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5.1.1變化率問題+5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 第一練 練好課本試題
5.1.1變化率問題+5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
第一練 練好課本試題
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進(jìn)行整理和組合；
【試題難度】本次訓(xùn)練試題基礎(chǔ)，適合學(xué)完新知識后的訓(xùn)練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標(biāo)分析】
1.理解平均變化率、瞬時變化率、導(dǎo)數(shù)的概念的含義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象，如第2，3題.
2.會求平均變化率、瞬時變化率以及函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，鍛煉數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，如第8，11題.
3.能夠靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，培養(yǎng)直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，如第4題.
一、選擇題
1．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C．2 D．
2．若函數(shù)，，在上的平均變化率分別記為，則下面結(jié)論正確的是
A． B．
C． D．
3．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則 等于（ ）
A． B． C． D．
（人教A版（2019）選擇性必修第二冊）
4．函數(shù)的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為，下列導(dǎo)數(shù)值排序正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2021·高二課時練習(xí)）
5．求圓的面積在半徑為2時的瞬時變化率，并指出這一瞬時變化率的實(shí)際意義.
6．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)；
7．設(shè)，求．
8．已知函數(shù)的圖象，試畫出其導(dǎo)函數(shù)圖象的大致形狀．
9．在生產(chǎn)過程中，產(chǎn)品的總成本C一般來說是產(chǎn)量Q的函數(shù)，記作，稱為總成本函數(shù).為了方便起見，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們總是假設(shè)Q能在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)地取值，并將總成本函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)稱為在處的邊際成本，用表示，即.已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為，求邊際成本，并說明其實(shí)際意義.
10．求曲線在點(diǎn)（處的切線的傾斜角．
11．已知二次函數(shù).
(1)判斷與的大小；
(2)判斷在區(qū)間與的平均變化率的大小.
12．分別求函數(shù)在區(qū)間的平均變化率，并指出它們的大小關(guān)系.
【易錯題目】第8題
【復(fù)盤要點(diǎn)】理解導(dǎo)數(shù)的定義，　f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個常量，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即(f(x0))′＝0.
【復(fù)盤訓(xùn)練】
13．已知，則的值為（ ）
A．－2a B．2a
C．a(chǎn) D．
14．已知函數(shù)，則在處的導(dǎo)數(shù)＝（ ）
A． B．
C． D．
（2023·高二課時練習(xí)）
15．已知函數(shù)，其中a，b，c為常數(shù)，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為 .
（2023·高二課時練習(xí)）
16．已知函數(shù)，則曲線在處切線的斜率與方程分為 .
（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）
17．某正方形鐵板在時，邊長為.當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時，由于熱脹冷縮，鐵板的邊長也會發(fā)生變化，而且已知溫度為時正方形的邊長為，其中a為常數(shù)，設(shè)此時正方形的面積為，且，求并解釋其實(shí)際意義.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【解析】根據(jù)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義，可得結(jié)果.
【詳解】由，即
因?yàn)椋?br/>則，所以
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題.
2．A
【詳解】函數(shù)在的平均變化率為：；
函數(shù)在的平均變化率為：；
函數(shù)在的平均變化率為：；
∴
故選A.
3．B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，將所求的式子整理為即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，
所以，
所以，
故選：B.
4．A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線斜率的變化可得出結(jié)論.
【詳解】由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，
即，，，
又因?yàn)榍€在點(diǎn)處切線的斜率隨著的增大而減小，即在點(diǎn)處切線的斜率隨著的增大而減小，
故.
故選：A.
5．，這一瞬時變化率的實(shí)際意義為圓的周長.
【分析】利用瞬時變化率的定義計(jì)算即可.
【詳解】圓的面積公式為，當(dāng)半徑r從2變到時的平均變化率為
，
當(dāng)趨于0時，趨于，
所以時S的瞬時變化率為，這一瞬時變化率的實(shí)際意義為圓的周長.
6．詳見解析
【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義利用極限的運(yùn)算可得．
【詳解】∵，
∴ ．故．
【點(diǎn)睛】本題考查定義法求導(dǎo)數(shù)的值，涉及極限的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
7．
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，即可求解.
【詳解】.
8．（1）（2）（3）圖象見解析.
【分析】分析（1）（2）（3）中函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系可得出圖象的大致形狀.
【詳解】（1）函數(shù)的圖象是一條直線，其斜率是一個小于零的常數(shù)，
因此，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示：
；
（2）函數(shù)為增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值恒大于或等于零，并且隨著的增大，導(dǎo)數(shù)值也在逐漸增大，
因此，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示：
；
（3）當(dāng)時，單調(diào)遞減，則；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，則.
因此，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示：
.
9．600，意義見解析.
【分析】設(shè)時產(chǎn)量的改變量為，利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出答案.
【詳解】解：設(shè)時產(chǎn)量的改變量為，則
.
令，可得，
即600.
因此，產(chǎn)量為300時的邊際成本為600.其實(shí)際意義是：此時多生產(chǎn)1件產(chǎn)品，成本要增加600.
10．
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出曲線在處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線在點(diǎn)處切線的斜率，即可求出其傾斜角.
【詳解】
，
所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
則傾斜角為.
11．(1)<
(2)在區(qū)間的平均變化率小于在的平均變化率
【分析】（1）將自變量代入函數(shù)式直接運(yùn)算再比較大小；（2）直接根據(jù)平均變化率的定義求解并比較大小即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?.
（2）在區(qū)間的平均變化率為（1），
在區(qū)間的平均變化率，
所以在區(qū)間的平均變化率小于在的平均變化率.
12．平均變化率分別為，，；.
【分析】根據(jù)平均變化率公式計(jì)算平均變化率，并比較大小得到答案.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間的平均變化率為；
函數(shù)在區(qū)間的平均變化率為；
函數(shù)在區(qū)間的平均變化率為.
.
13．B
【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義變形即可求解.
【詳解】.
故選：B．
14．C
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.
【詳解】當(dāng)自變量在處的改變量為時，平均變化率
.
可以看出，當(dāng)無限接近于0時，無限接近于，
因此.
故選：C.
15．
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求出導(dǎo)函數(shù)，從而可求的答案.
【詳解】，
，
當(dāng)時，瞬時變化率為，即函數(shù)在處的的導(dǎo)數(shù)為.
故答案為：.
16．2，
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，
因此所求切線的斜率為2.
又因?yàn)椋?br/>所以切線的方程為，即.
故答案為：2,.
17．，意義見解析.
【分析】利用瞬時變化率的定義及其幾何意義即可得到答案.
【詳解】依題意可知
.
設(shè)時溫度的改變量為，則
.
所以.
這表示在時，鐵板面積對溫度的瞬時變化率為.實(shí)際意義是，在時，溫度的改變量很小時，鐵板面積的改變量的近似值為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁5.1.1變化率問題+5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 第一課 解透課本內(nèi)容
5.1.1變化率問題+5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
第一課 解透課本內(nèi)容
[課標(biāo)要求]
1．通過實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程．
2．了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．
3．知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想．
4．通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．
[明確任務(wù)]
1．會求平均變化率、瞬時變化率．【數(shù)學(xué)運(yùn)算】
2．理解導(dǎo)數(shù)概念．【數(shù)學(xué)抽象】
3．理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線．【直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算】
直線的斜率
（1）定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα．
（2）計(jì)算公式
①經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝．
②設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點(diǎn)，則向量＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量．若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝．
核心知識點(diǎn)1：平均變化率
1．平均速度與瞬時速度
把位移s看成關(guān)于時間t的函數(shù)，則物體在時間段內(nèi)的平均速度．
如果不斷縮短區(qū)間的長度，則物體在時間段內(nèi)的平均速度越來越接近時刻的瞬時速度．用表示（可看作相對于的“增量”），即當(dāng)無限趨近于0時，物體在時刻的瞬時速度．
2．割線斜率與切線斜率
設(shè)，是曲線上任意的兩點(diǎn)，記，則割線的斜率，如圖所示．
我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)時，割線無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線，則切線的斜率．
3．對于函數(shù)，設(shè)自變量x從變化到，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從變化到．這時，x的變化量為，y的變化量為．我們把比值，即叫做從到的平均變化率．
解讀：
1．瞬時速度與平均速度的聯(lián)系與區(qū)別
聯(lián)系：從物理角度看，當(dāng)時間間隔無限趨近于0時，在時間段或內(nèi)，平均速度無限趨近于時刻的瞬時速度．
區(qū)別：瞬時速度刻畫物體在某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)，平均速度刻畫物體在一段時間內(nèi)的運(yùn)動狀態(tài)．
2．平均變化率的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值的變化量與自變量的變化量之比．它的意義是刻畫函數(shù)的函數(shù)值在區(qū)間上變化速度的快慢．
3．，式子中與是相對應(yīng)的“增量”，即在時，．
4．，式子中，的值可正可負(fù)，但的值不能為零，的值可以為零，即可正可負(fù)，也可以為零．若函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，則，從而．
5．在式子中，當(dāng)取定值，取不同數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率一般不同；當(dāng)取定值，取不同數(shù)值時，函數(shù)的平均變化率一般也不同．
函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢，增量取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況．
例1．（1）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為______，當(dāng)，時，平均變化率的值為______．
（2）球的半徑從1增加到2時，球的體積平均膨脹率為______．
【思路分析】（1）直接利用概念求平均變化率；先求出表達(dá)式，再直接代入數(shù)據(jù)就可以求得相應(yīng)的平均變化率的值．（2）直接利用概念求平均膨脹率．
【解析】（1）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為
．
當(dāng)，時，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為．
（2）∵球的體積改變量，球的半徑改變量為，
∴球的體積平均膨脹率為．
【答案】（1） 12.3 （2）
【方法總結(jié)】求平均變化率的步驟
（1）計(jì)算函數(shù)值的改變量；
（2）計(jì)算自變量的改變量；
（3）求得平均變化率．
【舉一反三】
1．已知函數(shù)，則在上的平均變化率為（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三】2-2[四川南充2023高二月考]
2．已知函數(shù)的圖象如圖所示.設(shè)函數(shù)從－1到1的平均變化率為，從1到2的平均變化率為，則與的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．不能確定
【舉一反三】2-3
3．若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為5，則 ．
【舉一反三】2-4
4．求函數(shù)在到之間的平均變化率,并計(jì)算當(dāng),時平均變化率的值.
知識點(diǎn)2：瞬時變化率
如果當(dāng)時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱在處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做在處的導(dǎo)數(shù)（也稱為瞬時變化率），記作或，即．
解讀：對導(dǎo)數(shù)的定義要抓住三個層次：
（1）函數(shù)的變化量（增量）：對于函數(shù)，自變量的增量是，相應(yīng)的函數(shù)值的增量是．
（2）平均變化率（增量之比）：．
（3）瞬時變化率（增量之比的極限）：．
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是當(dāng)自變量的改變量無限趨近于0時，平均變化率無限趨近的值．它刻畫函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢．
例2．一個質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動，運(yùn)動方程，其中時間t的單位為s，位移s的單位為m．
（1）計(jì)算內(nèi)的平均速度v；
（2）求質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度．
【思路分析】（1）利用平均速度的定義求解；
（2）計(jì)算，當(dāng)時即得到瞬時速度．
【解析】（1）在t到的時間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的平均速度
．
（2）取一時間段，，
所以，所以質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度為．
歸納總結(jié) 求物體時速度的步驟
（1）設(shè)非勻速直線運(yùn)動的規(guī)律；
（2）求時間改變量和位移改變量；
（3）求平均速度；
（4）計(jì)算瞬時速度v：當(dāng)時，（常數(shù)）．
【舉一反三】
5．航天飛機(jī)升空后一段時間內(nèi)，第時的高度為，其中h的單位為m，t的單位為s.
（1）分別表示什么？
（2）求第內(nèi)的平均速度；
（3）求第末的瞬時速度.
核心知識點(diǎn)3：導(dǎo)函數(shù)的概念
從求函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)時，是一個唯一確定的數(shù)．這樣，當(dāng)x變化時，就是x的函數(shù)，我們稱它為的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）．的導(dǎo)函數(shù)有時也記作，即．
解讀：“函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”“導(dǎo)函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)”間的區(qū)別與聯(lián)系”
（1）“函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”，就是在該點(diǎn)附近的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比的極限，它是一個數(shù)值，不是變數(shù)．
（2）“導(dǎo)函數(shù)”：如果對于函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一個確定的值，都對應(yīng)著一個導(dǎo)數(shù)，這樣就在開區(qū)間內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這一新函數(shù)叫做在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作或．
（3）導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)，所以
．
（4）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，即．
（5）并不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)．
例3．（1）已知函數(shù)求與的值．
（2）利用導(dǎo)數(shù)的定義，求在處的導(dǎo)數(shù)．
【思路分析】本題求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，可以按照“求導(dǎo)數(shù)的三步曲”來求解．
【解析】（1）∵當(dāng)時，，
∴．
∴，∴．
當(dāng) 時，，
由導(dǎo)數(shù)的定義，得．
（2）∵，
∴．
【方法總結(jié)】（1）求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的步驟與求瞬時變化率的步驟相同，簡稱為一差、二比、三極限．
（2）利用定義求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，在求平均變化率時，要注意對的變形，變形不徹底可能導(dǎo)致不存在．
【舉一反三】
6．如果一個質(zhì)點(diǎn)由定點(diǎn)A開始運(yùn)動，其位移y關(guān)于時間t的函數(shù)為．
(1)當(dāng)，時，求和；
(2)求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)．
核心知識點(diǎn)4：導(dǎo)數(shù)的幾何意義
1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
如圖，在曲線上任取一點(diǎn)，如果當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限趨近于點(diǎn)時，割線無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線．
割線的斜率，記，當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線無限趨近于點(diǎn)時，即當(dāng)時，k無限趨近于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)．因此，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率，即．
這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．
2．函數(shù)圖象的變化與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
（1）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，反映了曲線在點(diǎn)處的瞬時變化率．一般地，切線的斜率的絕對值越大，曲線的變化速度就越快，即曲線比較陡峭；切線的斜率的絕對值越小，曲線的變化速度就越慢，即曲線比較平緩．由曲線在點(diǎn)處附近的變化程度，可以判斷曲線在點(diǎn)處切線的斜率的絕對值的大小．
（2）在處的導(dǎo)數(shù)、曲線在附近的升降情況、點(diǎn)處切線的斜率k與點(diǎn)處切線的傾斜角的關(guān)系如表所示．
在處的導(dǎo)數(shù) 曲線在附近的升降情況 點(diǎn)處切線的斜率k 點(diǎn)處的傾斜角
上升 銳角
下降 鈍角
平緩 零角
3．曲線的切線方程
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點(diǎn)處切線的斜率，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（1）求曲線的切線方程時，要先檢驗(yàn)所給點(diǎn)是否在曲線上，注意對“在”和“過”的理解．若是“在某點(diǎn)處”的切線，則該點(diǎn)為切點(diǎn)；若是“過某點(diǎn)”的切線，則該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)；若是“過曲線外一點(diǎn)”的切線，則該點(diǎn)一定不是切點(diǎn)．
（2）求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟：
①求出切點(diǎn)；
②求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；
③利用點(diǎn)斜式直線方程求切線方程．
（3）若在處可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)處一定有切線．若函數(shù)在處不可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)處也可能有切線，如函數(shù)在處不可導(dǎo)，但有切線．即若曲線在點(diǎn)處有切線，則函數(shù)在處不一定可導(dǎo)．
解讀：
知識點(diǎn)1中的平均速度和割線斜率可從平均變化率的角度來理解，瞬時速度和切線斜率可從瞬時變化率的角度來理解．還有很多物理量都是借助變化率定義的，如加速度是速度（作為時間的函數(shù)）對時間的平均變化率；角速度是角度（作為時間的函數(shù)）對時間的平均變化率；電流是電荷量（作為時間的函數(shù)）對時間的平均變化率，等等．
（1）一般曲線的切線是用割線的最終位置來定義的．
（2）用割線的最終位置定義的切線；①與點(diǎn)（為切點(diǎn)）的位置有關(guān)；②要依據(jù)割線是否存在最終位置來判斷是否存在切線；③若曲線在某點(diǎn)處有切線，則切線是唯一的．
（3）曲線中割線的斜率與切線的斜率的區(qū)別與聯(lián)系
區(qū)別：割線的斜率是曲線上兩點(diǎn)連線的斜率；切線的斜率是以曲線上一點(diǎn)為切點(diǎn)且與曲線相切的直線的斜率．
聯(lián)系：切線的斜率是割線的斜率的極限值．
口訣：正則升，負(fù)則降；大則快，小則慢．即
①導(dǎo)數(shù)值為正時，函數(shù)圖象呈上升趨勢；導(dǎo)數(shù)值為負(fù)時，函數(shù)圖象呈下降趨勢．
②導(dǎo)數(shù)值的絕對值越大，函數(shù)圖象越陡峭；導(dǎo)數(shù)值的絕對值越小，函數(shù)圖象越平緩．
（4）曲線的切線是不是一定和曲線只有一個交點(diǎn)？
不一定．曲線的切線和曲線不一定只有一個交點(diǎn)，和曲線只有一個交點(diǎn)的直線和曲線也不一定相切．如圖，直線與曲線只有一個交點(diǎn)，但直線不是曲線的切線；直線是曲線的切線，但與曲線有兩個交點(diǎn)．
例4．已知曲線，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ．
【答案】
【解析】∵在曲線上（提示：在某點(diǎn)處，此點(diǎn)在曲線上），∴，曲線在點(diǎn)處切線的斜率．
∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
歸納總結(jié) 首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程．
【舉一反三】
7．若函數(shù)f(x)＝x－，則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方程為 ．
8．某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s(t)＝1－t2，則該物體在[1，2]內(nèi)的平均速度為（ ）
A．2 B．3
C．－2 D．－3
9．已知，且，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知函數(shù)，則曲線在處切線的方程為 ．
11．若拋物線f(x)＝4x2在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率為8，則x0＝ .
12．已知曲線上一點(diǎn)，求：
(1)點(diǎn)處的切線的斜率；
(2)點(diǎn)處的切線方程．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】利用平均變化率的定義可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)平均變化率的定義可得.
故選：A.
2．C
【分析】根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式即可得出結(jié)果．
【詳解】記，，
由圖易知，所以．
故選：C．
3．3
【分析】利用函數(shù)平均變化率的計(jì)算公式計(jì)算.
【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，
解得.
故答案為：3.
4．
【分析】當(dāng)自變量從變化到時，求出平均變化率，化簡，然后將和的值代入求值即可
【詳解】當(dāng)自變量從變化到時,函數(shù)的平均變化率為
，
當(dāng),時,平均變化率=.
5．（1）答案見解析；（2）；（3）.
【解析】（1）由函數(shù)的實(shí)際意義說明；
（2）根據(jù)平均變化率計(jì)算；
（3）根據(jù)瞬時變化率計(jì)算．
【詳解】（1）表示航天飛機(jī)發(fā)射前的高度；
表示航天飛機(jī)升空后第時的高度；
表示航天飛機(jī)升空后第時的高度.
（2）航天飛機(jī)升空后第內(nèi)的平均速度為.
（3）第末的瞬時速度為
.
因此，第末的瞬時速度為.
6．(1)，
(2)48
【分析】（1）由平均變化率公式計(jì)算即可;
（2）由導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.
【詳解】（1），
故當(dāng)，時，，．
（2）由（1）得，
故函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是48．
7．2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0
【分析】先求出函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線方程即可
【詳解】由f(x)＝x－＝0，得x＝±1，即與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)或(－1，0)．
因?yàn)?br/>所以切線的斜率k＝1＋＝2，
所以切線的方程為y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．
即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.
故答案為：2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0
8．D
【分析】根據(jù)平均速度的公式，代入計(jì)算，即可得答案.
【詳解】由題意得＝－3.
故答案為：D
9．D
【分析】求導(dǎo)，由建立方程求解即可
【詳解】，，解得.
故選：D
10．
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義計(jì)算即可．
【詳解】因?yàn)?br/>，
又因?yàn)椋运笄芯€方程為，
即．
故答案為：.
11．1
【分析】由題意，先求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到答案.
【詳解】k＝
.
故答案為：1.
12．(1);(2) .
【詳解】試題分析：（1）要求曲線在點(diǎn)處的切線方程，先利用導(dǎo)數(shù)求出在處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率；（2）利用點(diǎn)斜式即可得到切線方程.
試題解析：(1)由，得 ，.
∴點(diǎn)處的切線的斜率等于.
(2)點(diǎn)處的切線方程為，即.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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