.4＜S100＜ D.＜S100＜5
解析　因為a1＝1，an＋1＝（n∈N*），所以an＞0，a2＝，所以S100＞.＝＝＋＝（＋）2－，所以＜（＋）2，兩邊同時開方可得＜＋，則＜＋，…，＜＋，由累加法可得＜＋＝1＋，所以≤1＋＝，所以≥，所以an＋1＝≤＝an，即≤，則≤，…，≤，由累乘法可得當n≥2時，an＝≤×××…××＝＝6（－），所以S100＜1＋6（－＋－＋…＋－）＝1＋6（－）＜1＋2＝3，故選A.

展開更多......

收起↑