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第03講 等比數(shù)列及其前n項和
目錄
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）理解等比數(shù)列的概念． （2）掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式． （3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系． 2023年甲卷（理）第5題，5分 2023年II卷第8題，5分 2023年乙卷（理）第15題，5分 高考對等比數(shù)列的考查相對穩(wěn)定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是（1）選擇題、填空題多單獨考查基本量的計算；（2）解答題多與等差數(shù)列結合考查，或結合實際問題或其他知識考查．
知識點一．等比數(shù)列的有關概念
（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達式為．
（2）等比中項：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．
即是與的等比中項 ，，成等比數(shù)列 ．
知識點二．等比數(shù)列的有關公式
（1）等比數(shù)列的通項公式
設等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．
推廣形式：
（2）等比數(shù)列的前n項和公式
等比數(shù)列的公比為，其前項和為
注①等比數(shù)列的前項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應的求和公式，當不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．
②已知（項數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．
③，為關于的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．
知識點三．等比數(shù)列的性質
（1）等比中項的推廣．
若時，則，特別地，當時，．
（2）①設為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．
②設與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．
（3）等比數(shù)列的單調性（等比數(shù)列的單調性由首項與公比決定）．
當或時，為遞增數(shù)列；
當或時，為遞減數(shù)列．
（4）其他衍生等比數(shù)列．
若已知等比數(shù)列，公比為，前項和為，則：
①等間距抽取
為等比數(shù)列，公比為．
②等長度截取
為等比數(shù)列，公比為（當時，不為偶數(shù)）．
【解題方法總結】
（1）若，則．
（2）若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．
（3）在等比數(shù)列中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即為
等比數(shù)列，公比為．
（4）公比不為－1的等比數(shù)列的前項和為，則，，仍成等比數(shù)列，其公比為．
（5）為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列．
（6）當，時，是成等比數(shù)列的充要條件，此時．
（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間
項的平方．
（8）若為正項等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．
（9）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．
（10）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．
題型一：等比數(shù)列的基本運算
例1．（2023·北京·高三匯文中學校考階段練習）在等比數(shù)列中，，，則等于（ ）
A．9 B．72 C．9或70 D．9或
【答案】D
【解析】由題意，，
在等比數(shù)列中，，，
設公比為，
，即，解得或，
∴，
當時，，
當時，.
故選：D.
例2．（2023·全國·高三專題練習）已知遞增的等比數(shù)列中，前3項的和為7，前3項的積為8，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由前3項的和為7，得
前3項的積為8，得，即，
則，代入，得，即，解得或，
因為為遞增的等比數(shù)列，
所以，則，
所以，
故選：D．
例3．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？寄M預測）已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
所以，
所以，
所以，
解得，A錯誤，C錯誤，D正確，
所以， B錯誤；
故選：D.
變式1．（2023·四川遂寧·射洪中學?？寄M預測）在等比數(shù)列中，若，，則公比q應為（ ）
A． B． C． D．－2
【答案】D
【解析】因為，解得q＝－2.
故選：D
變式2．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【解析】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.
所以.
故選:C.
變式3．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則該數(shù)列的以及依次為（ ）
A．682， B．， C．682，或 D．，或
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，得，
解方程得，或，
，或.
故選：C
變式4．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預測）已知正項等比數(shù)列{}的前n項和為，若，則=（ ）
A．64 B．81 C．128 D．192
【答案】B
【解析】由等比數(shù)列的性質可知，所以，
由，得，所以，解得或（舍去），
所以.
故選：B.
變式5．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前4項和為，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾；
所以，則，解得，
所以．
故選：A．
【解題方法總結】
等比數(shù)列基本量運算的解題策略
（1）等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量，，，，，
一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解．
（2）等比數(shù)列的前項和公式涉及對公比的分類討論：
當時，；當時，．
題型二：等比數(shù)列的判定與證明
例4．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調和．記，，經(jīng)次調和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為，．
(1)試用，表示，．
(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項．
【解析】（1）由題意，經(jīng)次調和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為，
所以，．
（2）由（1）知，，，
可得，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，
因為％，所以 ①，
又因為 ②．
聯(lián)立①②得，．
例5．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，其中為的前n項和．證明：
(1)是等比數(shù)列．
(2)．
【解析】（1）∵，∴，
兩式相減得：，即．
∴．
當時，，即
又∵，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得，所以
令，
則．
不等式左邊的前2n項和．
又，∴原不等式得證．
例6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預測）甲、乙、丙三個小學生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個，設第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，在丙手中的方法數(shù)為.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項；
(2)求證：當n為偶數(shù)時，.
【解析】（1）由題意知：第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，
第次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，若第n次拋沙包后沙包在甲手中，則第次拋沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次拋沙包后沙包在乙或丙手中，
故，且
故，
，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，
由，得，
，
，
，
……………，
以上各式相加，
可得；
（2）由題意知：第n次拋沙包后沙包在乙、丙手中的情況數(shù)相等均為，
則，
∵當n為偶數(shù)時，，
∴.
變式6．（2023·廣東東莞·?？既＃┮阎獢?shù)列和，，，.
(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）由，，得，
整理得，而，
所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列
（2）由（1）知，∴，
∴，
設，則，
兩式相減得，
從而
∴.
變式7．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列的首項，且，
記.
(1)求；
(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；
(3)求.
【解析】（1）由題意可知：
（2）由，
而，
若，則，顯然不能是等比數(shù)列，
若，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
（3）由（2）可知，若，則為常數(shù)列，各項均為0，故；
若，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則由等比數(shù)列的求和公式得：=.
變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列、滿足，，，，且，.
(1)求證：是等比數(shù)列；
(2)若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題可知：，，
故可得，又，∴，
∴，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列.
（2）方法一：
∵是遞增數(shù)列，
∴對任意恒成立，
∵，∴
則對任意恒成立，
即對任意恒成立，
由（1）知，
∴對任意恒成立，
因為當時取得最大值，且最大值為1，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
方法二：
得
即，又，
故數(shù)列為首項，公差的等差數(shù)列，
所以，
又由（1）知，所以，
因為是遞增數(shù)列，所以對任意恒成立.
所以，
所以，所以，
因為當時取得最大值，且最大值為1，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
變式9．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列的前和滿足 ，
(1)求的值及與的關系；
(2)求證：是等比數(shù)列，并求出的通項公式.
【解析】（1）因為，
所以，又，
所以，故
當時，，
得；
（2）由（1）知，
則有，
由于，故，
所以，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以.
變式10．（2023·云南·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列有遞推關系，，記，若數(shù)列的遞推式形如（且），也即分子中不再含有常數(shù)項.
(1)求實數(shù)的值；
(2)證明：為等比數(shù)列，并求其首項和公比.
【解析】（1）因為，所以，
，
由已知得，
所以，解得或，
因為，所以.
（2）由（1）知，，
，，
，，
因為，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為.
變式11．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足．
(1)證明是等比數(shù)列；
(2)若，求的前項和．
【解析】（1）由題意得．
又因為，所以．
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）得．
所以．
所以
.
變式12．（2023·山東濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．
(1)證明：和都是等比數(shù)列；
(2)求的前項和．
【解析】（1）因為，，
所以，，
又由，得，，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，
所以．
【解題方法總結】
等比數(shù)列的判定方法
定義法 若（為非零常數(shù)，或（為非零常數(shù)且，），則是等比數(shù)列
中項公式法 若數(shù)列中，且，則是等比數(shù)列
通項公式法 若數(shù)列的通項公式可寫成（均為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列
前項和公式法 若數(shù)列的前項和（為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列
題型三：等比數(shù)列項的性質應用
例7．（2023·全國·高三對口高考）已知等比數(shù)列的前n項和為，則__________.
【答案】
【解析】由題意可得，，
，故有.
故答案為：
例8．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）若m，n是函數(shù)的兩個不同零點，且m，n，這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則__________.
【答案】
【解析】由題可得，
則成等比數(shù)列，得.
又不妨設，則成等差數(shù)列，得.
結合，可得，解得或（舍去），即.
故答案為：
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，且、是函數(shù)的兩個零點，則___________.
【答案】
【解析】因為在數(shù)列中，，，則，所以，，
所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為，公比為，
因為、是函數(shù)的兩個零點，
由韋達定理可得，
因為，可得，所以，，
由等比中項的性質可得，因此，.
故答案為：.
變式13．（2023·高三課時練習）已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前9項的乘積為1，則______．
【答案】16
【解析】由題意得：，
故，故，
所以.
故答案為：16
變式14．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項等比數(shù)列中，與是方程 的兩個根，則_________ .
【答案】5
【解析】因為與是方程 的兩個根，所以，
因為為正項等比數(shù)列，所以，
所以，
故答案為：5.
變式15．（2023·全國·高三專題練習）等比數(shù)列中，，，則公比q的值為_____________.
【答案】或
【解析】∵，，
∴是方程的兩根，
∴或，
∵，
∴或，
∴或
故答案為：或
變式16．（2023·全國·高三專題練習）在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)組成正項等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于_____________.
【答案】27
【解析】依題意，，所以，所以或（舍去），
所以.
故答案為：
變式17．（2023·四川成都·高三四川省成都市玉林中學?？茧A段練習）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．
【答案】4
【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，有，
則，解得，
所以．
故答案為：4．
變式18．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，若，則__________.
【答案】
【解析】由題意可知，，所以；
由等比數(shù)列性質可得；
又因為函數(shù)，所以，
即，所以；
令，則；
所以，
即.
故答案為：
變式19．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知等比數(shù)列的首項為，且，則__________.
【答案】
【解析】設等比數(shù)列的公比為，因為，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式的計算得到：，所以.由等比數(shù)列的性質得到：.
故答案為128.
變式20．（2023·重慶·高三階段練習）在等比數(shù)列中，，則______________．
【答案】240
【解析】因為，
所以，
所以；
.
故填240.
【解題方法總結】
（1）在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若，則．”，可以減少運算量，提高解題速度．
（2）在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．
題型四：等比數(shù)列前n項和的性質
例10．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項和.若，，則的值為__________.
【答案】40
【解析】因為，，所以，，
則等比數(shù)列的公比，
所以，，也是等比數(shù)列，
所以，，也是等比數(shù)列，
所以，即，
解得或，
又，所以.
故答案為：40.
例11．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______.
【答案】510
【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質知，
，，，…，，…構成首項為，公比為的等比數(shù)列，且是該等比數(shù)列的前8項和，
所以.
故答案為：510.
例12．（2023·高三課時練習）已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為______．
【答案】
【解析】設公比為.
當時，，則，此時有；
當時，
因為，，，
所以，，
所以，，
所以，
當時，有最小值為.
綜上所述，的最小值為.
故答案為：.
變式21．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和，且，，則______.
【答案】600
【解析】設等比數(shù)列的公比為
因為等比數(shù)列的前n項和為，所以，，，成等比數(shù)列，
因為，，所以，
解得或，因為，
所以，則，
由，，成等比數(shù)列，
可得即，解得，
故答案為：600
變式22．（2023·全國·高三專題練習）設正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為______.
【答案】91
【解析】方法一：等比數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，
則，，成等比數(shù)列，∴，∴，
∴.
方法二：設公比為，由題意顯然且,所以，
∴，
故答案為：.
變式23．（2023·全國·高三專題練習）設正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比__________.
【答案】/
【解析】由，得.
又正項等比數(shù)列的前項和為，故，
∴，
∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
∴
故，解得：
因為等比數(shù)列{an}為正項數(shù)列，所以，故
故答案為：
變式24．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）已知等比數(shù)列的前項和為，，，則___________.
【答案】/
【解析】設等比數(shù)列的公比為q，由，
得，
故，
所以.
故答案為：.
變式25．（2023·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則，的等差中項為__________.
【答案】/
【解析】設，因為為等比數(shù)列，所以，，成等比數(shù)列.
因為，，所以，解得或（舍去）.
所以，的等差中項為.
故答案為：.
變式26．（2023·江西南昌·南昌十中?？寄M預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為_______
【答案】
【解析】設等比數(shù)列的公比為.
若，當為偶數(shù)時，，不合乎題意，所以，，
由等比數(shù)列片段和的性質可知，、、、成等比數(shù)列，
且公比為，所以，，，
因此，.
故答案為：.
【解題方法總結】
（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和具有的性質，設公比為．
①若共有項，則；②若共有項，．
（2）等比數(shù)列中，表示它的前項和．當時，有也成等比數(shù)列，公比為．
題型五：求數(shù)列的通項
例13．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）記數(shù)列的前n項和為，已知向量，，若，且，則通項為________．
【答案】
【解析】∵，∴，
當時，，得，
當時，，，
兩式作差得：，即，
所以是以為公比，1為首項的等比數(shù)列，
則，
又不符合上式，所以.
故答案為：.
例14．（2023·內蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列和滿足，，，.則數(shù)列的通項______.
【答案】
【解析】，，
又，
所以數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列
故答案為：
例15．（2023·上海浦東新·高三校考開學考試）設冪函數(shù)，數(shù)列滿足：，且（），則數(shù)列的通項__．
【答案】
【解析】∵，∴，
∵，∴數(shù)列各項均為正數(shù)，且各項均不為，
∴，
∴數(shù)列各項均不為，∴，
∴，
∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
∴，
∴.
故答案為：.
變式27．（2023·江蘇·高三專題練習）寫出一個滿足前5項的和為31，且遞減的等比數(shù)列的通項___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】不妨設，依題意數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，所以，
又，所以取公比，所以，滿足題意，所以.
故答案為：（答案不唯一）.
變式28．（2023·山西太原·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為且滿足，則數(shù)列的通項_______．
【答案】
【解析】先求得時；再由可得時,兩式作差可得,進而求解.當時,,解得；
由,可知當時,,兩式相減,得,即,
所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,
所以,
故答案為:
變式29．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項___________．
【答案】
【解析】當時，，兩式相減得，所以當時，是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，不滿足上式，所以.
考點：數(shù)列已知求.
【思路點晴】已知求是一種非常常見的題型，這些題都是由與前項和的關系來求數(shù)列的通項公式，可由數(shù)列的通項與前項和的關系是，注意：當時，若適合，則的情況可并入時的通項；當時，若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示．
變式30．（2023·內蒙古包頭·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列{}的通項與前n項和之間滿足關系則=__________
【答案】
【解析】當時，，所以；
當時，
整理得，即是以為公比的等比數(shù)列，
所以，當n=1時也符合，
故答案為：
變式31．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）數(shù)列的通項的通項，由與中公共項，并按原順序組成一個新的數(shù)列，求的前項和.
【解析】設，即.，即為奇數(shù)，，∴．
【解題方法總結】
（1）等比數(shù)列的通項公式
設等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．
推廣形式：
（2）等比數(shù)列的前n項和公式
等比數(shù)列的公比為，其前項和為
題型六：奇偶項求和問題的討論
例16．（2023·湖南長沙·長郡中學校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，且
(1)設，求數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．
【解析】（1）因為
所以，，，所以．
又因為，所以，所以．
因為，所以，
又因為，所以，所以，所以，
即，
所以，
又因為，所以，所以，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
又因為，所以，
即，所以，
所以，
因為，
，
所以是一個增數(shù)列，
因為，，
所以滿足題意的n的最小值是20．
例17．（2023·河北·模擬預測）已知數(shù)列滿足，
(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）由題意可得：，且，
則，
所以數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）可知：，即，
可得：
，
所以，
即，則，
可得，
則，
兩式相減得：，
所以.
例18．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）由，得
所以數(shù)列為等差數(shù)列．所以，得．
所以公差．所以．
（2）當為奇數(shù)時，．當為偶數(shù)時．
所以
變式32．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）設為等比數(shù)列，為公差不為零的等差數(shù)列，且，，.
(1)求和的通項公式；
(2)記的前項和為，的前項和為，證明：；
(3)記，求.
【解析】（1）設等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，
依題意，，即，解得.
所以.
因為，，所以，從而.
（2）由（1）知，，所以.
因為，
所以.
（3）
因為，
所以
．
變式33．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）記為等差數(shù)列{}的前n項和，已知，數(shù)列{}滿足.
(1)求數(shù)列{}與數(shù)列{}的通項公式；
(2)數(shù)列{}滿足，n為偶數(shù)，求{}前2n項和.
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，
，即，，.
，①
，②
所以①-②得，，
.當時，，符合.
.
（2），依題有：
.
記，則.
記，
則
.
所以.
變式34．（2023·全國·高三專題練習）已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，，求數(shù)列的前2n項和.
【解析】（1）設首項為，公比為q.
因，則.
又各項為正數(shù)，則，故；
（2）由（1）及題意可得，；
當為奇數(shù)時，；
則當為偶數(shù)時，.
.
變式35．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學?？既＃┮阎獢?shù)列滿足：，且對任意的，
(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1），.
由題意得，
又，所以數(shù)列是等比數(shù)列.
（2）由（1）知.
運用分組求和，可得
.
變式36．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的通項公式．
【解析】因為數(shù)列滿足，，則，
因為，所以，，
所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，
因為，
所以，.
所以，當為偶數(shù)時，設，則，所以，；
當為奇數(shù)時，設，則，
此時，.
綜上所述，.
【解題方法總結】
求解等比數(shù)列的前項和，要準確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數(shù)的值；對于奇偶項通項不統(tǒng)一問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進行分類．
題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用
例19．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，前項和為，數(shù)列滿足，求證：
(1)數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)數(shù)列中任意三項均不能構成等比數(shù)列.
【解析】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，
所以數(shù)列的公差為，，
則，又，
，故數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）證明：假設數(shù)列中存在不同三項構成等比數(shù)列，
不妨設、、（、、均不相等）成等比數(shù)列，即，
由數(shù)列的通項公式可得，
將此式展開可得，
所以有，即，
所以，，所以，，
化簡整理得，，與假設矛盾，
故數(shù)列中任意三項均不能構成等比數(shù)列.
例20．（2023·遼寧錦州·高三渤海大學附屬高級中學?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，．
(1)求等差數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，
由題知，則，解得
．
（2）設數(shù)列的通項公式為，
則，
，
則
．
例21．（2023·全國·高三專題練習）已知為等差數(shù)列的前項和，且，___________.在①，，成等比數(shù)列，②，③數(shù)列為等差數(shù)列，這三個條件中任選一個填入橫線，使得條件完整，并解答：
(1)求；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為
選擇①：由題意得，
故，解得，
所以.
選擇②：由題意得，即
解得，
所以.
選擇③：由題意得，
故，解得，
所以.
（2）由當為奇數(shù)時，，得數(shù)列的前項中奇數(shù)項的和為
，
由當為偶數(shù)時，，
得數(shù)列的前項中偶數(shù)項的和為
，
故.
變式37．（2023·四川資陽·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，（其中）成等差數(shù)列．問：，，是否成等差數(shù)列？并說明理由．
【解析】，，成等差數(shù)列.
理由如下：設等比數(shù)列的公比為q，
由于，，（其中）成等差數(shù)列，
所以，
若，則有，，顯然不成立，故公比．
于是有，
即有，即，故有．
則
，即，成立，
所以，，成等差數(shù)列.
變式38．（2023·江蘇·高考真題）已知是等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前n項和.
(1)若（m，k是大于2正整數(shù)），求證：；
(2)若（i是某一正整數(shù)），求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中每一項都是數(shù)列中的項；
(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）設數(shù)列的公差為，由，可得，；
因為，故，，
故.
（2），由可得，
解得或，但，故，因為為正整數(shù)，故是整數(shù)；
設數(shù)列中任意一項為，只要證明數(shù)列中存在某一項，
使得即可，即方程關于有正整數(shù)解即可.
則，，
也即，
若，則，那么，；
若，則（舍）；
若，則（舍）；
若，則為正整數(shù)，又因為，故只要考慮時的情況，此時是正整數(shù).
數(shù)列中任意一項與數(shù)列中的第項相等，故結論成立.
（3）設數(shù)列中有三項成等差數(shù)列，
則有，設，則，
令，則，，因為，故（舍去負根），
故存在使得中有三項成等差數(shù)列.
變式39．（2023·河南開封·高三?？茧A段練習）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若為等差數(shù)列的前項和，求使成立的的最大值.
【解析】（1）因為，所以，
設等差數(shù)列的公差為，
由，則，解得，
所以.
（2）由可得，
由 得
又，所以的最大值為13.
變式40．（2023·全國·高三專題練習）已知是遞增的等比數(shù)列，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.若存在，求出這樣的項；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設等比數(shù)列的公比為，
是遞增的等比數(shù)列且，；
則，解得：（舍）或；
.
（2）由題意知：，即；
假設存在項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，
即；
成等差數(shù)列，，代入上式得：，
，化簡得：，，不合題意；
綜上所述：不存在項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.
變式41．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為，，，.
(1)證明：為等差數(shù)列；
(2)設，在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)構成公差為的等差數(shù)列，求的前n項和.
【解析】（1）證明：因為時，，
則，
即，，·
因為，·
則①，
所以②，
則①②得，
即，·
所以為等差數(shù)列.
（2）由（1）可得的首項為，公差為，所以，
所以，
所以，則，
記的前n項和為，
則①，
所以②，
則①②得，·
所以，·
所以.·
【解題方法總結】
（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉化：等差數(shù)列通過指數(shù)運算轉化為正項等比數(shù)列，正項等比數(shù)列通過對數(shù)運算轉化為等差數(shù)列．
（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列．
題型八：等比數(shù)列的范圍與最值問題
例22．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？级＃┮阎獢?shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（ ）
A．數(shù)列的最大項為 B．數(shù)列的最小項為
C．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列 D．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列
【答案】D
【解析】對于A，由題意知：當為偶數(shù)時，；
當為奇數(shù)時，，，最大；
綜上所述：數(shù)列的最大項為，A正確；
對于B，當為偶數(shù)時，，，最??；
當為奇數(shù)時，；
綜上所述：數(shù)列的最小項為，B正確；
對于C，，，
，
，，，
數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；
對于D，，，
；
，，，又，
，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.
故選：D.
例23．（2023·全國·高三專題練習）設是公比為的等比數(shù)列，其前項的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結論的編號是（ ）
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解析】對于①：，
，
，
，
．
又，
，且，
，故①正確；
對于②：，故②錯誤；
對于③：，故③正確；
對于④：，
，故④正確．
故選：D．
例24．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）已知正項等比數(shù)列滿足，則取最大值時的值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】設等比數(shù)列的公比為，有，
由函數(shù)單調遞增，且，可得.
有，由數(shù)列單調遞減，
所以取得最大值時的值為9，
故選：B.
變式42．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列是無窮等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和（ ）．
A．無最大值，有最小值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，無最小值 D．無最大值，無最小值
【答案】C
【解析】若公比為，則，又，故，
所以為單調遞增數(shù)列且，則在時取最大值，但無最小值.
故選：C
變式43．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列是（　?。?br/>A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不能確定
【答案】A
【解析】因為滿足，
所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
所以，
又因為，
所以單調遞增，
故選：A
變式44．（2023·全國·高三專題練習）已知是遞增的等比數(shù)列，且，則其公比滿足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】是等比數(shù)列，故，當時， 各項正負項間隔,為擺動數(shù)列,故,顯然，
由得，又是遞增的等比數(shù)列，故為遞減數(shù)列,由指數(shù)函數(shù)的單調性知.
故選:D
變式45．（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為，且，則使得的n的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】設公比為，則，
由，得，
因為，所以為遞增數(shù)列，
所以，
所以，，
，，
，，
，，
所以n的最小為8.
故選：D．
變式46．（2023·全國·高三專題練習）設無窮等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列
C．數(shù)列有最大項 D．數(shù)列有最小項
【答案】D
【解析】設等比數(shù)列的公比為，由已知，則，
由可得且，
對于AB選項，若，，
當為奇數(shù)時，，此時，則，
當為偶數(shù)時，，此時，則，
此時數(shù)列不單調，AB都錯；
對于CD選項，，
當時，此時數(shù)列單調遞增，則有最小項，無最大項；
當時，若為正奇數(shù)時，，則，
此時單調遞減，則；
當為正偶數(shù)時，，則，此時單調遞增，則.
故當時，的最大值為，最小值為.
綜上所述，有最小項.
故選：D.
變式47．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．的最大值為
【答案】B
【解析】若，，
，
則與矛盾，
若，，
，
則與矛盾，
，
故B正確；
，則，
，故A錯誤；
，
單調遞增，故D錯誤；
，
，故C錯誤．
故選：B．
變式48．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．是數(shù)列中的最大值
C． D．數(shù)列無最大值
【答案】C
【解析】等比數(shù)列的公比為，則，由，則有，必有，
又由，即，又，則有或，
又當時，可得，由，則與矛盾
所以，則有，
由此分析選項：
對于A，，故，故A錯誤；
對于B，等比數(shù)列中，，，所以數(shù)列單調遞減，又因為，所以前項積為中，是數(shù)列中的最大項，故B錯誤；
對于C，等比數(shù)列中，則，則，故C正確；
對于D，由B的結論知是數(shù)列中的最大項，故D錯誤.
故選：C.
變式49．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）設公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．是數(shù)列中的最大值 D．數(shù)列無最大值
【答案】B
【解析】當時，則，不合乎題意；
當時，對任意的，，且有，可得，
可得，此時，與題干不符，不合乎題意；
故，故A錯誤；
對任意的，，且有，可得，
此時，數(shù)列為單調遞減數(shù)列，則，
結合可得，
結合數(shù)列的單調性可得
故，
，
∴，
故B正確；
是數(shù)列 中的最大值,故CD錯誤
故選：B.
變式50．（2023·黑龍江哈爾濱·高三尚志市尚志中學校考期中）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B．
C．是數(shù)列中的最大項 D．
【答案】D
【解析】等比數(shù)列的公比為，若，則，
由，可得，則數(shù)列各項均為正值，
若，當時，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；
因為，所以，故正確；
根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項，故正確；
由等比數(shù)列的性質可得，
所以，故錯誤．
故選：．
變式51．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結論：①；② ；③是數(shù)列中的最大項；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結論的序號為（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】，，，
，．
，故①正確；
，，故②不正確；
，是數(shù)列中的最大項，故③正確；
，，
使成立的最大自然數(shù)等于4038，故④不正確．
正確結論的序號是①③．
故選：B．
變式52．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，，.
(1)求；
(2)設，數(shù)列的前n項和為，若，都有成立，求實數(shù)的范圍.
【解析】（1），.
，，.
又，，，數(shù)列的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別是以2，4為首項，4為公差的等差數(shù)列.
當時，；當時，.
綜上，，
（2）方法一：，
.
，.
方法二：，
，
，
，
∴時，為遞增數(shù)列，
時，為遞減數(shù)列，
若，都有成立，只需使，則且，則.
變式53．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知數(shù)列是首項與公比都為的等比數(shù)列，其中，且，且是遞增數(shù)列，求的范圍.
【解析】因為數(shù)列是首項與公比都為的等比數(shù)列，所以.
因為是遞增數(shù)列，所以，即.
當時，，，符合題意；
當，，若，則恒成立，
因為，所以.
綜上，或.
變式54．（2023·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且對恒成立，則的范圍為______.
【答案】
【解析】因為，所以，
所以
因為，所以，即對恒成立，
對恒成立，因為，所以，
又因為是正數(shù)數(shù)列，所以，所以的取值范圍為.
故答案為：
變式55．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為q，前n項和，若對于任意正整數(shù)n有，則q的范圍為____________.
【答案】
【解析】對于任意正整數(shù)n有，
當時，，符合要求，
當時，，
且，，
，
，
綜上可得，.
故答案為：
變式56．（2023·北京東城·北京市第五中學?？寄M預測）若三角形三邊成等比數(shù)列，則公比q的范圍是_____.
【答案】；
【解析】設三邊：、、、則由三邊關系：兩短邊和大于第三邊，即
（1）當時，等價于解二次不等式：，
由于方程兩根為：，
故得且，
即
（2）當時，為最大邊，即得，
解之得或且
即
綜合（1）（2），得：
故答案為：
題型九：等比數(shù)列的實際應用
例25．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學?？寄M預測）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛.設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為數(shù)列，且滿足遞推公式：為數(shù)列的前項和，則__________（答案精確到1）.
【答案】9920
【解析】由題知，，
，
，
，
，
由得，
則，解得，
所以，
則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
因
，
所以.
故答案為：
例26．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學?？既＃┲袊糯鷶?shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關.” 則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.
【答案】6
【解析】將這個人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，
，其公比，令數(shù)列的前n項和為，
則，而，
因此，解得，
所以此人在第六天行走的路程（里）.
故答案為：6
例27．（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┠掣咧袌D書館為畢業(yè)生提供網(wǎng)上閱讀服務，其中電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學生的屆別+班級+學號+特別碼構成.這個特別碼與如圖數(shù)表有關，數(shù)表構成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每兩個相鄰數(shù)的和寫在這兩個數(shù)正中間下方得到.以此類推特別碼是學生屆別數(shù)對應表中相應行的自左向右第一個數(shù)的個位數(shù)字，如：1997屆3班21號學生的登陸碼為1997321*.（*為表中第1997行第一個數(shù)的個位數(shù)字）.若已知某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138，則可以推斷該畢業(yè)生是______屆2班13號學生.
【答案】
【解析】根據(jù)圖表可得，第行的前兩個數(shù)之差為，
設第行的第一個數(shù)為，則，即
兩邊同時除以，可得，且，
所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，
所以，
因為的個位數(shù)分別為，所以的個位數(shù)呈現(xiàn)周期性變化，且周期為，
因為，所以，
若時，則，
因為，所以的個位數(shù)是，故的個位數(shù)為；
若時，則，
因為，所以的個位數(shù)是，故的個位數(shù)為；
若時，則，
因為，所以的個位數(shù)是，故的個位數(shù)為；
若時，則，
因為，所以的個位數(shù)是，故的個位數(shù)為，
同理可得：的個位數(shù)為，的個位數(shù)為，的個位數(shù)為，
的個位數(shù)為，的個位數(shù)為，的個位數(shù)為，
所以某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138，則，
故推斷該畢業(yè)生是屆2班13號學生.
故答案為：.
變式57．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）如圖，已知在扇形OAB中，半徑，，圓內切于扇形OAB（圓和，，弧AB均相切），作圓與圓，，相切，再作圓與圓，，相切，以此類推.設圓，圓…的面積依次為，…，那么__________．
【答案】
【解析】如圖，設圓與弧AB相切于點D，
圓，圓與OA分別切于點C，E，則，.
設圓，圓，圓，…，圓的半徑分別為，，，…，.
因為，所以.在中，，
則，即，解得.
在中，，
則，即，解得.
同理可得，，
所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.
又圓的面積為，
所以面積，，，…，構成一個以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
則.
故答案為：.
變式58．（2023·陜西寶雞·高三寶雞中學?？茧A段練習）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自《莊子·天下》，其中蘊含著數(shù)列的相關知識，已知長度為4的線段，取的中點C，以為直徑作圓（如圖①），該圓的面積為，在圖①中取的中點D，以為直徑作圓（如圖②），圖②中所有圓的面積之和為，以此類推，則________．
【答案】
【解析】由題意可知，，后一個圓的半徑為前一個圓半徑的一半，
故各圓的面積成以為首項，為公比的等比數(shù)列，
故，
故答案為：
變式59．（2023·全國·高三專題練習）是無理數(shù)的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個黃金三角形，是頂角為的第二個黃金三角形，是頂角為的第三個黃金三角形，是頂角為的第四個黃金三角形，則第個黃金三角形的腰長為________（寫出關于表達式即可）.
【答案】
【解析】第一個黃金三角形：的底為，由可得腰長；
第二個黃金三角形：的底為，由可得腰長；
第三個黃金三角形：的底為，由可得腰長；
第四個黃金三角形：的底為，由，可得腰長，
故答案為：.
變式60．（2023·全國·校聯(lián)考三模）88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個遞增的等比數(shù)列．若中音A（左起第49個鍵）的頻率為，鋼琴上最低音的頻率為，則左起第61個鍵的音的頻率為___________．
【答案】880
【解析】設等比數(shù)列的公比為，則，所以，
則左起第61個鍵的音的頻率為．
故答案為：880
1．（2023 甲卷（理））已知等比數(shù)列中，，為前項和，，則　　
A．7 B．9 C．15 D．30
【答案】
【解析】等比數(shù)列中，設公比為，
，為前項和，，顯然，
（如果，可得矛盾，如果，可得矛盾），
可得，
解得，即或，
所以當時，．
當時，．沒有選項．
故選：．
2．（2023 新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項和，若，，則　　
A．120 B．85 C． D．
【答案】
【解析】等比數(shù)列中，，，顯然公比，
設首項為，則①，②，
化簡②得，解得或（不合題意，舍去），
代入①得，
所以．
故選：．
3．（2023 天津）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為　　
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】
【解析】因為為等比數(shù)列，，
所以，，
由等比數(shù)列的性質可得，，
即，
所以或（舍，
所以，，
則．
故選：．第03講 等比數(shù)列及其前n項和
目錄
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）理解等比數(shù)列的概念． （2）掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式． （3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系． 2023年甲卷（理）第5題，5分 2023年II卷第8題，5分 2023年乙卷（理）第15題，5分 高考對等比數(shù)列的考查相對穩(wěn)定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是（1）選擇題、填空題多單獨考查基本量的計算；（2）解答題多與等差數(shù)列結合考查，或結合實際問題或其他知識考查．
知識點一．等比數(shù)列的有關概念
（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達式為．
（2）等比中項：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．
即是與的等比中項 ，，成等比數(shù)列 ．
知識點二．等比數(shù)列的有關公式
（1）等比數(shù)列的通項公式
設等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．
推廣形式：
（2）等比數(shù)列的前n項和公式
等比數(shù)列的公比為，其前項和為
注①等比數(shù)列的前項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應的求和公式，當不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．
②已知（項數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．
③，為關于的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．
知識點三．等比數(shù)列的性質
（1）等比中項的推廣．
若時，則，特別地，當時，．
（2）①設為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．
②設與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．
（3）等比數(shù)列的單調性（等比數(shù)列的單調性由首項與公比決定）．
當或時，為遞增數(shù)列；
當或時，為遞減數(shù)列．
（4）其他衍生等比數(shù)列．
若已知等比數(shù)列，公比為，前項和為，則：
①等間距抽取
為等比數(shù)列，公比為．
②等長度截取
為等比數(shù)列，公比為（當時，不為偶數(shù)）．
【解題方法總結】
（1）若，則．
（2）若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．
（3）在等比數(shù)列中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即為
等比數(shù)列，公比為．
（4）公比不為－1的等比數(shù)列的前項和為，則，，仍成等比數(shù)列，其公比為．
（5）為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列．
（6）當，時，是成等比數(shù)列的充要條件，此時．
（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間
項的平方．
（8）若為正項等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．
（9）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．
（10）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．
題型一：等比數(shù)列的基本運算
例1．（2023·北京·高三匯文中學校考階段練習）在等比數(shù)列中，，，則等于（ ）
A．9 B．72 C．9或70 D．9或
例2．（2023·全國·高三專題練習）已知遞增的等比數(shù)列中，前3項的和為7，前3項的積為8，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例3．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？寄M預測）已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·四川遂寧·射洪中學?？寄M預測）在等比數(shù)列中，若，，則公比q應為（ ）
A． B． C． D．－2
變式2．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
變式3．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則該數(shù)列的以及依次為（ ）
A．682， B．， C．682，或 D．，或
變式4．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預測）已知正項等比數(shù)列{}的前n項和為，若，則=（ ）
A．64 B．81 C．128 D．192
變式5．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前4項和為，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題方法總結】
等比數(shù)列基本量運算的解題策略
（1）等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量，，，，，
一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解．
（2）等比數(shù)列的前項和公式涉及對公比的分類討論：
當時，；當時，．
題型二：等比數(shù)列的判定與證明
例4．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調和．記，，經(jīng)次調和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為，．
(1)試用，表示，．
(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項．
例5．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，其中為的前n項和．證明：
(1)是等比數(shù)列．
(2)．
例6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預測）甲、乙、丙三個小學生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個，設第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，在丙手中的方法數(shù)為.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項；
(2)求證：當n為偶數(shù)時，.
變式6．（2023·廣東東莞·校考三模）已知數(shù)列和，，，.
(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和.
變式7．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列的首項，且，
記.
(1)求；
(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；
(3)求.
變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列、滿足，，，，且，.
(1)求證：是等比數(shù)列；
(2)若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.
變式9．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列的前和滿足 ，
(1)求的值及與的關系；
(2)求證：是等比數(shù)列，并求出的通項公式.
變式10．（2023·云南·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列有遞推關系，，記，若數(shù)列的遞推式形如（且），也即分子中不再含有常數(shù)項.
(1)求實數(shù)的值；
(2)證明：為等比數(shù)列，并求其首項和公比.
變式11．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足．
(1)證明是等比數(shù)列；
(2)若，求的前項和．
變式12．（2023·山東濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．
(1)證明：和都是等比數(shù)列；
(2)求的前項和．
【解題方法總結】
等比數(shù)列的判定方法
定義法 若（為非零常數(shù)，或（為非零常數(shù)且，），則是等比數(shù)列
中項公式法 若數(shù)列中，且，則是等比數(shù)列
通項公式法 若數(shù)列的通項公式可寫成（均為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列
前項和公式法 若數(shù)列的前項和（為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列
題型三：等比數(shù)列項的性質應用
例7．（2023·全國·高三對口高考）已知等比數(shù)列的前n項和為，則__________.
例8．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）若m，n是函數(shù)的兩個不同零點，且m，n，這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則__________.
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，且、是函數(shù)的兩個零點，則___________.
變式13．（2023·高三課時練習）已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前9項的乘積為1，則______．
變式14．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項等比數(shù)列中，與是方程 的兩個根，則_________ .
變式15．（2023·全國·高三專題練習）等比數(shù)列中，，，則公比q的值為_____________.
變式16．（2023·全國·高三專題練習）在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)組成正項等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于_____________.
變式17．（2023·四川成都·高三四川省成都市玉林中學校考階段練習）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．
變式18．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，若，則__________.
變式19．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知等比數(shù)列的首項為，且，則__________.
變式20．（2023·重慶·高三階段練習）在等比數(shù)列中，，則______________．
【解題方法總結】
（1）在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若，則．”，可以減少運算量，提高解題速度．
（2）在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．
題型四：等比數(shù)列前n項和的性質
例10．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項和.若，，則的值為__________.
例11．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______.
例12．（2023·高三課時練習）已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為______．
變式21．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和，且，，則______.
變式22．（2023·全國·高三專題練習）設正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為______.
變式23．（2023·全國·高三專題練習）設正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比__________.
變式24．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）已知等比數(shù)列的前項和為，，，則___________.
變式25．（2023·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則，的等差中項為__________.
變式26．（2023·江西南昌·南昌十中?？寄M預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為_______
【解題方法總結】
（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和具有的性質，設公比為．
①若共有項，則；②若共有項，．
（2）等比數(shù)列中，表示它的前項和．當時，有也成等比數(shù)列，公比為．
題型五：求數(shù)列的通項
例13．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）記數(shù)列的前n項和為，已知向量，，若，且，則通項為________．
例14．（2023·內蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列和滿足，，，.則數(shù)列的通項______.
例15．（2023·上海浦東新·高三?？奸_學考試）設冪函數(shù)，數(shù)列滿足：，且（），則數(shù)列的通項__．
變式27．（2023·江蘇·高三專題練習）寫出一個滿足前5項的和為31，且遞減的等比數(shù)列的通項___________．
變式28．（2023·山西太原·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為且滿足，則數(shù)列的通項_______．
變式29．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項___________．
變式30．（2023·內蒙古包頭·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列{}的通項與前n項和之間滿足關系則=__________
變式31．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）數(shù)列的通項的通項，由與中公共項，并按原順序組成一個新的數(shù)列，求的前項和.
【解題方法總結】
（1）等比數(shù)列的通項公式
設等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．
推廣形式：
（2）等比數(shù)列的前n項和公式
等比數(shù)列的公比為，其前項和為
題型六：奇偶項求和問題的討論
例16．（2023·湖南長沙·長郡中學校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，且
(1)設，求數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．
例17．（2023·河北·模擬預測）已知數(shù)列滿足，
(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前項和．
例18．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若，求數(shù)列的前項和．
變式32．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）設為等比數(shù)列，為公差不為零的等差數(shù)列，且，，.
(1)求和的通項公式；
(2)記的前項和為，的前項和為，證明：；
(3)記，求.
變式33．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）記為等差數(shù)列{}的前n項和，已知，數(shù)列{}滿足.
(1)求數(shù)列{}與數(shù)列{}的通項公式；
(2)數(shù)列{}滿足，n為偶數(shù)，求{}前2n項和.
變式34．（2023·全國·高三專題練習）已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，，求數(shù)列的前2n項和.
變式35．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學?？既＃┮阎獢?shù)列滿足：，且對任意的，
(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
變式36．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的通項公式．
【解題方法總結】
求解等比數(shù)列的前項和，要準確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數(shù)的值；對于奇偶項通項不統(tǒng)一問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進行分類．
題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用
例19．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，前項和為，數(shù)列滿足，求證：
(1)數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)數(shù)列中任意三項均不能構成等比數(shù)列.
例20．（2023·遼寧錦州·高三渤海大學附屬高級中學?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，．
(1)求等差數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．
例21．（2023·全國·高三專題練習）已知為等差數(shù)列的前項和，且，___________.在①，，成等比數(shù)列，②，③數(shù)列為等差數(shù)列，這三個條件中任選一個填入橫線，使得條件完整，并解答：
(1)求；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
變式37．（2023·四川資陽·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，（其中）成等差數(shù)列．問：，，是否成等差數(shù)列？并說明理由．
變式38．（2023·江蘇·高考真題）已知是等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前n項和.
(1)若（m，k是大于2正整數(shù)），求證：；
(2)若（i是某一正整數(shù)），求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中每一項都是數(shù)列中的項；
(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由.
變式39．（2023·河南開封·高三?？茧A段練習）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若為等差數(shù)列的前項和，求使成立的的最大值.
變式40．（2023·全國·高三專題練習）已知是遞增的等比數(shù)列，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.若存在，求出這樣的項；若不存在，請說明理由．
變式41．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為，，，.
(1)證明：為等差數(shù)列；
(2)設，在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)構成公差為的等差數(shù)列，求的前n項和.
【解題方法總結】
（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉化：等差數(shù)列通過指數(shù)運算轉化為正項等比數(shù)列，正項等比數(shù)列通過對數(shù)運算轉化為等差數(shù)列．
（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列．
題型八：等比數(shù)列的范圍與最值問題
例22．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（ ）
A．數(shù)列的最大項為 B．數(shù)列的最小項為
C．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列 D．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列
例23．（2023·全國·高三專題練習）設是公比為的等比數(shù)列，其前項的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結論的編號是（ ）
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④
例24．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）已知正項等比數(shù)列滿足，則取最大值時的值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
變式42．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列是無窮等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和（ ）．
A．無最大值，有最小值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，無最小值 D．無最大值，無最小值
變式43．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列是（　?。?br/>A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不能確定
變式44．（2023·全國·高三專題練習）已知是遞增的等比數(shù)列，且，則其公比滿足（ ）
A． B．
C． D．
變式45．（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為，且，則使得的n的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
變式46．（2023·全國·高三專題練習）設無窮等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列
C．數(shù)列有最大項 D．數(shù)列有最小項
變式47．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．的最大值為
變式48．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．是數(shù)列中的最大值
C． D．數(shù)列無最大值
變式49．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）設公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．是數(shù)列中的最大值 D．數(shù)列無最大值
變式50．（2023·黑龍江哈爾濱·高三尚志市尚志中學?？计谥校┰O等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B．
C．是數(shù)列中的最大項 D．
變式51．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結論：①；② ；③是數(shù)列中的最大項；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結論的序號為（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
變式52．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，，.
(1)求；
(2)設，數(shù)列的前n項和為，若，都有成立，求實數(shù)的范圍.
變式53．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知數(shù)列是首項與公比都為的等比數(shù)列，其中，且，且是遞增數(shù)列，求的范圍.
變式54．（2023·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且對恒成立，則的范圍為______.
變式55．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為q，前n項和，若對于任意正整數(shù)n有，則q的范圍為____________.
變式56．（2023·北京東城·北京市第五中學校考模擬預測）若三角形三邊成等比數(shù)列，則公比q的范圍是_____.
題型九：等比數(shù)列的實際應用
例25．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學?？寄M預測）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛.設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為數(shù)列，且滿足遞推公式：為數(shù)列的前項和，則__________（答案精確到1）.
例26．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學校考三模）中國古代數(shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關.” 則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.
例27．（2023·遼寧大連·育明高中校考一模）某高中圖書館為畢業(yè)生提供網(wǎng)上閱讀服務，其中電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學生的屆別+班級+學號+特別碼構成.這個特別碼與如圖數(shù)表有關，數(shù)表構成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每兩個相鄰數(shù)的和寫在這兩個數(shù)正中間下方得到.以此類推特別碼是學生屆別數(shù)對應表中相應行的自左向右第一個數(shù)的個位數(shù)字，如：1997屆3班21號學生的登陸碼為1997321*.（*為表中第1997行第一個數(shù)的個位數(shù)字）.若已知某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138，則可以推斷該畢業(yè)生是______屆2班13號學生.
變式57．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）如圖，已知在扇形OAB中，半徑，，圓內切于扇形OAB（圓和，，弧AB均相切），作圓與圓，，相切，再作圓與圓，，相切，以此類推.設圓，圓…的面積依次為，…，那么__________．
變式58．（2023·陜西寶雞·高三寶雞中學校考階段練習）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自《莊子·天下》，其中蘊含著數(shù)列的相關知識，已知長度為4的線段，取的中點C，以為直徑作圓（如圖①），該圓的面積為，在圖①中取的中點D，以為直徑作圓（如圖②），圖②中所有圓的面積之和為，以此類推，則________．
變式59．（2023·全國·高三專題練習）是無理數(shù)的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個黃金三角形，是頂角為的第二個黃金三角形，是頂角為的第三個黃金三角形，是頂角為的第四個黃金三角形，則第個黃金三角形的腰長為________（寫出關于表達式即可）.
變式60．（2023·全國·校聯(lián)考三模）88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個遞增的等比數(shù)列．若中音A（左起第49個鍵）的頻率為，鋼琴上最低音的頻率為，則左起第61個鍵的音的頻率為___________．
1．（2023 甲卷（理））已知等比數(shù)列中，，為前項和，，則　　
A．7 B．9 C．15 D．30
2．（2023 新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項和，若，，則　　
A．120 B．85 C． D．
3．（2023 天津）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為　　
A．3 B．18 C．54 D．152

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