資源簡介

5.1.1變化率問題+5.1.2導數的概念及其幾何意義 第三練 能力提升拔高
5.1.1變化率問題 5.1.2導數的概念及其幾何意義
第三練 能力提升拔高
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的.
【目標分析】
能夠靈活應用導數的概念、導數的幾何意義求解相關問題，培養直觀想象，數學運算，如第1，5，10，11題.
一、單選題
1．若曲線在點處的切線方程為，那么(　)
A． B．
C． D．不確定
2．若函數由至的平均變化率的取值范圍是，則的取值范圍為
A． B．
C． D．
3．物體甲、乙在時間到范圍內，路程的變化情況如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在到范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在到范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度
4．函數的圖象如下圖，則函數在下列區間上平均變化率最大的是
A． B． C． D．
5．已知函數在上有導函數， 圖象如圖所示，則下列不等式正確的是（　 ）
A． B．
C． D．
6．設P為曲線C：上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍是，則點P橫坐標的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
（2023下·高二課時練習）
7．（多選題）已知函數滿足，，則下列關于的圖象描述正確的是（ ）
A．的圖象在處的切線斜率大于
B．的圖象在處的切線斜率小于
C．的圖象在處位于軸上方
D．的圖象在處位于軸下方
（2023·全國·模擬預測）
8．若的圖象在處的切線分別為，且，則（ ）
A．
B．的最小值為2
C．在軸上的截距之差為2
D．在軸上的截距之積可能為
（2024上·湖北·高三統考期末）
9．設，點是直線上的任意一點，過點作函數圖象的切線，可能作（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
三、填空題
10．設曲線y=ax2在點（1，a）處的切線與直線2x﹣y﹣6=0平行，則a的值是 ．
11．若點是拋物線上任意一點，則點到直線的最小距離為 .
四、解答題
12．設函數，若曲線的斜率最小的切線與直線平行，求的值．
（2023上·高二課前預習）
13．用割線逼近切線的方法求函數在處的切線的斜率，并畫出曲線在點處的切線．
【易錯題目】第5，12題
【復盤要點】導數幾何意義的應用
【典例】曲線y＝x3在點(1,1)處的切線與x軸、x＝2所圍成的三角形的面積為　 　.
【答案】
【解析】y′＝＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3×1＝3，
所以在點(1,1)處的切線方程為y＝3x－2，
它與x軸的交點為，與x＝2的交點為(2,4)，
所以S＝××4＝.
【易錯警示】導數的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導數的大小可以根據函數圖象，觀察對應切線的斜率的大小.用導數的幾何意義求解相關問題應注意“在某點處”與“過某點”的區別.
【復盤訓練】
（2023上·北京朝陽·高二統考期末）
14．為了響應國家節能減排的號召，甲 乙兩個工廠進行了污水排放治理，已知某月兩廠污水的排放量與時間的關系如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．該月內，甲乙兩廠中甲廠污水排放量減少得更多
B．該月內，甲廠污水排放量減少的速度是先慢后快
C．在接近時，甲乙兩廠中乙廠污水排放量減少得更快
D．該月內存在某一時刻，甲 乙兩廠污水排放量減少的速度相同
15．已知直線與曲線在點處的切線互相垂直，則為（ ）
A． B． C． D．
16．已知f(x)＝x2＋2x的一條切線斜率是4，則切點的橫坐標為（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
17．已知函數在點處的切線斜率為，則 .
18．已知直線是函數的圖象在點處的切線，則 ， .
19．設P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點，且曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【詳解】∵曲線在點處的切線斜率為，切線方程為
∴
∴
故選B
2．B
【分析】計算出函數由至的平均變化率關于的表達式，再由可解出的取值范圍.
【詳解】由至時，，
函數由至的平均變化率為，
，，故選B.
【點睛】本題考查自變量變化量的取值范圍，關鍵是要求出函數的變化率，考查計算能力，屬于基礎題.
3．C
【分析】利用平均速度的定義逐項判斷可得出合適的選項.
【詳解】在到范圍內，甲、乙的平均速度都為，故AB錯誤；
在到范圍內，甲的平均速度為，乙的平均速度為，
因為，，所以，
則在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正確，D錯誤．
故選：C.
4．C
【分析】由題意結合平均變化率的概念即可得解.
【詳解】函數在區間上的平均變化率為，
由函數圖象可得，在區間上，即函數在區間上的平均變化率小于0；
在區間、、上時，且相同，由圖象可知函數在區間上的最大.
所以函數在區間上的平均變化率最大.
故選：C.
【點睛】本題考查了平均變化率的概念，關鍵是對知識點的準確掌握，屬于基礎題.
5．A
【分析】由題意設函數，則，則函數為增函數，再利用一次函數的增減性即可得解.
【詳解】解：設函數，
則，
則函數為增函數，
又，
則，
故選：A.
【點睛】本題考查了導數的運算，重點考查了函數的單調性的應用，屬基礎題.
6．D
【分析】先根據導數的概念求出函數的導數，然后根據導數的幾何意義結合點P處切線傾斜角的取值范圍是，列不等式可求出結果.
【詳解】
又曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為，
所以其斜率，
所以，解得，
所以點P橫坐標的取值范圍為，
故選：D.
7．BC
【分析】結合，，利用導數的相關知識即可判斷.
【詳解】因為，則的圖象在處的切線斜率小于；
因為，所以的圖象在處位于軸上方．
故選：BC.
8．AC
【分析】根據及導數的幾何意義得，再借助基本不等式即可判斷A，B；寫出的方程，得到在軸上的截距分別為，由此判斷C，D．
【詳解】對于A，B：由題意可得，當時，，當時，，
所以的斜率分別為，
因為，所以，得，
因為，所以，
故A正確，B錯誤．
對于C，D：的方程為，即，
令，得，所以在軸上的截距為，
的方程為，可得在軸上的截距為，
所以在軸上的截距之差為，
在軸上的截距之積為，故C正確，D錯誤．
故選：AC
9．BC
【分析】設為直線上任意一點，切點為求出切線方程，將代入切線方程，轉化為根的個數求解即可.
【詳解】設為直線上任意一點，
過點作的切線，切點為，
則函數圖象在點B處的切線方程為，
即，
整理得，，
解得1或
當時，，方程僅有一個實根，切線僅可以作1條；
當時，，方程有兩個不同實根，切線可以作2條.
故選：.
10．1
【分析】切線的斜率就是函數在處的導數，據此可求．
【詳解】，當，
又切線的斜率為，故，填．
【點睛】曲線在點處的切線方程是：，另外注意曲線在某點處的切線與過某點處的切線的區別．
11．
【分析】易知最小值點為拋物線的一條切線的切點，且該切線平行于直線，利用導數的幾何意義可求得點坐標，利用點到直線距離公式可求得結果.
【詳解】當到直線距離最小時，為拋物線的一條切線的切點，且該切線平行于直線，
，，，
所求最小距離.
故答案為：.
12．.
【分析】求得函數的導數及導函數的最小值，結合題意，即可求解.
【詳解】由題意，函數，
則，
因為曲線的斜率最小的切線與直線平行，
所以，解得，
因為，所以.
故答案為：.
13．，作圖見解析
【分析】利用導數定義求出割線斜率表達式利用極限求出切線斜率.
【詳解】在區間上割線的斜率為＝
當趨近于時，函數在區間上割線的斜率趨近于，
所以函數在處的切線斜率．
曲線在點處的切線為直線l，如圖．
14．D
【分析】選項A，結合圖象，比較兩廠污水排放量減少量即可求解；選項B，由切線傾斜程度的大小比較可得；選項C，在接近時污水排放量減少快慢，可以用在處切線的斜率的大小比較近似代替，比較兩曲線在處切線的斜率的絕對值大小即可得；選項D，利用導數的幾何意義，存在某一時刻，甲 乙兩廠污水排放量的瞬時變化率即切線的斜率相等，則甲 乙兩廠污水排放量減少的速度相同.
【詳解】選項A，設，
設甲工廠的污水排放量減少為，乙工廠的污水排放量減少為，
結合圖像可知：，
所以該月內乙工廠的污水排放量減少得更多，故A錯誤；
選項B，作出如圖所示表示甲廠曲線的條切線可知，
直線的傾斜程度小于的傾斜程度，直線的傾斜程度大于的傾斜程度，
而這說明該月內，甲廠污水排放量減少的速度并非先慢后快，
從圖象的變化也可以看出，甲廠污水排放量減少的速度先快再慢后快，故B錯誤；

選項C，設為接近的時刻且，
從時刻到時刻，污水排放量平均變化率，
由導數的定義與幾何意義可知，
在接近時，在接近時污水排放量減少快慢，可以用在處切線的斜率的大小比較近似代替.
設甲工廠在處切線的斜率為，乙工廠在處切線的斜率為，
結合圖象可知，
所以在接近時，甲工廠的污水排放量減少得更快，故C錯誤；

選項D，如圖，利用導數的幾何意義，存在時刻，兩曲線切線的斜率相等，
即甲 乙兩廠污水排放量的瞬時變化率相同，
所以該月內存在某一時刻，甲 乙兩廠污水排放量減少的速度相同.故D正確.
故選：D.

15．D
【分析】由導數的幾何意義可求曲線在點處的切線斜率，然后根據直線垂直的條件可求的值．
【詳解】解：因為，
所以，
∵點為曲線上一點，
∴曲線在點處的切線斜率，
由條件知，，∴.
故選：D
16．D
【分析】設切點，寫出切線方程，與函數聯立，判別式為0，結合，解得a的值.
【詳解】設切點，則切線方程為
聯立，化簡得
，又，
化簡得，
故
故選：D
17．
【分析】根據已知點以及導數的定義求得，進而求得.
【詳解】由題意知，
又，
∴，故.
故答案為：
18．
【分析】根據切點在切線和曲線上，可得的關系；利用導數的幾何意義可知，由此可解得結果.
【詳解】由題意知：，，
，
在處的切線斜率，解得：，，，.
故答案為：；.
19．
【解析】根據傾斜角的范圍可以得出曲線C在點P處斜率的范圍，從而得到點P橫坐標的取值范圍.
【詳解】由題意知y′＝2x＋2，設P(x0，y0)，則k＝2x0＋2.
∵曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為
∴0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤.
故答案為：.
【點睛】本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，解決本題的關鍵是函數在某點處的導數值就是對應曲線在該點處的切線的斜率．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁5.1.1變化率問題+5.1.2導數的概念及其幾何意義 第三課 知識擴展延伸
5.1.1變化率問題+5.1.2導數的概念及其幾何意義
第三課 知識擴展延伸
擴展1：與導數的幾何意義有關的圖象問題
例1.如圖所示，點，，，過點E作OB的垂線l．記在直線l左側部分的面積為S，則函數的圖象為下列選項中的（ ）
A． B． C． D．
【解析】函數的定義域為．
當時，在單位長度變化量內面積變化量 越來越大，即圖象切線的斜率在內越來越大，因此，函數的圖象是上升的，且圖象是下凹的；
當時，在單位長度變化量內面積變化量越來越小，即圖象切線的斜率在內越來越小，因此，函數的圖象是上升的，且圖象是上凸的；
當時，在單位長度變化量內面積變化量為0，即圖象切線的斜率在內為常數0，此時，函數圖象為平行于x軸的射線．故選D．
【答案】D
【方法總結】函數圖象在任一點處的切線斜率的變化情況可以反映函數圖象在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出函數圖象升降的快慢．因此，研究復雜的函數問題，可以考慮通過研究其圖象的切線來了解函數的性質．
【方法總結】處理與切線有關的參數問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程(組)并解出參數：(1)切點處的導數是切線的斜率；(2)切點在切線上，故滿足切線方程；(3)切點在曲線上，故滿足曲線方程.
【舉一反三1-1】[北京第十五中學2022高二期中]
1．已知函數在上可導，其部分圖象如圖所示，設，則下列不等式正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【舉一反三1-2】[湖南常德臨澧縣一中2022高二開學考試]
2．各地房產部門為盡快穩定房價，提出多種房產供應方案，其中之一就是在規定的時間T內完成房產供應量任務．已知房產供應量Q與時間t的函數關系如圖所示，則在以下四種房產供應方案中，在時間內供應效率（單位時間的供應量）不逐步提高的有（ ）
A． B． C． D．
擴展2：導數幾何意義的應用
例1．已知函數y＝ax2＋b在點(1，3)處的切線斜率為2，則＝________.
【答案】2
【解析】由題意知a＋b＝3，
又y′|x＝1＝＝ (2a＋aΔx)＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2，故＝2.
【方法總結】求切點坐標可以按以下步驟進行：
(1)設出切點坐標；
(2)利用導數求出斜率；
(3)利用斜率關系列方程，求出切點的橫坐標；
(4)把橫坐標代入曲線或切線方程，求出切點縱坐標．
【舉一反三2-1】
3．若曲線在某點處的切線方程為，則切點的坐標為 ．
擴展3：最值與范圍問題
例3.[湖北武漢華中科技大學附屬中學2023高二月考]設點P是函數圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴
．
∴，∴，∴，
∴，∴或．故選B．
【方法總結】函數切線傾斜角范圍可轉化為切線斜率問題來求解，（1）根據題意求出函數的導函數，（2）根據函數的性質來求導函數的值域，（3）根據導函數的值域從而求切線的傾斜角的范圍.
【舉一反三3-1】
4．已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的導數為f′(x)，，對于任意實數x，有f(x)≥0，則的最小值為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】利用直線的斜率公式和導數的幾何意義結合圖象即可判斷.
【詳解】由圖象可知，函數在上的增長越來越快，
故函數圖象在點（）的切線的斜率越來越大，
因為，所以.
故選：B.
2．ACD
【分析】根據變化率的知識，結合曲線在某點處的導數的幾何意義可得結果.
【詳解】當單位時間的供應量逐步提高時，供應量的增長速度越來越快，圖象上切線的斜率隨著自變量的增加會越來越大，
故曲線是上升的，且越來越陡峭，
所以函數的圖象應一直是下凹的，則選項B滿足條件，
所以在時間內供應效率（單位時間的供應量）不逐步提高的有ACD選項．
故選：ACD．
3．
【分析】依題意，求出導數，設出切點，則在處的導函數值即為切線的斜率，再結合切點在曲線上，列出方程組即可求解.
【詳解】，
設曲線與直線相切的切點為，
結合已知條件，得，解得，
∴切點的坐標為.
故答案為：.
4．2
【分析】先利用導數的定義得到，再利用已知條件得到，進而得到，代入求解，最后利用基本不等式即可得出結果.
【詳解】由導數的定義，
得＝＝，
因為對于任意實數x，有f(x)≥0，
則，
所以，
所以c＞0，
所以．
當且僅當時取等號；
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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