資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第三章 函數
第五節 二次函數的圖形與性質
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次函數的概念及表達式 ☆☆ 二次函數作為初中三大函數中考點最多，出題最多，難度最大的函數，一直都是各地中考數學中最重要的考點，年年都會考查，總分值為15-20分，預計2024年中考還會考.而對于二次函數圖象和性質的考察，也主要集中在二次函數的圖象、圖象與系數的關系、圖象上點的坐標特征等幾大方面.題型變化較多，考生復習時需要熟練掌握相關知識。
考點2 二次函教的圖象與性質 ☆☆☆
考點3 二次函數的圖象與系數的關系 ☆☆
考點4二次函數的圖象變換 ☆☆
1．二次函數的定義：
一般地，形如 (其中a，b，c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數．
2．二次函數的三種表達式：
(1)一般式： (a，b，c是常數，a≠0)．
(2)頂點式： (a，h，k是常數，a≠0)，頂點坐標是 ．
(3)交點式： (a，x1，x2是常數，a≠0)，其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，圖象的對稱軸為直線 ．
3．二次函數的圖象與性質：
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是一條拋物線，當a＞0時，拋物線的開口 ，這時當x≤－時，y隨x的增大而 ；當x≥－時，y隨x的增大而 ；當x＝－時，y有最 值 ．當a＜0時，拋物線開口 ，這時當x≤－時，y隨x的增大而 ；當x≥－時，y隨x的增大而 ；當x＝－時，y有最 值 ．該拋物線的對稱軸是直線 ，頂點坐標是 ．
4．二次函數的圖象的平移：
平移規律：左右平移由h值決定：左加右減；上下平移由k值決定：上加下減．
■考點一　二次函數的概念與表達式
◇典例1：（2023 金山區一模）下列y關于x的函數中，屬于二次函數的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝3x2+1 D．y＝
2．（2023 寧波）如圖，已知二次函數y＝x2+bx+c圖象經過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求該二次函數的表達式及圖象的頂點坐標．
（2）當y≤﹣2時，請根據圖象直接寫出x的取值范圍．
◆變式訓練
1．（2023 南平模擬）下列函數中，是二次函數的是（　　）
A．y＝x B． C．y＝x2 D．y＝x﹣2
2．（2023 紹興）已知二次函數y＝﹣x2+bx+c．
（1）當b＝4，c＝3時，
①求該函數圖象的頂點坐標；
②當﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍；
（2）當x≤0時，y的最大值為2；當x＞0時，y的最大值為3，求二次函數的表達式．
■考點二 二次函數的圖象與性質
◇典例2：（2022 上城區二模）函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則選項中函數y＝a（x﹣b）2+c的圖象正確的是（　　）
A．B． C．D．
2．（2023 天臺縣一模）已知二次函數y＝x2﹣4x﹣5，點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）都在該函數的圖象上，且x1+x2＝2．
（1）求函數圖象的對稱軸；
（2）若點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）與直線x＝m的距離恒相等，求m的值；
（3）若y1≥y2，求y1的最小值．
◆變式訓練
1．（2022 株洲）已知二次函數y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數的圖象可能為（　　）
A．B． C．D．
2．（2022 景寧縣模擬）關于二次函數y＝﹣3（x﹣2）2+5的最大值或最小值，下列說法正確的是（　　）
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值5 D．有最小值5
3．（2023 慶元縣一模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（﹣1，﹣1），（0，1）．
（1）請用含b的關系式表示a；
（2）當x＝﹣2時，y＞1．
①求b的取值范圍；
②若點P（m，y1），Q（n，y2）在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，且，求證：y2＞y1．
■考點三 二次函數的圖象與系數的關系
◇典例3：（2023 杭州模擬）如圖，是二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1．對于下列說法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m為實數）；⑤當﹣1＜x＜3時，y＞0，其中正確結論為（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
◆變式訓練
1．（2023 余姚市一模）已知二次函數y＝（x﹣m）2+3（m為常數），點A（1，y1），B（3，y2）是該函數圖象上的點，若y1＜y2，則m的取值范圍是（　　）
A．1＜m＜2 B．m＜2 C．2＜m＜3 D．m＞3
2．（2023 蕭山區模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）與x軸最多有一個交點，現有以下三個結論：
①該拋物線的對稱軸在y軸左側；
②關于x的方程ax2+bx+c+2＝0無實數根；
③的最小值為．
其中，正確結論為（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
■考點四　 二次函數的圖象變換
◇典例4：（2023 甌海區二模）將拋物線y＝3x2先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
◆變式訓練
1．（2023 寧波模擬）二次函數y＝（x+4）2+1的圖象向右平移2個單位長度后，再向上平移5個單位長度，平移后的圖象對應的二次函數解析式為 　 　．
2．（2023 平陽縣一模）已知拋物線y＝x2﹣2mx﹣3經過點A（﹣2，n），將點A先向右平移3個單位，再向下平移b個單位恰好落在拋物線的最低點處，則b的值為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
1．（2023 婺城區校級模擬）拋物線y＝x2﹣2x+1的對稱軸是（　　）
A．直線x＝1 B．直線x＝﹣1 C．直線x＝2 D．直線x＝﹣2
2．（2022 湖州）將拋物線y＝x2向上平移3個單位，所得拋物線的解析式是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
3．（2023 寧波模擬）下列圖象中，函數y＝ax2﹣a（a≠0）與y＝ax+a的圖象大致是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021 杭州）在“探索函數y＝ax2+bx+c的系數a，b，c與圖象的關系”活動中，老師給出了直角坐標系中的四個點：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同學們探索了經過這四個點中的三個點的二次函數圖象，發現這些圖象對應的函數表達式各不相同，其中a的值最大為（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 甌海區模擬）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函數y＝a（x﹣3）2+c的圖象上，若|x1﹣3|＞|x2﹣3|，則下列結論正確的是（　　）
A．y1+y2＞0 B．y1﹣y2＞0 C．a（y1+y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
6．（2023 蘭溪市模擬）已知二次函數y＝（x+m﹣5）（x﹣m）+3，點A（x1，y1），B（x2，x2）（x1＜x2）是其圖象上兩點，下列說法正確的是（　　）
A．若 x1+x2＞5，則y1＞y2 B．若x1+x2＜5，則y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣5，則y1＞y2 D．若x1+x2＜﹣5，則y1＜y2
7．（2023 錢塘區三模）已知二次函數y＝ax2﹣2（b﹣1）x+1（a≠0），當﹣2≤x≤﹣1時，y隨x的增大而增大，則（　　）
A．當a＞0時，ab的最大值為 B．當a＞0時，ab的最大值為
C．當a＜0時，ab的最大值為 D．當a＜0時，ab的最大值為
8．（2022 嘉興一模）已知拋物線y＝x2+3x+c（﹣3≤x≤0）與直線y＝x﹣2有且只有一個交點，若c為整數，則c的值有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．（2021 金華模擬）拋物線y＝﹣（x﹣1）2+2與y軸的交點坐標為 　 　．
10．（2021 衢州四模）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是拋物線y＝﹣2x2﹣8x+m上的點，則y1、y2、y3的大小關系為　 　．
11．（2023 鄞州區一模）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經過點A（﹣1，﹣2），對稱軸為直線x＝1，則9a+3b+c的值是 　 　．
12．（2022 寧波模擬）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點的坐標（x，y）對應值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣7 ﹣12 …
則該圖象的對稱軸是　 　．
13．（2023 臨海市一模）若二次函數y＝x2﹣8x+m的圖象經過點（n，0），（5，y1），（6，y2），且y1 y2＜0，則下列結論：
①y1＜0；②n＞2；③n＞5；④n＜6中，一定成立的有 　①②④　．（填序號）
14．（2021 杭州）在直角坐標系中，設函數y＝ax2+bx+1（a，b是常數，a≠0）．
（1）若該函數的圖象經過（1，0）和（2，1）兩點，求函數的表達式，并寫出函數圖象的頂點坐標；
（2）寫出一組a，b的值，使函數y＝ax2+bx+1的圖象與x軸有兩個不同的交點，并說明理由．
（3）已知a＝b＝1，當x＝p，q（p，q是實數，p≠q）時，該函數對應的函數值分別為P，Q．若p+q＝2，求證：P+Q＞6．
15．（2023 寧波一模）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx﹣2的圖象經過點（﹣1，﹣7），點（3，1）．
（1）求二次函數的表達式和頂點坐標．
（2）點P（m，n）在該二次函數圖象上，當m＝4時，求n的值．
（3）已知A（0，3），B（4，3），若將該二次函數的圖象向上平移k（k＞0）個單位后與線段AB有交點，請結合圖象，直接寫出k的取值范圍．
16．（2023 麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數y＝ax2+bx+3（a，b是常數，a≠0）的圖象上．
（1）當m＝﹣1時，求a和b的值；
（2）若二次函數的圖象經過點A（n，3）且點A不在坐標軸上，當﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；
（3）求證：b2+4a＝0．
17．（2023 溫州二模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，1）在二次函數y＝a（x﹣2）2+3的圖象上，且x2﹣x1＝6．
（1）求該二次函數的表達式．
（2）已知點A，B在對稱軸的異側，當x1≤x≤x2時，二次函數的最大值與最小值的差為5，設x1，x2的最小值分別為m，n，求m+n的值．
1．（2023 嘉定區一模）下列y關于x的函數中，一定是二次函數的是（　　）
A．y＝（a+2）x2+1 B． C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x
2．（2023 長興縣一模）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點坐標是（　　）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
3．（2023 寧波模擬）對于二次函數y＝2（x﹣2）2+1，下列說法中正確的是（　　）
A．圖象的開口向下 B．函數的最小值為1
C．圖象的對稱軸為直線x＝﹣2 D．圖象的頂點坐標是（1，2）
4．（2021 深圳）二次函數y＝ax2+bx+1的圖象與一次函數y＝2ax+b在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（　　）
A．B． C． D．
5．（2023 紹興模擬）二次函數 的圖象經過平移后得到新的拋物線，此拋物線恰好經過點（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（　　）
A．先向左平移8個單位，再向下平移4個單位
B．先向左平移6個單位，再向下平移7個單位
C．先向左平移4個單位，再向下平移6個單位
D．先向左平移7個單位，再向下平移5個單位
6．（2022 衢州一模）已知二次函數y＝ax2+bx+3經過點（2，3），且函數最大值為4，則a的值為（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣2 D．﹣
7．（2023 保康縣模擬）如圖是二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：
①a+b+c＝0； ②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的兩根分別為﹣3和1；④c＝﹣3a，
其中正確的命題是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
8．（2023 拱墅區二模）已知二次函數y1＝（x+2a）（x﹣2b）和一次函數y2＝﹣x+2b（a，b為常數）．若a+2＝b．當函數y＝y1+y2的圖象經過點（c，0）時，b與c之間的數量關系為（　　）
A．c＝5﹣2b或c＝2b B．c＝﹣5+2b或c＝﹣2b C．c＝2b D．c＝﹣5+2b
9．（2022 衢州）已知二次函數y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當﹣1≤x≤4時，y的最小值為﹣4，則a的值為（　　）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
10．（2023 淳安縣一模）已知點A（m，n）、B（m+1，n）是二次函數y＝x2+bx+c圖象上的兩個點，若當x≤2時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（　　）
A． B． C．m≥1 D．m≤1
11．（2021 蕭山區模擬）已知二次函數y與自變量x的部分對應值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 …
則二次函數的解析式為　y＝x2﹣2x﹣8　．
12．（2022 鄞州區模擬）將拋物線y＝ax2+bx+c向左平移2個單位，再向下平移5個單位，得到拋物線y＝x2+4x﹣1，則a+b+c＝　　．
13．（2023 金華模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝1，且經過點（﹣1，y1），（2，y2），試比較y1和y2的大小：y1　　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
14．（2021 濱江區校級三模）若實數a，b滿足a+b2＝3，則a2+8b2的最小值為　　．
15．（2020 蕭山區二模）已知二次函數，當x＝1時有最小值，其中a，b，c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，請判斷△ABC是什么特殊三角形　 　．
16．（2023 寧波模擬）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）的圖象如圖所示，下列4個結論．
①abc＜0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k（ka+b）（k為常數，且k≠1）．
其中正確的結論有 　 　（填寫序號）．
17．（2021 溫州）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）經過點（﹣2，0）．
（1）求拋物線的函數表達式和頂點坐標．
（2）直線l交拋物線于點A（﹣4，m），B（n，7），n為正數．若點P在拋物線上且在直線l下方（不與點A，B重合），分別求出點P橫坐標與縱坐標的取值范圍．
18．（2021 瑞安市模擬）已知二次函數y＝x2+bx+c的圖象經過點（2，﹣3），（﹣1，12）．
（1）求b，c的值．
（2）若點A（m，k），B（n，k）在二次函數圖象上，其中m≠n，當﹣2＜m＜3時，求n的取值范圍．
19．（2023 杭州）設二次函數y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實數）．已知函數值y和自變量x的部分對應取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝4，
①求二次函數的表達式；
②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減小．
（2）若在m，n，p這三個實數中，只有一個是正數，求a的取值范圍．
20．（2023 鹿城區三模）已知二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象經過A（﹣1，0），B（2，3）兩點．
（1）求二次函數的解析式及頂點坐標．
（2）如果將此二次函數的圖象向上平移n個單位后過點P（m，4），再將點P向右平移3個單位后得點Q，點Q恰好落在原二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象上，求n的值．
21．（2023 紹興模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知點（﹣1，m），（2，n）在二次函數 y＝x2+bx﹣3 的圖象上．
（1）當m＝n時，求b的值；
（2）在（1）的條件下，當﹣3＜x＜2時，求y的取值范圍；
（3）若﹣1≤x≤2時，函數的最小值為﹣5，求m+n的值．
22．（2023 定海區模擬）二次函數y＝x2+bx過點（2，8）．
（1）求二次函數y＝x2+bx的解析式；
（2）若點A（m，y1）和點B（3﹣m，y2）都在二次函數圖象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函數y＝x+2和二次函數y＝x2+bx在同一平面直角坐標系中．其中點A（m，y1）是二次函數y＝x2+bx圖象上一點，點B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2圖象上一點．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范圍．
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第三章 函數
第五節 二次函數的圖形與性質
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次函數的概念及表達式 ☆☆ 二次函數作為初中三大函數中考點最多，出題最多，難度最大的函數，一直都是各地中考數學中最重要的考點，年年都會考查，總分值為15-20分，預計2024年中考還會考.而對于二次函數圖象和性質的考察，也主要集中在二次函數的圖象、圖象與系數的關系、圖象上點的坐標特征等幾大方面.題型變化較多，考生復習時需要熟練掌握相關知識。
考點2 二次函教的圖象與性質 ☆☆☆
考點3 二次函數的圖象與系數的關系 ☆☆
考點4二次函數的圖象變換 ☆☆
1．二次函數的定義：
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數．
2．二次函數的三種表達式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)．
(2)頂點式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常數，a≠0)，頂點坐標是(h，k)．
(3)交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常數，a≠0)，其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，圖象的對稱軸為直線 x＝．
3．二次函數的圖象與性質：
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是一條拋物線，當a＞0時，拋物線的開口向上，這時當x≤－時，y隨x的增大而減小；當x≥－時，y隨x的增大而增大；當x＝－時，y有最小值．當a＜0時，拋物線開口向下，這時當x≤－時，y隨x的增大而增大；當x≥－時，y隨x的增大而減小；當x＝－時，y有最大值．該拋物線的對稱軸是直線x＝－，頂點坐標是．
4．二次函數的圖象的平移：
平移規律：左右平移由h值決定：左加右減；上下平移由k值決定：上加下減．
■考點一　二次函數的概念與表達式
◇典例1：（2023 金山區一模）下列y關于x的函數中，屬于二次函數的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝3x2+1 D．y＝
【考點】二次函數的定義．
【答案】C
【點撥】根據二次函數定義即可解答．
【解析】解：A、該函數是一次函數，故本選項不符合題意；
B、該函數是反比例函數，故本選項不符合題意；
C、該函數是二次函數，故本選項符合題意；
D、該函數不是二次函數，故本選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了二次函數定義，關鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．
2．（2023 寧波）如圖，已知二次函數y＝x2+bx+c圖象經過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求該二次函數的表達式及圖象的頂點坐標．
（2）當y≤﹣2時，請根據圖象直接寫出x的取值范圍．
【考點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的圖象；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】（1）二次函數的表達式為y＝x2+2x﹣5，頂點坐標為（﹣1，﹣6）；
（2）當y≤﹣2時，x的范圍是﹣3≤x≤1．
【點撥】（1）用待定系數法求出函數表達式，配成頂點式即可得頂點坐標；
（2）求出A關于對稱軸的對稱點坐標，由圖象直接可得答案．
【解析】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函數的表達式為y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴頂點坐標為（﹣1，﹣6）；
（2）如圖：
∵點A（1，﹣2）關于對稱軸直線x＝﹣1的對稱點C（﹣3，﹣2），
∴當y≤﹣2時，x的范圍是﹣3≤x≤1．
【點睛】本題考查二次函數圖象及性質，解題的關鍵是掌握待定系數法，求出函數表達式．
◆變式訓練
1．（2023 南平模擬）下列函數中，是二次函數的是（　　）
A．y＝x B． C．y＝x2 D．y＝x﹣2
【考點】二次函數的定義．
【答案】C
【點撥】根據二次函數的定義求解，二次函數的一般式是y＝ax2+bx+c，其中a≠0．
【解析】解：A、y＝x，是正比例函數，故本選項不符合題意；
B、，是反比例函數，故本選項不符合題意；
C、y＝x2，符合定義，故本選項符合題意；
D、y＝x﹣2，是一次函數，故本選項不符合題意；
故選C．
【點睛】此題考查了二次函數的定義，熟記二次函數的定義及一般形式是解題的關鍵．
2．（2023 紹興）已知二次函數y＝﹣x2+bx+c．
（1）當b＝4，c＝3時，
①求該函數圖象的頂點坐標；
②當﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍；
（2）當x≤0時，y的最大值為2；當x＞0時，y的最大值為3，求二次函數的表達式．
【考點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的最值．
【答案】（1）（2，7）；
（2）﹣2≤y≤7；
（3）y＝﹣x2+2x+2．
【點撥】（1）先把解析式進行配方，再求頂點；
（2）根據函數的增減性求解；
（3）根據函數的圖象和系數的關系，結合圖象求解．
【解析】解：（1）①∵b＝4，c＝3 時，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴頂點坐標為（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有頂點（2，7），
∴當 x＝2 時，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴當x＝﹣1 時，y有最小值為：﹣2，
∴當﹣1≤x≤3時，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0時，y的最大值為2；x＞0時，y的最大值為3，
∴拋物線的對稱軸 在y軸的右側，
∴b＞0，
∵拋物線開口向下，x≤0時，y的最大值為2，
∴c＝2，
又∵，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2．
∴二次函數的表達式為 y＝﹣x2+2x+2．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，掌握數形結合思想是解題的關鍵．
■考點二 二次函數的圖象與性質
◇典例2：（2022 上城區二模）函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則選項中函數y＝a（x﹣b）2+c的圖象正確的是（　　）
A．B． C．D．
【考點】二次函數的圖象．
【答案】B
【點撥】先根據y＝ax2+bx+c的圖象得到a、b、c的正負情況，然后即可得到函數y＝a（x﹣b）2+c的圖象的開口方向，頂點坐標解頂點坐標所在的位置，從而可以判斷哪個選項中圖象符合題意．
【解析】解：由y＝ax2+bx+c的圖象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∵函數y＝a（x﹣b）2+c，
∴該函數的圖象開口向下，頂點坐標為（b，c），且該函數圖象的頂點在第一象限，
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，求出a、b、c的正負情況，利用二次函數的性質解答．
2．（2023 天臺縣一模）已知二次函數y＝x2﹣4x﹣5，點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）都在該函數的圖象上，且x1+x2＝2．
（1）求函數圖象的對稱軸；
（2）若點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）與直線x＝m的距離恒相等，求m的值；
（3）若y1≥y2，求y1的最小值．
【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的最值．
【答案】（1）函數圖象的對稱軸為直線x＝2．
（2）m的值為1．
（3）y1≥y2時，y1的最小值為﹣8．
【點撥】（1）根據二次函數的性質可知，對稱軸為直線x＝﹣，即可求解；
（2）根據題意，列出方程，化簡后將x1+x2＝2代入即可求解；
（3）根據題意，由（1）（2）可得，P1在直線x＝1的左側，P2在直線x＝1的右側或重合在直線x＝1上，根據二次函數的增減性即可求解．
【解析】解（1）二次函數y＝x2﹣4x﹣5，a＝1，b＝﹣4，
∵，
∴對稱軸為直線x＝2．
答：函數圖象的對稱軸為直線x＝2．
（2）∵點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）與直線x＝m的距離恒相等，
∴|x1﹣m|＝|x2﹣m|，
∴，
化簡得（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣2m]＝0，
又∵x1+x2＝2，x1≠x2，
∴m＝1．
答：m的值為1．
（3）∵y1≥y2，
由（1）（2）可得，P1在直線x＝1的左側，P2在直線x＝1的右側或重合在直線x＝1上，
∴x1≤1，
∵y1隨x1的增大而減小，
∴當x1＝1時，y1的最小值為﹣8．
答：y1≥y2時，y1的最小值為﹣8．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數的最值，二次函數上點的坐標特征，解題的關鍵掌握二次函數的性質及二次函數上點的坐標特征．
◆變式訓練
1．（2022 株洲）已知二次函數y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數的圖象可能為（　　）
A．B． C．D．
【考點】二次函數的圖象．
【答案】C
【點撥】根據c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D選項，當a＞0時，可知對稱軸＜0，可排除B選項，當a＜0時，可知對稱軸＞0，可知C選項符合題意．
【解析】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D選項不符合題意；
當a＞0時，
∵b＞0，
∴對稱軸x＝＜0，
故B選項不符合題意；
當a＜0時，b＞0，
∴對稱軸x＝＞0，
故C選項符合題意，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象，熟練掌握二次函數的圖象與系數的關系是解題的關鍵．
2．（2022 景寧縣模擬）關于二次函數y＝﹣3（x﹣2）2+5的最大值或最小值，下列說法正確的是（　　）
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值5 D．有最小值5
【考點】二次函數的性質；二次函數的最值．
【答案】C
【點撥】由拋物線解析式可得拋物線開口向下，從而可得函數最大值．
【解析】解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+5，
∴拋物線開口向下，x＝2時，y有最大值為y＝5，
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數的最值問題，解題關鍵是掌握二次函數的性質．
3．（2023 慶元縣一模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（﹣1，﹣1），（0，1）．
（1）請用含b的關系式表示a；
（2）當x＝﹣2時，y＞1．
①求b的取值范圍；
②若點P（m，y1），Q（n，y2）在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，且，求證：y2＞y1．
【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】（1）a＝b﹣2；
（2）①b＞4；②見解析．
【點撥】（1）將（﹣1，﹣1），（0，1）兩點代入拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）中，進而得出答案；
（2）①根據x＝﹣2時，y＞1，可得4a﹣2b+1＞1，結合（1）中的結論可得答案；
②表示二次函數的對稱軸，然后根據二次函數的增減性進行解答即可．
【解析】（1）解：將（﹣1，﹣1）和（0，1）代入y＝ax2+bx+c，
得﹣1＝a﹣b+c①，c＝1②，
將②代入①得，a＝b﹣2；
（2）①解：∵x＝﹣2，y＞1，
∴4a﹣2b+1＞1，
∵a＝b﹣2，
∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，
解得，b＞4；
②證明：∵y＝ax2+bx+c，
∴拋物線的對稱軸，
∵b＞4，
∴，
∴，
∵a＝b﹣2＞0，
∴拋物線開口向上，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，
∵，
∴Q點在P點的右側，
∴y2＞y1．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質等知識點，熟練掌握二次函數的基本性質是解本題的關鍵．
■考點三 二次函數的圖象與系數的關系
◇典例3：（2023 杭州模擬）如圖，是二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1．對于下列說法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m為實數）；⑤當﹣1＜x＜3時，y＞0，其中正確結論為（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【考點】二次函數圖象與系數的關系；拋物線與x軸的交點．
【答案】B
【點撥】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，然后根據對稱軸判定b與0的關系以及2a+b＝0；當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c；然后由圖象確定當x取何值時，y＞0．
【解析】解：①∵對稱軸在y軸右側，
∴a、b異號，
∴ab＜0，故正確；
②∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故錯誤；
③∵對稱軸x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故正確；
④根據圖示知，當x＝1時，有最大值；
當m≠1時，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m為實數）．
故正確．
⑤如圖，當﹣1＜x＜3時，y不只是大于0．
故錯誤．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，關鍵是熟練掌握①二次項系數a決定拋物線的開口方向，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）．
◆變式訓練
1．（2023 余姚市一模）已知二次函數y＝（x﹣m）2+3（m為常數），點A（1，y1），B（3，y2）是該函數圖象上的點，若y1＜y2，則m的取值范圍是（　　）
A．1＜m＜2 B．m＜2 C．2＜m＜3 D．m＞3
【考點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】B
【點撥】分別求出y1，y2，利用y1＜y2，得出關于m的不等式，即可求出m的范圍．
【解析】解：∵點A（1，y1），B（3，y2）是二次函數y＝（x﹣m）2+3（m為常數）圖象上的點，
∴y1＝（1﹣m）2+3，y2＝（3﹣m）2+3，
∵y1＜y2，
∴（1﹣m）2+3＜（3﹣m）2+3，
解得m＜2，
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質．
2．（2023 蕭山區模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）與x軸最多有一個交點，現有以下三個結論：
①該拋物線的對稱軸在y軸左側；
②關于x的方程ax2+bx+c+2＝0無實數根；
③的最小值為．
其中，正確結論為（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【考點】二次函數圖象與系數的關系；拋物線與x軸的交點；根的判別式．
【答案】A
【點撥】根據二次函數的圖象與性質即可求出答案．
【解析】解：①∵b＞a＞0，即a、b同號，
∴該拋物線的對稱軸在y軸左側；
故①正確；
②∵a＞0，
∴拋物線y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）開口向上，
∵拋物線y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）與x軸最多有一個交點，
∴拋物線的頂點在x軸上或在x軸的上面，
∴拋物線與直線y＝﹣2無交點，
∴關于x的方程ax2+bx+c+2＝0無實數根；
故②正確；
③當x＝時，y＝a+b+c＞0，
∴a+b+c＞a+b，
即a+b+c＞（3a+2b），
而b＞a＞0，
∴＞，
故③錯誤；
故選：A．
【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，掌握二次函數的圖象和性質是求解本題的關鍵．
■考點四　 二次函數的圖象變換
◇典例4：（2023 甌海區二模）將拋物線y＝3x2先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【考點】二次函數圖象與幾何變換．
【答案】B
【點撥】直接根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．
【解析】解：將拋物線y＝3x2先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為：y＝3（x+1）2﹣2．
故選：B．
【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 寧波模擬）二次函數y＝（x+4）2+1的圖象向右平移2個單位長度后，再向上平移5個單位長度，平移后的圖象對應的二次函數解析式為 　y＝（x+2）2+6　．
【考點】二次函數圖象與幾何變換．
【答案】y＝（x+2）2+6．
【點撥】直接運用平移規律“左加右減，上加下減”解答．
【解析】解：將二次函數y＝（x+4）2+1的圖象向右平移2個單位長度后，再向上平移5個單位長度，平移后的圖象對應的二次函數解析式為y＝（x+4﹣2）2+1+5，即y＝（x+2）2+6．
故答案為：y＝（x+2）2+6．
【點睛】主要考查了函數圖象的平移，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．并用規律求函數解析式．
2．（2023 平陽縣一模）已知拋物線y＝x2﹣2mx﹣3經過點A（﹣2，n），將點A先向右平移3個單位，再向下平移b個單位恰好落在拋物線的最低點處，則b的值為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
【考點】二次函數圖象與幾何變換；二次函數的最值；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】D
【點撥】求得拋物線的頂點坐標，求得A平移后的坐標，根據題意得到m＝1，n﹣b＝﹣4，即可求得拋物線為y＝x2﹣2x﹣3，代入A（﹣2，n）求得n，即可求得b的值．
【解析】解：∵y＝x2﹣2mx﹣3＝（x﹣m）2﹣m2﹣3，
∴頂點為（m，﹣m2﹣3），
將點A（﹣2，n）先向右平移3個單位，再向下平移b個單位得到（1，n﹣b），
∴m＝1，n﹣b＝﹣4，
∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3經過點A（﹣2，n），
∴n＝4+4﹣3＝5，
∴b＝9，
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數最值，根據題意列出等式是解題的關鍵．
1．（2023 婺城區校級模擬）拋物線y＝x2﹣2x+1的對稱軸是（　　）
A．直線x＝1 B．直線x＝﹣1 C．直線x＝2 D．直線x＝﹣2
【考點】二次函數的圖象；二次函數的性質．
【答案】A
【點撥】由對稱軸公式x＝﹣可得對稱軸方程．
【解析】解：拋物線y＝x2﹣2x+1的對稱軸為x＝﹣＝1，
故選：A．
【點睛】考查二次函數的性質，熟練運用對稱軸公式．也可以運用配方法寫成頂點式求對稱軸．
2．（2022 湖州）將拋物線y＝x2向上平移3個單位，所得拋物線的解析式是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
【考點】二次函數圖象與幾何變換．
【答案】A
【點撥】根據二次函數變化規律：左加右減，上加下減，進而得出變化后解析式．
【解析】解：∵拋物線y＝x2向上平移3個單位，
∴平移后的解析式為：y＝x2+3．
故選：A．
【點睛】此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的性質，熟練記憶平移規律是解題關鍵．
3．（2023 寧波模擬）下列圖象中，函數y＝ax2﹣a（a≠0）與y＝ax+a的圖象大致是（　　）
A． B． C． D．
【考點】二次函數的圖象；一次函數的圖象．
【答案】C
【點撥】可先根據a的符號判斷一次函數與二次函數的圖象所經過的象限，然后作出選擇．
【解析】解：當a＞0時，由二次函數y＝ax2﹣a可知開，口向上，頂點在y軸負半軸上，與x軸的交點為（﹣1，0），（1，0），
由一次函數y＝ax+a可知過一，二，三象限，交x軸于（﹣1，0）；
當a＜0時，由二次函數y＝ax2﹣a可知，開口向下，頂點在y軸正半軸上，與x軸的交點為（﹣1，0），（1，0），由一次函數y＝ax+a可知過二，三，四象限，交x軸于（﹣1，0）；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象及一次函數的圖象，解題的關鍵是熟記二次函數的圖象及一次函數的圖象的特征．
4．（2021 杭州）在“探索函數y＝ax2+bx+c的系數a，b，c與圖象的關系”活動中，老師給出了直角坐標系中的四個點：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同學們探索了經過這四個點中的三個點的二次函數圖象，發現這些圖象對應的函數表達式各不相同，其中a的值最大為（　　）
A． B． C． D．
【考點】二次函數圖象與系數的關系．
【答案】A
【點撥】比較任意三個點組成的二次函數，比較開口方向，開口向下，則a＜0，只需把開口向上的二次函數解析式求出即可．
【解析】解：由圖象知，A、B、D組成的二次函數圖象開口向上，a＞0；
A、B、C組成的二次函數開口向上，a＞0；
B、C、D三點組成的二次函數開口向下，a＜0；
A、D、C三點組成的二次函數開口向下，a＜0；
即只需比較A、B、D組成的二次函數和A、B、C組成的二次函數即可．
設A、B、C組成的二次函數為y1＝a1x2+b1x+c1，
把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，
，
解得a1＝；
設A、B、D組成的二次函數為y＝ax2+bx+c，
把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，
，
解得a＝，
即a最大的值為，
也可以根據a的絕對值越大開口越小直接代入ABD三點計算，即可求解．
故選：A．
【點睛】本題考查待定系數法求函數解析式，解本題的關鍵要熟練掌握二次函數的性質和待定系數法求函數的解析式．
5．（2023 甌海區模擬）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函數y＝a（x﹣3）2+c的圖象上，若|x1﹣3|＞|x2﹣3|，則下列結論正確的是（　　）
A．y1+y2＞0 B．y1﹣y2＞0 C．a（y1+y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
【考點】二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】D
【點撥】分a＞0和a＜0兩種情況，根據二次函數的對稱性確定出y1與y2的大小關系，然后對各選項分析判斷即可得解．
【解析】解：①a＞0時，二次函數圖象開口向上，
∵|x1﹣3|＞|x2﹣3|，
∴y1＞y2，
∵無法確定y1+y2的正負情況，
∴a（y1﹣y2）＞0，
②a＜0時，二次函數圖象開口向下，
∵|x1﹣3|＞|x2﹣3|，
∴y1＜y2，
∵無法確定y1+y2的正負情況，
∴a（y1﹣y2）＞0，
綜上所述，表達式正確的是a（y1﹣y2）＞0．
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數的對稱性，難點在于根據二次項系數a的正負情況分情況討論．
6．（2023 蘭溪市模擬）已知二次函數y＝（x+m﹣5）（x﹣m）+3，點A（x1，y1），B（x2，x2）（x1＜x2）是其圖象上兩點，下列說法正確的是（　　）
A．若 x1+x2＞5，則y1＞y2 B．若x1+x2＜5，則y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣5，則y1＞y2 D．若x1+x2＜﹣5，則y1＜y2
【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】B
【點撥】根據拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x＝及拋物線開口方向，再通過判斷點A與點B到對稱軸的距離求解．
【解析】解：∵y＝﹣（x+m﹣5）（x﹣m）+3，
∴拋物線對稱軸為直線x＝，開口向下，
當x1+x2＝5時，點A（x1，y1），B（x2，y2）關于拋物線對稱軸對稱，即y1＝y2，
∴當x1+x2＜5時，點A到拋物線對稱軸的距離大于點B到拋物線對稱軸的距離，
∴y1＞y2，
a＝1，開口向上，
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數與方程的關系．
7．（2023 錢塘區三模）已知二次函數y＝ax2﹣2（b﹣1）x+1（a≠0），當﹣2≤x≤﹣1時，y隨x的增大而增大，則（　　）
A．當a＞0時，ab的最大值為 B．當a＞0時，ab的最大值為
C．當a＜0時，ab的最大值為 D．當a＜0時，ab的最大值為
【考點】二次函數的性質；二次函數的最值．
【答案】B
【點撥】根據拋物線解析式求得其對稱軸為直線x＝，分兩種情況：當a＞0時，由當﹣2≤x≤﹣1時，y隨x的增大而增大可得b≤1﹣2a，進而得到ab≤a（1﹣2a）＝，以此判斷A、B選項；當a＜0時，當﹣2≤x≤﹣1時，y隨x的增大而增大可得b≤1﹣a，進而得到ab≥a（1﹣a）＝，以此判斷C、D選項．
【解析】解：∵y＝ax2﹣2（b﹣1）x+1，
∴拋物線對稱軸為直線x＝＝，
①當a＞0時，
∵當﹣2≤x≤﹣1時，y隨x的增大而增大，
∴≤﹣2，
∴b﹣1≤﹣2a，即b≤1﹣2a，
∴ab≤a（1﹣2a）＝﹣2a2+a＝，
∴ab最大值為，故A選項錯誤，B選項正確；
②當a＜0時，
∵當﹣2≤x≤﹣1時，y隨x的增大而增大，
∴≥﹣1，
∴b﹣1≤﹣a，即b≤1﹣a，
∴ab≥a（1﹣a）＝﹣a2+a＝，
此時ab無最大值，故C、D選項錯誤．
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題關鍵是熟知二次函數的性質，掌握通過配方求最值問題．
8．（2022 嘉興一模）已知拋物線y＝x2+3x+c（﹣3≤x≤0）與直線y＝x﹣2有且只有一個交點，若c為整數，則c的值有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征；一次函數的性質；一次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】D
【點撥】由函數解析式作出拋物線與直線的圖象，根據圖象關系求值即可．
【解析】解：∵y＝x2+3x+c（﹣3≤x≤0），
對稱軸為：x＝﹣，
∴x＝0時，y＝c；x＝﹣3時，y＝c，
如圖為拋物線與直線的關系圖，
由圖象可知：
①當直線過拋物線左端點時c＝5，當直線過拋物線右端點時c＝﹣2，
∴當﹣5≤c＜2時，直線與拋物線只有一個交點，
∴c為整數時可取﹣5，﹣4，﹣3；
②令x2+3x+c＝x﹣2，
則x2+2x+c+2＝0，
當Δ＝0時，4﹣4（2+c）＝0，
解得，c＝﹣1，
此時方程有兩個相等的實數根，拋物線與直線只有一個交點，
∴c值為：﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，
故選：D．
【點睛】本題考查的是二次函數與直線的關系，根據題意畫草圖，利用數形結合是解題的關鍵．
9．（2021 金華模擬）拋物線y＝﹣（x﹣1）2+2與y軸的交點坐標為 　（0，1）　．
【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】（0，1）．
【點撥】取x＝0，求出y的值，即可得出答案．
【解析】解：設x＝0，則y＝﹣（﹣1）2+2＝1，
∴拋物線y＝﹣（x﹣1）2+2與y軸的交點坐標為（0，1），
故答案為：（0，1）．
【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質，關鍵是要牢記圖象與y軸的交點的求法．
10．（2021 衢州四模）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是拋物線y＝﹣2x2﹣8x+m上的點，則y1、y2、y3的大小關系為　y3＜y1＜y2　．
【考點】二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】y3＜y1＜y2
【點撥】求出拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，然后根據二次函數的增減性和對稱性解答即可．
【解析】解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝﹣2時，函數值最大，
又∵﹣1到﹣2的距離比﹣4到﹣2的距離小，
∴y3＜y1＜y2．
故答案為y3＜y1＜y2．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數的增減性和對稱性，求出對稱軸是解題的關鍵．
11．（2023 鄞州區一模）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經過點A（﹣1，﹣2），對稱軸為直線x＝1，則9a+3b+c的值是 　﹣2　．
【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】﹣2．
【點撥】根據拋物線的軸對稱性質得到：當x＝3與當x＝﹣1時，所對應的y值相等，據此解答．
【解析】解：∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經過點A（﹣1，﹣2），對稱軸為直線x＝1，
∴點A（﹣1，﹣2）關于直線x＝1對稱的點的坐標為（3，﹣2）．
∴當x＝3時，y＝﹣2，
即9a+3b+c＝﹣2．
故答案為：﹣2．
【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，拋物線是關于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數函數關系式．
12．（2022 寧波模擬）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點的坐標（x，y）對應值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣7 ﹣12 …
則該圖象的對稱軸是　直線x＝﹣2　．
【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】直線x＝﹣2．
【點撥】根據二次函數的圖象具有對稱性和表格中的數據，可以計算出該函數圖象的對稱軸．
【解析】解：由表格可得，
該函數圖象的對稱軸為直線x＝＝﹣2，
故答案為：直線x＝﹣2．
【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．
13．（2023 臨海市一模）若二次函數y＝x2﹣8x+m的圖象經過點（n，0），（5，y1），（6，y2），且y1 y2＜0，則下列結論：
①y1＜0；②n＞2；③n＞5；④n＜6中，一定成立的有 　①②④　．（填序號）
【考點】二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】①②④．
【點撥】由y＝x2﹣8x+m，可知對稱軸為直線x＝4，由a＝1＞0，可知開口向上，x＞4時，y隨x增大而增大，根據已知條件可得y1＜0，根據對稱軸為直線x＝4，可知與x的一個交點在5和6之間，與x的另一個交點在2和3之間，即可得出n＞2，n＜6，即可得出結論．
【解析】解：∵y＝x2﹣8x+m＝（x﹣4）2+m﹣16，
∴對稱軸為直線x＝4，
∵a＝1＞0，
∴開口向上，
∴x＞4時，y隨x增大而增大，
∴y＝x2﹣8x+m的圖象經過點（5，y1），（6，y2），
∴y1＜y2，
∴y1 y2＜0，
∴y1＜0，
故①一定成立，
∴與x的一個交點在5和6之間，
∵對稱軸為x＝4，
∴與x的另一個交點在2和3之間，
∵y＝x2﹣8x+m的圖象經過點（n，0），
∴2＜n＜3或5＜n＜6，
故②④一定成立，
∴綜上所述，一定成立的有①②④．
【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解此題的關鍵．
14．（2021 杭州）在直角坐標系中，設函數y＝ax2+bx+1（a，b是常數，a≠0）．
（1）若該函數的圖象經過（1，0）和（2，1）兩點，求函數的表達式，并寫出函數圖象的頂點坐標；
（2）寫出一組a，b的值，使函數y＝ax2+bx+1的圖象與x軸有兩個不同的交點，并說明理由．
（3）已知a＝b＝1，當x＝p，q（p，q是實數，p≠q）時，該函數對應的函數值分別為P，Q．若p+q＝2，求證：P+Q＞6．
【考點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】（1）y＝x2﹣2x+1，頂點坐標（1，0）；
（2）例如a＝1，b＝3，此時y＝x2+3x+1，該圖象與x軸有兩個不同的交點；
（3）證明P+Q＞6．
【點撥】（1）考查使用待定系數法求二次函數解析式，屬于基礎題，將兩點坐標代入，解二元一次方程組即可；
（2）寫出一組a，b，使得b2﹣4ac＞0即可；
（3）已知a＝b＝1，則y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入對代數式P+Q進行化簡，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q條件判斷q≠1，得證．
【解析】解：（1）由題意，得，
解得，
所以，該函數表達式為y＝x2﹣2x+1．
并且該函數圖象的頂點坐標為（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此時y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函數y＝x2+3x+1的圖象與x軸有兩個不同的交點．
（3）由題意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由條件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得證．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求解二次函數表達式，以及二次函數圖象的頂點坐標，代數式的化簡，并利用配方法判斷代數式的取值范圍，以及利用b2﹣4ac判斷二次函數圖象與x軸交點個數的方法．第（3）小問的關鍵是利用p+q＝2，首先對代數式P+Q化簡，然后配方說明P+Q的范圍，另外注意q≠1．
15．（2023 寧波一模）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx﹣2的圖象經過點（﹣1，﹣7），點（3，1）．
（1）求二次函數的表達式和頂點坐標．
（2）點P（m，n）在該二次函數圖象上，當m＝4時，求n的值．
（3）已知A（0，3），B（4，3），若將該二次函數的圖象向上平移k（k＞0）個單位后與線段AB有交點，請結合圖象，直接寫出k的取值范圍．
【考點】二次函數圖象與幾何變換；待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣2；（2，2）；
（2）﹣2；
（3）1≤k≤5．
【點撥】（1）把點（﹣1，﹣7），點（3，1）代入y＝ax2+bx﹣2得方程組，求出a，b的值可得函數解析式，再把函數關系式化為頂點式即可得到頂點坐標；
（2）把m＝4代入函數關系式即可求出n的值；
（3）分別求出拋物線與線段AB有一個交點和兩個交點時k的值即可得到k的取值范圍．
【解析】解：（1）∵二次函數y＝ax2+bx﹣2的圖象經過點（﹣1，﹣7），點（3，1），
∴把點（﹣1，﹣7），點（3，1）分別代入y＝ax2+bx﹣2得，
解得，
∴二次函數的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣2，
又y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣x2+4x﹣4+2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴拋物線的頂點坐標為：（2，2）；
（2）∵點P（m，n）在該二次函數圖象上，
∴當m＝4時，n＝﹣（4﹣2）2+2＝﹣2；
（3）∵A（0，3），B（4，3），
∴線段AB∥x軸，其中點坐標為（2，3），
①若原拋物線向上平移k個單位，與線段AB只有一個公共點時，如圖，
此時，k＝3﹣2＝1；
②若原拋物線向上平移k個單位，與線段AB只有一個公共點時，且恰好為A、B兩點，如圖，
設此時拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+c，
把A（0，3）或B（4，3）代入，求得c＝7，
∴k＝7﹣2＝5，
綜上所述，將該二次函數的圖象向上平移k（k＞0）個單位后與線段AB有交點，k的取值范圍為1≤k≤5．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，靈活運用數形結合是解答本題的關鍵．
16．（2023 麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數y＝ax2+bx+3（a，b是常數，a≠0）的圖象上．
（1）當m＝﹣1時，求a和b的值；
（2）若二次函數的圖象經過點A（n，3）且點A不在坐標軸上，當﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；
（3）求證：b2+4a＝0．
【考點】二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】（1）a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）﹣4＜n＜﹣2；
（3）證明見解答過程．
【點撥】（1）當m＝﹣1時，二次函數y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），用待定系數法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），可知拋物線的對稱軸為直線x＝m，而y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標軸上，可得m＝，根據﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；
（3）由拋物線過（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3變形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【解析】（1）解：當m＝﹣1時，二次函數y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標軸上，
∴由圖象的對稱性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）證明：∵拋物線過（﹣m，0），（3m，0），
∴拋物線對稱軸為直線x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【點睛】本題考查二次函數圖象上點坐標的特征，涉及待定系數法，不等式，方程組等知識，解題的關鍵是整體思想的應用．
17．（2023 溫州二模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，1）在二次函數y＝a（x﹣2）2+3的圖象上，且x2﹣x1＝6．
（1）求該二次函數的表達式．
（2）已知點A，B在對稱軸的異側，當x1≤x≤x2時，二次函數的最大值與最小值的差為5，設x1，x2的最小值分別為m，n，求m+n的值．
【考點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的最值．
【答案】（1）二次函數的表達式為；
（2）10﹣2．
【點撥】（1）利用待定系數法即可求解；
（2）由題意可知函數的最大值為3，最小值為﹣2，把y＝﹣2代入解析式即可求得自變量x的值，即可求得m＝，n＝2﹣+6＝8﹣，進一步求得m+n的值．
【解析】解：（1）∵C（4，1）在二次函數y＝a（x﹣2）2+3的圖象上，
∴1＝a（4﹣2）2+3，
解得，
∴該二次函數的表達式為；
（2）∵A，B在對稱軸異側，且x1≤x≤x2，
∴函數的最大值為3，
∵函數的最大值與最小值的差為5，
∴最小值為﹣2，
把y＝﹣2代入 ，得 ，
∵，
∴由圖象得x1最小值 ，
∴x2最小值＝2﹣+6＝8﹣，
∴m+n＝2﹣+8﹣＝10﹣2．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，二次函數的最值，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的思想思考問題．
1．（2023 嘉定區一模）下列y關于x的函數中，一定是二次函數的是（　　）
A．y＝（a+2）x2+1 B． C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x
【考點】二次函數的定義．
【答案】D
【點撥】根據二次函數的一般形式：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數且a≠0），逐一判斷即可解答．
【解析】解：A、y＝（a+2）x2+1（a≠﹣2），是二次函數，故A不符合題意；
B、y＝+1，不是二次函數，故B不符合題意；
C、y＝（x+2）（x+1）﹣x2＝3x+2，是一次函數，故C不符合題意；
D、y＝2x2+3x，是二次函數，故D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的一般形式是解題的關鍵．
2．（2023 長興縣一模）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點坐標是（　　）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
【考點】二次函數的性質．
【答案】D
【點撥】由拋物線解析式可得拋物線頂點坐標．
【解析】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴拋物線頂點坐標為（﹣9，﹣3），
故選：D．
【點睛】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數的頂點式．
3．（2023 寧波模擬）對于二次函數y＝2（x﹣2）2+1，下列說法中正確的是（　　）
A．圖象的開口向下 B．函數的最小值為1
C．圖象的對稱軸為直線x＝﹣2 D．圖象的頂點坐標是（1，2）
【考點】二次函數的性質；二次函數的最值．
【答案】B
【點撥】根據題目中的函數解析式，可以判斷各個選項中的說法是否正確．
【解析】解：二次函數y＝2（x﹣2）2+1，a＝2＞0，
∴該函數的圖象開口向上，故選項A錯誤，
函數的最小值是y＝1，故選項B正確，
圖象的對稱軸是直線x＝2，故選項C錯誤，
頂點坐標為（2，1），故選項D錯誤．
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．
4．（2021 深圳）二次函數y＝ax2+bx+1的圖象與一次函數y＝2ax+b在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（　　）
A．B． C． D．
【考點】二次函數的圖象；一次函數的圖象．
【答案】A
【點撥】由二次函數y＝ax2+bx+c的圖象得到字母系數的正負以及對稱軸，與一次函數y＝2ax+b的圖象得到的字母系數的正負以及與x軸的交點相比較看是否一致．
【解析】解：A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，c＝1，對稱軸為直線x＝﹣，由直線可知，a＞0，b＜0，直線經過點（﹣，0），故本選項符合題意；
B、由拋物線可知，對稱軸為直線x＝﹣，直線不經過點（﹣，0），故本選項不符合題意；
C、由拋物線可知，對稱軸為直線x＝﹣，直線不經過點（﹣，0），故本選項不符合題意；
D、由拋物線可知，對稱軸為直線x＝﹣，直線不經過點（﹣，0），故本選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查二次函數和一次函數的圖象，解題的關鍵是明確一次函數和二次函數性質．
5．（2023 紹興模擬）二次函數 的圖象經過平移后得到新的拋物線，此拋物線恰好經過點（﹣2，﹣2），下列平移方式中可行的是（　　）
A．先向左平移8個單位，再向下平移4個單位
B．先向左平移6個單位，再向下平移7個單位
C．先向左平移4個單位，再向下平移6個單位
D．先向左平移7個單位，再向下平移5個單位
【考點】二次函數圖象與幾何變換；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】B
【點撥】分別求得平移后的拋物線解析式，代入點（﹣2，﹣2）判斷即可．
【解析】解：＝﹣（x﹣4）2+5，
A、先向左平移8個單位，再向下平移4個單位得到y＝﹣（x﹣4+8）2+5﹣4，即y＝﹣（x+4）2+1，
當x＝﹣2時，y＝﹣1，故此時拋物線不經過點（﹣2，﹣2），不合題意；
B、先向左平移6個單位，再向下平移7個單位得到y＝﹣（x﹣4+6）2+5﹣7，即y＝﹣（x+2）2﹣2，
當x＝﹣2時，y＝﹣2，故此時拋物線經過點（﹣2，﹣2），符合題意；
C、先向左平移4個單位，再向下平移6個單位得到y＝﹣（x﹣4+4）2+5﹣6，即y＝﹣x2﹣1，
當x＝﹣2時，y＝﹣3，故此時拋物線不經過點（﹣2，﹣2），不合題意；
D、先向左平移7個單位，再向下平移5個單位得到y＝﹣（x﹣4+7）2+5﹣5，即y＝﹣（x+3）2，
當x＝﹣2時，y＝﹣，故此時拋物線不經過點（﹣2，﹣2），不合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練平移的規律是解題的關鍵．
6．（2022 衢州一模）已知二次函數y＝ax2+bx+3經過點（2，3），且函數最大值為4，則a的值為（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣2 D．﹣
【考點】二次函數的最值；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】B
【點撥】把（2，3）代入y＝ax2+bx+3得到﹣＝1，二次函數可化為y＝a（x﹣1）2+3﹣a，由函數最大值為4可求出a．
【解析】解：把（2，3）代入y＝ax2+bx+3得4a+2b+3＝3，
∴b＝﹣2a，
∴拋物線的對稱軸為x＝﹣＝1，
∴y＝a（x﹣1）2+3﹣a，
∵函數最大值為4，
∴3﹣a＝4且a＜0，
∴a＝﹣1，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了二次函數的最值，二次函數圖象上點的坐標特征，求出拋物線的對稱軸是解決問題的關鍵．
7．（2023 保康縣模擬）如圖是二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：
①a+b+c＝0； ②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的兩根分別為﹣3和1；④c＝﹣3a，
其中正確的命題是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
【考點】二次函數的圖象；二次函數圖象與系數的關系；命題與定理．
【答案】D
【點撥】①觀察圖象可得，當x＝1時，y＝0，即a+b+c＝0；
②對稱軸x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a；
③拋物線與x軸的一個交點為（1，0），對稱軸為x＝﹣1，即可得ax2+bx+c＝0的兩根分別為﹣3和1；
④當x＝1時，y＝0，即a+b+c＝0，對稱軸x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，即可得c＝﹣3a．
【解析】解：觀察圖象可知：
①當x＝1時，y＝0，即a+b+c＝0，
所以①正確；
②對稱軸x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴②錯誤；
③∵拋物線與x軸的一個交點為（1，0），對稱軸為x＝﹣1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（﹣3，0）
∴ax2+bx+c＝0的兩根分別為﹣3和1，
∴③正確；
④∵當x＝1時，y＝0，即a+b+c＝0，
對稱軸x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∴④正確．
所以正確的命題是①③④．
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，解決本題的關鍵是觀察圖象所給信息與二次函數性質結合．
8．（2023 拱墅區二模）已知二次函數y1＝（x+2a）（x﹣2b）和一次函數y2＝﹣x+2b（a，b為常數）．若a+2＝b．當函數y＝y1+y2的圖象經過點（c，0）時，b與c之間的數量關系為（　　）
A．c＝5﹣2b或c＝2b B．c＝﹣5+2b或c＝﹣2b C．c＝2b D．c＝﹣5+2b
【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征；一次函數的性質；一次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】A
【點撥】把y1＝（x+2a）（x﹣2b）和y2＝﹣x+2b代入y＝y1+y2中可以求出y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），然后把（c，0）代入，得出關于b，c等式即可求解．
【解析】解：∵y＝y1+y2，
∴y＝（x+2a）（x﹣2b）﹣x+2b
＝（x+2a﹣1）（x﹣2b），
又a＝b﹣2，
∴y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），
∵拋物線經過點（c，0），
∴（c+2b﹣5）（c﹣2b）＝0，
∴c+2b﹣5＝0或c﹣2b＝0．（也可以寫成2b+c＝5或2b﹣c＝0．也可以寫成c＝5﹣2b或c＝2b）．
故選：A．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質等知識，明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關鍵．
9．（2022 衢州）已知二次函數y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當﹣1≤x≤4時，y的最小值為﹣4，則a的值為（　　）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
【考點】二次函數的性質；二次函數的最值．
【答案】D
【點撥】分兩種情況討論：當a＞0時，﹣a＝﹣4，解得a＝4；當a＜0時，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
【解析】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的對稱軸為直線x＝1，
頂點坐標為（1，﹣a），
當a＞0時，在﹣1≤x≤4，函數有最小值﹣a，
∵y的最小值為﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
當a＜0時，在﹣1≤x≤4，當x＝4時，函數有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
綜上所述：a的值為4或﹣，
故選：D．
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，根據二次函數的性質，在指定的范圍內準確求出函數的最小值是解題的關鍵．
10．（2023 淳安縣一模）已知點A（m，n）、B（m+1，n）是二次函數y＝x2+bx+c圖象上的兩個點，若當x≤2時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（　　）
A． B． C．m≥1 D．m≤1
【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】B
【點撥】首先根據點A、B是該二次函數圖象上的兩點且縱坐標相等，可得對稱軸為直線，再根據開口向上，x≤2時，y隨x的增大而減小，可得，據此即可求解．
【解析】解：∵點A（m，n）、B（m+1，n）是二次函數y＝x2+bx+c圖象上的兩個點，
∴該二次函數圖象的對稱軸為直線，且開口向上，
∵當x≤2時，y隨x的增大而減小，
∴該二次函數圖象的對稱軸為直線x＝2或在其右側，
∴，
解得，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，得到該二次函數圖象的對稱軸為直線x＝2或在其右側是解決本題的關鍵．
11．（2021 蕭山區模擬）已知二次函數y與自變量x的部分對應值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 …
則二次函數的解析式為　y＝x2﹣2x﹣8　．
【考點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】y＝x2﹣2x﹣8．
【點撥】從表格中選三組數代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可．
【解析】解：設二次函數的解析式為y＝ax2+bx+c，
將（﹣2，0）、（0，﹣8）、（4，0）代入得：
，解得，
∴二次函數的解析式為y＝x2﹣2x﹣8；
故答案為：y＝x2﹣2x﹣8．
【點睛】本題考查待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是選三組數代入解方程組．
12．（2022 鄞州區模擬）將拋物線y＝ax2+bx+c向左平移2個單位，再向下平移5個單位，得到拋物線y＝x2+4x﹣1，則a+b+c＝　1　．
【考點】二次函數圖象與幾何變換．
【答案】1
【點撥】拋物線平移．不改變二次項系數，平移后拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣5），根據平移規律可推出原拋物線頂點坐標為（0，0），根據頂點式可求拋物線解析式．
【解析】解：平移后的拋物線y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，頂點為（﹣2，﹣5），
根據平移規律，得原拋物線頂點坐標為（0，0），
又平移不改變二次項系數，
∴原拋物線解析式為y＝x2，
∴a＝1，b＝c＝0，
∴a+b+c＝1，
故答案為1．
【點睛】本題主要考查了函數圖象的平移，拋物線與坐標軸的交點坐標的求法，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．并用規律求函數解析式．
13．（2023 金華模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對稱軸為直線x＝1，且經過點（﹣1，y1），（2，y2），試比較y1和y2的大小：y1　＞　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【考點】二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】見試題解答內容
【點撥】由于二次函數y＝ax2+bx+c的圖象的開口向上，對稱軸為直線x＝1，然后根據點A（﹣1，y1）和點B（2，y2）離對稱軸的遠近可判斷y1與y2的大小關系．
【解析】解：∵二次函數y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x＝1，
而1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，
∴點（﹣1，y1）離對稱軸的距離比點（2，y2）要遠，
∴y1＞y2．
故答案為＞．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足解析式y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）．
14．（2021 濱江區校級三模）若實數a，b滿足a+b2＝3，則a2+8b2的最小值為　9　．
【考點】二次函數的最值．
【答案】9
【點撥】把a+b2＝3，化成b2＝3﹣a，代入a2+8b2，得出a2+8b2＝（a﹣4）2+8，根據二次函數的性質即可求得．
【解析】解：∵實數a，b滿足a+b2＝3，
∴b2＝3﹣a≥0，則a≤3
∴a2+8b2＝a2+8（3﹣a）＝a2﹣8a+24＝（a﹣4）2+8，
當a＝3時，a2+8b2有最小值為9，
故答案為9．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，由b2＝3﹣a，代替代數式中的b2，得到關于a的二次函數是解題的關鍵．
15．（2020 蕭山區二模）已知二次函數，當x＝1時有最小值，其中a，b，c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，請判斷△ABC是什么特殊三角形　直角三角形　．
【考點】二次函數的最值；一次函數的性質；二次函數的定義．
【答案】直角三角形．
【點撥】根據頂點橫坐標公式，得b+c＝2a①，由x＝1，y＝，得c＝②，①與②聯立，得出用含b的代數式分別表示a、c的式子，從而根據三邊關系判斷△ABC的形狀．
【解析】解：∵當x＝1時有最小值，
∴
∴，
解得，，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案為：直角三角形．
【點睛】本題主要考查了二次函數的頂點坐標公式，勾股定理的逆定理，熟記拋物線的頂點坐標是解答本題的關鍵．
16．（2023 寧波模擬）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）的圖象如圖所示，下列4個結論．
①abc＜0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k（ka+b）（k為常數，且k≠1）．
其中正確的結論有 　①③　（填寫序號）．
【考點】二次函數圖象與系數的關系．
【答案】①③．
【點撥】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
【解析】解：①由圖象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正確；
②當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c故b＜a+c，故②錯誤；
③當x＝3時函數值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，
即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得c＜b，
∵b＞0，
∴c＜4b，故③正確；
④當x＝1時，y的值最大．此時，y＝a+b+c，
而當x＝k時，y＝ak2+bk+c，
所以a+b+c＞ak2+bk+c，
故a+b＞ak2+bk，即a+b＞k（ak+b），故④錯誤．
故①③正確．
故答案為：①③．
【點睛】此題主要考查了圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數y＝ax2+bx+c系數符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數確定，靈活運用二次函數的性質是解題的關鍵．
17．（2021 溫州）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）經過點（﹣2，0）．
（1）求拋物線的函數表達式和頂點坐標．
（2）直線l交拋物線于點A（﹣4，m），B（n，7），n為正數．若點P在拋物線上且在直線l下方（不與點A，B重合），分別求出點P橫坐標與縱坐標的取值范圍．
【考點】待定系數法求二次函數解析式；一次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；（1，﹣9）．
（2）﹣4＜xP＜5，﹣9≤yP＜16．
【點撥】（1）將點（﹣2，0）代入求解．
（2）分別求出點A，B坐標，根據圖象開口方向及頂點坐標求解．
【解析】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴拋物線的函數表達式為y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴拋物線頂點坐標為（1，﹣9）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函數解析式得7＝x2﹣2x﹣8，
解得x＝5或x＝﹣3，
∴n＝5或n＝﹣3，
∵n為正數，
∴n＝5，
∴點A坐標為（﹣4，16），點B坐標為（5，7）．
∵拋物線開口向上，頂點坐標為（1，﹣9），
∴拋物線頂點在AB下方，
∴﹣4＜xP＜5，﹣9≤yP＜16．
【點睛】本題考查求二次函數解析式及二次函數的性質，解題關鍵是熟練掌握二次函數的性質及待定系數法求函數解析式．
18．（2021 瑞安市模擬）已知二次函數y＝x2+bx+c的圖象經過點（2，﹣3），（﹣1，12）．
（1）求b，c的值．
（2）若點A（m，k），B（n，k）在二次函數圖象上，其中m≠n，當﹣2＜m＜3時，求n的取值范圍．
【考點】二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】（1）b＝﹣6，a＝5；（2）3＜n＜8．
【點撥】（1）將點（2，﹣3），（﹣1，12）代入函數y＝x2+bx+c即可求b、c；
（2）由題意可知，A、B關于對稱軸對稱，則有m+n＝6，再結合m的取值范圍即可求n的范圍．
【解析】解：（1）∵函數y＝x2+bx+c的圖象經過點（2，﹣3），（﹣1，12），
∴，
∴；
（2）∵b＝﹣6，c＝5，
∴y＝x2﹣6x+5，
∴函數的對稱軸為直線x＝3，
∵點A（m，k），B（n，k）在二次函數圖象上，
∴A點與B點關于對稱軸對稱，
∴m+n＝6，
∴m＝6﹣n，
∵﹣2＜m＜3，
∴﹣2＜6﹣n＜3，
∴3＜n＜8．
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，由函數的對稱性得到m、n的關系是解題的關鍵．
19．（2023 杭州）設二次函數y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實數）．已知函數值y和自變量x的部分對應取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝4，
①求二次函數的表達式；
②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減小．
（2）若在m，n，p這三個實數中，只有一個是正數，求a的取值范圍．
【考點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數圖象上點的坐標特征；待定系數法求二次函數解析式．
【答案】（1）①y＝x2﹣2x+1；②當x＜1時，y隨x的增大而減小；
（2）a≤﹣．
【點撥】（1）①利用待定系數法即可求得；
②利用二次函數的性質得出結論；
（2）根據題意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，則二次函數為y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．
【解析】解：（1）①由題意得，
解得，
∴二次函數的表達式是y＝x2﹣2x+1；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，
∴當x＜1時，y隨x的增大而減小；
（2）∵x＝0和x＝2時的函數值都是1，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴（1，n）是頂點，（﹣1，m）和（3，p）關于對稱軸對稱，
若在m，n，p這三個實數中，只有一個是正數，則拋物線必須開口向下，且m≤0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴二次函數為y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a+2a+1≤0，
∴a≤﹣．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，能夠明確題意得出m＝a+2a+1＜0是解題的關鍵．
20．（2023 鹿城區三模）已知二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象經過A（﹣1，0），B（2，3）兩點．
（1）求二次函數的解析式及頂點坐標．
（2）如果將此二次函數的圖象向上平移n個單位后過點P（m，4），再將點P向右平移3個單位后得點Q，點Q恰好落在原二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象上，求n的值．
【考點】二次函數圖象與幾何變換；待定系數法求二次函數解析式；正比例函數的性質；一次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，（1，4）；）（2）9．
【點撥】（1）根據函數圖象可確定函數上的點的坐標，代入函數解析式即可求出b，c的值，得出解析式，即可得出頂點坐標．
（2）根據平移規律得到y＝﹣（x﹣1）2+4+n，代入P（m，4）得到n＝（m﹣1）2，求得Q（m+3，4），代入y＝﹣x2+2x+3，求得m＝﹣2，即可求得n＝9．
【解析】解：將A，B兩點代入函數解析式得，
解得：，
∴二次函數解析式為：y＝﹣x2+2x+3；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點為（1，4）；
（2）將此二次函數的圖象向上平移n個單位后得到y＝﹣（x﹣1）2+4+n，
∵過點P（m，4），
∴4＝﹣（m﹣1）2+4+n，
∴n＝（m﹣1）2，
∵將點P向右平移3個單位后得點Q，
∴Q（m+3，4），
∵點Q恰好落在原二次函數y＝﹣x2+2x+3的圖象上，
∴4＝﹣（m+3﹣1）2+4，
∴m+2＝0，
∴m＝﹣2，
∴n＝（m﹣1）2＝9，
故n的值為9．
【點睛】本題考查的是二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法確定函數解析式，求得拋物線的解析式是解題的關鍵．
21．（2023 紹興模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知點（﹣1，m），（2，n）在二次函數 y＝x2+bx﹣3 的圖象上．
（1）當m＝n時，求b的值；
（2）在（1）的條件下，當﹣3＜x＜2時，求y的取值范圍；
（3）若﹣1≤x≤2時，函數的最小值為﹣5，求m+n的值．
【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的最值．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣≤y＜9；
（3）﹣2﹣1或2．
【點撥】（1）把點（﹣1，m），（2，n）代入 y＝x2+bx﹣3，用b表示m、n，由m＝n建立方程解b；
（2）把x＝、﹣3、2代入求函數值，最后寫出y的取值范圍；
（3）二次函數 y＝x2+bx﹣3 的對稱軸x＝﹣位置不確定，﹣與﹣1和2比較大小，分三類討論．
【解析】解：（1）把點（﹣1，m），（2，n）代入 y＝x2+bx﹣3 得m＝﹣b﹣2，n＝1+2b，
∵m＝n，
∴﹣b﹣2＝1+2b，
∴b＝﹣1；
（2）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，
∴當x＝時，y＝﹣，
當x＝﹣3時，y＝9，
當x＝2時，y＝﹣1，
∴當﹣3＜x＜2時，y的取值范圍為﹣≤y＜9；
（3）二次函數 y＝x2+bx﹣3 的對稱軸為x＝﹣，
①當﹣≤﹣1即b≥2時，x＝﹣1的函數值最小，y最小＝﹣b﹣2＝﹣5，b＝3，
∴y＝x2+3x﹣3，
∴當x＝﹣1時，m＝﹣5；當x＝2時，n＝7，
∴m+n＝2；
②當﹣1＜﹣＜2即﹣4＜b＜2時，x＝﹣的函數值最小，y最小＝﹣b2﹣3＝﹣5，b＝2（舍）或b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴當x＝﹣1時，m＝2﹣2；當x＝2時，n＝1﹣4，
∴m+n＝﹣2﹣1；
③當﹣≥2即b≤﹣4時，x＝2的函數值最小，y最小＝2b+1＝﹣5，b＝﹣3，不滿足b≤﹣4，所以此種情況不存在；
綜上，m+n＝﹣2﹣1或2．
【點睛】本題考查了自變量在某個范圍內函數的最值問題，定函數相對簡單，動函數求最值，關鍵是找到分類標準，一般以對稱軸對應的值與范圍的兩個端點值比較大小
22．（2023 定海區模擬）二次函數y＝x2+bx過點（2，8）．
（1）求二次函數y＝x2+bx的解析式；
（2）若點A（m，y1）和點B（3﹣m，y2）都在二次函數圖象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函數y＝x+2和二次函數y＝x2+bx在同一平面直角坐標系中．其中點A（m，y1）是二次函數y＝x2+bx圖象上一點，點B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2圖象上一點．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范圍．
【考點】待定系數法求二次函數解析式；一次函數的性質；一次函數圖象上點的坐標特征；二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的最值．
【答案】（1）y＝x2+2x；
（2）；
（3）m＜或m＞或﹣2＜m＜﹣1．
【點撥】（1）把已知點的坐標代入y＝x2+bx中求出b的值，從而得到二次函數解析式；
（2）根據一次函數和二次函數圖象上點的坐標特征得到y1＝m2+2m，y2＝m2﹣8m+15，則y1+y2＝2m2﹣6m+15，然后利用二次函數的性質解決問題；
（3）先確定拋物線y＝x2+2x的對稱軸為直線x＝﹣1，再求出點A（m，y1）關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（﹣2﹣m，y1），則|y1﹣y2|＝|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，通過解方程m2+3m＝2和二次函數的性質得到m2+3m＞2的解集為m＜或m＞，通過解方程m2+3m＝﹣2和二次函數的性質得到得m2+3m＜﹣2的解集為﹣2＜m＜﹣1．
【解析】解：（1）把（2，8）代入y＝x2+bx得4+2b＝8，
解得b＝2，
∴二次函數解析式為y＝x2+2x；
（2）∵點A（m，y1）和點B（3﹣m，y2）都在二次函數圖象上，
∴y1＝m2+2m，y2＝（3﹣m）2+2（3﹣m）＝m2﹣8m+15，
∵y1+y2＝m2+2m+m2﹣8m+15＝2m2﹣6m+15＝2（m﹣）2+，
∴當m＝時，y1+y2有最小值，最小值為；
（3）∵拋物線y＝x2+2x的對稱軸為直線x＝﹣1，
∴點A（m，y1）關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（﹣2﹣m，y1），
∵點B的坐標為（﹣2﹣m，y2），
∴|y1﹣y2|表示點A′與點B的距離，
∴|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，
整理得|m2+3m|＞2，
即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，
解方程m2+3m＝2得m1＝，m2＝，
∴m2+3m＞2的解集為m＜或m＞，
解方程m2+3m＝﹣2得m1＝﹣2，m2＝﹣1，
∴m2+3m＜﹣2的解集為﹣2＜m＜﹣1，
綜上所述．m的取值范圍為m＜或m＞或﹣2＜m＜﹣1．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．也考查了一次函數，、二次函數的性質和二次函數圖象上點的坐標特征．
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