資源簡介

3.3.2 拋物線的簡單幾何性質【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.拋物線的幾何性質及其應用，培養直觀想象、邏輯推理和數學運算素養，如第1題、第6題、第8題；
2.由拋物線的幾何性質求標準方程，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第2題、第5題、第12題、第13題；
3.直線與拋物線的位置關系，培養邏輯推理、直觀想象和數學運算能力，如第3題、第4題、第7題、第9題、第10題、第11題、第14題；
一、填空題
1．拋物線的頂點坐標為 ．
（2023·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學校考七中）
2．拋物線C與拋物線關于軸對稱，則拋物線C的準線方程是 .
3．直線和拋物線的一個交點是（1，2），則拋物線的焦點到此直線的距離等于 ．
（2024·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州第十中學期末）
4．過拋物線的焦點且與對稱軸垂直的弦長為 .
5．若三個點中恰有兩個點在拋物線上，則該拋物線的方程為 .
（2023上·陜西漢中·高二校聯考期中）
6．拋物線的焦點為，第一象限的點在上，且，則的坐標是 ．
（2023下·寧夏吳忠·高二吳忠中學校考期中）
7．已知過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，則 .
8．正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線上，則這個三角形的邊長是 ．
（2023·河南安陽·高二期中）
9．已知拋物線與圓交于A，B兩點，則 ．
（2024上·遼寧·高二遼寧實驗中學校聯考期末）
10．已知點和拋物線，則過點A且與拋物線相切的直線的方程為 .
二、解答題
11．①為拋物線上的點，且；②焦點到準線的距離是1．在這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并求解．
已知拋物線的焦點為，______，若直線與拋物線相交于A、兩點，求弦長．
（2024上·湖南長沙·高二期末）
12．如圖，拋物線的頂點在坐標原點，圓的圓心是拋物線的焦點，直線過拋物線的焦點且斜率為2，直線交拋物線和圓依次于四點．
(1)求拋物線的方程；
(2)求的值．
（2023上·江蘇連云港·高二校聯考期中）
13．平面內動點到點的距離與到直線距離相等.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)設過點的直線交動點的軌跡于兩點，求值.
（2024上·陜西榆林·高二統考期末）
14．已知拋物線：（）的焦點關于其準線的對稱點為.
(1)求拋物線的方程；
(2)若為坐標原點，過焦點且斜率為1的直線交拋物線于、兩點，求的面積.
【易錯題目】第6題、第8題
【復盤要點】忽視拋物線幾何性質中的隱含條件致誤
（2024上·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考期末）
【典例】已知等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上，則這個等邊三角形的邊長為 .
【答案】6
【分析】設等邊三角形邊長為a，根據拋物線的對稱性以及等邊三角形的對稱性，表示出頂點A的坐標，代入拋物線方程，即可求得答案.
【解析】由題意可知等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上，則另兩個頂點關于x軸對稱，不妨設如圖示：
設等邊三角形邊長為a，則A點橫坐標為，
則，代入得，
解得（舍），
故等邊三角形的邊長為6，
故答案為：6
易錯警示：拋物線的幾何性質在解與拋物線有關的問題時具有廣泛的應用，但是在解題的過程中又容易忽視這些隱含的條件．在拋物線的幾何性質中，應用最廣泛的是范圍、對稱性等，在解題時，需挖掘相關隱含條件．
【復盤訓練】
（2024上·江蘇鎮江·高二江蘇省鎮江第一中學校期末）
15．如圖所示，等邊三角形的邊長為，且其三個頂點均在拋物線上，則拋物線的方程為 ．
（2023·四川·高二成都七中校考期中）
16．是拋物線上的兩點，為坐標原點.若，且的面積為，則 ．
17．已知正（O為坐標原點）的頂點在拋物線上，則的邊長等于 ．
（2023·浙江溫州·高二校聯考期中）
18．拋物線的準線方程為 ，若F為拋物線的焦點，M為拋物線上的點，三角形MFO的面積為2（O為坐標原點），則= .
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．
【分析】將拋物線化成標準式，即可得到其頂點坐標.
【詳解】解：拋物線，即，頂點坐標為；
故答案為：
2．
【分析】由題意求得拋物線C的方程，即可得出拋物線C的準線方程.
【詳解】因為拋物線C與拋物線關于軸對稱，
所以拋物線C的方程為，
則拋物線C的準線方程是.
故答案為：.
3．
【分析】根據交點可求出，再根據點到直線的距離公式即可解出．
【詳解】由題意可知，，解得，，解得，所以拋物線的焦點到此直線的距離等于．
故答案為：．
4．2
【分析】求出過拋物線的焦點且與x軸垂直的直線，再求出它與拋物線交點坐標即可得解.
【詳解】拋物線的焦點，對稱軸是x軸，
經過點F垂直于x軸的直線l：，
由得或，于是得直線l：與拋物線二交點，，
所以所求弦長為2.
故答案為：2
5．
【分析】根據拋物線的對稱性即可知在上，代入求p，寫出拋物線方程即可.
【詳解】由拋物線的對稱性知：在上，
∴，可得，即拋物線的方程為.
故答案為：.
6．
【分析】根據點在拋物線上且到的距離為，可列出方程，求得的值便可求得坐標.
【詳解】解：由題意得：設點的坐標為，故
點的坐標為
，解得
又在第一象限
，，即點的坐標為
故答案為：
7．10
【分析】根據拋物線的定義可得焦點弦長公式為，代入即可.
【詳解】根據拋物線的定義可得，所以.
故答案為：10.
8．
【分析】根據正三角形和拋物線的對稱性求得正三角形的邊長.
【詳解】設正三角形的頂點，邊長為，
由于正三角形的兩個頂點在拋物線上，
根據正三角形和拋物線的對稱性可設，
將點坐標代入拋物線得.
所以正三角形的邊長為.
故答案為：
9．4
【分析】先聯立拋物線與圓求出A，B橫坐標，再代入拋物線求出縱坐標即可求解.
【詳解】由拋物線與圓的性質易得A，B橫坐標相等且大于0，
聯立，得，解得或（舍去），
則，將代入可得，則.
故答案為：.
10．或
【分析】分直線斜率不存在和斜率存在兩種情況，結合根的判別式得到方程，求出答案.
【詳解】當過的直線斜率不存在時，方程為，與相切，滿足要求，
當過的直線斜率存在時，設切線方程為，聯立得，
，
令，解得，
故，即.
故答案為：或
11．．
【分析】若選①：根據焦半徑公式即可求出p，從而求出拋物線方程，聯立拋物線方程和直線方程，根據韋達定理和弦長公式即可求；若選②：根據拋物線定義可知拋物線焦點到準線的距離為p，由此可求拋物線方程，從而采用和選①時相同的方法可求．
【詳解】若選①：
在拋物線上，且，
，則p＝1；
若選②：
∵焦點到準線的距離是1，∴p＝1；
故拋物線的方程為．
聯立，可得，
設，，則，，
．
12．(1)拋物線方程為．
(2)．
【分析】（1）根據拋物線的性質求拋物線的標準方程.
（2）利用，分別求出、的長度即可.
【詳解】（1）解：（1）由圓的方程，即可知，圓心為，半徑為2，又由拋物線焦點為已知圓的圓心，得到拋物線焦點為，拋物線方程為．
（2）
∵ 為已知圓的直徑
∴ ，則
設、，
∵ ，而、在拋物線上，
由已知可知，直線方程為，
由消去，得
∴
∴
因此，．
13．(1)
(2)
【分析】（1）利用拋物線的定義可得答案；
（2）設出直線方程，聯立，結合韋達定理可得答案.
【詳解】（1）因為點到點的距離與到直線距離相等，
所以動點的軌跡是以為焦點的拋物線，其方程為.
（2）設直線的方程為，
聯立，得，
，.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）求出拋物線的焦點坐標及準線方程，再結合已知列式求解即得.
（2）求出直線的方程，與拋物線的方程聯立，結合韋達定理求出三角形面積得解.
【詳解】（1）拋物線：的焦點關于其準線的對稱點為，
于是，解得：，
所以拋物線的方程為.
（2）由（1）知，直線的方程為，設，，
由消去x得：，則，
所以的面積.
15．
【分析】由已知可知，，，代入點即可得解.
【詳解】因為等邊三角形的邊長為，且其三個頂點都在拋物線上
所以，，，
所以，解得
所以拋物線的方程為：
故答案為：
16．
【分析】由題可設，，利用的面積算出，再結合圖形求出.
【詳解】如圖所示，

∵，知兩點關于軸對稱，
設，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案為：.
17．
【分析】設△AOB的邊長為a，先設出A點坐標，再代入拋物線方程，解得a，即得結果.
【詳解】由拋物線及等邊三角形的對稱性可知，如圖所示，
設△AOB的邊長為a，則A，
因為點A在拋物線上，
所以，解得：a＝.
故答案為：.
18． 5
【分析】對于第一空，由拋物線標準方程可得準線方程；
對于第二空，由題可得，又由三角形MFO的面積為2可得坐標，繼而可得.
【詳解】對于第一空，的準線方程為，即；
對于第二空，由可知 ，又三角形MFO的面積為2，
則，又，
得.取，代入，得，則.
根據拋物線定義有.
故答案為：；5
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁3.3.2 拋物線的簡單幾何性質【第一課】
[課標要求]
1.掌握拋物線的圖形和簡單幾何性質.
2.能運用性質解決與拋物線有關的問題.
[明確任務]
1.應用拋物線的幾何性質解決相關弦問題. （數學建模）
2.直線與拋物線的位置關系問題. （數學建模、數學運算）
1.橢圓及雙曲線的標準方程及其幾何性質
2.一元二次函數、方程及不等式
核心知識點1 拋物線的簡單幾何性質
類型 y2＝2px（p＞0） y2＝－2px（p＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0）
圖形
性 質 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
對稱軸 x軸 y軸
頂點 O（0，0）
離心率 e＝1
開口 方向 向右 向左 向上 向下
提示　（1）拋物線沒有漸近線，在畫圖時不要把拋物線畫成雙曲線一支的形狀，因為雙曲線的開口越來越開闊，而拋物線的開口越來越扁平.
（2）拋物線的頂點只有一個，拋物線的焦點總在對稱軸上，拋物線的準線始終與對稱軸垂直.
例1.已知拋物線的對稱軸在坐標軸上，以原點為頂點，且經過點M（1，－2）.求拋物線的標準方程和準線方程、焦點坐標、對稱軸及離心率.
【解析】當拋物線的焦點在x軸上時，
設其標準方程為y2＝mx（m≠0）.
將點M（1，－2）代入，得m＝4.
∴拋物線的標準方程為y2＝4x；
當拋物線的焦點在y軸上時，
設其標準方程為x2＝ny（n≠0）.
將點M（1，－2）代入，得n＝－.
∴拋物線的標準方程為x2＝－y，
故所求的拋物線的標準方程為
y2＝4x或x2＝－y.
準線方程分別為x＝－1或y＝；
焦點坐標分別為（1，0）或；
對稱軸分別為x軸或y軸；
離心率e都為1.
歸納總結 把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質
（1）開口：由拋物線的標準方程看圖象開口，關鍵是看準一次項是x還是y，一次項的系數是正還是負.
（2）關系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸.
（3）定值：焦點到準線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦（又稱為通徑）長為2p；離心率恒等于1.
【舉一反三】
1．邊長為1的等邊，O為坐標原點，x軸，以O為頂點且過的拋物線方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若拋物線上一點M到準線及對稱軸的距離分別為10和6，則其標準方程為 ．
3．已知拋物線y2＝8x.
(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準線、對稱軸、變量x的范圍；
(2)以坐標原點O為頂點，作拋物線的內接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點F是△OAB的重心，求△OAB的周長．
核心知識點2 拋物線中焦點弦問題
1.拋物線的焦點弦公式
標準方程 y2＝2px（p>0） y2＝－2px（p>0） x2＝2py（p>0） x2＝－2py（p>0）
圖形
焦點弦 x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2
2.當焦點弦垂直于對稱軸時，其長度為2p，為最短焦點弦長，稱為通徑.
例2. 已知直線l經過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點.
（1）若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；
（2）若|AB|＝9，求線段AB的中點M到準線的距離.
【解析】 （1）法一　因為直線l的傾斜角為60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝，
又F.
所以直線l的方程為y＝.
聯立
消去y得x2－5x＋＝0.
若設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8.
法二　由拋物線方程y2＝6x，得p＝3
又直線l過焦點且傾斜角為60°，
則|AB|＝＝＝8.
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），由拋物線定義知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，
于是線段AB的中點M的橫坐標是3，
又準線方程是x＝－，
所以中點M到準線的距離等于3＋＝.
歸納總結 利用拋物線的性質可以解決的問題
（1）對稱性：解決拋物線的內接三角形問題.
（2）焦點、準線：解決與拋物線的定義有關的問題.
（3）范圍：解決與拋物線有關的最值問題.
（4）焦點弦：解決焦點弦問題.
【舉一反三】
4．已知點（x，y）在拋物線y2=4x上，則的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
5．斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則= ．
6．正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線()上，求這個正三角形的邊長.
核心知識點3 直線與拋物線的位置關系
直線與拋物線位置關系的判斷方法
設l：y＝kx＋b，拋物線：y2＝2px（p＞0），將直線方程與拋物線方程聯立消元得k2x2＋（2kb－2p）x＋b2＝0.
①若k2＝0，直線與拋物線有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.
②若k2≠0，當Δ＞0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；
當Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點；
當Δ＜0時，直線與拋物線相離，無公共點.
提示　（1）直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
（2）研究直線與拋物線的關系時要注意直線斜率不存在的情況.
例3. 已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點.
【解析】聯立消去y，
得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.（*）
當k＝0時，（*）式只有一個解x＝，
∴直線l：y＝1與C只有一個公共點，
此時直線l平行于x軸.
當k≠0時，（*）式是一個一元二次方程，
Δ＝（2k－4）2－4k2＝16（1－k）.
①當Δ>0，即k<1，且k≠0時，
l與C有兩個公共點，此時直線l與C相交；
②當Δ＝0，即k＝1時，l與C有一個公共點，此時直線l與C相切；
③當Δ<0，即k>1時，l與C沒有公共點，此時直線l與C相離.
綜上所述，當k＝1或0時，l與C有一個公共點；
當k<1，且k≠0時，l與C有兩個公共點；
當k>1時，l與C沒有公共點.
歸納總結： 判斷直線與拋物線位置關系的方法：聯立方程消元，當二次項系數不等于零時，用判別式Δ來判定，當二次項系數等于0時，直線與拋物線相交于一點.
【舉一反三】
7．已知直線及拋物線，則（ ）
A．直線與拋物線有一個公共點 B．直線與拋物線有兩個公共點
C．直線與拋物線有一個或兩個公共點 D．直線與拋物線可能沒有公共點
8．已知拋物線方程為，若過點的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是 .
核心知識點4 直線與拋物線的綜合
例4 設點P（x，y）（y≥0）為平面直角坐標系xOy內的一個動點（其中O點為坐標原點），點P到定點M（0，）的距離比點P到x軸的距離大.
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若直線l：y＝kx＋1與點P的軌跡相交于A，B兩點，且|AB|＝2，求實數k的值.
【解析】（1）過點P作x軸的垂線且垂足為點N，
則|PN|＝y，由題意知|PM|－|PN|＝，∴＝y＋，
化簡得x2＝2y.
故點P的軌跡方程為x2＝2y.
（2）由題意設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立
消去y化簡得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·＝·＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，
∴k2＝1，∴k＝±1.
歸納總結：1.凡涉及拋物線與直線的綜合，應注意利用根與系數的關系，設而不求，能避免繁雜的計算.
2.求解范圍問題的方法
求范圍問題的關鍵是建立求解關于某個變量的目標函數，通過求這個函數值域確定目標的范圍，要特別注意變量的取值范圍.
3.求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
【舉一反三】
9．斜率為的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，則 ；
10．已知過點的動直線l與拋物線相交于兩點.當直線l的斜率是時，.
(1)求拋物線G的方程；
(2)設線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍.
11．拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
12．已知直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相離 D．相交或相切
13．設圓C與圓外切，與直線y=0相切，則C的圓心軌跡為（ ）
A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓
14．以x軸為對稱軸的拋物線的通徑（過焦點且與對稱軸垂直的弦）長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程可以為（　　）
A． B．
C． D．
15．已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，則 .
16．為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積 ．
17．直線與拋物線有且只有一個公共點，則 .
18．過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A,B兩點，若線段AB的長為8，則P= .
19．已知A，B是拋物線為定值上兩點，O為坐標原點，若，且的垂心恰是此拋物線的焦點，求直線AB的方程.
20．已知拋物線與直線相交于A、B兩點．
(1)求證：；
(2)當的面積等于時，求k的值．
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．C
【分析】利用題意得到拋物線上點的坐標，待定系數法求解參數即可.
【詳解】設拋物線方程為.設，
由題意得，，解得，，
取點A在x軸上方，故，代入拋物線中，則有，
解得，所以拋物線方程為.
故選：C
2．或
【分析】點M到對稱軸的距離為6，可設點M的坐標為．結合點M到準線的距離為10列方程可解得或，進而可得結果．
【詳解】點M到對稱軸的距離為6，
∴不妨設點M的坐標為．
又∵點M到準線的距離為10，
∴
解得或
故當點M的橫坐標為9時，拋物線方程為；
當點M的橫坐標為1時，拋物線方程為．
故答案為：或
【點睛】本題考查了拋物線的標準方程及其性質，意在考查對基礎知識的掌握情況，屬于基礎題．
3．（1）見解析； （2）2 ＋4 .
【分析】（1）由拋物線的簡單幾何性質易得結果；(2) 由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，又焦點F是△OAB的重心，則|OF|＝ |OM|=2. 設A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周長．
【詳解】(1)拋物線y2＝8x的頂點、焦點、準線、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，
x＝－2，x軸，x≥0.
(2)如圖所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點M，
又焦點F是△OAB的重心，則|OF|＝ |OM|.
因為F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3.
所以M(3,0)．故設A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24.
所以m＝2或m＝－2.
所以A(3,2)，B(3，－2)．
所以|OA|＝|OB|＝ .
所以△OAB的周長為2＋4.
【點睛】本題考查了拋物線簡單性質的應用，解題關鍵利用好三角形重心的性質，屬于中檔題.
4．B
【分析】將拋物線方程代入，利用二次函數的性質配方即可求最值.
【詳解】因為點(x，y)在拋物線y2=4x上，所以x≥0，
因為z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，
所以當x=0時，z最小，最小值為3.
故選：B.
5．
【分析】先根據拋物線的方程求得拋物線焦點坐標，利用點斜式得直線方程，與拋物線方程聯立消去y并整理得到關于x的二次方程，接下來可以利用弦長公式或者利用拋物線定義將焦點弦長轉化求得結果.
【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標為，
又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：
代入拋物線方程消去y并化簡得，
解法一：解得
所以
解法二：
設，則,
過分別作準線的垂線，設垂足分別為如圖所示.
故答案為：
【點睛】本題考查拋物線焦點弦長，涉及利用拋物線的定義進行轉化，弦長公式，屬基礎題.
6．
【分析】設另外兩個頂點的坐標分別為、，由圖形的對稱性可以得到，解此方程得到的值，從而可得結果.
【詳解】設正三角形的頂點、在拋物線上，且設點、，

則，，
又，∴，即，
∴，又∵，，，
∴，由此可得，即線段關于軸對稱，
∵軸垂直于，且，
∴，
∵，
∴，
∴.
7．C
【分析】求出直線系經過的定點，對分類討論，判斷點與拋物線的位置關系，即可推出結果.
【詳解】直線，直線過定點．
當時，直線與拋物線有一個公共點，即頂點；
當時，點在拋物線的內部，所以直線與拋物線有兩個公共點，
綜上所述，直線與拋物線有一個或兩個公共點.
故選：.
【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
8．
【分析】設出的方程，并與拋物線方程聯立，結合判別式求得正確答案.
【詳解】依題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，
由消去并化簡得①，
當時，①可化為，此時，即直線與拋物線相交于.
當時，由于①有解，
所以，
即，解得且.
綜上所述，直線l的斜率的取值范圍是.
故答案為：
9．10
【分析】聯立直線方程與拋物線方程，然后利用拋物線的焦點弦公式求解弦長即可.
【詳解】設，，則對于拋物線，焦點弦長．
因為拋物線的焦點坐標為，，
所以直線AB的方程為，即，
將代入拋物線方程，得，
從而，所以．
【點睛】本題主要考查拋物線的焦點弦公式，函數與方程的數學思想，數形結合的數學思想，拋物線的定義及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
10．(1).
(2).
【分析】（1）分析題意，利用平面向量的坐標表示求解方程即可.
（2）將b表示為一元函數，求解值域即可.
【詳解】（1）設，，
由題意知直線l的方程為
由得，
∴，
又∵，，
∴，
結合已求內容及，
解得，
則拋物線G的方程為.
（2）
由題意設，的中點坐標為，
由得，
，.
∴線段的中垂線方程為，
∴線段BC的中垂線在y軸上的截距為.
對于方程，
由得或.
此時易知.
11．B
【分析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.
【詳解】拋物線的焦點坐標為，
其到直線的距離：，
解得：(舍去).
故選：B.
12．D
【分析】根據直線和拋物線只有一個公共點確定正確答案.
【詳解】直線與拋物線的對稱軸平行或與拋物線相切時有一個公共點，
所以D選項正確.
故選：D
13．A
【分析】由動圓與定圓相外切可得兩圓圓心距與半徑的關系，然后利用圓與直線相切可得圓心到直線的距離與半徑的關系，借助等量關系可得動點滿足的條件，即可的動點的軌跡．
【詳解】設C的坐標為（x，y），圓C的半徑為r，
圓的圓心為A，
∵圓C與圓外切，
與直線y=0相切，∴|CA|=r+1，C到直線y=0的距離d=r
∴|CA|=d+1，即動點C定點A的距離等于到定直線y=﹣1的距離
由拋物線的定義知：C的軌跡為拋物線．
故選：A.
點評：本題考查了圓的切線，兩圓的位置關系及拋物線的定義，動點的軌跡的求法，是個基礎題．
14．AB
【分析】由題意設、，根據已知可得，即可得拋物線方程.
【詳解】由題意，若，則焦點為，故，所以，即；
若，則焦點為，故，所以，即；
綜上，，則.
故選：AB
15．
【分析】利用拋物線的對稱性得到，從而得解.
【詳解】因為拋物線關于軸對稱，直線與軸垂直，
故，即.
故答案為：.
16．
【分析】先由拋物線方程得到焦點坐標，設，根據，求出點坐標，再由的面積為，即可求出結果.
【詳解】拋物線的方程為， ，可得，得焦點
設,根據拋物線的定義，得，
即，解得，
點在拋物線上，得n2=4×3=24
,
，
的面積為．
故答案為．
【點睛】本題主要考查拋物線中三角形的面積問題，熟記拋物線的定義與性質即可，屬于常考題型.
17．0或1
【分析】當時，直線為，與拋物線對稱軸平行，故只有一個交點，當時，將代入拋物線，用判別式法求解.
【詳解】當時，直線為，與拋物線只有一個交點，
當時，將代入拋物線，
得：，
因為直線與拋物線有且只有一個公共點，
所以，
解得，
綜上：或
故答案為：0或1
【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系的應用，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.
18．2
【詳解】設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且傾斜角為45°的直線方程為y＝x－，把y＝x－代入y2＝2px，得x2－3px＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2．
19．
【分析】設點，則點，由解出即可.
【詳解】如圖，設點，由，可知點，

∵是的垂心，∴，則，
即·＝－1．
∴，又∵，
∴．
∴直線AB的方程為．
20．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意，將證明轉化為證即可；
（2）根據題意，由利用面積建立關于k的方程，然后代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）由方程與聯立，消去后，整理得．
由題意易知，且，
設，由韋達定理，，
在拋物線上，，
則，.
∴．
（2）
設直線與軸交于N，又顯然，令，則，即，
又，
，且，
則，解得.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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