資源簡介

第七章 隨機變量及其分布
第7.1.2講 全概率公式
1．理解并掌握乘法公式和全概率公式，并會用這兩個公式解決簡單的實際問題，重點提升數學運算核心素養．
2．理解貝葉斯公式并能簡單應用，重點培養數學建模、數據分析核心素養．
1、利用全概率公式求概率
2、利用貝葉斯公式求概率
3、綜合應用
　乘法公式
由條件概率公式P(B|A)＝可知，P(BA)＝
P(A)P(B|A)．這就是說，根據事件A發生的概率，以及已知事件A發生的條件下事件B發生的概率，可以求出A與B同時發生的概率．一般地，這個結論稱為乘法公式．
若Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(A1)＞0，P(A1A2)＞0.則P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發生時A3發生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同時發生的概率．
　全概率公式和貝葉斯公式
1．一般地，如果樣本空間為Ω，而A，B為事件，則BA與B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，從而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)．
2．全概率公式
(1)當P(A)＞0且P()＞0時，由乘法公式有
P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，
所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．這稱為全概率公式．
(2)公式推廣
定理1　若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：
①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
則對Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)．
上述公式也稱為全概率公式．n＝3時的情形可借助下圖來理解．
3．貝葉斯公式
(1)一般地，當1＞P(A)＞0且P(B)＞0時，有
P(A|B)＝＝.
這稱為貝葉斯公式．
(2)貝葉斯公式推廣
定理2　若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：
①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝＝.
上述公式也稱為貝葉斯公式．
　　　　
全概率公式是“由原因推結果”即事件B發生(結果發生)的可能性與各種情形的“作用”大小有關，而貝葉斯公式是“已知結果求原因．”即已知事件B發生條件下，探求導致B發生的每個情形的概率(如P(A1|B))．
題型1、利用全概率公式求概率
1．設某批產品中，甲、乙、丙三個車間生產的產品分別為50%，30%，20%，甲、乙車間生產的產品的次品率分別為3%，5%，現從中任取一件，若取到的是次品的概率為3.6%，則推測丙車間的次品率為（ ）
A．3% B．4% C．5% D．6%
2．小李的手機購物平臺經常出現她喜歡的商品，這是電商平臺推送的結果．假設電商平臺第一次給小李推送某商品時，她購買此商品的概率為；從第二次推送起，若前一次不購買此商品，則此次購買的概率為；若前一次購買了此商品，則此次仍購買的概率為，那么電商平臺在第2次推送時小李不購買此商品的概率為（ ）
A． B． C． D．
3．甲箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球，乙箱中有5個紅球，3個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機取出一個球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則從乙箱中取出的是紅球的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．“保護環境，綠色出行”是現代社會提倡的一種環保理念，李明早上上學的時候，可以乘坐公共汽車，也可以騎單車，已知李明騎單車的概率為0.7，乘坐公共汽車的概率為0.3，而且騎單車與乘坐公共汽車時，李明準時到校的概率分別為0.9與0.8，則李明準時到校的概率是（ ）
A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8
5．第24屆冬奧會奧運村有智能餐廳，人工餐廳，運動員甲第一天隨機地選擇一餐廳用餐，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.6；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.5，運動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型2、利用貝葉斯公式求概率
6．根據曲靖一中食堂人臉識別支付系統后臺數據分析發現，高三年級小孔同學一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現已知小孔同學周二去了食堂二樓，則周一去食堂一樓的概率為（ ）．
A． B． C． D．
7．“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發現沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發現沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．設有5個袋子中放有白球，黑球，其中1號袋中白球占，另外2，3，4，5號4個袋子中白球都占，今從中隨機取1個袋子，從所取的袋子中隨機取1個球，結果是白球，則這個球是來自1號袋子中的概率為（ ）
A． B． C． D．
9．一道考題有4個，要求學生將其中的一個正確選擇出來．某考生知道正確的概率為，而亂猜正確的概率為．在亂猜時，4個都有機會被他選擇，如果他答對了，則他確實知道正確的概率是（ ）
A． B．
C． D．
10．英國數學家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創立了貝葉斯統計理論，對于統計決策函數、統計推斷等做出了重要貢獻．根據貝葉斯統計理論，事件，，（的對立事件）存在如下關系：．若某地區一種疾病的患病率是，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病，已知該試劑的準確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現陽性，該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有5%的可能會誤報陽性．現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，用該試劑來檢驗，結果呈現陽性的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型3、綜合應用
11．三部機器生產同樣的零件，其中機器甲生產的占，機器乙生產的占，機器丙生產的占.已知機器甲、乙、丙生產的零件分別有、和不合格.三部機器生產的零件混合堆放在一起，現從中隨機地抽取一個零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)經檢驗發現取到的產品為不合格品，它是由哪一部機器生產出來的可能性大？請說明理由.
12．現有10個球，其中5個球由甲工廠生產，3個球由乙工廠生產，2個球由丙工廠生產．這三個工廠生產該類產品的合格率依次是，，．現從這10個球中任取1個球，設事件為“取得的球是合格品”，事件分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個工廠生產的”．
(1)求；
(2)求．
13．中國傳統文化中，過春節吃餃子，餃子是我國的傳統美食，不僅味道鮮美而且寓意美好.現有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的速凍餃子，已知甲箱中有3盒肉餡的“餃子”，2盒三鮮餡的“餃子”和5盒青菜餡的“餃子”,乙箱中有3盒肉餡的“餃子”，3個三鮮餡的“餃子”和4個青菜餡的“餃子”.問：
(1)從甲箱中取出一盒“餃子”是肉餡的概率是多少？
(2)若依次從甲箱中取出兩盒“餃子”，求第一盒是肉餡的條件下，第二盒是三鮮餡的概率；
(3)若先從甲箱中隨機取出一盒“餃子”放入乙箱，再從乙箱中隨機取出一盒“餃子”，從乙箱取出的“餃子”是肉餡的概率.
一、單選題
1．據美國的一份資料報道，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，人群中有80%是不吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.025%，則在美國總的來說患肺癌的概率約為（ ）
A．0.1% B．0.425% C．1% D．10%
2．某餐館在網站有200條評價，好評率為，在網站有100條評價，好評率為．綜合考慮這兩個網站的信息，這家餐館的好評率為（ ）
A． B． C． D．
3．據美國的一份資料報道，在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，則不吸煙患肺癌的概率為（ ）
A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%
4．某次考試共有4道單選題，某學生對其中3道題有思路，1道題完全沒有思路．有思路的題目每道做對的概率為0.8，沒有思路的題目，只好任意猜一個答案，猜對的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個學生2道題全做對的概率為（ ）
A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43
5．某一地區的患有癌癥的人占0.004，患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.02.現抽查了一個人，試驗反應是陽性，則此人是癌癥患者的概率約為（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
6．現有兩個袋子，第一個袋子中有2個紅球和3個黑球，第二個袋子中有1個紅球和3個黑球．隨機選擇一個袋子，然后從中隨機摸出2個球，則恰好摸出1個紅球和1個黑球的概率為（ ）
A． B． C． D．
7．重慶某高校有橘園 桃園 李園3個食堂，根據大數據統計分析，某天上午下課后，在校學生進入橘園 桃園 李園食堂的學生人數分別占，但因為各種原因，進入橘園 桃園 李園食堂的學生中有一些同學未用餐，而選擇出校就餐.其中進入橘園 桃園食堂未用餐而選擇出校就餐的學生分別占，現從在校學生中任選一位學生，若發現這位學生是出校就餐的概率為，則推測進入李園食堂中但未用餐而選擇出校用餐的學生占（ ）
A． B． C． D．
8．居民的某疾病發病率為，現進行普查化驗，醫學研究表明，化驗結果是可能存有誤差的．已知患有該疾病的人其化驗結果呈陽性，而沒有患該疾病的人其化驗結果呈陽性．現有某人的化驗結果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是（ ）
A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1
二、多選題
9．有兩個書架，第一個書架上有4本語文書，6本數學書，第二個書架上有6本語文書，4本數學書．先從第一個書架上隨機取出一本書放到第二個書架上，分別以和表示從第一個書架上取出的書是語文書和數學書的事件；再從第二個書架上隨機取出一本書，以表示第二個書架上取出的書是語文書的事件，則（ ）
A．事件與事件相互獨立 B．
C． D．
10．英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理論，隨機事件 存在如下關系：.某高校有甲 乙兩家餐廳，王同學第一天去甲 乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.6；如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.5，則王同學（ ）
A．第二天去甲餐廳的概率為0.54
B．第二天去乙餐廳的概率為0.44
C．第二天去了甲餐廳，則第一天去乙餐廳的概率為
D．第二天去了乙餐廳，則第一天去甲餐廳的概率為
三、填空題
11．甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球.先從甲箱中隨機取出一個球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則從乙箱中取出的是紅球的概率為 .
12．甲和乙兩個箱子中各裝有10個除顏色外完全相同的球，其中甲箱中有4個紅球、3個白球和3個黑球，乙箱中有5個紅球、2個白球和3個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用、和表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，用B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則
四、解答題
13．某公司有三個制造廠，全部產品的由甲廠生產，由乙廠生產，由丙廠生產，而甲、乙、丙三廠生產的不合格品率分別為．求從該公司產品中隨機抽出一件產品為不合格品的概率．
14．某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.5，乘輪船遲到的概率為0.2，乘飛機不會遲到．
(1)問這個人遲到的概率是多少
(2)如果這個人遲到了，問他乘輪船遲到的概率是多少
15．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束．設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．
(1)求投籃結束時，甲、乙各只投1個球的概率；
(2)求甲獲勝的概率；
(3)求投籃結束時，甲只投了2個球的概率．第七章 隨機變量及其分布
第7.1.2講 全概率公式
1．理解并掌握乘法公式和全概率公式，并會用這兩個公式解決簡單的實際問題，重點提升數學運算核心素養．
2．理解貝葉斯公式并能簡單應用，重點培養數學建模、數據分析核心素養．
1、利用全概率公式求概率
2、利用貝葉斯公式求概率
3、綜合應用
　乘法公式
由條件概率公式P(B|A)＝可知，P(BA)＝
P(A)P(B|A)．這就是說，根據事件A發生的概率，以及已知事件A發生的條件下事件B發生的概率，可以求出A與B同時發生的概率．一般地，這個結論稱為乘法公式．
若Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(A1)＞0，P(A1A2)＞0.則P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發生時A3發生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同時發生的概率．
　全概率公式和貝葉斯公式
1．一般地，如果樣本空間為Ω，而A，B為事件，則BA與B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，從而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)．
2．全概率公式
(1)當P(A)＞0且P()＞0時，由乘法公式有
P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，
所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．這稱為全概率公式．
(2)公式推廣
定理1　若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：
①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
則對Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)．
上述公式也稱為全概率公式．n＝3時的情形可借助下圖來理解．
3．貝葉斯公式
(1)一般地，當1＞P(A)＞0且P(B)＞0時，有
P(A|B)＝＝.
這稱為貝葉斯公式．
(2)貝葉斯公式推廣
定理2　若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：
①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝＝.
上述公式也稱為貝葉斯公式．
　　　　
全概率公式是“由原因推結果”即事件B發生(結果發生)的可能性與各種情形的“作用”大小有關，而貝葉斯公式是“已知結果求原因．”即已知事件B發生條件下，探求導致B發生的每個情形的概率(如P(A1|B))．
題型1、利用全概率公式求概率
1．設某批產品中，甲、乙、丙三個車間生產的產品分別為50%，30%，20%，甲、乙車間生產的產品的次品率分別為3%，5%，現從中任取一件，若取到的是次品的概率為3.6%，則推測丙車間的次品率為（ ）
A．3% B．4% C．5% D．6%
【答案】A
【分析】設出未知數，根據全概率公式列出方程，求出答案.
【詳解】設丙車間的次品率為，
由題知，解得.
故選：A
2．小李的手機購物平臺經常出現她喜歡的商品，這是電商平臺推送的結果．假設電商平臺第一次給小李推送某商品時，她購買此商品的概率為；從第二次推送起，若前一次不購買此商品，則此次購買的概率為；若前一次購買了此商品，則此次仍購買的概率為，那么電商平臺在第2次推送時小李不購買此商品的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用條件概率公式即可求得電商平臺在第2次推送時小李不購買此商品的概率.
【詳解】電商平臺在第2次推送時小李不購買此商品的概率為
故選：A
3．甲箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球，乙箱中有5個紅球，3個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機取出一個球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則從乙箱中取出的是紅球的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據全概率公式求得正確答案.
【詳解】依題意，從乙箱中取出的是紅球的概率為：
.
故選：D
4．“保護環境，綠色出行”是現代社會提倡的一種環保理念，李明早上上學的時候，可以乘坐公共汽車，也可以騎單車，已知李明騎單車的概率為0.7，乘坐公共汽車的概率為0.3，而且騎單車與乘坐公共汽車時，李明準時到校的概率分別為0.9與0.8，則李明準時到校的概率是（ ）
A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8
【答案】B
【分析】分別求出乘坐公共汽車和騎單車準時到校的概率，然后求和即為準時到校的概率.
【詳解】李明上學騎單車準時到校的概率為，乘坐公共汽車準時到校的概率為，因此李明準時到校的概率為：，
故選：B
5．第24屆冬奧會奧運村有智能餐廳，人工餐廳，運動員甲第一天隨機地選擇一餐廳用餐，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.6；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.5，運動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由全概率公式求解
【詳解】由題意得運動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為
故選：C
題型2、利用貝葉斯公式求概率
6．根據曲靖一中食堂人臉識別支付系統后臺數據分析發現，高三年級小孔同學一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現已知小孔同學周二去了食堂二樓，則周一去食堂一樓的概率為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用貝葉斯概率公式求解即可.
【詳解】記小孔同學周一去食堂一樓為事件A，周二去食堂一樓為事件B，
則本題所求．
故選：A．
7．“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發現沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發現沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設出事件，利用全概率公式和貝葉斯公式進行求解.
【詳解】設事件表示“小孩誠實”，事件表示“小孩說謊”，
則，，，，
則，
，
故，
故.
故選：D
8．設有5個袋子中放有白球，黑球，其中1號袋中白球占，另外2，3，4，5號4個袋子中白球都占，今從中隨機取1個袋子，從所取的袋子中隨機取1個球，結果是白球，則這個球是來自1號袋子中的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意結合貝葉斯公式求解即可.
【詳解】設事件表示“取到第號袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”，
則由貝葉斯公式得，
故選：A
9．一道考題有4個，要求學生將其中的一個正確選擇出來．某考生知道正確的概率為，而亂猜正確的概率為．在亂猜時，4個都有機會被他選擇，如果他答對了，則他確實知道正確的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據全概率公式，結合貝葉斯公式進行求解即可.
【詳解】[設A＝“考生答對”，B＝“考生知道正確”，
由全概率公式：
．
又由貝葉斯公式： ．
故選：B
10．英國數學家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創立了貝葉斯統計理論，對于統計決策函數、統計推斷等做出了重要貢獻．根據貝葉斯統計理論，事件，，（的對立事件）存在如下關系：．若某地區一種疾病的患病率是，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病，已知該試劑的準確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現陽性，該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有5%的可能會誤報陽性．現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，用該試劑來檢驗，結果呈現陽性的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據貝葉斯概率公式計算即可.
【詳解】設用該試劑檢測呈現陽性為事件，被檢測者患病為事件，未患病為事件，
則，，，，
故所求概率．
故選：A.
題型3、綜合應用
11．三部機器生產同樣的零件，其中機器甲生產的占，機器乙生產的占，機器丙生產的占.已知機器甲、乙、丙生產的零件分別有、和不合格.三部機器生產的零件混合堆放在一起，現從中隨機地抽取一個零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)經檢驗發現取到的產品為不合格品，它是由哪一部機器生產出來的可能性大？請說明理由.
【詳解】（1）取到的是不合格品的概率為：
.
（2）取到的產品為不合格品，
它是機器甲生產的概率為，
它是機器乙生產的概率為，
它是機器甲生產的概率為，
所以它是機器乙生產的概率最大.
12．現有10個球，其中5個球由甲工廠生產，3個球由乙工廠生產，2個球由丙工廠生產．這三個工廠生產該類產品的合格率依次是，，．現從這10個球中任取1個球，設事件為“取得的球是合格品”，事件分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個工廠生產的”．
(1)求；
(2)求．
【詳解】（1）依題意，.
（2）依題意，，
由（1）知，
由全概率公式得
.
13．中國傳統文化中，過春節吃餃子，餃子是我國的傳統美食，不僅味道鮮美而且寓意美好.現有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的速凍餃子，已知甲箱中有3盒肉餡的“餃子”，2盒三鮮餡的“餃子”和5盒青菜餡的“餃子”,乙箱中有3盒肉餡的“餃子”，3個三鮮餡的“餃子”和4個青菜餡的“餃子”.問：
(1)從甲箱中取出一盒“餃子”是肉餡的概率是多少？
(2)若依次從甲箱中取出兩盒“餃子”，求第一盒是肉餡的條件下，第二盒是三鮮餡的概率；
(3)若先從甲箱中隨機取出一盒“餃子”放入乙箱，再從乙箱中隨機取出一盒“餃子”，從乙箱取出的“餃子”是肉餡的概率.
【詳解】（1）設事件“取出餃子是肉餡”，，
（2）設事件“甲箱中取出的第一盒餃子是肉餡”，
事件“取出第二個盒餃子是三鮮餡”，
（3）設事件“從乙箱取出的“餃子”是肉餡”.
設事件，，分別是甲箱中取出肉餡的“餃子”，三鮮餡的“餃子”和青菜餡的“餃子”，
一、單選題
1．據美國的一份資料報道，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，人群中有80%是不吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.025%，則在美國總的來說患肺癌的概率約為（ ）
A．0.1% B．0.425% C．1% D．10%
【答案】A
【分析】根據全概率公式求得正確答案.
【詳解】依題意，在美國總的來說患肺癌的概率約為：
.
故選：A
2．某餐館在網站有200條評價，好評率為，在網站有100條評價，好評率為．綜合考慮這兩個網站的信息，這家餐館的好評率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據已知數據直接計算可得.
【詳解】解：由已知可得這家餐館的好評率為.
故選:C.
3．據美國的一份資料報道，在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，則不吸煙患肺癌的概率為（ ）
A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%
【答案】A
【分析】根據全概率公式求得正確答案.
【詳解】設不吸煙患肺癌的概率為，
則，
解得.
故選：A
4．某次考試共有4道單選題，某學生對其中3道題有思路，1道題完全沒有思路．有思路的題目每道做對的概率為0.8，沒有思路的題目，只好任意猜一個答案，猜對的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個學生2道題全做對的概率為（ ）
A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43
【答案】C
【分析】根據排列組合以及概率的乘法公式即可求解.
【詳解】設事件表示“兩道題全做對”，
若兩個題目都有思路，則,
若兩個題目中一個有思路一個沒有思路，則，
故,
故選：C
5．某一地區的患有癌癥的人占0.004，患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.02.現抽查了一個人，試驗反應是陽性，則此人是癌癥患者的概率約為（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
【答案】A
【分析】根據貝葉斯公式求得正確答案.
【詳解】此人是癌癥患者的概率為.
故選：A
6．現有兩個袋子，第一個袋子中有2個紅球和3個黑球，第二個袋子中有1個紅球和3個黑球．隨機選擇一個袋子，然后從中隨機摸出2個球，則恰好摸出1個紅球和1個黑球的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據全概率公式求得，，，再進行計算即可.
【詳解】設“選到第一個袋子”為事件，“選到第二個袋子”為事件，“隨機摸出2個球，
恰好摸出1個紅球和1個黑球”為事件，
則，，，
所以．
故選：C．
7．重慶某高校有橘園 桃園 李園3個食堂，根據大數據統計分析，某天上午下課后，在校學生進入橘園 桃園 李園食堂的學生人數分別占，但因為各種原因，進入橘園 桃園 李園食堂的學生中有一些同學未用餐，而選擇出校就餐.其中進入橘園 桃園食堂未用餐而選擇出校就餐的學生分別占，現從在校學生中任選一位學生，若發現這位學生是出校就餐的概率為，則推測進入李園食堂中但未用餐而選擇出校用餐的學生占（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據條件，利用全概率公式即可求出結果.
【詳解】設A表示學生進入橘園 桃園 李園食堂而外出就餐人數，分別表示學生進入橘園 桃園 李園食堂人數，由全概率公式：
得到，解得，
故選：D.
8．居民的某疾病發病率為，現進行普查化驗，醫學研究表明，化驗結果是可能存有誤差的．已知患有該疾病的人其化驗結果呈陽性，而沒有患該疾病的人其化驗結果呈陽性．現有某人的化驗結果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是（ ）
A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1
【答案】C
【分析】記事件某人患病，事件化驗結果呈陽性，利用全概率公式求出的值，再利用條件概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】記事件某人患病，事件化驗結果呈陽性，
由題意可知，，，
所以，
，
現在某人的化驗結果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是：
.
故選：C.
二、多選題
9．有兩個書架，第一個書架上有4本語文書，6本數學書，第二個書架上有6本語文書，4本數學書．先從第一個書架上隨機取出一本書放到第二個書架上，分別以和表示從第一個書架上取出的書是語文書和數學書的事件；再從第二個書架上隨機取出一本書，以表示第二個書架上取出的書是語文書的事件，則（ ）
A．事件與事件相互獨立 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】對選項A：根據事件的獨立性概念判斷即可；對B，根據條件概率公式求解即可；對C，根據全概率公式求解即可；對D，根據條件概率公式求解即可.
【詳解】對選項A：發生時B發生的概率是，不發生時B發生的概率是，由事件的獨立性概念知，事件與事件B不相互獨立，A錯誤；
對選項B：，B正確；
對選項C：，C正確；
對選項D：，D正確；
故選：BCD．
10．英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理論，隨機事件 存在如下關系：.某高校有甲 乙兩家餐廳，王同學第一天去甲 乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.6；如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.5，則王同學（ ）
A．第二天去甲餐廳的概率為0.54
B．第二天去乙餐廳的概率為0.44
C．第二天去了甲餐廳，則第一天去乙餐廳的概率為
D．第二天去了乙餐廳，則第一天去甲餐廳的概率為
【答案】AC
【分析】根據題中所給的公式進行逐一判斷即可.
【詳解】設:第一天去甲餐廳，:第二天去甲餐廳，
:第一天去乙餐廳，:第二天去乙餐廳，
所以，，，
因為，
所以，
所以有,
因此選項A正確, ，因此選項B不正確；
因為，所以選項C正確；
，所以選項D不正確，
故選：AC
三、填空題
11．甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球.先從甲箱中隨機取出一個球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則從乙箱中取出的是紅球的概率為 .
【答案】
【分析】令事件，，分別為“從甲箱中取出一個球是紅球、白球、黑球”，根據條件和相應的概率，再求出從乙箱中取出的是紅球的概率即可.
【詳解】令事件為“從甲箱中取出一個球是紅球”，
事件為“從甲箱中取出一個球是白球”，
事件為“從甲箱中取出一個球是黑球”，
事件為“從乙箱中取出一個球是紅球”，
則，，，
所以.
故答案為：
12．甲和乙兩個箱子中各裝有10個除顏色外完全相同的球，其中甲箱中有4個紅球、3個白球和3個黑球，乙箱中有5個紅球、2個白球和3個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用、和表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，用B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則
【答案】
【分析】由題設求出，，，利用全概率公式、條件概率公式進行求解即可．
【詳解】由題意得，，，
若發生，此時乙箱中有6個紅球，2個白球和3個黑球，則，
先發生，此時乙箱中有5個紅球，3個白球和3個黑球，則，
先發生，此時乙箱中有5個紅球，2個白球和4個黑球，則．
，
；
.
故答案為：
四、解答題
13．某公司有三個制造廠，全部產品的由甲廠生產，由乙廠生產，由丙廠生產，而甲、乙、丙三廠生產的不合格品率分別為．求從該公司產品中隨機抽出一件產品為不合格品的概率．
【詳解】設=“抽到甲廠的產品”，=“抽到乙廠的產品”，=“抽到丙廠的產品”，B=“抽到不合格品”，
則，，兩兩互斥，且．
于是．
由題意可知，，兩兩互斥，因而有
．
又，，，
，，，
所以
．
14．某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.5，乘輪船遲到的概率為0.2，乘飛機不會遲到．
(1)問這個人遲到的概率是多少
(2)如果這個人遲到了，問他乘輪船遲到的概率是多少
【詳解】（1）設D表示“這個人遲到”，A表示“他乘火車”，B表示“他乘輪船”，C表示“他乘飛機”，則．
由全概率公式，得，
由題意可得：，，，，
，
所以這個人遲到的概率．
（2）由題意可知：，
所以可得如果這個人遲到了，他乘輪船遲到的概率是．
15．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束．設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．
(1)求投籃結束時，甲、乙各只投1個球的概率；
(2)求甲獲勝的概率；
(3)求投籃結束時，甲只投了2個球的概率．
【詳解】（1）設，分別表示甲、乙在第次投籃投中，
則，，，2，．
記“投籃結束時，甲、乙各只投1個球”為事件，
投籃結束時，甲、乙各只投1個球，則第一次甲投，未投中，第二次乙投，投中了，所以概率為
（2）記“甲獲勝”為事件，
由互斥事件有一個發生的概率與相互獨立事件同時發生的概率計算公式知：
（3）記甲投中的次數為，

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