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第三章 函數(shù)
第4節(jié) 反比例函數(shù)及其應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1反比例函數(shù)相關(guān)概念 ☆ 反比例函數(shù)是非常重要的函數(shù)，年年都會考，總分值為12分左右，常考考點為: 反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)k的幾何意義、雙曲線上點的坐標特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及反比例函數(shù)的應用與綜合題等.其中前三個考點多以選擇、填空題的形式出題，后三個考點則是基礎(chǔ)解答題形式出題.在填空題中,對反比例函數(shù)點的坐標特征考察的比較多，而且難度逐漸增大，常結(jié)合其他規(guī)則幾何圖形的性質(zhì)一起出題,多數(shù)題目的技巧性較強，復習中需要多加注意.另外壓軸題中也常以反比例函數(shù)為背景，考察一些新定義類問題. 綜合反比例函數(shù)以上特點，考生在復習該考點時，需要準備掌握其各性質(zhì)規(guī)律，并且多注意其與幾何圖形結(jié)合題的思考探究
考點2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) ☆☆
考點3 比例系數(shù)k的幾何意義 ☆☆☆
考點4反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合 ☆☆☆
考點5反比例函數(shù)的實際應用 ☆☆☆
1．反比例函數(shù)的概念：
我們把形如y＝(k為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)．自變量x≠0．
反比例函數(shù)有三種表達形式：①y＝(k為常數(shù)，k≠0)；②y＝kx－1(k為常數(shù)，k≠0)；③xy＝k(k為常數(shù)，k≠0)．
2．反比例函數(shù)的圖象：
反比例函數(shù)的圖象是由兩個分支組成的曲線，且不與兩坐標軸相交．
圖象 k>0 k<0
3．反比例函數(shù)的性質(zhì)：
(1)當k＞0時，圖象的兩個分支位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．
(2)當k＜0時，圖象的兩個分支位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．
(3)其圖象既是關(guān)于原點對稱的中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．
4．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：
1）設反比例函數(shù)的解析式為（k為常數(shù)，k≠0）；
2）把已知的一對x，y的值代入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；
3）解方程求出待定系數(shù)k；
4）將所求的k值代入所設解析式中.
【說明】由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．
■考點一　反比例函數(shù)相關(guān)概念
◇典例1：（2023 大渡口區(qū)模擬）下面四個關(guān)系式中，y是x的反比例函數(shù)的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C． D．
【考點】反比例函數(shù)的定義．
【答案】C
【點撥】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的一般式是y＝（k≠0），即可判定各函數(shù)的類型是否符合題意．
【解析】解：A、y＝3x+1是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；
B、y＝3x2是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；
C、y＝，符合反比例函數(shù)的形式，是反比例函數(shù)，故此選項符合題意．
D、y＝是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，掌握反比例函數(shù)解析式的一般形式：y＝（k≠0）是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓練
1．（2023 大興區(qū)一模）下面的三個問題中都有兩個變量：
①面積一定的等腰三角形，底邊上的高y與底邊長x；
②將泳池中的水勻速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y與放水時間x；
③計劃從A地到B地鋪設一段鐵軌，每日鋪設長度y與鋪設天數(shù)x．
其中，變量y與變量x滿足反比例函數(shù)關(guān)系的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考點】反比例函數(shù)的定義．
【答案】B
【點撥】分別求出對應的y與x的關(guān)系判斷即可．
【解析】解：①由題意得，等腰三角形的面積一定，底邊上的高y與底邊長x是反比例函數(shù)，符合題意；
②速度一定，泳池中的剩余水量y與放水時間x是正比例函數(shù)，不合題意；
③從A地到B地的距離一定每日鋪設長度y與鋪設天數(shù)x是反比例函數(shù)，符合題意；
所以變量y與變量x滿足反比例函數(shù)關(guān)系的是①③．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，正確求出對應的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 雁峰區(qū)校級一模）若函數(shù)y＝（n﹣2）是反比例函數(shù)，則n為（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上都不對
【考點】反比例函數(shù)的定義．
【答案】C
【點撥】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得n2﹣5＝﹣1，且n﹣2≠0，解可得答案．
【解析】解：由題意得：n2﹣5＝﹣1，且n﹣2≠0，
解得：n＝﹣2．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的定義，判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個變量是否具有反比例關(guān)系，然后根據(jù)反比例函數(shù)的意義去判斷，其形式為y＝（k為常數(shù)，k≠0）或y＝kx﹣1（k為常數(shù)，k≠0）．
■考點二 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
◇典例2：（2023 鎮(zhèn)海區(qū)校級一模）如圖所示，滿足函數(shù)y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0）的大致圖象是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【考點】反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．
【答案】B
【點撥】分別根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的特點解答即可．
【解析】解：∵y＝k（x﹣1），
∴函數(shù)y＝k（x﹣1）過點（1，0），
故①④不合題意；
當k＞0時，函數(shù)y＝k（x﹣1）過第一、三、四象限，函數(shù)y＝（k≠0）在一、三象限；
當k＜0時，函數(shù)y＝k（x﹣1）過第一、二、四象限，函數(shù)y＝（k≠0）在二、四象限；
故②③符合題意；
故選：B．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，關(guān)鍵是由k的取值確定函數(shù)所在的象限．
2．（2022 溫州）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象的一支如圖所示，它經(jīng)過點（3，﹣2）．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式，并補畫該函數(shù)圖象的另一支．
（2）求當y≤5，且y≠0時自變量x的取值范圍．
【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
【答案】（1）y＝﹣，圖象見解答；（2）x≤﹣或x＞0．
【點撥】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用描點法補充函數(shù)圖象；
（2）利用數(shù)形結(jié)合思想確定關(guān)鍵點，從而求得相應的自變量的取值范圍．
【解析】解：（1）把點（3，﹣2）代入y＝（k≠0），
﹣2＝，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函數(shù)的表達式為y＝﹣，
補充其函數(shù)圖象如下：
（2）當y＝5時，﹣＝5，
解得：x＝﹣，
∴當y≤5，且y≠0時，x≤﹣或x＞0．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．
◆變式訓練
1．（2022 德陽）一次函數(shù)y＝ax+1與反比例函數(shù)y＝﹣在同一坐標系中的大致圖象是（　　）
A．B． C．D．
【考點】反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．
【答案】B
【點撥】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的特點，可以從a＞0，和a＜0，兩方面分類討論得出答案．
【解析】解：分兩種情況：
（1）當a＞0，時，一次函數(shù)y＝ax+1的圖象過第一、二、三象限，反比例函數(shù)y＝﹣圖象在第二、四象限，無選項符合；
（2）當a＜0，時，一次函數(shù)y＝ax+1的圖象過第一、二、四象限，反比例函數(shù)y＝﹣圖象在第一、三象限，故B選項正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．
2．（2021 浙江）已知三個點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列結(jié)論中正確的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
【答案】A
【點撥】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)x1＜x2＜0＜x3即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵反比例函數(shù)y＝中，k＝2＞0，
∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴（x1，y1），（x2，y2）兩點在第三象限，點（x3，y3）在第一象限，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故選：A．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
3．（2022 富陽區(qū)二模）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（2，3）．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式：
（2）判斷點B（﹣1，6）是否在這個函數(shù)圖象上，并說明你的理由；
（3）點C（x1，y1），D（x2，y2）是圖象上的兩點，若x1＜x2，比較y1和y2的大小，并說明你的理由．
【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
【答案】（1）函數(shù)的解析式為y＝；
（2）點B不在這個函數(shù)圖象上；
（3）當兩點在同一象限時，y1＞y2；當兩點在不同象限時，y1＜y2．
【點撥】（1）把點（2，3）代入y＝（k≠0）可得k的值，進而可得函數(shù)的解析式；
（2）把點B（﹣1，6）代入函數(shù)解析式，能滿足解析式的點就在此函數(shù)圖象上；
（3）根據(jù)反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限，分兩種情況：當C和D都在同一象限時，根據(jù)x1＜x2，判斷出y1＞y2；當C和D不在同一象限x1＜x2，判斷出y1＜y2．
【解析】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴這個函數(shù)的解析式為y＝；
（2）把B（﹣1，6）代入y＝，則6≠，
故點B不在這個函數(shù)圖象上；
（3）∵k＝6＞0，
∴反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象在一、三象限，且在每個象限y隨x的增大而減小，
∴當兩點在同一象限時，y1＞y2；
當兩點在不同象限時，y1＜y2．
【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)圖象上點的坐標特點，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式．
■考點三反比例系數(shù)k的幾何意義
◇典例3：（2023 南湖區(qū)模擬）如圖，在直角坐標系xOy中，矩形OACB被三條直線分割成六個小矩形，D是邊OB的中點，DE＝2OE，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過小矩形的頂點F，G，若圖中的陰影矩形面積S1和S2滿足2S1+S2＝16，則k的值為 　24　．
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；矩形的性質(zhì)．
【答案】24．
【點撥】設，則，然后表示出HI、HG、EI、OI，再分別用k表示出S1、S2，最后代入2S1+S2＝16解關(guān)于k的方程即可．
【解析】解：設，則，
∴，
∴，，
∵2S1+S2＝16，
∴，
解得：k＝24．
故答案為：24．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象、解一元一次方程、坐標與圖形等知識，巧妙設點坐標，正確用k表示出S1、S2是解答本題的關(guān)鍵．
◆變式訓練
1．（2022 衢州）如圖，在△ABC中，邊AB在x軸上，邊AC交y軸于點E．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過點C，與邊BC交于點D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，則k＝　　．
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
【答案】．
【點撥】作CM⊥AB于點M，DN⊥AB于點N，設C（m，），則OM＝m，CM＝，根據(jù)平行線分線段成比例求出DN，BN，OA，MN，再根據(jù)面積公式即可求出k的值．
【解析】解：如圖，作CM⊥AB于點M，DN⊥AB于點N，
設C（m，），
則OM＝m，CM＝，
∵OE∥CM，AE＝CE，
∴＝＝1，
∴AO＝m，
∵DN∥CM，CD＝2BD，
∴＝＝＝，
∴DN＝，
∴D的縱坐標為，
∴＝，
∴x＝3m，
即ON＝3m，
∴MN＝2m，
∴BN＝m，
∴AB＝5m，
∵S△ABC＝6，
∴5m ＝6，
∴k＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行線分線段成比例，解題時注意：反比例函數(shù)圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．
■考點四　反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合
◇典例4：（2022 寧波）如圖，正比例函數(shù)y＝﹣x的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象都經(jīng)過點A（a，2）．
（1）求點A的坐標和反比例函數(shù)表達式．
（2）若點P（m，n）在該反比例函數(shù)圖象上，且它到y(tǒng)軸距離小于3，請根據(jù)圖象直接寫出n的取值范圍．
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．
【答案】（1）A（﹣3，2），y＝﹣；
（2）n＞2或n＜﹣2．
【點撥】（1）把點A的坐標代入一次函數(shù)關(guān)系式可求出a的值，再代入反比例函數(shù)關(guān)系式確定k的值，進而得出答案；
（2）確定m的取值范圍，再根據(jù)反比例函數(shù)關(guān)系式得出n的取值范圍即可．
【解析】解：（1）把A（a，2）的坐標代入y＝﹣x，即2＝﹣a，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，2），
又∵點A（﹣3，2）是反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y＝﹣；
（2）∵點P（m，n）在該反比例函數(shù)圖象上，且它到y(tǒng)軸距離小于3，
∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，
當m＝﹣3時，n＝＝2，當m＝3時，n＝＝﹣2，
由圖象可知，
若點P（m，n）在該反比例函數(shù)圖象上，且它到y(tǒng)軸距離小于3，n的取值范圍為n＞2或n＜﹣2．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點坐標，把點的坐標代入相應的函數(shù)關(guān)系式求出待定系數(shù)是求函數(shù)關(guān)系式的常用方法．
◆變式訓練
1．（2023 舟山三模）如圖，一次函數(shù)y1＝x﹣1的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（2，m），B（n，﹣2），當y1＞y2時，x的取值范圍是（　　）
A．x＜﹣1或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【答案】D
【點撥】求出點A、點B的坐標，再根據(jù)兩個函數(shù)的交點坐標以及增減性進行判斷即可．
【解析】解：∵一次函數(shù)y1＝x﹣1的圖象過點A（2，m），B（n，﹣2），
∴m＝2﹣1，n﹣1＝﹣2，
即m＝1，n＝﹣1，
∴點A（2，1），B（﹣1，﹣2），
由圖象可知，
當y1＞y2時，﹣1＜x＜0或x＞2，
故選：D．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的交點坐標，掌握反比例函數(shù)、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征是正確解答的前提．
2．（2023 蕭山區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y1＝k1x+b（k1≠0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（3，4），B（6，2）兩點．
（1）求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；
（2）過點P（a，0）作x軸的垂線，與直線 y＝k1x+b（k1≠0）和函數(shù) （k2≠0，x＞0）的圖象的交點分別為點M，N，當點M在點N下方時，直接寫出a的取值范圍；
（3）將直線AB向下平移m（m＞0）個單位長度，若平移后的直線與反比例函數(shù)的圖象只有一個交點，試求m的值．
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【答案】（1）一次函數(shù)的表達式為：y1＝﹣x+6，反比例函數(shù)的表達式為：y＝；（2）0＜a＜3或a＞6；（3）m＝6﹣4．
【點撥】（1）依據(jù)題意，將A、B兩點的坐標分別代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，進而計算可以得解；
（2）依據(jù)題意，作出直線AB，根據(jù)圖象可以找出點M在點N下方時對應的a的取值范圍；
（3）依據(jù)題意，當直線AB與反比例函數(shù)圖象相切時，即對應轉(zhuǎn)化的二次方程的Δ＝0，從而可以得解．
【解析】解：（1）由題意，將A（3，4），B（6，2）代入y1＝k1x+b得
，
∴解得．
∴一次函數(shù)的表達式為：y1＝﹣x+6．
將A（3，4），B（6，2）代入反比例函數(shù)，
∴k2＝12．
∴反比例函數(shù)的表達式為：y＝．
（2）由題意，如圖，過P作x軸的垂線，
∵點M在點N下方，
∴0＜a＜3或a＞6．
（3）由題意，
∵直線AB向下平移m個單位長度，且直線AB為y1＝﹣x+6，
∴可設平移后的表達式為：y1＝﹣x+6﹣m．
若平移后的直線與反比例函數(shù)y＝的圖象只有一個交點，
∴可以將反比例函數(shù)表達式與平移后直線表達式建立方程得．
∴2x2﹣（18﹣3m）x+36＝0．
∵只有一個交點，
∴Δ＝（18﹣3m）2﹣288＝0．
∴m＝6±4．
∵反比例函數(shù)圖象自變量x＞0，
∴6﹣m＞0，即m＜6．
∴m＝6﹣4，（m＝6+4舍去）．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題時需要熟練掌握并理解．
■考點五　反比例函數(shù)的實際應用
◇典例5：（2023 路橋區(qū)二模）汽車從甲地開往乙地，記汽車行駛時間為t小時，平均速度為v千米/小時（汽車行駛速度不超過100千米/小時）．根據(jù)經(jīng)驗，v，t的一組對應值如表：
v（千米/小時） 75 80 85 90 95
t（小時） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分析說明平均速度v（千米/小時）關(guān)于行駛時間t（小時）的函數(shù)關(guān)系，并求出其表達式：
（2）汽車上午8：00從甲地出發(fā)，能否在上午10：30之前到達乙地？請說明理由．
【考點】反比例函數(shù)的應用．
【答案】（1）v＝（t≥3）；
（2）平均速度v的取值范圍是75≤v≤．
【點撥】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知v是t的反比例函數(shù)，設v＝，利用待定系數(shù)法求出k即可；
（2）根據(jù)時間t＝2.5，求出速度，即可判斷．
【解析】解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)可以看出每一對v與t的對應值乘積為一定值，將每一對對應值作為點的坐標在平面直角坐標系中做出對應的圖象是雙曲線的一部分，
設v＝，
∵v＝75時，t＝4，
∴k＝75×4＝300，
∴v＝（t≥3）；
（2）∵10.5﹣8＝2.5，
∴t＝2.5時，v＝＝120＞100，
∴汽車上午8：00從甲地出發(fā)，不能在上午10：30之前到乙地；
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應用，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
◆變式訓練
1．（2023 龍灣區(qū)模擬）已知近視眼鏡的度數(shù)D（度）與鏡片焦距f（米）成反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，小慧想通過矯正治療使近視眼鏡的度數(shù)D不超過200度，則她需佩戴鏡片的焦距f應滿足（　　）
A．f＜0.5 B．f＞0.5 C．f≤0.5 D．f≥0.5
【考點】反比例函數(shù)的應用．
【答案】D
【點撥】先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)D≤200求出f的取值范圍即可．
【解析】解：設近視眼鏡的度數(shù)D（度）與鏡片焦距f（米）的函數(shù)解析式為D＝，
把（0.25，400）代入解析式得：400＝，
解得k＝100，
∴D＝，
當D≤200時，即≤200，
解得f≥0.5，
故選：D．
【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的應用，由兩個量成反比例關(guān)系，可得兩者乘積一定，因此再用待定系數(shù)法解答．
2．（2023 玉環(huán)市二模）如圖1，將一長方體A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強P（Pa）與受力面積S（m2）的關(guān)系如表所示（與長方體A相同重量的長方體均滿足此關(guān)系）．
桌面所受壓強P（Pa） 100 200 400 500 800
受力面積S（m2） 2 1 0.5 0.4 0.25
（1）求桌面所受壓強P（Pa）與受力面積S（m2）之間的函數(shù)表達式；
（2）現(xiàn)將另一長、寬、高分別為0.2m，0.3m，0.2m與長方體A相同重量的長方體B按如圖2所示的方式放置于該水平玻璃桌面上．若桌面所受壓強P（Pa）與受力面積S（m2）之間的關(guān)系滿足（1）中的函數(shù)表達式，且該玻璃桌面能承受的最大壓強為5000Pa，請你判斷這種擺放方式是否安全？并說明理由．
【考點】反比例函數(shù)的應用．
【答案】（1）P＝；
（2）這種擺放方式安全．
【點撥】（1）用待定系數(shù)法可得函數(shù)關(guān)系式；
（2）算出S，即可求出P，比較可得答案．
【解析】解：（1）由表格可知，壓強P與受力面積S的乘積不變，故壓強P是受力面積S的反比例函數(shù)，
設P＝，將（400，0.5）代入得：
0.5＝，
解得k＝200，
∴P＝；
（2）這種擺放方式安全，理由如下：
由圖可知S＝0.3×0.2＝0.06（m2），
∴將長方體放置于該水平玻璃桌面上，P＝≈3333（Pa），
∵3333＜5000，
∴這種擺放方式安全．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能列出函數(shù)關(guān)系式．
1．（2023 杭州模擬）驗光師測得一組關(guān)于近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）的對應數(shù)據(jù)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得y關(guān)于x的函數(shù)表達式為（　　）
近視眼鏡的度數(shù)y（度） 200 250 400 500 1000
鏡片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A． B． C． D．
【考點】反比例函數(shù)的應用．
【答案】B
【點撥】直接利用已知數(shù)據(jù)可得xy＝100，進而得出答案．
【解析】解：由表格中數(shù)據(jù)可得：xy＝100，
故y關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y＝．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的應用，正確得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
2．（2022 麗水）已知電燈電路兩端的電壓U為220V，通過燈泡的電流強度I（A）的最大限度不得超過0.11A．設選用燈泡的電阻為R（Ω），下列說法正確的是（　　）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
【考點】反比例函數(shù)的應用．
【答案】A
【點撥】利用已知條件列出不等式，解不等式即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵電壓U一定時，電流強度I（A）與燈泡的電阻為R（Ω）成反比例，
∴I＝．
∵已知電燈電路兩端的電壓U為220V，
∴I＝．
∵通過燈泡的電流強度I（A）的最大限度不得超過0.11A，
∴≤0.11，
∴R≥2000．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的應用，利用已知條件列出不等式是解題的關(guān)鍵．
3．（2023 黃巖區(qū)一模）下列關(guān)于反比例函數(shù)的描述中，正確的是（　　）
A．圖象位于第二、四象限 B．圖象過點（1，3）
C．y隨x的增大而增大 D．當x＞﹣1時，y＞3
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】A
【點撥】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷選項，即可得到答案．
【解析】解：A．∵k＝﹣3＜0，即：函數(shù)的圖象在二，四象限內(nèi)，∴A正確，
B．∵1×3＝3≠﹣3，函數(shù)的圖象不經(jīng)過（1，3），∴B錯誤，
C．∵k＝﹣3＜0，即：在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∴C錯誤，
D．∵當x＞﹣1時，則y＞3或y＜0，∴D錯誤，
故選：A．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握比例系數(shù)k的意義與增減性，是解題的關(guān)鍵．
4．（2023 縉云縣二模）蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，用電器的電流I（A）與電阻R（Ω）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，如果此蓄電池電源的用電限制電流不得超過12A，那么用電器的可變電阻應控制在（　　）范圍內(nèi)
A．R≥4Ω B．R≤4Ω C．R≥8Ω D．R≤8Ω
【考點】反比例函數(shù)的應用．
【答案】A
【點撥】根據(jù)函數(shù)的圖象即可得到結(jié)論．
【解析】解：從圖中可以看出：I的值隨著R的增加而減小，呈反比例函數(shù)關(guān)系，
設，
代入I＝6，R＝8，
得，
∴k＝48，
∴，
令I(lǐng)＝12，則，
如果此蓄電池電源的用電限制電流不得超過12A，則用電器的可變電阻應控制在R≥4Ω范圍內(nèi)，
故選：A．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象，能夠讀懂反比例函數(shù)的圖象是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2022 寧波模擬）一次函數(shù)y＝ax﹣a與反比例函數(shù)y＝（a≠0）在同一坐標系中的圖象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考點】反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．
【答案】D
【點撥】先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷出a取值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出a的取值，二者一致的即為正確答案．
【解析】解：A、由函數(shù)y＝ax﹣a的圖象可知a＞0，﹣a＞0，由函數(shù)y＝（a≠0）的圖象可知a＞0，矛盾，錯誤；
B、由函數(shù)y＝ax﹣a的圖象可知a＜0，由函數(shù)y＝（a≠0）的圖象可知a＞0，相矛盾，故錯誤；
C、由函數(shù)y＝ax﹣a的圖象可知a＞0，由函數(shù)y＝（a≠0）的圖象可知a＜0，故錯誤；
D、由函數(shù)y＝ax﹣a的圖象可知a＜0，﹣a＞0，由函數(shù)y＝（a≠0）的圖象可知a＜0，故正確；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．
6．（2013 定海區(qū)模擬）函數(shù)圖象的大致形狀是（　　）
A．B． C． D．
【考點】反比例函數(shù)的圖象．
【答案】D
【點撥】由題意只需找到圖象在x軸下方的不經(jīng)過原點的函數(shù)圖象即可．
【解析】解：由函數(shù)解析式可得x可取正數(shù)，也可取負數(shù)，但函數(shù)值只能是負數(shù)；
所以函數(shù)圖象應在x軸下方，并且x，y均不為0．
故選：D．
【點睛】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)在函數(shù)圖象上的點得到函數(shù)圖象的大致位置．
7．（2023 舟山）已知點A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
【答案】B
【點撥】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷出y1，y2，y3的大小關(guān)系．
【解析】解：∵反比例函數(shù)y＝，
∴該函數(shù)的圖象位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
∵點A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴y2＜y1＜y3，
故選：B．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．
8．（2021 富陽區(qū)二模）已知反比例函數(shù)y＝，當﹣2＜x＜﹣1，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．﹣3＜y＜0 B．﹣2＜y＜﹣1 C．﹣10＜y＜﹣5 D．y＞﹣10
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】C
【點撥】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性求出y的范圍即可．
【解析】解：∵k＝10，且﹣2＜x＜﹣1，
∴在第三象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，
當x＝﹣2時，y＝﹣5，
當x＝﹣1時，y＝﹣10，
∴﹣10＜y＜﹣5，
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
9．（2023 臨海市一模）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，k﹣n2﹣2），則k的取值范圍為（　　）
A．k≤﹣2 B．k≤﹣4 C．k≥2 D．k≥4
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
【答案】D
【點撥】將點（2，k﹣n2﹣2）代入，求出k的值，再根據(jù)2n2≥0，即可求出k的取值范圍．
【解析】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，k﹣n2﹣2），
∴2（k﹣n2﹣2）＝k，
∴k＝2n2+4，
∵2n2≥0，
∴k≥4．
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，熟知將點坐標代入解析式左右相等是解題的關(guān)鍵．
10．（2023 金華）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（2，3），B（m，﹣2），則不等式ax+b的解是（　　）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【答案】A
【點撥】依據(jù)題意，首先求出B點的橫坐標，再直觀得出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量的取值范圍，即為不等式的解集．
【解析】解：∵A（2，3）在反比例函數(shù)上，
∴k＝6．
又B（m，﹣2）在反比例函數(shù)上，
∴m＝﹣3．
∴B（﹣3，﹣2）．
結(jié)合圖象，
∴當ax+b＞時，﹣3＜x＜0或x＞2．
故選：A．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過圖象直接得出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍．
11．（2023 溫嶺市一模）已知反比例函數(shù)的圖象位于第二、第四象限，則m的取值范圍為 　m＜﹣4　．
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的圖象．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點撥】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到m+4＜0，解不等式即可得到答案．
【解析】解：∵的圖象位于第二、第四象限，
∴m+4＜0，
∴m＜﹣4，
即m的取值范圍為m＜﹣4．
故答案為：m＜﹣4．
【點睛】此題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2023 溫州）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強p（kPa）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（mL）成反比例，p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了 　20　mL．
【考點】反比例函數(shù)的應用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點撥】設這個反比例函數(shù)的解析式為V＝，求得V＝，當p＝75kPa時，求得V＝＝80，當p＝100kPa時求得，V＝＝60于是得到結(jié)論．
【解析】解：設這個反比例函數(shù)的解析式為V＝，
∵V＝100ml時，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
當p＝75kPa時，V＝＝80，
當p＝100kPa時，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴氣體體積壓縮了20mL，
故答案為：20．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的實際應用，讀懂題意，得出反比例函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．
13．（2023 義烏市模擬）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b與反比例函數(shù)的圖象交于A（2，3），B（m，1）兩點．當y1＞y2時，x的取值范圍是 　2＜x＜6　．
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【答案】2＜x＜6．
【點撥】首先求得點B的坐標，然后根據(jù)圖象直線在反比例函數(shù)圖象的上方部分的對應的自變量的值即為所求．
【解析】解：∵一次函數(shù)y1＝k1x+b與反比例函數(shù)的圖象交于A（2，3），B（m，1）兩點，
∴k＝2×3＝m×1，
∴m＝6，
∴B（6，1），
由圖象可知，當y1＞y2時，x的取值范圍為2＜x＜6，
故答案為：2＜x＜6．
【點睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．
14．（2023 衢州）如圖，點A，B在x軸上，分別以OA，AB為邊，在x軸上方作正方形OACD，ABEF，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分別交邊CD，BE于點P，Q．作PM⊥x軸于點M，QN⊥y軸于點N．若OA＝2AB，Q為BE的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為 　24　．
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；正方形的性質(zhì)；反比例函數(shù)的圖象．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點撥】設OA＝4a，因為OA＝2AB，所以AB＝2a，則A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，則C（4a，4a），因為CD⊥y軸，P在CD上，所以P點縱坐標為4a，則P點橫坐標為：x＝k4a，由于Q為BE中點，切BE⊥x軸，所以BQ＝AB＝a，則Q（6a，a），由于Q在反比例函數(shù)y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根據(jù)已知陰影為矩形，長為，寬為：a，面積為6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解決．
【解析】解：設OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，則B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q為BE中點，
∴BQ＝AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函數(shù)y＝（k＞0））上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四邊形OACD是正方形，
∴C（4a，4a），
∵P在CD上，
∴P點縱坐標為4a，
∵P在反比例函數(shù)y＝（k＞0）上，
∴P點橫坐標為：x＝，
∴P（，4a），
∵作PM⊥x軸于點M，QN⊥y軸于點N，
∴四邊形OMNH是矩形，
∴NH＝，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，
則k＝24，
故答案為：24．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)和長方形的面積公式，讀懂題意，靈活運用所學知識是解決問題的關(guān)鍵．
15．（2021 寧波）在平面直角坐標系中，對于不在坐標軸上的任意一點A（x，y），我們把點B（，）稱為點A的“倒數(shù)點”．如圖，矩形OCDE的頂點C為（3，0），頂點E在y軸上，函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與DE交于點A．若點B是點A的“倒數(shù)點”，且點B在矩形OCDE的一邊上，則△OBC的面積為 　或　．
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；矩形的性質(zhì)．
【答案】或．
【點撥】設點A的坐標為（m，），由“倒數(shù)點”的定義，得點B坐標為（，），分析出點B在某個反比例函數(shù)上，分兩種情況：①點B在ED上，由ED∥x軸，得＝，解出m＝±2，（﹣2舍去），得點B縱坐標為1，此時，S△OBC＝×3×1＝；②點B在DC上，得點B橫坐標為3，即＝3，求出點B縱坐標為：＝，此時，S△OBC＝×3×＝．
【解析】解：設點A的坐標為（m，），
∵點B是點A的“倒數(shù)點”，
∴點B坐標為（，），
∵點B的橫縱坐標滿足＝，
∴點B在某個反比例函數(shù)上，
∴點B不可能在OE，OC上，
分兩種情況：
①點B在ED上，
由ED∥x軸，
∴點B、點A的縱坐標相等，即＝，
∴m＝±2（﹣2舍去），
∴點B縱坐標為1，
此時，S△OBC＝×3×1＝；
②點B在DC上，
∴點B橫坐標為3，即＝3，
∴點B縱坐標為：＝，
此時，S△OBC＝×3×＝；
故答案為：或．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，新定義的閱讀理解能力，三角形面積的求法．解題關(guān)鍵是理解“倒數(shù)點”的定義．
16．（2022 湖州）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的負半軸上，點B在y軸的負半軸上，tan∠ABO＝3，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖象經(jīng)過點C的反比例函數(shù)的解析式是y＝，則圖象經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式是 　y＝﹣　．
【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；正方形的性質(zhì)．
【答案】y＝﹣．
【點撥】如圖，過點C作CT⊥y軸于點T，過點D作DH⊥CT交CT的延長線于點H．由tan∠ABO＝＝3，可以假設OB＝a，OA＝3a，利用全等三角形的性質(zhì)分別求出C（a，2a），D（﹣2a，3a），可得結(jié)論．
【解析】解：如圖，過點C作CT⊥y軸于點T，過點D作DH⊥CT交CT的延長線于點H．
∵tan∠ABO＝＝3，
∴可以假設OB＝a，OA＝3a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，
∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，
∴∠ABO＝∠BCT，
∴△AOB≌△BTC（AAS），
∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，
∴OT＝BT﹣OB＝2a，
∴C（a，2a），
∵點C在y＝的圖象上，
∴2a2＝1，
同法可證△CHD≌△BTC，
∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，
∴D（﹣2a，3a），
設經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式為y＝，則有﹣2a×3a＝k，
∴k＝﹣6a2＝﹣3，
∴經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式是y＝﹣．
故答案為：y＝﹣．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．
17．（2023 甌海區(qū)模擬）已知反比例函數(shù)的圖象的左支如圖所示，它經(jīng)過點B（﹣3，2）．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式．補畫這個反比例函數(shù)圖象的另一支．
（2）當y≤4，且y≠0時，求自變量x的取值范圍．
【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
【答案】（1）反比例函數(shù)的表達式為y＝﹣，圖象見解答；
（2）x≤﹣或x＞0．
【點撥】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用描點法補充函數(shù)圖象；
（2）利用數(shù)形結(jié)合思想確定關(guān)鍵點，從而求得相應的自變量的取值范圍．
【解析】解：（1）把點（﹣3，2）代入，得2＝，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函數(shù)的表達式為y＝﹣，
補充其函數(shù)圖象如下：
（2）當y＝4時，﹣＝4，
解得：x＝﹣＝﹣，
∴當y≤4，且y≠0時，x≤﹣或x＞0．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握待定系數(shù)法及反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．
18．（2022 臺州）如圖，根據(jù)小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當x＝6時，y＝2．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（2）若火焰的像高為3cm，求小孔到蠟燭的距離．
【考點】反比例函數(shù)的應用．
【答案】（1）y＝；
（2）4cm．
【點撥】（1）根據(jù)待定法得出反比例函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)解析式代入數(shù)值解答即可．
【解析】解：（1）由題意設：y＝，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y＝；
（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，
∴小孔到蠟燭的距離為4cm．
【點睛】此題考查反比例函數(shù)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)待定系數(shù)法得出反比例函數(shù)的解析式解答．
19．（2021 德清縣校級模擬）設函數(shù)y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）當2≤x≤3時，函數(shù)y1的最大值是a，函數(shù)y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）設m≠0，且m≠﹣1，當x＝m時，y1＝p；當x＝m+1時，y1＝q．圓圓說：“p一定大于q”．你認為圓圓的說法正確嗎？為什么？
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點撥】（1）由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，①；﹣＝a﹣4，②；可求a的值和k的值；
（2）設m＝m0，且﹣1＜m0＜0，將x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判斷．
【解析】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1隨x的增大而減小，y2隨x的增大而增大，
∴當x＝2時，y1最大值為，①；
當x＝2時，y2最小值為﹣＝a﹣4，②；
由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圓圓的說法不正確，
理由如下：設m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
則m0＜0，m0+1＞0，
∴當x＝m0時，p＝y(tǒng)1＝，
當x＝m0+1時，q＝y(tǒng)1＝＞0，
∴p＜0＜q，
∴圓圓的說法不正確．
方法二、當x＝m時，p＝y(tǒng)1＝，當x＝m+1時，q＝y(tǒng)1＝，
∴p﹣q＝﹣＝，
∴當m＜﹣1時，則p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
當﹣1＜m＜0時，則p﹣q＝＜0，
∴p＜q，
當m＞0時，則p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
∴圓圓的說法不正確．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
20．（2021 杭州）在直角坐標系中，設函數(shù)y1＝（k1是常數(shù)，k1＞0，x＞0）與函數(shù)y2＝k2x（k2是常數(shù)，k2≠0）的圖象交于點A，點A關(guān)于y軸的對稱點為點B．
（1）若點B的坐標為（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②當y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍；
（2）若點B在函數(shù)y3＝（k3是常數(shù)，k3≠0）的圖象上，求k1+k3的值．
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【答案】（1）①k1＝2，k2＝2；②x＞1；
（2）k1+k3＝0．
【點撥】（1）①由題意得，點A的坐標是（1，2），分別代入y1＝（k1是常數(shù)，k1＞0，x＞0），y2＝k2x（k2是常數(shù)，k2≠0）即可求得k1，k2的值；
②根據(jù)圖象即可求得；
（2）設點A的坐標是（x0，y），則點B的坐標是（﹣x0，y），根據(jù)待定系數(shù)法即可求得k1＝x0 y，k3＝﹣x0 y，即可求得k1+k3＝0．
【解析】解：（1）①由題意得，點A的坐標是（1，2），
∵函數(shù)y1＝（k1是常數(shù)，k1＞0，x＞0）與函數(shù)y2＝k2x（k2是常數(shù)，k2≠0）的圖象交于點A，
∴2＝，2＝k2，
∴k1＝2，k2＝2；
②由圖象可知，當y1＜y2時，x的取值范圍是x＞1；
（2）設點A的坐標是（x0，y），則點B的坐標是（﹣x0，y），
∴k1＝x0 y，k3＝﹣x0 y，
∴k1+k3＝0．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，表示出B的坐標是解題的關(guān)鍵．
22．（2023 永康市一模）如圖，在平面直角坐標系中，曲線AB是反比例函數(shù)圖象的一部分．把曲線AB關(guān)于y軸對稱，再向下平移m（m＞0）個單位得到曲線CD，且點D恰好在直線AB上．已知點B的坐標為（﹣1，﹣3），A，B兩點間的水平距離為2．
（1）求曲線AB所在的反比例函數(shù)的解析式；
（2）求m的值．
【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標；坐標與圖形變化﹣平移；反比例函數(shù)的圖象．
【答案】（1）；
（2）m＝2．
【點撥】（1）將點B的坐標為（﹣1，﹣3）代入，即可求解；
（2）先求出點A的坐標為（﹣3，﹣1），再求出直線AB的關(guān)系式為：y＝﹣x﹣4，求出點D的坐標，即可求解．
【解析】解：（1）設：曲線AB所在的反比例函數(shù)的解析式，
將點B的坐標為（﹣1，﹣3）代入，得：，
解得：k＝3，
∴曲線AB所在的反比例函數(shù)的解析式為：；
（2）∵A，B兩點間的水平距離為2，
∴點A的橫坐標為x＝﹣3，
將點A的橫坐標x＝﹣3代入，得：，
解得：y＝﹣1，
∴點A的坐標為（﹣3，﹣1），
設直線AB的關(guān)系式為：y＝ax+b，
∵y＝ax+b的圖象經(jīng)過點A（﹣3，﹣1）和點B（﹣1，﹣3），
則，
解得，
∴直線AB的關(guān)系式為：y＝﹣x﹣4，
∵把曲線AB關(guān)于y軸對稱，
∴對稱后點B的對應點為點F，
∴點F的坐標為（1，﹣3），
∵把曲線AB關(guān)于y軸對稱，再向下平移m（m＞0）個單位得到曲線CD，且點D恰好在直線AB上．
∴點D的橫坐標為1，
將點D的橫坐標x＝1代入y＝﹣x﹣4，
得：y＝﹣1﹣4＝﹣5，
∴點D的坐標為（1，﹣5），
∵點F的坐標為（1，﹣3），
∴m＝﹣3﹣（﹣5）＝2．
【點睛】本題考查求反比例函數(shù)的關(guān)系式及反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確求出關(guān)系式．
23．（2022 金華）如圖，點A在第一象限內(nèi)，AB⊥x軸于點B，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象分別交AO，AB于點C，D．已知點C的坐標為（2，2），BD＝1．
（1）求k的值及點D的坐標．
（2）已知點P在該反比例函數(shù)圖象上，且在△ABO的內(nèi)部（包括邊界），直接寫出點P的橫坐標x的取值范圍．
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；反比例函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】（1）k＝4，（4，1）；
（2）2≤x≤4．
【點撥】（1）根據(jù)點C（2，2）在反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象上，可以求得k的值，再把y＝1代入函數(shù)解析式，即可得到點D的坐標；
（2）根據(jù)題意和點C、D的坐標，可以直接寫出點P的橫坐標的取值范圍．
【解析】解：（1）∵點C（2，2）在反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象上，
∴2＝，
解得k＝4，
∵BD＝1．
∴點D的縱坐標為1，
∵點D在反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象上，
∴1＝，
解得x＝4，
即點D的坐標為（4，1）；
（2）∵點C（2，2），點D（4，1），點P在該反比例函數(shù)圖象上，且在△ABO的內(nèi)部（包括邊界），
∴點P的橫坐標x的取值范圍是2≤x≤4．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出k的值．
24．（2023 東陽市三模）
設計貨船通過雙曲線橋的方案
素材1 一座曲線橋如圖1所示，當水面寬AB＝16米時，橋洞頂部離水面距離CD＝4米．已知橋洞形如雙曲線，圖2是其示意圖，且該橋關(guān)于CD對稱．
素材2 如圖4，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測得EF＝3米，EH＝9米．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運載貨物．據(jù)調(diào)查，船身下降的高度h（米）與貨船增加的載重量t（噸）滿足函數(shù)表達式h＝t．
問題解決
任務1 確定橋洞的形狀 ①建立平面直角坐標系如圖3所示，顯然，CD落在第一象限的角平分線上． 甲說：點C可以在第一象限角平分線的任意位置． 乙說：不對吧？當點C落在（4，4）時，點A的坐標為 　（10，2）　，此時過點A的雙曲線的函數(shù)表達式為 　y＝　，而點C所在雙曲線的函數(shù)表達式為y＝顯然不符合題意．
任務2 擬定方案 此時貨船能通過該橋洞嗎？若能，請說明理由；若不能，至少要增加多少噸貨物？
【考點】反比例函數(shù)的應用；角平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；坐標與圖形變化﹣對稱．
【答案】任務1：（10，2），y＝，乙正確；
任務2：此時貨船不能通過該橋洞；要至少增加噸貨物此貨船能通過該橋洞．
【點撥】任務1：設曲線AB的解析式為y＝，把點C（4，4）代入，可得曲線AB的解析式為y＝，再由反比例函數(shù)圖象的對稱性可得：點D是AB的中點，OD⊥AB，過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作AF⊥DE于F，可得△CDE、△ADF是等腰直角三角形，進而可得D（6，6），A（10，2），點A（10，2）在雙曲線y＝上與點C在雙曲線y＝上矛盾；
任務2：設A（a，），B（b，），其中a＞b，則D（，），可得k＝ab，由CD＝4，AB＝16，可得（a﹣b）2＝128，C（﹣2，﹣2），可得k＝18，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得E（，），即可判斷此時貨船不能通過；運用待定系數(shù)法可得直線EF的解析式為y＝x+，進而可得直線EF與雙曲線的交點E′（，6），即可求得答案．
【解析】解：任務1：設曲線AB的解析式為y＝，把點C（4，4）代入，得：4＝，
解得：k＝32，
∴曲線AB的解析式為y＝，
∵CD落在第一象限的角平分線上，
∴A、B關(guān)于CD對稱，即A、B關(guān)于第一象限角平分線y＝x對稱，
∴點D是AB的中點，OD⊥AB，
過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作AF⊥DE于F，如圖，
則△CDE、△ADF是等腰直角三角形，
∵CD＝4，
∴CE＝DE＝2，
∴D（6，6），
∵AB＝16，
∴AD＝8，AF＝DF＝4，
∴A（10，2），
∵10×2＝40，
∴點A（10，2）在雙曲線y＝上，
∴點C所在雙曲線的函數(shù)表達式為y＝顯然不符合題意．
故答案為：（10，2），y＝，乙正確；
任務2：設A（a，），B（b，），其中a＞b，則D（，），如圖，
∵點D在直線y＝x上，
∴＝，即k＝ab，
∵CD＝4，AB＝16，
∴（a﹣b）2＝128，C（﹣2，﹣2），
∵（﹣2）2＝ab，
∴a+b＝10，
∴k＝ab＝＝18，
∴A（9，），B（，9），C（3，3），D（5，5），
∵四邊形EFGH是矩形，
∴FG＝EH，GH＝EF，
∵EF＝3，EH＝9，
∴F（，），E（，），
∵×＝＜18，
∴此時貨船不能通過該橋洞；
設直線EF的解析式為y＝x+n，把F（，）代入，得+n＝，
解得：n＝，
∴直線EF的解析式為y＝x+，
聯(lián)立得x+＝，
解得：x1＝﹣6（舍去），x2＝，
∴E′（，6），
∴EE′＝，即h＝，
∵h＝t，
∴t＝5h＝，
故要至少增加噸貨物此貨船能通過該橋洞．
答：此時貨船不能通過該橋洞；要至少增加噸貨物此貨船能通過該橋洞．
【點睛】本題是反比例函數(shù)應用題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是根據(jù)坐標系列出相應的函數(shù)解析式．
1．（2023 山西模擬）下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（　　）
A．y＝ B．y＝x2+3 C．y＝3x+1 D．y＝
【考點】反比例函數(shù)的定義．
【答案】D
【點撥】根據(jù)反比例函數(shù)的定義解答即可．
【解析】解：A、該函數(shù)是正比例函數(shù)，故本選項不符合題意；
B、該函數(shù)是二次函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故本選項不符合題意；
C、該函數(shù)是一次函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故本選項不符合題意；
D、該函數(shù)是反比例函數(shù)，故本選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的定義．反比例函數(shù)的定義：形如y＝（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)．
2．（2023 臨沂）正在建設中的臨滕高速是我省“十四五”重點建設項目．一段工程施工需要運送土石方總量為105m3，設土石方日平均運送量為V（單位：m3/天），完成運送任務所需要的時間為t（單位：天），則V與t滿足（　　）
A．反比例函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系 C．一次函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系
【考點】反比例函數(shù)的定義．
【答案】A
【點撥】列出V與t的關(guān)系式，根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得答案．
【解析】解：根據(jù)題意得：Vt＝105，
∴V＝，V與t滿足反比例函數(shù)關(guān)系；
故選：A．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握反比例函數(shù)的定義．
3．（2023 麗水）如果100N的壓力F作用于物體上，產(chǎn)生的壓強p要大于1000Pa，則下列關(guān)于物體受力面積S（m2）的說法正確的是（　　）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
【考點】反比例函數(shù)的應用．
【答案】A
【點撥】根據(jù)已知條件利用壓強公式推導即可得到答案．
【解析】解：∵，F(xiàn)＝100，
∴，
∵產(chǎn)生的壓強p要大于1000Pa，
∴，
∴S＜0.1，
故選：A．
【點睛】本題考查了反比例的應用等知識點，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
4．（2022 婺城區(qū)一模）已知反比例函數(shù)，下列說法中錯誤的是（　　）
A．圖象經(jīng)過點（1，﹣4） B．圖象位于第二、四象限
C．圖象關(guān)于直線y＝x對稱 D．y隨x的增大而增大
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；坐標與圖形變化﹣對稱；正比例函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】D
【點撥】依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)以及圖象進行判斷，即可得到錯誤的選項．
【解析】解：∵反比例函數(shù)中，k＝﹣4＜0，
∴圖象在二，四象限內(nèi)，故B選項正確；
∵﹣4×1＝﹣4，
∴圖象必經(jīng)過（1，﹣4），故A選項正確；
圖象關(guān)于直線y＝x對稱，故C選項正確；
∵反比例函數(shù)中，k＝﹣4＜0，
∴在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故D選項錯誤；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，當k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
5．（2022 西湖區(qū)一模）如圖，是三個反比例函數(shù)y1＝，y2＝，y3＝在y軸右側(cè)的圖象，則（　　）
A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的圖象．
【答案】C
【點撥】取x＝1分別代入三個函數(shù)中，可得y1，y2，y3的關(guān)系，即可求解．
【解析】解：當x＝1時，
y1＝k1，y2＝k2，y3＝k3，
從圖中可得
y1＜y2＜y3，
∴k1＜k2＜k3，
故選：C．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用圖象解決問題．
6．（2023 襄陽）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+k與反比例函數(shù)y＝的圖象可能是（　　）
A．B． C． D．
【考點】反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．
【答案】A
【點撥】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，可分為兩種情況進行討論：①當k＞0時，一次函數(shù)y＝kx+k經(jīng)過第一、二、三象限；反比例函數(shù)y＝k/x的圖象在第一、三象限；②當k＜0時，一次函數(shù)y＝kx+k經(jīng)過第二、三、四象限；反比例函數(shù)y＝k/x的圖象在第二、四象限；據(jù)此可得出答案．
【解析】解：分兩種情況進行討論：
①當k＞0時，一次函數(shù)y＝kx+k經(jīng)過第一、二、三象限；反比例函數(shù)y＝k/x的圖象在第一、三象限；
②當k＜0時，一次函數(shù)y＝kx+k經(jīng)過第二、三、四象限；反比例函數(shù)y＝k/x的圖象在第二、四象限；
∴一次函數(shù)y＝kx+k與反比例函數(shù)y＝k/x的圖象可能是A．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)得圖象、反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
7．（2023 廣州）已知正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過點（1，﹣1），反比例函數(shù)y2＝的圖象位于第一、第三象限，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象一定不經(jīng)過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；反比例函數(shù)的圖象．
【答案】C
【點撥】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)可以判斷a的正負，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可以判斷b的正負，然后即可得到一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過哪幾個象限，不經(jīng)過哪個象限．
【解析】解：∵正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過點（1，﹣1），點（1，﹣1）位于第四象限，
∴正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過第二、四象限，
∴a＜0；
∵反比例函數(shù)y2＝的圖象位于第一、第三象限，
∴b＞0；
∴一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，
故選：C．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、正比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，判斷出a、b的正負情況．
8．（2021 金華）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上．若x1＜0＜x2，則（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
【答案】B
【點撥】由k＜0，雙曲線在第二，四象限，根據(jù)x1＜0＜x2即可判斷點A在第二象限，點B在第四象限，從而判定y2＜0＜y1．
【解析】解：∵k＝﹣12＜0，
∴雙曲線在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴點A在第二象限，點B在第四象限，
∴y2＜0＜y1；
故選：B．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)y＝圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即當k＞0時，圖象在第一、三象限，且在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，當k＜0時，圖象在第二、四象限內(nèi)，且在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
9．（2023 寧波）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b（k1＞0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（k2＞0）的圖象相交于A，B兩點，點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為﹣2，當y1＜y2時，x的取值范圍是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【答案】B
【點撥】根據(jù)圖象即可．
【解析】解：由圖象可知，當y1＜y2時，x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜1，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，不等式的解集就是其所對應的函數(shù)圖象上滿足條件的所有點的橫坐標的集合．
10．（2023 湖州）已知在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)y＝k1x（k1＞0）的圖象與反比例函數(shù)（k2＞0）的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，點A（t，p）和點B（t+2，q）在函數(shù)y＝k1x的圖象上（t≠0且t≠﹣2），點C（t，m）和點D（t+2，n）在函數(shù)的圖象上．當p﹣m與q﹣n的積為負數(shù)時，t的取值范圍是（　　）
A．或 B．或
C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0 D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【答案】D
【點撥】將交點的橫坐標1代入兩個函數(shù)，令二者函數(shù)值相等，得k1＝k2．令k1＝k2＝k，代入兩個函數(shù)表達式，并分別將點A、B的坐標和點C、D的坐標代入對應函數(shù)，進而分別求出p﹣m與q﹣n的表達式，代入解不等式（p﹣m）（q﹣n）＜0并求出t的取值范圍即可．
【解析】解：∵y＝k1x（k1＞0）的圖象與反比例函數(shù)（k2＞0）的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，
∴k1＝k2．
令k1＝k2＝k（k＞0），則y＝k1x＝kx，＝．
將點A（t，p）和點B（t+2，q）代入y＝kx，得；
將點C（t，m）和點D（t+2，n）代入y＝，得．
∴p﹣m＝kt﹣＝k（t﹣），q﹣n＝k（t+2）﹣＝k（t+2﹣），
∴（p﹣m）（q﹣n）＝k2（t﹣）（t+2﹣）＜0，
∴（t﹣）（t+2﹣）＜0．
∵（t﹣）（t+2﹣）＝ ＝＜0，
∴＜0，
∴t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0．
①當t＜﹣3時，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴t＜﹣3不符合要求，應舍去．
②當﹣3＜t＜﹣2時，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，
∴﹣3＜t＜﹣2符合要求．
③當﹣2＜t＜0時，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴﹣2＜t＜0不符合要求，應舍去．
④當0＜t＜1時，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，
∴0＜t＜1符合要求．
⑤當t＞1時，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，
∴t＞1不符合要求，應舍去．
綜上，t的取值范圍是﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1．
故選：D．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，解不等式是本題的關(guān)鍵．
11．（2022 路橋區(qū)模擬）請你寫出一個圖象經(jīng)過二、四象限的反比例函數(shù)的解析式 　y＝﹣，答案不唯一　．
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點撥】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，反比例函數(shù)過二、四象限則比例系數(shù)為負數(shù)，據(jù)此即可寫出函數(shù)解析式．
【解析】解：由于反比例函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，
所以比例系數(shù)為負數(shù)，
故解析式可以為y＝．答案不唯一．
故答案為：y＝，答案不唯一．
【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，但具有開放性．
12．（2022 鎮(zhèn)江）反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，當x1＜0＜x2時，y1＞y2，寫出符合條件的k的值 　﹣1　（答案不唯一，寫出一個即可）．
【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】﹣1．
【點撥】先根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)系數(shù)k與函數(shù)圖象的關(guān)系解答即可．
【解析】解：∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，當x1＜0＜x2時，y1＞y2，
∴此反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k可為小于0的任意實數(shù)，例如，k＝﹣1等．
故答案為：﹣1．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象上的點的特征，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2023 寧波）如圖，點A，B分別在函數(shù)y＝（a＞0）圖象的兩支上（A在第一象限），連結(jié)AB交x軸于點C．點D，E在函數(shù)y＝（b＜0，x＜0）圖象上，AE∥x軸，BD∥y軸，連結(jié)DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，則a﹣b的值為 　12　，a的值為 　9　．
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；反比例函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】12，9．
【點撥】依據(jù)題意，設A（m，），再由AE∥x軸，BD∥y軸，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再結(jié)合△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，即可得解．
【解析】解：設A（m，），
∵AE∥x軸，且點E在函數(shù)y＝上，
∴E（，）．
∵AC＝2BC，且點B在函數(shù)y＝上，
∴B（﹣2m，﹣）．
∵BD∥y軸，點D在函數(shù)y＝上，
∴D（﹣2m，﹣）．
∵△ABE的面積為9，
∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m ＝＝9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，
∴S△BDE＝DB （+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b） （） m＝3（）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案為：12，9．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時需要熟練掌握并能靈活運用方程思想是關(guān)鍵．
14．（2022 紹興）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，4），B（3，4），將△ABO向右平移到△CDE位置，A的對應點是C，O的對應點是E，函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點C和DE的中點F，則k的值是 　6　．
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；平移的性質(zhì)；反比例函數(shù)的圖象．
【答案】6．
【點撥】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義構(gòu)造出矩形，利用方程思想解答即可．
【解析】解：過點F作FG⊥x軸于點G，F(xiàn)H⊥y軸于點H，過點D作DQ⊥x軸于點Q，如圖所示，
根據(jù)題意可知，AC＝OE＝BD，
設AC＝OE＝BD＝a，
∴四邊形ACEO的面積為4a，
∵F為DE的中點，F(xiàn)G⊥x軸，DQ⊥x軸，
∴FG為△EDQ的中位線，
∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，
∴四邊形HFGO的面積為2（a+），
∴k＝4a＝2（a+），
解得：a＝，
∴k＝6．
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，正確作出輔助線構(gòu)造出矩形是解決本題的關(guān)鍵．
15．（2023 余姚市二模）如圖，y＝﹣2x+b與交于A、B兩點，過B作y軸的垂線，垂足為C，交于點D，點D關(guān)于直線AB的對稱點E恰好落在x軸上，且AE⊥x軸，連接BE，則＝　　；若△ABE的面積為15，則k1的值為 　20　．
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【答案】，20．
【點撥】（1）設，則E（t，0），聯(lián)立直線，則A，B的橫坐標為方程的兩個根，分別為x1，x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出①，根據(jù)題意DE的中點在y＝﹣2x+b上，得②，聯(lián)立①②即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，，證明AD＝CD，勾股定理得出，，即，則或，根據(jù)，進而分類討論，即可求解．
【解析】解：（1）設，則E（t，0），
聯(lián)立，
即，
即2x2﹣bx+k1＝0，
則A，B的橫坐標為方程的兩個根，分別為x1，x2，
∴，
∵x1＝t，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，即①，
∵D，E關(guān)于直線AB對稱，
∴DE的中點在y＝﹣2x+b上，
∴，
即②，
由①②得：，
即，
∴，
故答案為：．
（2）∵D，E關(guān)于AB對稱，
∴AD＝AE，
又，，則，
∵，
∴，
則，
∴CD＝AE，
∴AD＝CD，
∵，，
∴，，
即，
解得：或，
∵，
，
當時，，無解（舍去），
當時，，
解得：t＝2，t＝﹣2（舍去），
∴k＝20，
故答案為：20．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2023 嵊州市一模）如圖，直線y＝x+3的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限的點A，與x軸交于點B，AD⊥x軸于點D，平移直線y＝x+3的圖象，使其經(jīng)過點D，且與函數(shù)的圖象交于點C，若AB＝2CD，則k的值為 　18　．
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【答案】18．
【點撥】設A（m．m+3），通過△ABD∽△CDE表示出D的坐標，由k＝xy得到k＝m（m+3）＝ ，即可求得k的值．
【解析】解：作CE⊥x軸于E，
由直線y＝x+3可知B（﹣3，0），
∴OB＝3
設A（m．m+3），
∴OD＝m，AD＝m+3，
∴BD＝3+m，
由題意可知，△ABD∽△CDE，
∴＝，即＝＝，
∴DE＝，CE＝，
∴OE＝OD+DE＝m+＝，
∴D（，），
∵反比側(cè)函數(shù)的圖象過點A、點C，
∴k＝m（m+3）＝ ，
解得m＝3（負數(shù)舍去），
∴k＝m（m+3）＝3×6＝18，
故答案為：18．
【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，由k＝xy列出關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．
17．（2023 遵化市模擬）已知函數(shù) y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），
（1）當m，n為何值時是一次函數(shù)？
（2）當m，n為何值時，為正比例函數(shù)？
（3）當m，n為何值時，為反比例函數(shù)？
【考點】反比例函數(shù)的定義；一次函數(shù)的定義；正比例函數(shù)的定義．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點撥】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義知2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，據(jù)此可以求得m、n的值；
（2）根據(jù)正比例函數(shù)的定義知2﹣n＝1，m+n＝0，5m﹣3≠0，據(jù)此可以求得m、n的值；
（3）根據(jù)反比例函數(shù)的定義知2﹣n＝﹣1，m+n＝0，5m﹣3≠0，據(jù)此可以求得m、n的值．
【解析】解：（1）當函數(shù)y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是一次函數(shù)時，
2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，
解得：n＝1且m≠；
（2）當函數(shù)y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是正比例函數(shù)時，，
解得：n＝1，m＝﹣1．
（3）當函數(shù)y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是反比例函數(shù)時，，
解得：n＝3，m＝﹣3．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的定義．關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)是一次函數(shù)的一種特殊形式以及三種函數(shù)的關(guān)系是形式．
18．（2023 臺州）科學課上，同學用自制密度計測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度h（單位：cm）是液體的密度ρ（單位：g/cm3）的反比例函數(shù)，當密度計懸浮在密度為1g/cm3的水中時，h＝20cm．
（1）求h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式；
（2）當密度計懸浮在另一種液體中時，h＝25cm，求該液體的密度ρ．
【考點】反比例函數(shù)的應用．
【答案】（1）h關(guān)于p的函數(shù)解析式為 ；
（2）該液體的密度ρ為 0.8g/cm3．
【點撥】（1）設h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式為 ，把ρ＝1，h＝20代入解析式，解方程即可得到結(jié)論；
（2）把 h＝25 代入 ，求得ρ＝0.8，于是得到結(jié)論．
【解析】解：（1）設h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式為 ，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式為 ；
（2）把 h＝25 代入 ，得 ，
解得：ρ＝0.8，
答：該液體的密度ρ為 0.8g/cm3．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，正確地求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
19．（2023 金東區(qū)三模）如圖，一次函數(shù)y1＝mx+n（m≠0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）兩點，且一次函數(shù)的圖象交x軸于點C，交y軸于點D．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．
（2）在第四象限的反比例圖象上有一點P，使得S△OCP＝4S△OBD，請求出點P的坐標．
（3）對于反比例函數(shù)，當y≤3時，直接寫出x的取值范圍．
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【答案】（1）一次函數(shù)的解析式y(tǒng)1＝﹣x+2，反比例函數(shù)解析式y(tǒng)2＝﹣；（2）P的坐標為（，﹣4）；（3）當y≤3時，x的取值范圍是x≤﹣1或x＞0．
【點撥】（1）先將點B的坐標代入反比例函數(shù)的解析式求出k，從而求出反比例函數(shù)的解析式，最后將A點的坐標代入解析式就可以求出a的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式．
（2）由直線解析式求得C、D的坐標，進而求得S△OBD＝1，進一步根據(jù)題意得到S△OCP＝OC |yP|＝4，即|yP|＝4，求得P的縱坐標，進而求得橫坐標；
（3）通過圖象觀察就可以直接看出當y≤3時x的取值范圍．
【解析】解：（1）∵比例函數(shù)的圖象過點B（﹣1，3），
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴y2＝﹣，
∵A（a，﹣1）在雙曲線上．
∴﹣1＝﹣，
∴a＝3，
∴A（3，﹣1），
∵一次函數(shù)y1＝mx+n（m≠0）的圖象經(jīng)過A、B兩點，
∴，解得，
∴一次函數(shù)的解析式y(tǒng)1＝﹣x+2；
（2）在y＝﹣x+2中，當x＝0時，y＝2；當y＝0時，則x＝2，
∴D（0，2），C（2，0），
∴OD＝OC＝2，
∴S△OBD＝＝1，
∵S△OCP＝4S△OBD，
∴S△OCP＝OC |yP|＝4，即|yP|＝4，
∴yp＝﹣4，
代入y2＝﹣得，﹣4＝﹣，解得x＝，
∴P的坐標為（，﹣4）；
（3）觀察圖象可知，對于反比例函數(shù)，當y≤3時，x的取值范圍是x≤﹣1或x＞0．
【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積等，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
20．（2022 杭州）設函數(shù)y1＝，函數(shù)y2＝k2x+b（k1，k2，b是常數(shù)，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函數(shù)y1和函數(shù)y2的圖象交于點A（1，m），點B（3，1），
①求函數(shù)y1，y2的表達式；
②當2＜x＜3時，比較y1與y2的大小（直接寫出結(jié)果）．
（2）若點C（2，n）在函數(shù)y1的圖象上，點C先向下平移2個單位，再向左平移4個單位，得點D，點D恰好落在函數(shù)y1的圖象上，求n的值．
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【答案】（1）①y1＝，y2＝﹣x+4；②y1＜y2；（2）1．
【點撥】（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
②利用函數(shù)圖象分析比較；
（2）根據(jù)平移確定點D的坐標，然后利用函數(shù)圖象上點的坐標特征代入求解．
【解析】解：（1）①把點B（3，1）代入y1＝，
1＝，
解得：k1＝3，
∴函數(shù)y1的表達式為y1＝，
把點A（1，m）代入y1＝，解得m＝3，
把點A（1，3），點B（3，1）代入y2＝k2x+b，
，
解得，
∴函數(shù)y2的表達式為y2＝﹣x+4；
②如圖，
當2＜x＜3時，y1＜y2；
（2）由平移，可得點D坐標為（﹣2，n﹣2），
∴﹣2（n﹣2）＝2n，
解得：n＝1，
∴n的值為1．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)，理解反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．
21．（2021 臺州）電子體重秤讀數(shù)直觀又便于攜帶，為人們帶來了方便．某綜合實踐活動小組設計了簡易電子體重秤：制作一個裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計）的可變電阻R1，R1與踏板上人的質(zhì)量m之間的函數(shù)關(guān)系式為R1＝km+b（其中k，b為常數(shù)，0≤m≤120），其圖象如圖1所示；圖2的電路中，電源電壓恒為8伏，定值電阻R0的阻值為30歐，接通開關(guān)，人站上踏板，電壓表顯示的讀數(shù)為U0，該讀數(shù)可以換算為人的質(zhì)量m，
溫馨提示：①導體兩端的電壓U，導體的電阻R，通過導體的電流I，滿足關(guān)系式I＝；
②串聯(lián)電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓
（1）求k，b的值；
（2）求R1關(guān)于U0的函數(shù)解析式；
（3）用含U0的代數(shù)式表示m；
（4）若電壓表量程為0～6伏，為保護電壓表，請確定該電子體重秤可稱的最大質(zhì)量．
【考點】反比例函數(shù)的應用．
【答案】（1）R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）；（2）；（3）最大質(zhì)量為115千克．
【點撥】（1）待定系數(shù)法求出k，b；
（2）通過串聯(lián)電路中電流處處相等和可以列出等量關(guān)系，然后再化簡為R1關(guān)于U0的函數(shù)解析式；
（3）把第（1）問求出的R1與m的函數(shù)解析式代入第（2）中的R1與U0的關(guān)系式中消去R1，然后變形；
（4）利用第（3）問中U0與m的關(guān)系式，結(jié)合0≤U0≤6和m關(guān)于U0的增減性，得出電子體重秤可稱的最大質(zhì)量m．
【解析】解：（1）將（0，240），（120，0）代入R1＝km+b，
得：，
解得：．
∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）．
（2）由題意得：可變電阻兩端的電壓＝電源電壓﹣電表電壓，
即：可變電阻電壓＝8﹣U0，
∵I＝，可變電阻和定值電阻的電流大小相等，
∴．
化簡得：R1＝，
∵R0＝30，
∴．
（3）將R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入，
得：﹣2m+240＝，
化簡得：m＝（0≤m≤120）．
（4）∵m＝中k＝﹣120＜0，且0≤U0≤6，
∴m隨U0的增大而增大，
∴U0取最大值6的時候，mmax＝＝115（千克）．
【點睛】本題以物理中的電路問題為背景，考查了學生對于求解一次函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)系式的掌握情況，解題的關(guān)鍵是先要求找出兩個要求量之間的等量關(guān)系，然后化簡為要求的表達式，轉(zhuǎn)化過程中需要注意無關(guān)量的消去，一般情況下都是用代入法消元來解決這一問題的．第（4）問除應用反比例函數(shù)的增減性解題外，也可以將m與U0的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式，再代入0≤U0≤6中，求出電子體重秤可稱的最大質(zhì)量m．
22（2022 寧波模擬）已知反比例函數(shù)y＝（m為常數(shù)）的圖象在第一、三象限．
（1）求m的取值范圍；
（2）如圖，若該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過 ABOD的頂點D，點A，B的坐標分別為（0，3），（﹣2，0），求出該反比例函數(shù)的解析式；
（3）若E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）都在該反比例函數(shù)的圖象上，且x1＞x2＞0，則y1和y2有怎樣的大小關(guān)系？
【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；平行四邊形的性質(zhì)；反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【點撥】（1）由圖象在第一象限可得到關(guān)于m的不等式，可求得m的取值范圍；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)可求的D點坐標，代入可求得反比例函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】解：（1）∵y＝的圖象在第一、三象限，
∴1﹣2m＞0，
∴m＜；
（2）∵四邊形ABOD為平行四邊形，
∴AD∥OB，AD＝OB＝2，
∴D點坐標為（2，3），
∴1﹣2m＝2×3＝6，
∴該反比例函數(shù)的解析式為y＝；
（3）∵x1＞x2＞0，
∴E，F(xiàn)兩點都在第一象限，
又∵該反比例函數(shù)在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y都隨x的增大而減小，
∴y1＜y2．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)等．在（1）中注意反比例函數(shù)y＝（k≠0）中k與圖象的關(guān)系，在（2）中求得D點坐標是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定E，F(xiàn)兩點都在第一象限是解題的關(guān)鍵．本題主要考查基礎(chǔ)知識，難度不大．
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第三章 函數(shù)
第4節(jié) 反比例函數(shù)及其應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1反比例函數(shù)相關(guān)概念 ☆ 反比例函數(shù)是非常重要的函數(shù)，年年都會考，總分值為12分左右，常考考點為: 反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)k的幾何意義、雙曲線上點的坐標特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及反比例函數(shù)的應用與綜合題等.其中前三個考點多以選擇、填空題的形式出題，后三個考點則是基礎(chǔ)解答題形式出題.在填空題中,對反比例函數(shù)點的坐標特征考察的比較多，而且難度逐漸增大，常結(jié)合其他規(guī)則幾何圖形的性質(zhì)一起出題,多數(shù)題目的技巧性較強，復習中需要多加注意.另外壓軸題中也常以反比例函數(shù)為背景，考察一些新定義類問題. 綜合反比例函數(shù)以上特點，考生在復習該考點時，需要準備掌握其各性質(zhì)規(guī)律，并且多注意其與幾何圖形結(jié)合題的思考探究
考點2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) ☆☆
考點3 比例系數(shù)k的幾何意義 ☆☆☆
考點4反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合 ☆☆☆
考點5反比例函數(shù)的實際應用 ☆☆☆
1．反比例函數(shù)的概念：
我們把形如 (k為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)．自變量 ．
反比例函數(shù)有三種表達形式：①y＝(k為常數(shù)，k≠0)；②y＝kx－1(k為常數(shù)，k≠0)；③xy＝k(k為常數(shù)，k≠0)．
2．反比例函數(shù)的圖象：
反比例函數(shù)的圖象是由兩個分支組成的 ，且不與兩坐標軸相交．
圖象 k>0 k<0
3．反比例函數(shù)的性質(zhì)：
(1)當k＞0時，圖象的兩個分支位于第 象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而 ．
(2)當k＜0時，圖象的兩個分支位于第 象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而 ．
(3)其圖象既是關(guān)于原點對稱的 圖形，又是 圖形．
4．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：
1）設反比例函數(shù)的解析式為（k為常數(shù)，k≠0）；
2）把已知的一對x，y的值代入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；
3）解方程求出待定系數(shù)k；
4）將所求的k值代入所設解析式中.
【說明】由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．
■考點一　反比例函數(shù)相關(guān)概念
◇典例1：（2023 大渡口區(qū)模擬）下面四個關(guān)系式中，y是x的反比例函數(shù)的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C． D．
◆變式訓練
1．（2023 大興區(qū)一模）下面的三個問題中都有兩個變量：
①面積一定的等腰三角形，底邊上的高y與底邊長x；
②將泳池中的水勻速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y與放水時間x；
③計劃從A地到B地鋪設一段鐵軌，每日鋪設長度y與鋪設天數(shù)x．
其中，變量y與變量x滿足反比例函數(shù)關(guān)系的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2023 雁峰區(qū)校級一模）若函數(shù)y＝（n﹣2）是反比例函數(shù)，則n為（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上都不對
■考點二 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
◇典例2：（2023 鎮(zhèn)海區(qū)校級一模）如圖所示，滿足函數(shù)y＝k（x﹣1）和y＝（k≠0）的大致圖象是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
2．（2022 溫州）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象的一支如圖所示，它經(jīng)過點（3，﹣2）．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式，并補畫該函數(shù)圖象的另一支．
（2）求當y≤5，且y≠0時自變量x的取值范圍．
◆變式訓練
1．（2022 德陽）一次函數(shù)y＝ax+1與反比例函數(shù)y＝﹣在同一坐標系中的大致圖象是（　　）
A．B． C．D．
2．（2021 浙江）已知三個點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列結(jié)論中正確的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
3．（2022 富陽區(qū)二模）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（2，3）．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式：
（2）判斷點B（﹣1，6）是否在這個函數(shù)圖象上，并說明你的理由；
（3）點C（x1，y1），D（x2，y2）是圖象上的兩點，若x1＜x2，比較y1和y2的大小，并說明你的理由．
■考點三反比例系數(shù)k的幾何意義
◇典例3：（2023 南湖區(qū)模擬）如圖，在直角坐標系xOy中，矩形OACB被三條直線分割成六個小矩形，D是邊OB的中點，DE＝2OE，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過小矩形的頂點F，G，若圖中的陰影矩形面積S1和S2滿足2S1+S2＝16，則k的值為 　　．
◆變式訓練
1．（2022 衢州）如圖，在△ABC中，邊AB在x軸上，邊AC交y軸于點E．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過點C，與邊BC交于點D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，則k＝　　．
■考點四　反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合
◇典例4：（2022 寧波）如圖，正比例函數(shù)y＝﹣x的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象都經(jīng)過點A（a，2）．
（1）求點A的坐標和反比例函數(shù)表達式．
（2）若點P（m，n）在該反比例函數(shù)圖象上，且它到y(tǒng)軸距離小于3，請根據(jù)圖象直接寫出n的取值范圍．
◆變式訓練
1．（2023 舟山三模）如圖，一次函數(shù)y1＝x﹣1的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（2，m），B（n，﹣2），當y1＞y2時，x的取值范圍是（　　）
A．x＜﹣1或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
2．（2023 蕭山區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y1＝k1x+b（k1≠0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（3，4），B（6，2）兩點．
（1）求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；
（2）過點P（a，0）作x軸的垂線，與直線 y＝k1x+b（k1≠0）和函數(shù) （k2≠0，x＞0）的圖象的交點分別為點M，N，當點M在點N下方時，直接寫出a的取值范圍；
（3）將直線AB向下平移m（m＞0）個單位長度，若平移后的直線與反比例函數(shù)的圖象只有一個交點，試求m的值．
■考點五　反比例函數(shù)的實際應用
◇典例5：（2023 路橋區(qū)二模）汽車從甲地開往乙地，記汽車行駛時間為t小時，平均速度為v千米/小時（汽車行駛速度不超過100千米/小時）．根據(jù)經(jīng)驗，v，t的一組對應值如表：
v（千米/小時） 75 80 85 90 95
t（小時） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分析說明平均速度v（千米/小時）關(guān)于行駛時間t（小時）的函數(shù)關(guān)系，并求出其表達式：
（2）汽車上午8：00從甲地出發(fā)，能否在上午10：30之前到達乙地？請說明理由．
◆變式訓練
1．（2023 龍灣區(qū)模擬）已知近視眼鏡的度數(shù)D（度）與鏡片焦距f（米）成反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，小慧想通過矯正治療使近視眼鏡的度數(shù)D不超過200度，則她需佩戴鏡片的焦距f應滿足（　　）
A．f＜0.5 B．f＞0.5 C．f≤0.5 D．f≥0.5
2．（2023 玉環(huán)市二模）如圖1，將一長方體A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強P（Pa）與受力面積S（m2）的關(guān)系如表所示（與長方體A相同重量的長方體均滿足此關(guān)系）．
桌面所受壓強P（Pa） 100 200 400 500 800
受力面積S（m2） 2 1 0.5 0.4 0.25
（1）求桌面所受壓強P（Pa）與受力面積S（m2）之間的函數(shù)表達式；
（2）現(xiàn)將另一長、寬、高分別為0.2m，0.3m，0.2m與長方體A相同重量的長方體B按如圖2所示的方式放置于該水平玻璃桌面上．若桌面所受壓強P（Pa）與受力面積S（m2）之間的關(guān)系滿足（1）中的函數(shù)表達式，且該玻璃桌面能承受的最大壓強為5000Pa，請你判斷這種擺放方式是否安全？并說明理由．
1．（2023 杭州模擬）驗光師測得一組關(guān)于近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）的對應數(shù)據(jù)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得y關(guān)于x的函數(shù)表達式為（　　）
近視眼鏡的度數(shù)y（度） 200 250 400 500 1000
鏡片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A． B． C． D．
2．（2022 麗水）已知電燈電路兩端的電壓U為220V，通過燈泡的電流強度I（A）的最大限度不得超過0.11A．設選用燈泡的電阻為R（Ω），下列說法正確的是（　　）
A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
3．（2023 黃巖區(qū)一模）下列關(guān)于反比例函數(shù)的描述中，正確的是（　　）
A．圖象位于第二、四象限 B．圖象過點（1，3）
C．y隨x的增大而增大 D．當x＞﹣1時，y＞3
4．（2023 縉云縣二模）蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，用電器的電流I（A）與電阻R（Ω）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，如果此蓄電池電源的用電限制電流不得超過12A，那么用電器的可變電阻應控制在（　　）范圍內(nèi)
A．R≥4Ω B．R≤4Ω C．R≥8Ω D．R≤8Ω
5．（2022 寧波模擬）一次函數(shù)y＝ax﹣a與反比例函數(shù)y＝（a≠0）在同一坐標系中的圖象可能是（　　）
A． B． C． D．
6．（2013 定海區(qū)模擬）函數(shù)圖象的大致形狀是（　　）
A．B． C． D．
7．（2023 舟山）已知點A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
8．（2021 富陽區(qū)二模）已知反比例函數(shù)y＝，當﹣2＜x＜﹣1，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．﹣3＜y＜0 B．﹣2＜y＜﹣1 C．﹣10＜y＜﹣5 D．y＞﹣10
9．（2023 臨海市一模）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，k﹣n2﹣2），則k的取值范圍為（　　）
A．k≤﹣2 B．k≤﹣4 C．k≥2 D．k≥4
10．（2023 金華）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（2，3），B（m，﹣2），則不等式ax+b的解是（　　）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
11．（2023 溫嶺市一模）已知反比例函數(shù)的圖象位于第二、第四象限，則m的取值范圍為 　　．
12．（2023 溫州）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強p（kPa）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（mL）成反比例，p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了 　　mL．
13．（2023 義烏市模擬）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b與反比例函數(shù)的圖象交于A（2，3），B（m，1）兩點．當y1＞y2時，x的取值范圍是 ．
14．（2023 衢州）如圖，點A，B在x軸上，分別以OA，AB為邊，在x軸上方作正方形OACD，ABEF，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分別交邊CD，BE于點P，Q．作PM⊥x軸于點M，QN⊥y軸于點N．若OA＝2AB，Q為BE的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為 　 　．
15．（2021 寧波）在平面直角坐標系中，對于不在坐標軸上的任意一點A（x，y），我們把點B（，）稱為點A的“倒數(shù)點”．如圖，矩形OCDE的頂點C為（3，0），頂點E在y軸上，函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與DE交于點A．若點B是點A的“倒數(shù)點”，且點B在矩形OCDE的一邊上，則△OBC的面積為 　 　．
16．（2022 湖州）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的負半軸上，點B在y軸的負半軸上，tan∠ABO＝3，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖象經(jīng)過點C的反比例函數(shù)的解析式是y＝，則圖象經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式是 　 　．
17．（2023 甌海區(qū)模擬）已知反比例函數(shù)的圖象的左支如圖所示，它經(jīng)過點B（﹣3，2）．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式．補畫這個反比例函數(shù)圖象的另一支．
（2）當y≤4，且y≠0時，求自變量x的取值范圍．
18．（2022 臺州）如圖，根據(jù)小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當x＝6時，y＝2．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（2）若火焰的像高為3cm，求小孔到蠟燭的距離．
19．（2021 德清縣校級模擬）設函數(shù)y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）當2≤x≤3時，函數(shù)y1的最大值是a，函數(shù)y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）設m≠0，且m≠﹣1，當x＝m時，y1＝p；當x＝m+1時，y1＝q．圓圓說：“p一定大于q”．你認為圓圓的說法正確嗎？為什么？
20．（2021 杭州）在直角坐標系中，設函數(shù)y1＝（k1是常數(shù)，k1＞0，x＞0）與函數(shù)y2＝k2x（k2是常數(shù)，k2≠0）的圖象交于點A，點A關(guān)于y軸的對稱點為點B．
（1）若點B的坐標為（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②當y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍；
（2）若點B在函數(shù)y3＝（k3是常數(shù)，k3≠0）的圖象上，求k1+k3的值．
22．（2023 永康市一模）如圖，在平面直角坐標系中，曲線AB是反比例函數(shù)圖象的一部分．把曲線AB關(guān)于y軸對稱，再向下平移m（m＞0）個單位得到曲線CD，且點D恰好在直線AB上．已知點B的坐標為（﹣1，﹣3），A，B兩點間的水平距離為2．
（1）求曲線AB所在的反比例函數(shù)的解析式；
（2）求m的值．
23．（2022 金華）如圖，點A在第一象限內(nèi)，AB⊥x軸于點B，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象分別交AO，AB于點C，D．已知點C的坐標為（2，2），BD＝1．
（1）求k的值及點D的坐標．
（2）已知點P在該反比例函數(shù)圖象上，且在△ABO的內(nèi)部（包括邊界），直接寫出點P的橫坐標x的取值范圍．
24．（2023 東陽市三模）
設計貨船通過雙曲線橋的方案
素材1 一座曲線橋如圖1所示，當水面寬AB＝16米時，橋洞頂部離水面距離CD＝4米．已知橋洞形如雙曲線，圖2是其示意圖，且該橋關(guān)于CD對稱．
素材2 如圖4，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測得EF＝3米，EH＝9米．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運載貨物．據(jù)調(diào)查，船身下降的高度h（米）與貨船增加的載重量t（噸）滿足函數(shù)表達式h＝t．
問題解決
任務1 確定橋洞的形狀 ①建立平面直角坐標系如圖3所示，顯然，CD落在第一象限的角平分線上． 甲說：點C可以在第一象限角平分線的任意位置． 乙說：不對吧？當點C落在（4，4）時，點A的坐標為 　（10，2）　，此時過點A的雙曲線的函數(shù)表達式為 　y＝　，而點C所在雙曲線的函數(shù)表達式為y＝顯然不符合題意．
任務2 擬定方案 此時貨船能通過該橋洞嗎？若能，請說明理由；若不能，至少要增加多少噸貨物？
1．（2023 山西模擬）下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（　　）
A．y＝ B．y＝x2+3 C．y＝3x+1 D．y＝
2．（2023 臨沂）正在建設中的臨滕高速是我省“十四五”重點建設項目．一段工程施工需要運送土石方總量為105m3，設土石方日平均運送量為V（單位：m3/天），完成運送任務所需要的時間為t（單位：天），則V與t滿足（　　）
A．反比例函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系 C．一次函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系
3．（2023 麗水）如果100N的壓力F作用于物體上，產(chǎn)生的壓強p要大于1000Pa，則下列關(guān)于物體受力面積S（m2）的說法正確的是（　　）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
4．（2022 婺城區(qū)一模）已知反比例函數(shù)，下列說法中錯誤的是（　　）
A．圖象經(jīng)過點（1，﹣4） B．圖象位于第二、四象限
C．圖象關(guān)于直線y＝x對稱 D．y隨x的增大而增大
5．（2022 西湖區(qū)一模）如圖，是三個反比例函數(shù)y1＝，y2＝，y3＝在y軸右側(cè)的圖象，則（　　）
A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2
6．（2023 襄陽）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+k與反比例函數(shù)y＝的圖象可能是（　　）
A．B． C． D．
7．（2023 廣州）已知正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過點（1，﹣1），反比例函數(shù)y2＝的圖象位于第一、第三象限，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象一定不經(jīng)過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2021 金華）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上．若x1＜0＜x2，則（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
9．（2023 寧波）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b（k1＞0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（k2＞0）的圖象相交于A，B兩點，點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為﹣2，當y1＜y2時，x的取值范圍是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
10．（2023 湖州）已知在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)y＝k1x（k1＞0）的圖象與反比例函數(shù)（k2＞0）的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，點A（t，p）和點B（t+2，q）在函數(shù)y＝k1x的圖象上（t≠0且t≠﹣2），點C（t，m）和點D（t+2，n）在函數(shù)的圖象上．當p﹣m與q﹣n的積為負數(shù)時，t的取值范圍是（　　）
A．或 B．或
C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0 D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1
11．（2022 路橋區(qū)模擬）請你寫出一個圖象經(jīng)過二、四象限的反比例函數(shù)的解析式 　　．
12．（2022 鎮(zhèn)江）反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，當x1＜0＜x2時，y1＞y2，寫出符合條件的k的值 　　（答案不唯一，寫出一個即可）．
13．（2023 寧波）如圖，點A，B分別在函數(shù)y＝（a＞0）圖象的兩支上（A在第一象限），連結(jié)AB交x軸于點C．點D，E在函數(shù)y＝（b＜0，x＜0）圖象上，AE∥x軸，BD∥y軸，連結(jié)DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，則a﹣b的值為 　　，a的值為 　　．
14．（2022 紹興）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，4），B（3，4），將△ABO向右平移到△CDE位置，A的對應點是C，O的對應點是E，函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點C和DE的中點F，則k的值是 　　．
15．（2023 余姚市二模）如圖，y＝﹣2x+b與交于A、B兩點，過B作y軸的垂線，垂足為C，交于點D，點D關(guān)于直線AB的對稱點E恰好落在x軸上，且AE⊥x軸，連接BE，則＝　　；若△ABE的面積為15，則k1的值為 　　．
16．（2023 嵊州市一模）如圖，直線y＝x+3的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限的點A，與x軸交于點B，AD⊥x軸于點D，平移直線y＝x+3的圖象，使其經(jīng)過點D，且與函數(shù)的圖象交于點C，若AB＝2CD，則k的值為 　　．
17．（2023 遵化市模擬）已知函數(shù) y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），
（1）當m，n為何值時是一次函數(shù)？
（2）當m，n為何值時，為正比例函數(shù)？
（3）當m，n為何值時，為反比例函數(shù)？
18．（2023 臺州）科學課上，同學用自制密度計測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度h（單位：cm）是液體的密度ρ（單位：g/cm3）的反比例函數(shù)，當密度計懸浮在密度為1g/cm3的水中時，h＝20cm．
（1）求h關(guān)于ρ的函數(shù)解析式；
（2）當密度計懸浮在另一種液體中時，h＝25cm，求該液體的密度ρ．
19．（2023 金東區(qū)三模）如圖，一次函數(shù)y1＝mx+n（m≠0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）兩點，且一次函數(shù)的圖象交x軸于點C，交y軸于點D．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．
（2）在第四象限的反比例圖象上有一點P，使得S△OCP＝4S△OBD，請求出點P的坐標．
（3）對于反比例函數(shù)，當y≤3時，直接寫出x的取值范圍．
20．（2022 杭州）設函數(shù)y1＝，函數(shù)y2＝k2x+b（k1，k2，b是常數(shù)，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函數(shù)y1和函數(shù)y2的圖象交于點A（1，m），點B（3，1），
①求函數(shù)y1，y2的表達式；
②當2＜x＜3時，比較y1與y2的大小（直接寫出結(jié)果）．
（2）若點C（2，n）在函數(shù)y1的圖象上，點C先向下平移2個單位，再向左平移4個單位，得點D，點D恰好落在函數(shù)y1的圖象上，求n的值．
21．（2021 臺州）電子體重秤讀數(shù)直觀又便于攜帶，為人們帶來了方便．某綜合實踐活動小組設計了簡易電子體重秤：制作一個裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計）的可變電阻R1，R1與踏板上人的質(zhì)量m之間的函數(shù)關(guān)系式為R1＝km+b（其中k，b為常數(shù)，0≤m≤120），其圖象如圖1所示；圖2的電路中，電源電壓恒為8伏，定值電阻R0的阻值為30歐，接通開關(guān)，人站上踏板，電壓表顯示的讀數(shù)為U0，該讀數(shù)可以換算為人的質(zhì)量m，
溫馨提示：①導體兩端的電壓U，導體的電阻R，通過導體的電流I，滿足關(guān)系式I＝；
②串聯(lián)電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓
（1）求k，b的值；
（2）求R1關(guān)于U0的函數(shù)解析式；
（3）用含U0的代數(shù)式表示m；
（4）若電壓表量程為0～6伏，為保護電壓表，請確定該電子體重秤可稱的最大質(zhì)量．
22（2022 寧波模擬）已知反比例函數(shù)y＝（m為常數(shù)）的圖象在第一、三象限．
（1）求m的取值范圍；
（2）如圖，若該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過 ABOD的頂點D，點A，B的坐標分別為（0，3），（﹣2，0），求出該反比例函數(shù)的解析式；
（3）若E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）都在該反比例函數(shù)的圖象上，且x1＞x2＞0，則y1和y2有怎樣的大小關(guān)系？
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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