資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
16.2.1 《二次根式的乘除》導學案（2）
學習目標﹒導思
1.經歷二次根式的性質的發現過程，體驗歸納、類比的思想方法；
2.了解二次根式的性質4 ；
3.會用二次根式的性質將簡單二次根式化簡.
學習重難點
重點：理解二次根式的性質4.
難點：靈活運用性質4進行有關計算.
學法指導
通過觀察、動手操作領悟二次根式的性質4 ，同伴合作能利用二次根式的性質4解答有關問題。
學習過程
一、課前預習﹒導學
（1） 二次根式的定義：_____________________________________________________.
（2）二次根式的性質1：_____________________________________________________
________________________________________________________.
（3）二次根式的性質2：______________________________________________________
__________________________________________________________.
（4） 二次根式的性質3：_____________________________________________________
________________________________________________________.
【答案】（1）一般地，式子叫做二次根式.
（2）性質1：（）2= （≥0）；
（3）性質2：
（4）性質3： ＝·﹙a≥0，b≥0﹚
二、課內學習、合作探究：
探究1：
計算下列各式，觀察有何規律？
（1） ＝______________，＝_________________；
（2）＝________________，＝___________________.
比較左右兩邊的等式，你發現了什么？
（1）＿＿＿＿＝＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＝＿＿＿＿.
你能用字母表示你發現的規律嗎？
【答案】（1），
（2），
如果 a≥0 ，b＞0 ，那么有＝。
【歸納】性質4：
如果 a≥0 ，b＞0 ，那么有＝。
兩個二次根式相除，等于把＿＿＿＿＿相除，作為＿＿＿的被開方數。
【答案】被開方數，二次根式
探究2：
因為當 a≥0 ，b＞0 時，
() ＝＝ ，又 () ＝ ，
的算術平方根只有一個，所以： ＝ .
由等式的對稱性，性質4 也可寫成：
＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
【歸納】二次根式的除法：
（1） ＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
兩個二次根式相除，等于把＿＿＿＿相除，作為＿＿＿的被開方數。
（2） ＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
商的算術平方根等于＿＿＿＿＿＿＿＿除以＿＿＿＿＿＿＿＿的商。
【答案】（1）被開方數，二次根式
（2）被除數的算術平方根，除數的算數平方根
【做一做】
例1：計算
(1)÷ (2)÷
解：（1）÷===
===2
（2）÷====4
【注意】滿足下列兩個條件的二次根式就是最簡二次根式。
（1） 被開方數的因數是_________________，因式是____________________；
（2） 被開方數中不含_____________________________________的因數或因式。
【答案】（1）整數，整式；
（2）能開的盡
【做一做】
計算：
計算÷的結果是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【答案】　C　÷===.故選C.
【練一練】
計算：
；
【答案】(1)
【詳解】解：（1）原式．
【歸納】化簡二次根式時時應注意：
⑴ 有時需將被開方數＿＿＿＿＿；
⑵ 當一個式子的分母中含有二次根式時，一般應把分母＿＿＿＿＿。
【答案】（1）先分解因數或分解因式；
（2）有理化
【練一練】
下列二次根式是最簡二次根式的是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【答案】　C　A.=,因此選項A不符合題意;
B.==2,因此選項B不符合題意;
C.是最簡二次根式,因此選項C符合題意;
D.=2,因此選項D不符合題意.故選C.
【做一做】：
1.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數不含分母、被開方數中不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．根據最簡二次根式的概念判斷即可．
【詳解】解：A、，被開方數中含能開得盡方的因數，不是最簡二次根式，不符合題意；
B、，被開方數含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；
C、，被開方數中含能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，不符合題意；
D、是最簡二次根式，符合題意；
故選：D．
2.化簡： ．
【答案】
【分析】根據題意知，然后根據平方根的 性質化簡．
本題考查的是二次根式的化簡，熟練掌握二次根式性質，是解答此題的關鍵．
【詳解】由知，，
∴，
∴．
故答案為：．
探究2：比較與的大小。
【方法指導】
比較兩個二次根式的大小，通常有下列幾種方法：
⑴ 將根號外的數移到根號內，再比較被開方數的大小，被開方數大的數大。
⑵ 求差法。兩數相減，差大于 0 時被減數大，反之，則小。
⑶ 求商法。兩數相除，商大于 1 時，被除數打，反之，則小.
方法一： 方法二： 方法三：
【答案】方法一：因為：2=；3=
所以：<
方法二：-<0,所以：<
方法三：÷<1,所以：<
達標練習
1.下列計算中,正確的是(　　)
A.5= 　　　 B.÷=(a>0,b>0)
C.×3=　　　D.×=6
【答案】　B　5= ,故A計算錯誤;∵a>0,b>0,∴÷==,故B計算正確;×3=3=,故C計算錯誤;×=×16=24,故D計算錯誤.故選B.
2.下列二次根式:,,,,是最簡二次根式的是　　　　.
【答案】　
【解析】　符合最簡二次根式的定義,是最簡二次根式;
=,=2,=2|x|,不是最簡二次根式.
故答案為.
3.計算÷3×的結果是　　　　
【答案】　1
【解析】　原式=3÷3×=×==1.故答案為1.
4.化簡或計算:
(1);
(2)÷×(-);
(3);
(4)÷;
【解析】　(1)原式====×=.
(2)原式=-=-=-2.
(3)原式==3×2=6.
(4)原式===.
5.先化簡，再求代數式的值，其中．
【答案】，
【分析】本題考查了分式的化簡求值，二次根式的除法運算，先進行分式的混合運算，再代入即可求解．
【詳解】解：
，
當時，
原式．
6.計算：
(1)
(2)（把它的解集在數軸上表示出來）
【答案】(1)
(2)，圖見解析
【分析】本題考查二次根式的混合運算，絕對值，一元一次不等式求解，將不等式的解集表示到數軸上；
（1）先算二次根式的乘除，再去絕對值符號，最后算加減；
（2）解出不等式的解集，最后表示在數軸上．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
把解集表示在數軸上如下：
三、拓展練習
已知一個長方體的體積為，且長為，寬為．求它的高．
【答案】（cm）
【詳解】解：長方體的高（cm）．
四、學習反思
學習本節之后，你有何收獲？還有哪些困惑？
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16.2.1 《二次根式的乘除》導學案（2）
學習目標﹒導思
1.經歷二次根式的性質的發現過程，體驗歸納、類比的思想方法；
2.了解二次根式的性質4 ；
3.會用二次根式的性質將簡單二次根式化簡.
學習重難點
重點：理解二次根式的性質4.
難點：靈活運用性質4進行有關計算.
學法指導
通過觀察、動手操作領悟二次根式的性質4 ，同伴合作能利用二次根式的性質4解答有關問題。
學習過程
一、課前預習﹒導學
（1） 二次根式的定義：_____________________________________________________.
（2）二次根式的性質1：_____________________________________________________
________________________________________________________.
（3）二次根式的性質2：______________________________________________________
__________________________________________________________.
（4） 二次根式的性質3：_____________________________________________________
________________________________________________________.
二、課內學習、合作探究：
探究1：
計算下列各式，觀察有何規律？
（1） ＝______________，＝_________________；
（2）＝________________，＝___________________.
比較左右兩邊的等式，你發現了什么？
（1）＿＿＿＿＝＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＝＿＿＿＿.
你能用字母表示你發現的規律嗎？
【歸納】性質4：
如果 a≥0 ，b＞0 ，那么有＝。
兩個二次根式相除，等于把＿＿＿＿＿相除，作為＿＿＿的被開方數。
探究2：
因為當 a≥0 ，b＞0 時，
() ＝＝ ，又 () ＝ ，
的算術平方根只有一個，所以： ＝ .
由等式的對稱性，性質4 也可寫成：
＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
【歸納】二次根式的除法：
（1） ＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
兩個二次根式相除，等于把＿＿＿＿相除，作為＿＿＿的被開方數。
（2） ＝ ( a ≥ 0 ，b＞0 )
商的算術平方根等于＿＿＿＿＿＿＿＿除以＿＿＿＿＿＿＿＿的商。
【做一做】
例1：計算
(1)÷ (2)÷
【注意】滿足下列兩個條件的二次根式就是最簡二次根式。
（1） 被開方數的因數是_________________，因式是____________________；
（2） 被開方數中不含_____________________________________的因數或因式。
【做一做】
計算：
計算÷的結果是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【練一練】
計算：
；
【歸納】化簡二次根式時時應注意：
⑴ 有時需將被開方數＿＿＿＿＿；
⑵ 當一個式子的分母中含有二次根式時，一般應把分母＿＿＿＿＿。
【練一練】
下列二次根式是最簡二次根式的是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【做一做】：
1.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.化簡： ．
探究2：比較與的大小。
【方法指導】
比較兩個二次根式的大小，通常有下列幾種方法：
⑴ 將根號外的數移到根號內，再比較被開方數的大小，被開方數大的數大。
⑵ 求差法。兩數相減，差大于 0 時被減數大，反之，則小。
⑶ 求商法。兩數相除，商大于 1 時，被除數打，反之，則小.
方法一： 方法二： 方法三：
達標練習
1.下列計算中,正確的是(　　)
A.5= 　　　 B.÷=(a>0,b>0)
C.×3=　　　D.×=6
2.下列二次根式:,,,,是最簡二次根式的是　　　　.
3.計算÷3×的結果是　　　　
4.化簡或計算:
(1);
(2)÷×(-);
(3);
(4)÷;
5.先化簡，再求代數式的值，其中．
6.計算：
(1)
(2)（把它的解集在數軸上表示出來）
三、拓展練習
已知一個長方體的體積為，且長為，寬為．求它的高．
四、學習反思
學習本節之后，你有何收獲？還有哪些困惑？
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