資源簡介

第1講　集　合
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
1.（1）了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系.（2）能在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合.（3）了解全集與空集的含義. 2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集. 3.（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集.（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集.（3）能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用. 集合的概念 2022全國卷乙T1；2020全國卷ⅢT1 本講是高考必考內容.命題熱點有集合的交、并、補運算，集合的含義及集合間的基本關系，常與不等式、函數等相結合命題，考查學生的數學運算和邏輯推理素養.題型以選擇題為主，屬于送分題，解題時常借助數軸和Venn圖.預計2025年高考命題點變化不大，但應加強對集合中創新問題的重視.
集合間的基本關系 2023新高考卷ⅡT2；2021全國卷乙T2
集合的基本運算 2023新高考卷ⅠT1；2023全國卷乙T2；2023全國卷甲T1；2022新高考卷ⅠT1；2022新高考卷ⅡT1；2022全國卷乙T1；2022全國卷甲T3；2021新高考卷ⅠT1；2021新高考卷ⅡT2；2021全國卷甲T1；2021全國卷乙T2；2020新高考卷ⅠT1；2020全國卷ⅠT2；2020全國卷ⅡT1；2020全國卷ⅢT1；2019全國卷ⅠT1；2019全國卷ⅡT1；2019全國卷ⅢT1
集合中的計數問題 2019全國卷ⅢT3
集合的新定義問題
1.集合的概念
集合中元素的特征 ①　確定性　、②　互異性　、無序性
集合的表示方法 ③　列舉法　、④　描述法　、圖示法
常見數集的記法 自然數集（非負整數集），記作⑤　N　；正整數集，記作⑥　N*　或⑦　N＋　；整數集，記作⑧　Z　；有理數集，記作⑨　Q　；實數集，記作⑩　R　
元素與集合之間的關系 “屬于”或“不屬于”，分別記為“ 　∈　”或“ 　 　”
2.集合間的基本關系
關系 定義 符號語言
子集 一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中 　任意一個元素　都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集 A B（或B A）
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且 　x A，就稱集合A是集合B的真子集 　A B　（或B A）
相等 若A B，且 　B A　，則A＝B A＝B
空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .
規律總結
（1）A B（子集）
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即 A， B（B≠ ）.
（3）任何一個集合是它本身的子集，即A A.空集只有一個子集，即它本身.
（4）含有n個元素的集合的子集個數是2n，非空子集的個數是2n－1，真子集的個數是2n－1，非空真子集的個數是2n－2.
（5）對于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
3.集合的基本運算
運算 集合語言 圖形語言 符號語言
并集 {x｜x∈A，或x∈B} 　A∪B　
交集 {x｜x∈A，且x∈B} 　A∩B　
補集 {x｜x∈U，且x A} 　 UA　
常用結論
集合的運算性質
（1）A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
（2） U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）， U（A∪B）＝（ UA）∩（ UB）.
1.下列說法正確的是（　D　）
A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{（x，y）｜y＝x2}
B.方程＋（y＋2 025）2＝0的解集為{2 024，－2 025}
C.若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0或1
D.對任意兩個集合A，B，（A∩B） （A∪B）恒成立
2.若集合P＝{x∈N｜x≤}，a＝2，則（　D　）
A.a∈P B.{a}∈P C.{a} P D.a P
3.集合{a，b}的真子集的個數為　3　.
解析　解法一　集合{a，b}的真子集為 ，{a}，{b}，有3個.
解法二　集合{a，b}有2個元素，則集合{a，b}的真子集的個數為22－1＝3.
4.設a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，則a－b＝　1　.
解析　∵P＝Q，∴∴a－b＝－1－（－2）＝1.
5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，則A∩（ UB）＝　{2，4}　，（ UA）∩（ UB）＝　{6}　.
解析　∵ UA＝{1，3，6，7}， UB＝{2，4，6}，∴A∩（ UB）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（ UA）∩（ UB）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.
研透高考 明確方向
命題點1　集合的概念
例1 （1）[2022全國卷乙]設全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足 UM＝{1，3}，則（　A　）
A.2∈M B.3∈M
C.4 M D.5 M
解析　由題意知M＝{2，4，5}，故選A.
（2）[全國卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數為（　C　）
A.2 B.3
C.4 D.6
解析　由題意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的個數為4，故選C.
方法技巧
1.解決集合含義問題的三個關鍵點：一是確定構成集合的元素；二是分析元素的限制條件；三是根據元素的特征（滿足的條件）構造關系式解決相應問題.2.常見集合的含義
集合 {x｜f（x）＝0} {x｜f（x）＞0} {x｜y＝f（x）} {y｜y＝f（x）} {（x，y）｜y＝ f（x）}
代表元素 方程f（x）＝ 0的根 不等式f（x）＞0的解 函數y＝f（x）的自變量的取值 函數y＝f（x）的函數值 函數y＝f（x）圖象上的點
訓練1 （1）[多選/2024黑龍江模擬]已知集合A＝{x｜4ax2－4（a＋2）x＋9＝0}中只有一個元素，則實數a的可能取值為（　ABD　）
A.0 B.1 C.2 D.4
解析　當a＝0時，－8x＋9＝0，解得x＝，所以A＝{}，符合題意；當a≠0時，由題意，得Δ＝[4（a＋2）]2－4×4a×9＝0，解得a＝1或a＝4.故選ABD.
（2）[多選/2023江蘇省鎮江中學模擬]已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}，下列關系正確的是（　AB　）
A.（1，3）∈B B.（0，0） B
C.0∈A D.A＝B
解析　∵集合A＝{y｜y≥2}＝[2，＋∞），集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}是由拋物線y＝x2＋2上的點組成的集合，∴AB正確，CD錯誤，故選AB.
（3）已知集合A＝{0，m，m2－5m＋6}，且2∈A，則實數m的值為　1或4　.
解析　因為A＝{0，m，m2－5m＋6}，2∈A，所以m＝2或m2－5m＋6＝2.當m＝2時，m2－5m＋6＝0，不滿足集合中元素互異性，所以m＝2不符合題意.當m2－5m＋6＝2時，m＝1或m＝4，
若m＝1，A＝{0，1，2}符合題意；若m＝4，A＝{0，4，2}符合題意.所以實數m的值為1或4.
命題點2　集合間的基本關系
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，則a＝（　B　）
A.2 B.1 C. D.－1
解析　依題意，有a－2＝0或2a－2＝0.當a－2＝0時，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A B；當2a－2＝0時，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，滿足A B.所以a＝1，故選B.
（2）[2024山西太原模擬]滿足條件{1，2} A {1，2，3，4，5}的集合A的個數是（　C　）
A.5 B.6 C.7 D.8
解析　解法一　因為集合{1，2} A {1，2，3，4，5}，所以集合A可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共 7 個.故選C.
解法二　問題等價于求集合{3，4，5}的真子集的個數，則共有23－1＝7個.故選C.
方法技巧
1.求集合的子集個數，常借助列舉法和公式法求解.
2.根據兩集合間的關系求參數，常根據集合間的關系轉化為方程（組）或不等式（組）求解，求解時注意集合中元素的互異性和端點值能否取到.
注意　在涉及集合之間的關系時，若未指明集合非空，則要考慮空集的情況，如已知集合A、非空集合B滿足A B或A B，則有A＝ 和A≠ 兩種情況.
訓練2 （1）設集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關系是（　D　）
A.M＝P B.P∈M
C.M P D.P M
解析　∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P M.故選D.
（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B A，則實數m的取值范圍為　（－∞，3]　.
解析　因為B A，所以分以下兩種情況：
①若B＝ ，則2m－1＜m＋1，此時m＜2；
②若B≠ ，則解得2≤m≤3.
由①②可得，符合題意的實數m的取值范圍為（－∞，3].
命題點3　集合的基本運算
角度1　集合的交、并、補運算
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，則M∩N＝（　C　）
A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}
C.{－2} D.{2}
解析　解法一 因為N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故選C.
解法二　因為1 N，所以1 M∩N，排除A，B；因為2 N，所以2 M∩N，排除D.故選C.
（2）[2023全國卷甲]設全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，則 U（M∪N）＝（　A　）
A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.
解析　解法一　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故選A.
解法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整數集，則它在整數集中的補集是恰好能被3整除的整數集，故選A.
角度2　已知集合運算結果求參數
例4 （1）[全國卷Ⅰ]設集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，則a＝（　B　）
A.－4 B.－2 C.2 D.4
解析　易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝{x｜x≤－}，因為A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故選B.
（2）已知集合A＝{x｜y＝ln（1－x2）}，B＝{x｜x≤a}，若（ RA）∪B＝R，則實數a的取值范圍為（　B　）
A.（1，＋∞） B.[1，＋∞）
C.（－∞，1） D.（－∞，1]
解析　由題可知A＝{x｜y＝ln（1－x2）}＝{x｜－1＜x＜1}， RA＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以由（ RA）∪B＝R，B＝{x｜x≤a}，得a≥1.
方法技巧
1.處理集合的交、并、補運算時，一是要明確集合中的元素是什么，二是要能夠化簡集合，得出元素滿足的最簡條件.
2.對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可借助Venn圖求解；如果集合中的元素是連續的，可借助數軸求解，此時要注意端點的情況.
訓練3 （1）[2023全國卷乙]設集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，則{x｜x≥2}＝（　A　）
A. U（M∪N） B.N∪ UM
C. U（M∩N） D.M∪ UN
解析　由題意知M∪N＝{x｜x＜2}，所以 U（M∪N）＝{x｜x≥2}，故選A.
（2）[2023江西省聯考]已知集合A＝{（x，y）｜（x－1）2＋y2＝1}，B＝{（x，y）｜kx－y－2＜0}.若A∩B＝A，則實數k的取值范圍是（　A　）
A.（－∞，） B.（，3）
C.（，＋∞） D.（－∞，]
解析　因為A∩B＝A，所以A B，則圓（x－1）2＋y2＝1在直線y＝kx－2的上方，則解得k＜.
命題點4　集合中的計數問題
例5 [全國卷Ⅲ]《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為（　C　）
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
解析　解法一　由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數為 90－80＋60＝70，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為70÷100＝0.7.故選C.
解法二　用Venn圖表示調查的100位學生中閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數之間的關系，如圖，
易知調查的100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數為70，所以該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為＝0.7.故選C.
方法技巧
集合中元素的個數問題的求解策略
關于集合中元素的個數問題，常借助Venn圖或用公式card（A∪B）＝card（A）＋
card（B）－ card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－
card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的個數）求解.
訓練4 向50名學生調查對A，B兩種觀點的態度，結果如下：贊成觀點A的學生人數是全體人數的，其余的不贊成；贊成觀點B的學生人數比贊成觀點A的多3人，其余的不贊成；另外，對觀點A，B都不贊成的學生人數比對觀點A，B都贊成的學生人數的多1人，則對觀點A，B都贊成的學生有　21　人.
解析　贊成觀點A的學生人數為50×＝30，贊成觀點B的學生人數為30＋3＝33.如圖，記50名學生組成的集合為U，贊成觀點A的學生全體為集合A，贊成觀點B的學生全體為集合B.設對觀點A，B都贊成的學生人數為x，則對觀點A，B都不贊成的學生人數為＋1，贊成觀點A或贊成觀點B的學生人數為30＋33－x.依題意30＋33－x＋＋1＝50，解得x＝21.故對觀點A，B都贊成的學生有21人.
命題點5　集合的新定義問題
例6 （1）[2024上海市晉元高級中學模擬]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A M，定義M（A）為A中元素的最小值，當A取遍M的所有非空子集時，對應的
M（A）的和記為S，則S＝　120　.
解析　由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1個，其中最小值為1的有25個，最小值為2的有24個，最小值為3的有23個，最小值為4的有22個，最小值為5的有21個，最小值為6的有20個，故S＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋1×6＝120.
（2）若一個集合是另一個集合的子集，則稱這兩個集合構成“全食”；若兩個集合有公共元素但不互為對方的子集，則稱兩個集合構成“偏食”.已知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}和集合B＝{x｜x2－x－2＜0}，若集合A，B構成“偏食”，則實數t的取值范圍為　（1，2）　.
解析　由題意，可知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}，集合B＝{x｜－1＜x＜2}，因為集合A，B構成“偏食”，所以解得1＜t＜2.所以實數t的取值范圍為（1，2）.
方法技巧
解決集合新定義問題的關鍵
緊扣新定義，分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，結合題目所給定義和要求進行恰當轉化，切忌同已有概念或定義混淆.
訓練5 [多選/2023山東省淄博一中月考]在整數集Z中，被5除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z}（k＝0，1，2，3，4），給出如下四個結論，正確結論為（　ACD　）
A.2 023∈[3]
B.－2∈[2]
C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
D.整數a，b屬于同一“類”的充要條件是a－b∈[0]
解析　由2 023÷5＝404……3，得2 023∈[3]，故A正確；－2＝5×（－1）＋3，所以
－2∈[3]，故B錯誤；因為整數集中的被5除的數可以且只可以分成五類，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正確；因為整數a，b屬于同一“類”，所以整數a，b被5除的余數相同，從而a－b被5除的余數為0，反之也成立，故整數a，b屬于同一“類”的充要條件是a－b∈[0]，故D正確.故選ACD.第2講　常用邏輯用語
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
1.理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關系. 2.理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系. 3.理解充要條件的意義，理解數學定義與充要條件的關系. 4.理解全稱量詞與存在量詞的意義. 5.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定，能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定. 充分條件與必要條件 2023新高考卷ⅠT7；2023全國卷甲T7；2022北京T6；2022浙江T4；2022天津T2；2021全國卷甲T7；2021北京T3；2021浙江T3；2021天津T2；2020北京T9；2020浙江T6；2020天津T2；2019北京T7；2019浙江T5；2019天津T3 本講主要以其他知識為情境考查充分條件、必要條件的判斷及簡單應用，全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷及含有一個量詞的命題的否定，對學生的邏輯推理素養要求較高.題型以選擇題為主，難度中等偏易.預計2025年高考命題點變化不大，平時訓練中應注重不同知識之間的綜合.
全稱量詞與存在量詞 2021全國卷乙T3
1.充分條件、必要條件與充要條件
若p q，則p是q的①　充分　條件，q是p的②　必要　條件
p是q的③　充分不必要　條件 p q且p q
p是q的④　必要不充分　條件 p q且p q
p是q的⑤　充要　條件 p q
p是q的⑥　既不充分也不必要　條件 p q且q p
常用結論
充分、必要條件與對應集合之間的關系
設A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}.
（1）若p是q的充分條件，則A B；若p是q的必要條件，則A B.
（2）若p是q的充分不必要條件，則A B；若p是q的必要不充分條件，則A B.
（3）若p是q的充要條件，則A＝B.
2.全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞與存在量詞
量詞名稱 常見的量詞 表示符號
全稱量詞 所有的、一切、任意一個、每一個、任給等 ⑦　 　
存在量詞 存在一個、至少有一個、有一個、有的、有些、對某些等 ⑧　 　
（2）全稱量詞命題與存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中任意一個x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立
簡記 ⑨　 x∈M，p（x）　 ⑩　 x∈M，p（x）　
否定 x∈M， p（x） 　 x∈M， p（x）　
注意　 1. p（x）表示p（x）不成立.
2.含有一個量詞的命題的否定規律是：改寫量詞，否定結論.對于省略了量詞的命題，則需要根據命題的含義加上量詞，再改寫.
3.命題p與 p（p的否定）真假相反.
1.下列說法不正確的是（　D　）
A.p是q的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件
B.“三角形的內角和為180°”是全稱量詞命題
C.已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B
D.命題“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命題
2.“x是整數”是“2x＋1是整數”的（　A　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析　若x是整數，則2x＋1是整數；當x＝時，2x＋1是整數，但x不是整數，所以“x是整數”是“2x＋1是整數”的充分不必要條件.故選A.
3.已知命題p：所有的三角函數都是周期函數，則 p為　有些三角函數不是周期函數　.
研透高考 明確方向
命題點1　充分條件與必要條件
角度1　充分條件與必要條件的判斷
例1 （1）[2023天津高考]“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（　B　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件
解析　因為“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，所以本題可以轉化為判斷“a＝－b或a＝b”與“a＝b”的關系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分條件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件.故選B.
（2）[2023全國卷甲]設甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，則（　B　）
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
解析　甲等價于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價于sin α＝±cos β，所以由甲不能推導出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分條件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，兩邊同時平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推導出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.
角度2　充分條件、必要條件中的含參問題
例2 （1）若x＞0，則x＋≥a恒成立的一個充分條件是（　B　）
A.a＞80 B.a＜80 C.a＞100 D.a＜100
解析　當x＞0時，x＋≥2，當且僅當x＝時，“＝”成立，因為x＋≥a（x＞0）恒成立，所以a≤2，80＜2＜100，結合各選項知x＋≥a恒成立的一個充分條件為a＜80.（注意區分“p是q的充分條件”與“p的充分條件是q”）
故選B.
（2）已知p：｜1－｜≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且q是p的必要不充分條件，則實數m的取值范圍為　[9，＋∞）　.
解析　由｜1－｜≤2，得－2≤x≤10，故p對應的集合為N＝{x｜－2≤x≤10}.由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），得1－m≤x≤1＋m，故q對應的集合為M＝{x｜1－m≤x≤1＋m，m＞0}.
因為q是p的必要不充分條件，所以N M，所以（1－m＝－2與1＋m＝10不會同時成立）
解得m≥9，所以實數m的取值范圍為[9，＋∞）.
方法技巧
1.充分條件與必要條件的判斷方法
（1）定義法：根據“若p，則q”及“若q，則p”的真假進行判斷，適用于定義、定理等判斷性問題.
（2）集合法：根據p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷.
2.已知充分、必要條件求參數取值范圍的方法
把充分、必要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出有關參數的不等式（組）求解.
注意　（1）條件的等價變形；（2）區間端點值的檢驗.
訓練1 （1）[2024湖北部分重點中學聯考]設m∈R，a＝（m，1），b＝（4，m），c＝（1，－2），則b⊥c是a∥b的（　A　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析　若b⊥c，則4－2m＝0，得m＝2，即b⊥c m＝2；若a∥b，則m2＝4，得m＝±2，即a∥b m＝±2.因為m＝2是m＝±2的充分不必要條件，所以b⊥c是a∥b的充分不必要條件，故選A.
（2）[多選/2023沈陽市三檢]已知空間中的兩條直線m，n和兩個平面α，β，則α⊥β的充分條件是（　ACD　）
A.m⊥α，m∥β B.m α，n β，m⊥n
C.m α，m∥n，n⊥β D.m⊥n，m⊥α，n⊥β
解析　對A，因為m∥β，所以在平面β內存在直線l，使得m∥l，又m⊥α，所以l⊥α，又l β，所以α⊥β，所以選項A符合題意；
對B，若m α，n β，m⊥n，則平面α，β不一定垂直，例如在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB 平面ABCD，B1C1 平面A1B1C1D1，且AB⊥B1C1，但平面ABCD與平面A1B1C1D1不垂直，所以選項B不符合題意；
對C，因為m∥n，n⊥β，所以m⊥β，又m α，所以α⊥β，所以選項C符合題意；
對D，因為m⊥α，n⊥β，所以直線m，n對應的方向向量分別為平面α，β的法向量，又m⊥n，所以平面α，β的法向量垂直，所以α⊥β，所以選項D符合題意.
綜上，選ACD.
命題點2　全稱量詞與存在量詞
角度1　全稱量詞命題和存在量詞命題的否定及真假判斷
例3 （1）[2023遼寧名校聯考]已知命題p： x＜－1，2x－x－1＜0，則 p為（　B　）
A. x≥－1，2x－x－1≥0 B. x＜－1，2x－x－1≥0
C. x＜－1，2x－x－1≥0 D. x≥－1，2x－x－1≥0
解析　因為命題p： x＜－1，2x－x－1＜0，則 p： x＜－1，2x－x－1≥0.故選B.
（2）[2023湖北模擬]下列命題為真命題的是（　C　）
A. x∈R，x2－｜x｜＋1≤0 B. x∈R，－1≤≤1
C. x∈R，（ln x）2≤0 D. x∈R，sin x＝3
解析　因為x2－｜x｜＋1＝（｜x｜－）2＋＞0恒成立，所以 x∈R，x2－｜x｜＋1≤0是假命題；當x＝時，＝2，所以 x∈R，－1≤≤1是假命題；當x＝1時，ln x＝0，所以 x∈R，（ln x）2≤0是真命題；因為－1≤sin x≤1，所以 x∈R，sin x＝3是假命題.故選C.
角度2　已知全稱（存在）量詞命題的真假求參數的取值范圍
例4 （1）若命題“ x＞0，ln x－x2－a＜0”為假命題，則實數a的取值范圍是（　D　）
A.（－∞，e] B.（－∞，1]
C.（－∞，] D.（－∞，－]
解析　命題“ x＞0，ln x－x2－a＜0”為假命題，則命題“ x＞0，ln x－x2－a≥0”為真命題.由ln x－x2－a≥0，得a≤lnx－x2.設g（x）＝ln x－x2，則原問題可轉化為a≤g（x）max，g'（x）＝－x＝.令g'（x）＞0，得0＜x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，則g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減，從而g（x）≤g（1）＝－，故a≤－.故選D.
（2）[2024江蘇南通學業質量監測]設命題p： x∈R，ax2－x＋1≤0.寫出一個實數a＝
　0（答案不唯一）　，使得p為真命題.
解析　當a＝0時，－x＋1≤0有解；當a≠0時，或a＜0，所以a∈（0，]∪
（－∞，0）.綜上，a≤，即a≤中任取一個值都可以.
方法技巧
1.判定全稱量詞命題是真命題，需證明所有對象使命題成立；判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個對象使命題成立即可.當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.
2.由命題真假求參數的范圍，一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化，得到關于參數的方程或不等式（組），再通過解方程或不等式（組）求解.
訓練2 （1）[2023河北省鹽山中學三模]已知命題p： x≥0，ln（x＋1）≥0且tan x＜1，則 p為（　C　）
A. x＜0，ln（x＋1）＜0且tan x≥1
B. x＜0，ln（x＋1）＜0或tan x≥1
C. x≥0，ln（x＋1）＜0或tan x≥1
D. x≥0，ln（x＋1）＜0且tan x≥1
解析　由含有一個量詞的命題的否定規律易知C正確.
（2）若命題“ a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”為假命題，則實數x的取值范圍為（　C　）
A.[－1，4] B.[0，]
C.[－1，0]∪[，4] D.[－1，0）∪（，4]
解析　命題“ a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”為假命題，則其否定為真命題，（命題與命題的否定真假相反）
即“ a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a≥0”為真命題.令g（a）＝ax2－（2a－1）x＋3－a＝（x2－2x－1）a＋x＋3，a∈[－1，3]，則g（a）≥0恒成立，所以即得所以實數x的取值范圍為[－1，0]∪[，4].故選C.
（3）[多選/2024重慶市合川區模擬]已知命題p： x∈R，x2＋1＜2x；命題q：若mx2－mx－1≠0恒成立，則－4＜m＜0.則（　BC　）
A.p的否定是假命題 B.q的否定是真命題
C.p與q都是假命題 D.p與q都是真命題
解析　對于命題p：因為x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以x2＋1≥2x，即不存在x，使x2＋1＜2x，故命題p是假命題，則命題p的否定是真命題.對于命題q：若mx2－mx－1≠0恒成立，則當m＝0時，－1≠0，原不等式恒成立；當m≠0時，Δ＝m2＋4m＜0，得－4＜m＜0.綜合得－4＜m≤0，故命題q是假命題，則命題q的否定是真命題.綜上所述，選項A錯誤、B正確、C正確、D錯誤.故選BC.第3講　等式性質與不等式性質
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質. 比較兩個數（式）的大小 2022全國卷甲T12；2020全國卷ⅢT12 本講很少單獨命題，常與其他知識綜合命題，命題熱點有比較大小，不等式性質的應用等，主要考查學生的數學運算和邏輯推理素養.題型以選擇題和填空題為主，難度中等，預計2025年高考命題點變化不大，復習備考時要掌握等式與不等式的性質，并能充分運用.
不等式的性質及其應用 2020新高考卷ⅠT11；2019全國卷ⅡT6
1.兩個實數比較大小的方法
關系 方法
作差法 作商法
a＞b a－b＞0 ＞1（a，b＞0）或①　＜　1（a，b＜0）
a＝b a－b＝0 ＝1（b≠0）
a＜b a－b＜0 ＜1（a，b＞0）或②　＞　1（a，b＜0）
2.等式的性質
對稱性 如果a＝b，那么b＝a
傳遞性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c
可加（減）性 如果a＝b，那么a±c＝b±c
可乘性 如果a＝b，那么ac＝bc
可除性 如果a＝b，c≠0，那么＝
3.不等式的性質
性質 性質內容
對稱性 a＞b ③　b＜a　
傳遞性 a＞b，b＞c ④　a＞c　
可加性 a＞b a＋c＞b＋c
可乘性 a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ⑤　ac＜bc　
同向可加性 a＞b，c＞d ⑥　a＋c＞b＋d　
同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 ⑦　ac＞bd　
同正可乘方性 a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）
常用結論
1.a＞b＞0 ＞.
2.（1）a＞b，ab＞0 ＜；（2）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
3.a＞b＞0，m＞0 ＜，＞.
1.已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，則（　C　）
A.t＞s B.t≥s C.t≤s D.t＜s
解析　因為t－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，所以t≤s.故選C.
2.[易錯題]設a，b∈[0，＋∞），A＝＋，B＝，則A，B的大小關系是（　B　）
A.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B
解析　由題意得，A2－B2＝2≥0，又A≥0，B≥0，故A≥B.
3.[多選]下列說法不正確的是（　AD　）
A.一個不等式的兩邊同時加上或同時乘以同一個數，不等號方向不變
B.若a＞b＞0，c＞d＞0，則＞
C.若ab＞0，a＞b，則＜
D.若x＞y，則x2＞y2
4.[教材改編]已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，則2a－b的取值范圍是　（5，8）　.
解析　∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6　①.∵－2＜b＜－1，∴1＜－b＜2　②.①＋②得，5＜2a－b＜8.
研透高考 明確方向
命題點1　比較兩個數（式）的大小
例1 （1）[2024湖北襄陽宜城第一中學模擬]已知0＜a＜，若A＝1＋a2，B＝，則A與B的大小關系是（　A　）
A.A＜B B.A＞B C.A＝B D.不確定
解析　A－B＝1＋a2－＝＝＝，因為0＜a＜，所以
1－a＞0，－a2＋a－1＝－（a－）2－＜－＜0，所以A－B＜0，即A＜B.故選A.
（2）eπ·πe與ee·ππ 的大小關系為　eπ·πe＜ee·ππ　.
解析　＝＝（）π－e，又0＜＜1，0＜π－e＜1，所以（）π－e＜1，即＜1，又ee·ππ＞0，所以eπ·πe＜ee·ππ.
方法技巧
比較數（式）大小的常用方法
1.作差法：（1）作差；（2）變形；（3）定號；（4）得出結論.
2.作商法：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商與1的大小關系；（4）得出結論.
3.構造函數，利用函數的單調性比較大小.
訓練1 （1）若a＞b＞1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關系是（　C　）
A.P＞Q B.P＝Q C.P＜Q D.不能確定
解析　P，Q作商可得＝＝.
令f（x）＝，則f'（x）＝，
當x＞1時，f'（x）＞0 ，所以f（x）在（1，＋∞）上單調遞增，
因為a＞b＞1，所以＜，
又＞0，＞0，
所以＝＜1，所以P＜Q.
（2）[多選/2023江蘇省南京市調研]已知a＞b＞0，則（　AC　）
A.＞
B.a－＞b－
C.a3－b3＞2（a2b－ab2）
D.－＞－
解析　對于A，因為函數y＝在（0，＋∞）上單調遞減，a＞b＞0，所以＞，故A正確.
對于B，解法一　由a－＞b－，得a－b＋－＞0，即（a－b）（1－）＞0，
因為a＞b＞0，所以a－b＞0，ab＞0，
所以1－＞0，
所以ab＞1，而該式不一定成立，
所以不等式a－＞b－不一定成立，故B不正確.
解法二　當a＝，b＝時，a－＝－，b－＝－，則a－＜b－，故B不正確.
對于C，由a3－b3＞2（a2b－ab2），得（a－b）（a2－ab＋b2）＞0，因為a－b＞0，
所以a2＋b2－ab＞0，即（a－b）2＋ab＞0，該不等式恒成立，故C正確.
對于D，由－＞－，得－＞－，即＞，
所以＋＞＋，該不等式不成立，故D不正確.
綜上所述，選AC.
命題點2　不等式的性質及其應用
角度1　不等式的性質
例2 （1）[全國卷Ⅱ]若a＞b，則（　C　）
A.ln（a－b）＞0 B.3a＜3b
C.a3－b3＞0 D.｜a｜＞｜b｜
解析　解法一　由函數y＝ln x的圖象（圖略）知，當0＜a－b＜1時，ln（a－b）＜0，故A不正確；因為函數y＝3x在R上單調遞增，所以當a＞b時，3a＞3b，故B不正確；因為函數y＝x3在R上單調遞增，所以當a＞b時，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正確；當b＜a＜0時，｜a｜＜｜b｜，故D不正確.故選C.
解法二　當a＝0.3，b＝－0.4時，ln（a－b）＜0，3a＞3b，｜a｜＜｜b｜，故排除A，B，D.故選C.
（2）[多選/2023湖南省邵陽二中模擬]如果a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列結論一定正確的是（　ACD　）
A.ab＞ac B.cb2＜ab2
C.c（b－a）＞0 D.ac（a－c）＜0
解析　由c＜b＜a，且ac＜0，得a＞0，c＜0.對于A，由c＜b，a＞0得ac＜ab，故A正確.對于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，顯然B不一定正確.對于C，b－a＜0，c＜0，故c（b－a）＞0，故C正確.對于D，ac＜0，a－c＞0，故ac（a－c）＜0，故D正確.故選ACD.
方法技巧
判斷不等式是否成立的常用方法
（1）利用不等式的性質驗證，應用時注意前提條件；
（2）利用特殊值法排除錯誤選項，進而得出正確選項；
（3）根據式子特點，構造函數，利用函數的單調性進行判斷.
角度2　不等式性質的綜合應用
例3 （1）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，則的取值范圍是（　A　）
A.（－3，－1） B.（－1，－）
C.（－2，－1） D.（－1，－）
解析　因為a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因為a＞b＞c，所以
－2a－c＜a，即3a＞－c，解得＞－3，將b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得＜－1，所以－3＜＜－1.故選A.
（2）[2024湖北孝感部分學校模擬]已知實數a，b滿足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，則3a－2b的取值范圍為　[－4，11]　.
解析　設3a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）a＋（m－n）b，則解得所以3a－2b＝（a＋b）＋（a－b）.又－≤（a＋b）≤1，－≤（a－b）≤10，所以－4≤3a－2b≤11.
方法技巧
利用不等式性質可以求某些代數式的取值范圍，解決的方法是先利用待定系數法建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，再利用不等式的性質求解.
訓練2 （1）[2024吉林長春東北師范大學附屬中學模擬]設a≥b≥c，且1是關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個實根，則的取值范圍是（　A　）
A.[－2，－]
B.（－2，－）
C.（－∞，－2）∪（－，＋∞）
D.（－∞，－2]∪[－，＋∞）
解析　因為1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個實根，
所以a＋b＋c＝0，則b＝－a－c，
又a≥b≥c，所以a≥－a－c≥c，則
又a≥b≥c，所以3a≥a＋b＋c＝0，又a≠0，所以a＞0，
則不等式組等價于即故－2≤≤－，故選A.
（2）[多選/2024山東省鄄城縣第一中學模擬]已知a，b，c∈R，則下列命題為真命題的是（　ABC　）
A.若bc2＜ac2，則b＜a
B.若a3＞b3且ab＜0，則＞
C.若a＞b＞c＞0，則＞
D.若c＞b＞a＞0，則＞
解析　選項A，若bc2＜ac2成立，則c≠0，所以c2＞0，故選項A正確；
選項B，由a3＞b3得a＞b，又ab＜0，所以a＞0＞b，所以＞0＞，故選項B正確；
選項C，因為a＞b＞c＞0，所以ac＞bc，所以ac＋ab＞bc＋ab，因為＞0，所以兩邊同乘得＞，故選項C正確；
選項D，易知a－b＜0，c－a＞0，c－b＞0，所以－＝＜0，即＜，故選項D不正確.
故選ABC.第4講　基本不等式
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
掌握基本不等式≤（a，b≥0）.結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題. 利用基本不等式求最值 2021天津T13；2020新高考卷ⅠT11；2020天津T14；2019天津T13 本講是高考的熱點，常作為工具與其他知識綜合考查，主要考查基本不等式及其應用，如求最值、證明不等式、求參數的取值范圍等，解題時要注意應用基本不等式的三個前提條件.題型以選擇題、填空題為主，難度不大.預計2025年高考命題點變化不大，但應加強對應用基本不等式解決實際問題的重視.
基本不等式的綜合問題 2022新高考卷ⅡT12；2021浙江T8；2020新高考卷ⅡT12
1.基本不等式：≤
（1）基本不等式成立的條件：①　a＞0，b＞0　.
（2）等號成立的條件：當且僅當②　a＝b　時取等號.
（3）其中，③　　叫做a，b的算術平均數，④　　叫做a，b的幾何平均數.基本不等式表明：正數a，b的算術平均數不小于它們的幾何平均數.
注意　若a＜0，b＜0，應先轉化為－a＞0，－b＞0，再運用基本不等式求解.
2.幾個重要不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R，當且僅當a＝b時取等號）.
（2）a＋b≥2（a＞0，b＞0，當且僅當a＝b時取等號）.
（3）≤≤≤（a＞0，b＞0，當且僅當a＝b時取等號）.
思維拓展
基本不等式鏈的幾何解釋
如圖，AB是☉O的直徑，AC＝a，CB＝b，點D，F在☉O上，且DC⊥AB，FO⊥AB，連接DA，DO，DB，FC，作CE⊥DO，垂足為E.由圖可知，☉O的半徑等于＝＝.
（1）因為DC是Rt△ADB斜邊上的高，所以由射影定理得DC2＝AC·CB＝ab DC＝.由DO≥DC得≥，當且僅當C與O重合，即a＝b時不等式取等號.
（2）因為CE是Rt△DOC斜邊上的高，所以由射影定理得DC2＝DE·DO，所以DE＝＝＝.由DC≥DE得≥，當且僅當C與E重合，即a＝b時不等式取等號.
（3）因為OC＝AC－AO＝a－＝，OF＝，所以在Rt△COF中，由勾股定理可得CF＝＝＝.由CF≥OF得≥，當且僅當C與O重合，即a＝b時不等式取等號.
則由（1）（2）（3）可得不等式鏈：≤≤≤，當且僅當a＝b時不等式取等號.
拓展思維：類似地，我們可以由DO≥DE得≥；由CF≥DE得≥；由CF≥DC得≥.
歸納總結：不等式鏈≤≤≤一共包含了6個不等式（它們取等號的條件一致，均是當且僅當a＝b時不等式取等號），對于其中的每一個不等式，我們都可以根據上圖給出它的幾何解釋.
注意　，，，分別稱為正實數a，b的調和平均數、幾何平均數、算術平均數、平方平均數，故基本不等式鏈也稱為均值不等式.
3.利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0.
（1）如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y取得最小值⑤　2　（簡記：積定和最小）；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy取得最大值⑥　　（簡記：和定積最大）.
注意　應用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正”“二定”“三相等”.
1.下列說法正確的是（　C　）
A.函數y＝x＋的最小值是2
B.函數f（x）＝cos x＋，x∈（0，）的最小值為4
C.“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充分不必要條件
D.不等式a2＋b2≥2ab與≥有相同的成立條件
2.矩形兩邊長分別為a，b，且a＋2b＝6，則矩形面積的最大值是（　B　）
A.4 B. C. D.2
解析　依題意可得a＞0，b＞0，則6＝a＋2b≥2＝2·，當且僅當a＝2b時取等號，所以ab≤＝，即矩形面積的最大值為.故選B.
3.已知a，b為正數，則下列不等式中不成立的是（　D　）
A.ab≤ B.ab≤（）2 C.≥ D.≥
解析　易知A，B成立；對于C，因為a2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥（a＋b）2，所以≥（）2，所以≥，故C成立；對于D，取a＝4，b＝1，代入可知，不等式不成立，故D不成立.由以上分析可知，選D.
4.[教材改編]已知x＞2，則＋x的最小值是　6　.
解析　由x＞2知x－2＞0，則＋x＝＋（x－2）＋2≥2＋2＝6，當且僅當＝x－2，即x＝4時取“＝”，所以＋x的最小值是6.
研透高考 明確方向
命題點1　利用基本不等式求最值
角度1　配湊法
例1 （1）[2024四川省南充第一中學模擬]已知a＞b＞0，則2a＋＋的最小值為（　D　）
A.4 B.6 C.3 D.10
解析　∵a＞b＞0，∴a＋b＞0，a－b＞0，∴2a＋＋＝[（a＋b）＋]＋[（a－b）＋]≥2＋2＝6＋4＝10，當且僅當a＋b＝且a－b＝，即a＝，b＝時取等號，故2a＋＋的最小值為10.故選D.
（2）[2024寧夏銀川模擬]已知0＜x＜4，則的最大值為　2　.
解析　0＜x＜4，則0＜4－x＜4，由基本不等式可得≤＝2，當且僅當x＝4－x，即x＝2時，等號成立.故的最大值為2.
角度2　常數代換法
例2 （1）[2023江西省南昌一中模擬]已知正數a，b滿足8a＋4b＝ab，則8a＋b的最小值為（　C　）
A.54 B.56 C.72 D.81
解析　解法一　因為8a＋4b＝ab，所以b＝＞0，因為a＞0，所以a＞4，所以8a＋b＝8a＋＝＝8[（a－4）＋＋5]≥8×（2＋5）＝72，當且僅當a＝6時取等號.故選C.
解法二　∵8a＋4b＝ab，a＞0，b＞0，∴＋＝1，∴8a＋b＝（8a＋b）（＋）＝＋＋40≥2＋40＝72，當且僅當＝，即a＝6，b＝24時取“＝”，故選C.
（2）[山東高考]若直線＋＝1（a＞0，b＞0）過點（1，2），則2a＋b的最小值為8.
解析　∵直線＋＝1（a＞0，b＞0）過點（1，2），∴＋＝1.∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝（2a＋b）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，當且僅當＝和＋＝1同時成立，即a＝2，b＝4時等號成立，∴2a＋b的最小值為8.
角度3　消元法
例3 （1）[2024河南名校調研]若正數x，y滿足xy－2x－y＝0，則x＋的最小值是（　C　）
A.2 B.2 C.4 D.4
解析　因為正數x，y滿足xy－2x－y＝0，所以y＝＞0，則x－1＞0，所以x＋＝x＋＝x＋＋1＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當x－1＝，即x＝2時，等號成立.故選C.
（2）[江蘇高考]已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），則x2＋y2的最小值是　　.
解析　解法一　由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，則x2＋y2＝＋≥2＝，當且僅當＝，即y2＝時取等號，故x2＋y2的最小值是.
解法二　因為4＝（5x2＋y2）·4y2≤[]2＝，所以x2＋y2≥，當且僅當5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝時取等號，故x2＋y2的最小值是.
方法技巧
1.基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.
2.配湊、常數代換、消元的目的都是為了湊出和為定值或者積為定值的形式.
3.多次使用基本不等式時，尤其要注意等號能否同時成立.
訓練1 （1）[2024遼寧省阜新市高級中學模擬]兩個正實數x，y滿足＋＝1，若關于m的不等式x＋＜m2＋3m有解，則實數m的取值范圍是（　C　）
A.（－1，4） B.（－4，1）
C.（－∞，－4）∪（1，＋∞） D.（－∞，－3）∪（0，＋∞）
解析　∵正實數x，y滿足＋＝1，∴x＋＝（x＋）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當＝且＋＝1，即x＝2，y＝8時取等號.∵不等式x＋＜m2＋3m有解，∴4＜m2＋3m，解得m＞1或m＜－4，即m∈（－∞，－4）∪（1，＋∞）.故選C.
（2）[2021天津高考]若a＞0，b＞0，則＋＋b的最小值為　2　.
解析　因為＋＋b≥2＋b＝＋b≥2，當且僅當即a＝b＝時取等號，所以＋＋b的最小值為2.
（3）[2024上海市松江二中高三上學期階段測]設正實數x，y，z滿足4x2－3xy＋y2－z＝0，則的最大值為　1　.
解析　因為4x2－3xy＋y2－z＝0，所以z＝4x2－3xy＋y2，所以＝＝≤＝＝1，當且僅當＝，即y＝2x時等號成立，所以的最大值為1.
命題點2　基本不等式的綜合問題
角度1　基本不等式的綜合應用
例4 （1）[2021浙江高考]已知α，β，γ是互不相同的銳角，則在sin αcos β，sin βcos γ，
sinγcosα三個值中，大于的個數的最大值是（　C　）
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　因為α，β，γ是互不相同的銳角，所以sin α，cos β，sin β，cos γ，sin γ，cos α均為正數.由基本不等式可知sin αcos β≤，sin βcos γ≤，sin γcosα≤
，三式相加可得sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcosα≤，當且僅當sin α＝
cos β，sin β＝cos γ，sin γ＝cos α，即α＝β＝γ＝時取等號，因為α，β，γ是互不相同的銳角，所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcosα＜，所以sin αcos β，sin βcos γ，sin γcosα不會都大于.若取α＝，β＝，γ＝，則sincos＝×＝＜，sincos＝×＝＞＝，sincos＝×＝＞，所以三個值中大于的個數的最大值為2.故選C.
（2）[多選/2022新高考卷Ⅱ]若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則（　BC　）
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
解析　解法一　由題意得，x2＋y2＝xy＋1，所以（x＋y）2＝3xy＋1，當x＞0且y＞0時，顯然有（x＋y）2＞1，即x＋y＞1，故A錯誤.因為x2＋y2≥2xy，所以xy＋1≥2xy，所以xy≤1，所以x2＋y2≤2，當且僅當x＝y時等號成立，故C正確.因為（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝3xy＋1≤4，所以｜x＋y｜≤2，所以－2≤x＋y≤2，故B正確.因為x2＋y2＝xy＋1，所以當xy＜0時，x2＋y2＜1，故D錯誤.故選BC.
解法二　由x2＋y2－xy＝（x－y）2＋y2＝1，可設x－y＝cos α，y＝sin α，所以x＝＋cos α，y＝.x＋y＝sin α＋cos α＝2sin（α＋）∈[－2，2]，且當α＝時，x＋y可取得最大值2，故A錯誤，B正確.x2＋y2＝＝∈[，2]，且當α＝－時，x2＋y2取得最小值，所以C正確，D錯誤，故選BC.
角度2　利用基本不等式解決實際問題
例5 [江蘇高考]某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是　30　.
解析　一年購買次，則總運費與總存儲費用之和為×6＋4x＝4（＋x）≥8＝240，當且僅當x＝30時取等號，故總運費與總存儲費用之和最小時x的值是30.
例6 某醫療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品.已知生產該產品的年固定成本為200萬元，最大產能為100臺，每生產x臺，需另投入成本G（x）萬元，且G（x）＝每臺該產品的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完.
（1）寫出年利潤W（x）（單位：萬元）關于年產量x（單位：臺）的函數解析式（利潤＝銷售收入－成本）.
（2）當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？
解析　（1）由題意可得，當0＜x≤50時，W（x）＝200x－（x2＋120x）－200＝－x2＋80x－200，當50＜x≤100時，W（x）＝200x－（201x＋－2 100）－200＝－（x＋）＋1 900，
故W（x）＝
（2）當0＜x≤50時，W（x）＝－x2＋80x－200＝－（x－40）2＋1 400，W（x）max＝
W（40）＝1 400；
當50＜x≤100時，W（x）＝－（x＋）＋1 900≤－2＋1 900＝1 760，當且僅當x＝，即x＝70時等號成立，此時W（x）max＝1 760.
綜上可知，該產品的年產量為70臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1 760萬元.
方法技巧
利用基本不等式求解實際問題時，要根據實際問題設出變量，注意變量應滿足實際意義，抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值.
訓練2 （1）[2024陜西省商洛市部分學校階段測試]在△ABC中，＝，E是線段AD上的動點（與端點不重合），設＝x＋y（x，y∈R），則的最小值是（　D　）
A.6 B.7 C.8 D.9
解析　如圖，因為＝，所以＝，因為＝x＋y，所以＝x＋y，因為A，D，E三點共線，所以x＋y＝1，易知x＞0，y＞0，所以＝＋＝（＋）（x＋y）＝＋4＋1＋≥2＋5＝9，當且僅當＝，即x＝，y＝時取等號，所以的最小值是9，故選D.
（2）[2023湖南省部分學校聯考]某社區計劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為1 800平方米的矩形ABCD，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區域的最大面積是（　C　）
A.1 208平方米 B.1 448平方米
C.1 568平方米 D.1 698平方米
解析　設AB＝x米，x＞0，則種植花卉區域的面積S＝（x－4）（－2）＝－2x－＋1 808.因為x＞0，所以2x＋≥2＝240，當且僅當x＝60時，等號成立，則S≤－240＋1 808＝1 568，即當AB＝60米，BC＝30米時，種植花卉區域的面積取得最大值，最大值是1 568平方米，故選C.
思維幫·提升思維　快速解題
基本不等式鏈與柯西不等式的應用
角度1　求最值
例7 已知x，y均為正實數，且＋＝，則x＋y的最小值為　20　.
解析　解法一（基本不等式鏈法）　＝－2≥－2＝－2＝10，當且僅當x＝y＝10時取等號，故x＋y的最小值為20.
解法二（柯西不等式法）　∵x，y均為正實數，且＋＝，∴6（＋）＝1，則
x＋y＝（x＋2）＋（y＋2）－4＝6（＋）[（x＋2）＋（y＋2）]－4≥
6[＋]2－4＝20，當且僅當（x＋2）2＝（y＋2）2，且＋＝，即x＝y＝10時取等號，則x＋y的最小值為20.
解法三（基本不等式法）　∵x，y均為正實數，且＋＝，∴6（＋）＝1，則
x＋y＝（x＋2）＋（y＋2）－4＝6（＋）[（x＋2）＋（y＋2）]－4＝6（2＋＋）－4≥6（2＋2）－4＝20，當且僅當x＝y＝10時取等號，則x＋y的最小值為20.
角度2　判斷關于不等式的命題的真假
例8 [2024四川成都聯考]已知正實數m，n滿足m＋n＝1，則下列不等式中錯誤的是（　D　）
A.mn≤ B.2m2＋2n2≥1
C.m（n＋1）＜1 D.＋≤1
解析　對于A，mn≤（）2＝，當且僅當m＝n＝時取等號，選項A正確.
對于B，≤ m2＋n2≥＝，當且僅當m＝n＝時取等號，選項B正確.
對于C，易知m，n∈（0，1），mn＜n m（n＋1）＜n＋m＝1，選項C正確.
對于D，≤＝ ＋≤，當且僅當m＝n＝時取等號，選項D錯誤.故選D.
方法技巧
1.柯西不等式：（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，當且僅當ad＝bc時，等號成立.
2.無論是均值不等式還是柯西不等式，在使用的時候都要注意“配湊”技巧，還要注意驗證等號成立的條件.
訓練3 （1）已知正實數x，y滿足＋＝1，則x＋y的最小值是　　.
解析　x＋y＝[（x＋3y）＋（4x＋2y）]＝[（x＋3y）＋（4x＋2y）]（＋）≥[＋]2＝，當且僅當（x＋3y）2＝（4x＋2y）2且＋＝1時等號成立，即x＝，y＝時，x＋y取得最小值.
（2）[多選/2024云南省大理模擬]若12a＝3，12b＝4，則下列結論正確的是（　ACD　）
A.＞1 B.ab＞ C.a2＋b2＞ D.2a－b＞
解析　由12a＝3，12b＝4得a＝log123，b＝log124，a＋b＝log123＋log124＝log1212＝1，且a＝log123＞log121＝0，b＝log124＞log121＝0.
選項A：＝＝log34＞log33＝1，故A正確.
選項B：ab≤（）2＝，當且僅當a＝b時等號成立，因為a≠b，所以ab＜，故B錯誤.
選項C：a2＋b2≥＝，當且僅當a＝b時等號成立，因為a≠b，所以a2＋b2＞，故C正確.
選項D：a－b＝log123－log124＝log12＞log12＝－1，
所以2a－b＞2－1＝，故D正確.故選ACD.第5講　二次函數與一元二次方程、不等式
課標要求 命題點 五年考情 命題分析預測
1.會結合一元二次函數的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數，了解函數的零點與方程根的關系. 2.經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現實意義.能借助一元二次函數求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系. 二次函數的圖象與性質 2023新高考卷ⅠT4；2020新高考卷ⅡT7 本講很少單獨命題，常與其他知識綜合命題，如作為工具求解集合、函數、導數、圓錐曲線等問題，命題熱點有一元二次不等式的解法及恒成立問題，主要考查學生的數學運算和邏輯推理素養.預計2025年高考命題點變化不大，復習備考時要重點掌握一元二次不等式的解法，二次函數的圖象與性質，并能充分運用.
“三個二次”之間的關系與一元二次不等式的解法
一元二次不等式的恒成立問題 2019天津T8
1.二次函數的圖象與性質
函數 y＝ax2＋bx＋c（a＞0） y＝ax2＋bx＋c（a＜0）
圖象 開口向上的拋物線 開口向下的拋物線
定義域 R R
值域 [，＋∞） （－∞，]
單調性 在①　（－∞，－）　上單調遞減， 在②　（－，＋∞）　上單調遞增 在③　（－∞，－）　上單調遞增， 在④　（－，＋∞）　上單調遞減
奇偶性 當b＝0時為偶函數，當b≠0時為非奇非偶函數
頂點坐標 （－，）
對稱軸 直線x＝⑤　－　
注意　對于函數y＝ax2＋bx＋c，要使它是二次函數，就必須滿足a≠0.當題中條件未說明a≠0時，要討論a＝0和a≠0兩種情況.
2.二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖象
ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有兩個相異的實數根x1，x2（x1＜x2） 有兩個相等的實數根x1＝x2＝⑥－　 沒有實數根
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 ⑦　{x｜x＜x1或x＞x2}　 {x｜x≠－} ⑧　R　
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 ⑨　{x｜x1＜x＜x2}　 ⑩　 　
對于a＜0的情況同理可得出相應的結論.
注意　（1）當二次項系數含參時，需要對參數分類討論；（2）對于含參的一元二次不等式，需要注意對應的一元二次方程兩根的大小關系.
常用結論
分式不等式的解法
（1）＞0 f（x）g（x）＞0；（2）＜0 f（x）g（x）＜0；（3）≥0
（4）≤0 （5）＜a（a≠0） －a＜0（a≠0）.
1.不等式＜0的解集為（　B　）
A. B.（2，3）
C.（－∞，2）∪（3，＋∞） D.（－∞，＋∞）
解析　＜0等價于（x－3）（x－2）＜0，解得2＜x＜3.
2.已知函數f（x）＝ax2＋ax＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是（　B　）
A.（0，20） B.[0，20） C.[0，20] D.[20，＋∞）
3.一元二次不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x｜x＞3或x＜－2}，則m＋n的值是（　D　）
A.14 B.0 C.－10 D.－14
解析　由題意可知一元二次方程2x2＋mx＋n＝0的兩個根分別為3，－2，所以由根與系數的關系得解得所以m＋n＝－14.故選D.
4.[多選]下列說法不正確的是（　BCD　）
A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為（x1，x2），則必有a＞0
B.若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）沒有實數根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R
C.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且b2－4ac≤0
D.≥0 （x－a）（x－b）≥0（a≠b）
5.＜1＋的解集為　[－1，0）∪（0，＋∞）　.
研透高考 明確方向
命題點1　二次函數的圖象與性質
角度1　二次函數的圖象及應用
例1 （1）[2024江蘇省蘇州市模擬]一次函數y＝ax－b（a≠0）與二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在同一坐標系中的大致圖象是（　B　）
解析　若a＞0，則一次函數y＝ax－b（a≠0）為增函數，
二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象開口向上，故可排除A；若a＜0，則一次函數y＝ax－b（a≠0）為減函數，二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象開口向下，故可排除D；對于選項C，由直線可知a＜0，b＞0，從而－＞0，即二次函數圖象的對稱軸應該在y軸的右側，故應排除C.故選B.
（2）已知二次函數f（x）的圖象經過點（4，3），且截x軸所得的線段長為2，若對任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），則f（x）＝　x2－4x＋3　.
解析　因為f（2－x）＝f（2＋x）對任意x∈R恒成立，所以f（x）圖象的對稱軸為直線x＝2.又f（x）的圖象截x軸所得的線段長為2，所以f（x）＝0的兩根為1和3.設f（x）的解析式為f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0），因為f（x）的圖象過點（4，3），所以3a＝3，即a＝1，所以f（x）＝（x－1）（x－3）＝x2－4x＋3.
方法技巧
識別二次函數圖象應學會“三看”
一看符號 看二次項系數的符號，它的正負決定二次函數圖象的開口方向.若符號不確定，要分類討論.
二看對稱軸 看對稱軸和最值，它們決定二次函數圖象的具體位置.
三看特殊點 看函數圖象上的一些特殊點，如函數圖象與y軸的交點、與x軸的交點，函數圖象的最高點或最低點等.
角度2　二次函數的性質及應用
例2 （1）[2024江西景德鎮統考改編]若函數f（x）＝x2－3x－4在區間[t，t＋2]上的最小值為6，則實數t＝　－4或5　.
解析　當t＋2≤，即t≤－時，函數f（x）在區間[t，t＋2]上單調遞減，則f（x）min＝
f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4或t＝3（舍去）；當t≥時，函數f（x）在區間[t，t＋2]上單調遞增，則f（x）min＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5或t＝－2（舍去）；當t＜＜t＋2，即－＜t＜時，函數f（x）min＝f（）＝－≠6.
綜上所述，t＝－4或t＝5.
命題拓展
[變條件]若函數f（x）＝x2－3x－4在區間[t，t＋2]上的最大值為6，則實數t＝　－2或3　 .
解析　因為f（x）＝x2－3x－4在區間[t，t＋2]上的最大值為6，且其圖象的對稱軸方程為x＝，所以當－t＞1，即t＜時，f（x）max＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5（舍去）或t＝－2；當－t≤1，即t≥時，f（x）max＝f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4（舍去）或t＝3.綜上所述，t＝－2或3.
（2）若函數f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1的單調遞減區間是[－1，＋∞），則a＝　－3　.
解析　由題意知f（x）為二次函數且a＜0，＝－1，所以a＝－3.
命題拓展
[變條件]若函數f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在區間[－1，＋∞）上單調遞減，則實數a的取值范圍是　[－3，0]　.
解析　當a＝0時，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上單調遞減，滿足題意；當a≠0時，
f（x）圖象的對稱軸為直線x＝，由f（x）在[－1，＋∞）上單調遞減知解得－3≤a＜0.綜上，實數a的取值范圍為[－3，0].
方法技巧
1.二次函數的單調性取決于圖象的開口方向及對稱軸.
2.二次函數在閉區間上的最值問題主要有三種類型：①軸定區間定；②軸動區間定；③軸定區間動.當含有參數時，要依據對稱軸與區間的關系進行分類討論.
訓練1 （1）已知函數f（x）＝x2－2（a＋2）x＋a2，g（x）＝－x2＋2（a－2）x－a2＋8.設H1（x）＝max{f（x），g（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}（max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值）.記H1（x）的最小值為A，H2（x）的最大值為B，則A－B＝（　C　）
A.a2－2a－16 B.a2＋2a－16
C.－16 D.16
解析　易知f（x）的圖象的頂點坐標為（a＋2，－4a－4），g（x）的圖象的頂點坐標為（a－2，－4a＋12），并且f（x）與g（x）的圖象的頂點都在對方的圖象上，f（x）與
g（x）的大致圖象如圖所示，所以A－B＝－4a－4－（－4a＋12）＝－16，故選C.
（2）已知函數f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1時有最大值2，則實數a的值為　－1或2　.
解析　易知y＝－x2＋2ax＋1－a（x∈R）的圖象的對稱軸為直線x＝a.
當a＜0時，函數f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致圖象如圖1中實線部分所示，當x＝0時，f（x）有最大值且f（x）max＝f（0）＝1－a，∴1－a＝2，即a＝－1.
當0≤a≤1時，函數f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致圖象如圖2中實線部分所示，當x＝a時，f（x）有最大值且f（x）max＝f（a）＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，解得a＝.
∵0≤a≤1，∴a＝不滿足題意.
當a＞1時，函數f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致圖象如圖3中實線部分所示，當x＝1時，f（x）有最大值且f（x）max＝f（1）＝a＝2，∴a＝2.
綜上可知，a的值為－1或2.
命題點2　“三個二次”之間的關系與一元二次不等式的解法
角度1　“三個二次”之間的關系
例3 [多選/2023山東棗莊調研]已知關于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2），則（　ABD　）
A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－8
C.－2＜x1＜x2＜4 D.x2－x1＞6
解析　解法一　（x＋2）（x－4）＋a＜0即（x＋2）（x－4）＜－a，作出f（x）＝（x＋2）（x－4）及y＝－a（a＜0）的圖象，如圖.因為（x＋2）（x－4）＋a＜0的解集是（x1，x2），所以f（x）＝（x＋2）·（x－4）的圖象與直線y＝－a的交點的橫坐標分別為x1，x2，則由圖象易得x1＜－2＜4＜x2，x1＋x2＝－2＋4＝2，所以A正確，C錯誤.易知x2－x1＞4－（－2）＝6，所以D正確.因為－x1＞2，x2＞4，所以－x1x2＞8，所以x1x2＜－8，故B正確.故選ABD.
解法二　因為關于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2），所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的兩個根，所以x1＋x2＝2，故A正確；x1x2＝a－8＜－8，故B正確；
x2－x1＝＝2＞6，故D正確；
由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故C錯誤.
故選ABD.
方法技巧
1.一元二次方程的根就是相應二次函數的零點，也是相應一元二次不等式解集的端點值.
2.給出一元二次不等式的解集，相當于知道了相應二次函數圖象的開口方向及與x軸的交點，可以代入根或利用根與系數的關系求待定系數.
角度2　一元二次不等式的解法
例4 [2024河南省名校調研]不等式－x2－｜x｜＋6＞0的解集為（　B　）
A.{x｜－2＜x＜3}
B.{x｜－2＜x＜2}
C.{x｜x＜－2或x＞3}
D.{x｜x＜－3或x＞2}
解析　不等式可化為｜x｜2＋｜x｜－6＜0，即－3＜｜x｜＜2，解得－2＜x＜2.故選B.
例5 [2024湖北省孝感市部分學校模擬]設a∈R，解關于x的不等式：ax2－（a＋4）x＋4≤0.
解析　∵ax2－（a＋4）x＋4≤0，
∴（ax－4）（x－1）≤0.
當a＝0時，原不等式可化為x－1≥0，解得x≥1.
當a≠0時，（ax－4）（x－1）＝0 x＝或x＝1，
①當a＜0時，＜1，此時原不等式的解集為x≤或x≥1；
②當0＜a＜4時，＞1，此時原不等式的解集為1≤x≤；
③當a＝4時，＝1，此時原不等式的解集為x＝1；
④當a＞4時，＜1，此時原不等式的解集為≤x≤1.
綜上，當a＝0時，原不等式的解集為{x｜x≥1}；當a＜0時，原不等式的解集為{x｜x≤或x≥1}；
當0＜a＜4時，原不等式的解集為{x｜1≤x≤}；
當a＝4時，原不等式的解集為{x｜x＝1}；
當a＞4時，原不等式的解集為{x｜≤x≤1}.
方法技巧
1.解不含參數的一元二次不等式
2.解含參數的一元二次不等式
訓練2 （1）[2024山西太原模擬]不等式≤－1的解集為（　D　）
A.{x｜x≤或x≥1} B.{x｜x＜或x≥1}
C.{x｜≤x≤1} D.{x｜＜x≤1}
解析　由≤－1，得＋1≤0，
化簡得≤0，得解得＜x≤1，
所以不等式≤－1的解集為{x｜＜x≤1}.
故選D.
（2）[多選/2024甘肅省張掖市模擬]已知關于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為{x｜x≤3或x≥4}，則下列結論中正確的是（　AD　）
A.a＞0
B.ab＞0
C.不等式cx2－bx＋a＜0的解集為{x｜x＜－或x＞}
D.a＋b＋c＞0
解析　由ax2＋bx＋c≥0的解集為{x｜x≤3或x≥4}得ax2＋bx＋c＝a（x－3）（x－4）＝
a（x2－7x＋12），a＞0，得b＝－7a，c＝12a，ab＝－7a2＜0，a＋b＋c＝6a＞0，故A正確、B錯誤、D正確.
對于選項C，cx2－bx＋a＜0可轉化為12ax2＋7ax＋a＜0，又a＞0，可得12x2＋7x＋1＜0，解得－＜x＜－，所以不等式cx2－bx＋a＜0的解集為{x｜－＜x＜－}，故C錯誤.故選AD.
命題點3　一元二次不等式的恒成立問題
角度1　在R上恒成立
例6 [2023甘肅省酒泉市玉門油田第一中學期中]已知不等式x2－2x＋k2－1＞0對一切實數x恒成立，則實數k的取值范圍是（　C　）
A.（，＋∞）
B.（－∞，－）
C.（－∞，－）∪（，＋∞）
D.（－，）
解析　因為不等式x2－2x＋k2－1＞0對一切實數x恒成立，所以對應方程的Δ＝4－4（k2－1）＜0，解得k＞或k＜－.故選C.
角度2　在給定區間上恒成立
例7 [2023石家莊質檢]當－2≤x≤2時，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，則實數m的取值范圍為（　A　）
A.（－2，2） B.（－∞，－2）
C.[－2，2] D.（2，＋∞）
解析　設f（x）＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.
①當≤－2，即m≤－4時，函數f（x）在[－2，2]上單調遞增，
則f（x）min＝f（－2）＝2m＋5＞0，解得m＞－，此時m不存在；
②當－2＜＜2，即－4＜m＜4時，f（x）min＝f（）＝1－＞0，解得－2＜m＜2；
③當≥2，即m≥4時，函數f（x）在[－2，2]上單調遞減，則f（x）min＝f（2）＝－2m＋5＞0，解得m＜，此時m不存在.
綜上所述，實數m的取值范圍是（－2，2）.
角度3　給定參數范圍的恒成立
例8 [2023廣東省深圳市模擬]對任意的實數m∈[0，2]，不等式（x－2）（x－3＋m）＞0恒成立，則x的取值范圍是（　A　）
A.（－∞，1）∪（3，＋∞） B.（－∞，1）∪（2，＋∞）
C.（－∞，2）∪（3，＋∞） D.R
解析　依題意，對任意的實數m∈[0，2]，不等式（x－2）（x－3＋m）＞0，即（x－2）m＋（x－2）（x－3）＞0恒成立.令h（m）＝（x－2）m＋（x－2）（x－3），則解得x＜1或x＞3.故選A.
方法技巧
1.一元二次不等式在R上恒成立，可以利用判別式判斷.
2.一元二次不等式在給定區間上恒成立，一般分離參數求最值或分類討論.
3.一元二次不等式在給定參數范圍恒成立，可變換主元求解，一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數.
方法技巧
求解不等式恒成立問題的常用方法
不等式解集法 不等式f（x）≥0在集合A中恒成立等價于集合A是不等式f（x）≥0的解集B的子集，通過求不等式的解集，并研究集合間的關系可以求出參數的取值范圍.
分離參數法 若不等式f（x，λ）≥0（x∈D，λ為實參數）恒成立，將f（x，λ）≥0轉化為λ≥ g（x）或λ≤g（x）（x∈D）恒成立，進而轉化為λ≥g（x）max或λ≤g（x）min，求g（x）（x∈D）的最值即可.該方法適用于參數與變量能分離，函數最值易求的題目.
主參換位法 變換思維角度，即把主元與參數變換位置，構造以參數為變量的函數，根據原參數的取值范圍列式求解.一般地，條件給出誰的范圍，就看成是有關誰的函數，利用函數單調性求解.
數形結 合法 結合函數圖象將問題轉化為函數圖象的對稱軸、區間端點的函數值或函數圖象的位置關系（相對于x軸）求解.此外，若涉及的不等式能轉化為一元二次不等式，可結合相應一元二次方程根的分布解決問題.
訓練3 （1）已知a∈[－1，1]時，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，則x的取值范圍為（　C　）
A.（－∞，2）∪（3，＋∞）
B.（－∞，1）∪（2，＋∞）
C.（－∞，1）∪（3，＋∞）
D.（1，3）
解析　把不等式的左邊看成關于a的一次函數，記f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，則由
f（a）＞0對于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式組得x＜1或x＞3.故選C.
（2）[2024江蘇省揚州市模擬]設函數f（x）＝mx2－mx－1，若對于任意的x∈{x｜1≤x≤2}，f（x）＜－m＋4恒成立，則（　C　）
A.m≤0 B.0≤m＜
C.m＜ D.0＜m＜
解析　∵ x∈[1，2]，mx2－mx－1＜－m＋4恒成立，
∴m（x2－x＋1）＜5對 x∈[1，2]恒成立，
又當x∈[1，2]時，y＝x2－x＋1＝（x－）2＋∈[1，3]，
∴m＜（）min＝，即m＜.
故選C.
（3）[2024湖南省長沙市模擬]已知關于x的不等式kx2－3kx＋k＋5＞0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍為　[0，4）　.
解析　當k＝0時，不等式為5＞0，恒成立，符合題意；當k＞0時，若不等式kx2－3kx＋k＋5＞0對任意x∈R恒成立，則對應方程的Δ＝9k2－4k（k＋5）＜0，解得0＜k＜4；
當k＜0時，不等式kx2－3kx＋k＋5＞0不能對任意x∈R恒成立.
綜上，k的取值范圍是[0，4）.

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