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第七章 隨機變量及其分布
第7.1.1講 條件概率
1．在具體情境中，了解條件概率的概念，并能辨別P(A|B)與P(B|A)的區別，重點培養數學抽象核心素養．
2．理解并掌握條件概率公式及其性質，會用條件概率公式解決一些簡單的實際問題，重點提升數學運算、邏輯推理核心素養．
1、利用條件概率公式求概率
2、條件概率性質的應用
3、條件概率的綜合應用
　條件概率
1．條件概率的定義
一般地，當事件B發生的概率大于0時(即P(B)＞0)，已知事件B發生的條件下事件A發生的概率，稱為條件概率，記作P(A|B)．
2．條件概率公式
(1)當P(B)＞0時，有P(A|B)＝.
(2)當P(A)＞0時，有P(B|A)＝.
(3)P(B|A)與P(A|B)意義不同，由條件概率的定義可知P(B|A)表示在事件A發生的條件下事件B發生的條件概率；而P(A|B)表示在事件B發生的條件下事件A發生的條件概率．
3．條件概率的性質
設A，B，C都是事件且P(A)＞0.
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
1．一般地，每個隨機試驗都是在一定條件下進行的，而這里所講的條件概率則是隨機試驗結果的一部分信息已知(即在原隨機試驗的條件下，再加上一定的條件)，如某一事件A已經發生，求另一事件B在此條件下發生的概率．
2．從集合角度理解條件概率
如圖，用單位矩形來表示樣本空間Ω，用矩形內封閉曲線圍成的圖形表示事件，把圖形的面積理解為相應事件的概率，設A，B是Ω的子集．
條件概率P(B|A)＝，實際上是僅局限于A事件這個范圍來考查B事件發生的概率．幾何直觀上，相當于B在A內的那部分AB在A中所占的比例．
題型1、利用條件概率公式求概率
1．拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記兩次的點數均為偶數，兩次的點數之和為8，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用條件概率公式計算即可.
【詳解】拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，基本事件共有種，
其中事件有種，
事件有共種，
所以.
故選：C.
2．從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個數，則在第1次抽到奇數的條件下，第2次又抽到奇數的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據條件概型的知識求得正確答案.
【詳解】在第1次抽到奇數的條件下，余下個奇數和個偶數，
再次抽取時，抽到奇數的概率為.
故選：C
3．某校有7名同學獲省數學競賽一等獎，其中男生4名，女生3名．現隨機選取2名學生作“我愛數學”主題演講．假設事件為“選取的兩名學生性別相同”，事件為“選取的兩名學生為男生”，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據條件概率公式計算即可.
【詳解】由題意得，事件包含的樣本點數，
事件和包含的樣本點數，
所以.
故選：D
4．小張 小王兩家計劃國慶節期間去遼寧游玩，他們分別從“丹東鳳凰山，鞍山千山，本溪水洞，錦州筆架山，盤錦紅海灘”這五個景點中隨機選擇一個游玩，記事件A：“兩家至少有一家選擇丹東風凰山”，事件B：“兩家選擇景點不同”.則概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先計算事件的概率，再利用條件概率計算即可.
【詳解】由題意可知兩家都沒選擇丹東鳳凰山，即，
所以，
而有一家選擇丹東鳳凰山，另一家選別的景點，則，
所以.
故選：D
5．已知，是一個隨機試驗中的兩個事件，若，，則等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由條件概率計算公式計算得，，求的值.
【詳解】因為，所以，即，
同理，由得，
因為，所以，
，所以，
所以．
故選：A.
題型2、條件概率性質的應用
6．設，為任意兩個事件，且，，則下列選項必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題設有，根據條件概率公式有，結合，即可得答案.
【詳解】由，則，故，
而，則，又，
所以.
故選：D
7．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由條件概率的計算公式求解即可.
【詳解】由題意，知.
故選：C.
8．下列有關事件的說法正確的是（ ）
A．事件，中至少有一個發生的概率一定比，中恰有一個發生的概率大
B．若，則事件，為對立事件
C．若，為互斥事件，則
D．若事件，，滿足條件，和為互斥事件，則
【答案】C
【分析】根據互斥事件、對立事件和條件概率的定義與計算，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，若事件和都為不可能事件，此時兩個概率相等，所以A錯誤；
對于B中，若在不同試驗下，雖然有，但事件和不對立；若在同一試驗下，說明事件和對立，則B錯誤；
對于C中，若，互斥，且，對立，則，
若，不對立，則，所以C正確；
對于D中，若事件，，滿足條件，和為互斥事件，
則，所以D錯誤，
故選：C.
9．根據某機構對失蹤飛機的調查得知：失蹤的飛機中有70%的后來被找到，在被找到的飛機中，有60%安裝有緊急定位傳送器，而未被找到的失蹤飛機中，有90%未安裝緊急定位傳送器，緊急定位傳送器是在飛機失事墜毀時發送信號，讓搜救人員可以定位的裝置.現有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，則它被找到的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分別表示出三個事件：失蹤的飛機后來被找到、失蹤的飛機后來未被找到、裝有緊急定位傳送器的概率，再用條件貝葉斯公式計算即可得出結論.
【詳解】設“失蹤的飛機后來被找到”，“失蹤的飛機后來未被找到”，“安裝有緊急定位傳送器”，
則，，
安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，它被找到的概率為.
故選：C.
10．已知1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球（白球與紅球大小、形狀、質地相同），現隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，再從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式進行求解.
【詳解】設“從1號箱中取到紅球放入2號箱”為事件A，“從2號箱中取到紅球”為事件B.
由題意，知，，所以，
所以兩次都取到紅球的概率為.
故選：C.
題型3、條件概率的綜合應用
11．已知隨機事件，滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知結合條件概率公式，即可得出，進而推得.即可根據條件概率公式，得出答案.
【詳解】由已知可得，.
因為，
所以，.
又,
所以，.
又，
所以，.
故選：A.
12．太行山脈有很多優美的旅游景點．現有甲、乙兩位游客慕名來到太行山脈，都準備從C、D、E、F，4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩．設事件A為“甲和乙至少一人選擇C”，事件B為“甲和乙選擇的景點不同”，則條件概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出事件A發生的概率和事件A和事件B共同發生的概率，利用條件概率公式即可求出.
【詳解】由題兩位游客從4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩，共有種，
其中事件A的情況有種，
事件A和事件B共同發生的情況有種，
所以，
所以.
故選：D.
13．拋擲甲 乙兩枚骰子，若事件：“甲骰子的點數小于”，事件：“甲 乙兩枚骰子的點數之和等于”，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用古典概型的概率公式求出，再利用條件概率公式可求得結果.
【詳解】由題意知事件為甲骰子的點數小于，且甲 乙兩枚骰子的點數之和等于，
則事件包含的基本事件為，
而拋擲甲、乙兩顆質地均勻的骰子共有種情況，所以，
因為甲骰子的點數小于的有，兩種情況，所以，
所以，
故選：C
14．甲、乙兩位游客慕名來到江城武漢旅游，準備分別從黃鶴樓、東湖、曇華林和歡樂谷4個著名旅游景點中隨機選擇其中一個景點游玩，記事件A：甲和乙至少一人選擇黃鶴樓，事件：甲和乙選擇的景點不同，則條件概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據獨立概率乘法公式結合條件概率公式運算求解.
【詳解】設事件M：甲選擇黃鶴樓，事件N：乙選擇黃鶴樓，
可知，
因為事件：甲和乙均沒有選擇黃鶴樓，
可得，所以，
又因為事件：甲和乙至少一人選擇黃鶴樓，且甲和乙選擇的景點不同，
自然，
所以.
故選：A.
15．若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，利用條件概率的公式即可求解.
【詳解】由，得．
因為，
所以．
故選：C．
一、單選題
1．已知，，，求（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】直接利用條件概率公式計算.
【詳解】由題可得.
故選：C.
2．已知有7件產品，其中4件正品，3件次品，每次從中隨機取出1件產品，抽出的產品不再放回，那么在第一次取得次品的條件下，第二次取得正品的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用縮小事件空間來求解.
【詳解】第一次取得次品的條件下，第二次取產品時，共有6件產品，其中4件正品，所以第二次取得正品的概率為.
故選：B.
3．一個袋子中有個紅球和個白球，這些小球除顏色外沒有其他差異從中不放回地抽取個球，每次只取個設事件“第一次抽到紅球”，“第二次抽到紅球”，則概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，求出和，進而由條件概率公式計算可得答案．
【詳解】解：根據題意，事件“第一次抽到紅球”，“第二次抽到紅球”，
則，，
則．
故選：A．
4．2023年4月5日是我國的傳統節日“清明節”.這天，王華的媽媽煮了五個青團子，其中兩個肉餡，三個豆沙餡，王華隨機拿了兩個青團子，若已知王華拿到的兩個青團子為同一種餡，則這兩個青團子都為肉餡的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據條件概率的計算公式即可求解.
【詳解】設事件A為“王華拿到的兩個青團子為同一種餡”，事件AB為“兩個青團子都為肉餡”，則事件A包含的基本事件的個數為，事件AB包含的基本事件的個數為，所以,
故選：A
5．某地病毒爆發，全省支援，需要從我市某醫院某科室的5名男醫生（含一名主任醫師）、4名女醫生（含一名主任醫師）中分別選派3名男醫生和2名女醫生，則在男主任醫師被選派的條件下，兩名主任醫師都被選派的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據組合數的計算以及條件概率的計算求得正確答案.
【詳解】在男主任醫師被選派的條件下，
兩名主任醫師都被選派的概率為.
故選：C
6．某地攤集中點在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次的概率是，連續兩天顧客量超過1萬人次的概率是，在該地攤集中點在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次的條件下，隨后一天的接納顧客量超過1萬人次概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用條件概率的定義及其概率計算公式求解即可．
【詳解】設“某天接納顧客量超過1萬人次”為事件A，“隨后一天的接納顧客量超過1萬人次” 為事件B，
則，，
所以，
故選：D．
7．某鉛筆工廠有甲，乙兩個車間，甲車間的產量是乙車間產量的1.5倍，現在客戶定制生產同一種鉛筆產品，由甲，乙兩個車間負責生產，甲車間產品的次品率為10%，乙車間的產品次品率為5%，現在從這種鉛筆產品中任取一件，則取到次品的概率為（　　）
A．0.08 B．0.06 C．0.04 D．0.02
【答案】A
【分析】先根據產量計算抽到甲車間產品和乙車間產品的概率，再由次品率分別計算抽到甲車間次品和乙車間次品的概率，最后相加即可.
【詳解】從這種鉛筆中任取一件抽到甲的概率為0.6，抽到乙的概率是0.4，
抽到甲車間次品的概率P1＝0.6×0.1＝0.06，
抽到乙車間次品的概率P2＝0.4×0.05＝0.02，
任取一件抽到次品的概率P＝P1+P2＝0.06+0.02＝0.08．
故選：A．
8．目前，國際上常用身體質量指數BMI來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對員工的BMI值調查結果顯示，男員工中，肥胖者的占比為；女員工中，肥胖者的占比為，已知公司男、女員工的人數比例為2：1，若從該公司中任選一名肥胖的員工，則該員工為男性的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出任選一名員工為肥胖者的概率和肥胖者員工為男性的概率，再根據條件概率計算即可.
【詳解】設公司男、女員工的人數分別為和，
則男員工中，肥胖者有人，
女員工中，肥胖者有人，
設任選一名員工為肥胖者為事件，肥胖者為男性為事件，
則，，
則.
故選：D.
二、多選題
9．某氣象臺統計，該地區不下雨的概率為；刮四級以上風的概率為，既刮四級以上的風又下雨的概率為，設為下雨，為刮四級以上的風，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根據條件概率的計算公式即可代入求解.
【詳解】由題意可知，
所以,,
故選：BD
10．已知隨機事件，的概率分別為，，且，則下列說法中不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由條件概率的公式對選項一一判斷即可得出答案．
【詳解】由條件概率知：，因為,，所以，故A不正確；
，，與不一定相等，所以不一定成立，故B不正確；
，，所以，故C正確；
，故D不正確．
故選：ABD．
三、填空題
11．將兩個骰子各擲一次，設事件 “二個點數都相同”， “至少出現一個5點”，則 ．
【答案】
【分析】根據條件概率的計算公式，結合組合數以及古典概型的概率計算公式，可得答案.
【詳解】，∵，，∴.
故答案：.
12．近年來，某市全力推進全國文明城市創建工作，構建良好的宜居環境，城市公園越來越多，某周末，甲、乙兩位市民準備從A公園、公園、公園、公園4個景點中隨機選擇其中一個景點游玩，記事件:甲和乙至少一人選擇公園，事件：甲和乙選擇的景點不同；易知，甲、乙兩人隨機選擇景點所有的情況有種，甲、乙兩人都不選公園的情況有種，那么，經計算可以得出條件概率 ．
【答案】
【分析】根據條件概率的定義計算．
【詳解】由題意，，
∴．
故答案為：．
四、解答題
13．盒中裝有6個同種產品，其中4個一等品，2個二等品，不放回地從中取產品，每次取1個，求：
(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；
(2)取兩次，第二次取得一等品的概率；
(3)取兩次，已知第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率.
【詳解】（1）解：根據題意，第1次取得一等品的概率為，第2次取到一等品的概率為，
根據相互獨立事件的概率公式，可得兩次都取得一等品的概率為.
（2）解：根據題意，可分為兩類情況：
①第1次取得一等品，第2次取得一等品，其概率為；
②第1次取得二等品，第2次取得一等品，其概率為，
由互斥事件的概率加法公式，可得第二次取得一等品的概率.
（3）解：設第2次取得一等品為事件，由（2）知：，
設第1次取得二等品為事件，可得，
所以所求概率為.
14．某學校高二1班有五名學生報名參加社團活動，社團活動共有“記者在線”、“機器人行動”、“音樂之聲”三個項目，每人都要報名且限報其中一項．
(1)求“每個項目都有人報名”的報名情況種數；
(2)已知其中一項目恰只有三名學生報名，求只有甲同學一人報“記者在線”的概率.
【詳解】（1）“每個項目都有人報名”，則5名學生分三組，即人數分為3，1，1或2，2，1；
故此時報名情況有種.
（2）記事件為“其中一項目恰只有三名學生報名”，事件為“只有甲同學一人報記者在線”，
事件為“其中一項目恰只有三名學生報名”，報名情況有種，
所以，
若同時發生，即其中一項目恰只有三名學生報名，且只有甲同學一人報“記者在線”，則有種，
所以，
所以.
15．作為一種益智游戲，中國象棋具有悠久的歷史，中國象棋的背后，體現的是博大精深的中華文化．為了推廣中國象棋，某地舉辦了一次地區性的中國象棋比賽，小明作為選手參加．除小明以外的其他參賽選手中，50%是一類棋手，25%是二類棋手，其余的是三類棋手．小明與一、二、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.3、0.4和0.5．
(1)從參賽選手中隨機選取一位棋手與小明比賽，求小明獲勝的概率；
(2)如果小明獲勝，求與小明比賽的棋手為一類棋手的概率．
【詳解】（1）設“小明與第i（，2，3）類棋手相遇”，
根據題意，，
記“小明獲勝”，則有，，，
由全概率公式，
小明在比賽中獲勝的概率為
，
所以小明獲勝的概率為0.375．
（2）小明獲勝時，則與小明比賽的棋手為一類棋手的概率為
，
即小明獲勝，對手為一類棋手的概率為0.4．第七章 隨機變量及其分布
第7.1.1講 條件概率
1．在具體情境中，了解條件概率的概念，并能辨別P(A|B)與P(B|A)的區別，重點培養數學抽象核心素養．
2．理解并掌握條件概率公式及其性質，會用條件概率公式解決一些簡單的實際問題，重點提升數學運算、邏輯推理核心素養．
1、利用條件概率公式求概率
2、條件概率性質的應用
3、條件概率的綜合應用
　條件概率
1．條件概率的定義
一般地，當事件B發生的概率大于0時(即P(B)＞0)，已知事件B發生的條件下事件A發生的概率，稱為條件概率，記作P(A|B)．
2．條件概率公式
(1)當P(B)＞0時，有P(A|B)＝.
(2)當P(A)＞0時，有P(B|A)＝.
(3)P(B|A)與P(A|B)意義不同，由條件概率的定義可知P(B|A)表示在事件A發生的條件下事件B發生的條件概率；而P(A|B)表示在事件B發生的條件下事件A發生的條件概率．
3．條件概率的性質
設A，B，C都是事件且P(A)＞0.
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
1．一般地，每個隨機試驗都是在一定條件下進行的，而這里所講的條件概率則是隨機試驗結果的一部分信息已知(即在原隨機試驗的條件下，再加上一定的條件)，如某一事件A已經發生，求另一事件B在此條件下發生的概率．
2．從集合角度理解條件概率
如圖，用單位矩形來表示樣本空間Ω，用矩形內封閉曲線圍成的圖形表示事件，把圖形的面積理解為相應事件的概率，設A，B是Ω的子集．
條件概率P(B|A)＝，實際上是僅局限于A事件這個范圍來考查B事件發生的概率．幾何直觀上，相當于B在A內的那部分AB在A中所占的比例．
題型1、利用條件概率公式求概率
1．拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記兩次的點數均為偶數，兩次的點數之和為8，則（ ）
A． B． C． D．
2．從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個數，則在第1次抽到奇數的條件下，第2次又抽到奇數的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．某校有7名同學獲省數學競賽一等獎，其中男生4名，女生3名．現隨機選取2名學生作“我愛數學”主題演講．假設事件為“選取的兩名學生性別相同”，事件為“選取的兩名學生為男生”，則（ ）
A． B． C． D．
4．小張 小王兩家計劃國慶節期間去遼寧游玩，他們分別從“丹東鳳凰山，鞍山千山，本溪水洞，錦州筆架山，盤錦紅海灘”這五個景點中隨機選擇一個游玩，記事件A：“兩家至少有一家選擇丹東風凰山”，事件B：“兩家選擇景點不同”.則概率（ ）
A． B． C． D．
5．已知，是一個隨機試驗中的兩個事件，若，，則等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
題型2、條件概率性質的應用
6．設，為任意兩個事件，且，，則下列選項必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
8．下列有關事件的說法正確的是（ ）
A．事件，中至少有一個發生的概率一定比，中恰有一個發生的概率大
B．若，則事件，為對立事件
C．若，為互斥事件，則
D．若事件，，滿足條件，和為互斥事件，則
9．根據某機構對失蹤飛機的調查得知：失蹤的飛機中有70%的后來被找到，在被找到的飛機中，有60%安裝有緊急定位傳送器，而未被找到的失蹤飛機中，有90%未安裝緊急定位傳送器，緊急定位傳送器是在飛機失事墜毀時發送信號，讓搜救人員可以定位的裝置.現有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，則它被找到的概率為（ ）
A． B． C． D．
10．已知1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球（白球與紅球大小、形狀、質地相同），現隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，再從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是（ ）
A． B． C． D．
題型3、條件概率的綜合應用
11．已知隨機事件，滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
12．太行山脈有很多優美的旅游景點．現有甲、乙兩位游客慕名來到太行山脈，都準備從C、D、E、F，4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩．設事件A為“甲和乙至少一人選擇C”，事件B為“甲和乙選擇的景點不同”，則條件概率（ ）
A． B． C． D．
13．拋擲甲 乙兩枚骰子，若事件：“甲骰子的點數小于”，事件：“甲 乙兩枚骰子的點數之和等于”，則（ ）
A． B． C． D．
14．甲、乙兩位游客慕名來到江城武漢旅游，準備分別從黃鶴樓、東湖、曇華林和歡樂谷4個著名旅游景點中隨機選擇其中一個景點游玩，記事件A：甲和乙至少一人選擇黃鶴樓，事件：甲和乙選擇的景點不同，則條件概率（ ）
A． B． C． D．
15．若，，，則（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．已知，，，求（ ）
A． B． C． D．1
2．已知有7件產品，其中4件正品，3件次品，每次從中隨機取出1件產品，抽出的產品不再放回，那么在第一次取得次品的條件下，第二次取得正品的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．一個袋子中有個紅球和個白球，這些小球除顏色外沒有其他差異從中不放回地抽取個球，每次只取個設事件“第一次抽到紅球”，“第二次抽到紅球”，則概率是（ ）
A． B． C． D．
4．2023年4月5日是我國的傳統節日“清明節”.這天，王華的媽媽煮了五個青團子，其中兩個肉餡，三個豆沙餡，王華隨機拿了兩個青團子，若已知王華拿到的兩個青團子為同一種餡，則這兩個青團子都為肉餡的概率為（ ）
A． B． C． D．
5．某地病毒爆發，全省支援，需要從我市某醫院某科室的5名男醫生（含一名主任醫師）、4名女醫生（含一名主任醫師）中分別選派3名男醫生和2名女醫生，則在男主任醫師被選派的條件下，兩名主任醫師都被選派的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．某地攤集中點在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次的概率是，連續兩天顧客量超過1萬人次的概率是，在該地攤集中點在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次的條件下，隨后一天的接納顧客量超過1萬人次概率是（ ）.
A． B． C． D．
7．某鉛筆工廠有甲，乙兩個車間，甲車間的產量是乙車間產量的1.5倍，現在客戶定制生產同一種鉛筆產品，由甲，乙兩個車間負責生產，甲車間產品的次品率為10%，乙車間的產品次品率為5%，現在從這種鉛筆產品中任取一件，則取到次品的概率為（　　）
A．0.08 B．0.06 C．0.04 D．0.02
8．目前，國際上常用身體質量指數BMI來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對員工的BMI值調查結果顯示，男員工中，肥胖者的占比為；女員工中，肥胖者的占比為，已知公司男、女員工的人數比例為2：1，若從該公司中任選一名肥胖的員工，則該員工為男性的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．某氣象臺統計，該地區不下雨的概率為；刮四級以上風的概率為，既刮四級以上的風又下雨的概率為，設為下雨，為刮四級以上的風，則（ ）
A． B．
C． D．
10．已知隨機事件，的概率分別為，，且，則下列說法中不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
11．將兩個骰子各擲一次，設事件 “二個點數都相同”， “至少出現一個5點”，則 ．
12．近年來，某市全力推進全國文明城市創建工作，構建良好的宜居環境，城市公園越來越多，某周末，甲、乙兩位市民準備從A公園、公園、公園、公園4個景點中隨機選擇其中一個景點游玩，記事件:甲和乙至少一人選擇公園，事件：甲和乙選擇的景點不同；易知，甲、乙兩人隨機選擇景點所有的情況有種，甲、乙兩人都不選公園的情況有種，那么，經計算可以得出條件概率 ．
四、解答題
13．盒中裝有6個同種產品，其中4個一等品，2個二等品，不放回地從中取產品，每次取1個，求：
(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；
(2)取兩次，第二次取得一等品的概率；
(3)取兩次，已知第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率.
14．某學校高二1班有五名學生報名參加社團活動，社團活動共有“記者在線”、“機器人行動”、“音樂之聲”三個項目，每人都要報名且限報其中一項．
(1)求“每個項目都有人報名”的報名情況種數；
(2)已知其中一項目恰只有三名學生報名，求只有甲同學一人報“記者在線”的概率.
15．作為一種益智游戲，中國象棋具有悠久的歷史，中國象棋的背后，體現的是博大精深的中華文化．為了推廣中國象棋，某地舉辦了一次地區性的中國象棋比賽，小明作為選手參加．除小明以外的其他參賽選手中，50%是一類棋手，25%是二類棋手，其余的是三類棋手．小明與一、二、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.3、0.4和0.5．
(1)從參賽選手中隨機選取一位棋手與小明比賽，求小明獲勝的概率；
(2)如果小明獲勝，求與小明比賽的棋手為一類棋手的概率．

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