資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第16章《二次根式》單元復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)·導(dǎo)思
1.理解二次根式的定義及其性質(zhì)，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡．
2.通過對二次根式的概念和性質(zhì)的理解，運(yùn)用它們進(jìn)行二次根式的四則運(yùn)算，運(yùn)用公式，嚴(yán)謹(jǐn)解題.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：二次根式的定義及其性質(zhì).
難點(diǎn)：二次根式定義及其性質(zhì)的運(yùn)用.
學(xué)法指導(dǎo)
通過觀察、動手操作領(lǐng)悟二次根式的性質(zhì)，同伴合作能利用二次根式的性質(zhì)解答有關(guān)問題.
學(xué)習(xí)過程
一、課前預(yù)習(xí)·導(dǎo)學(xué)
二次根式的性質(zhì)1、2、3、4.
二、課內(nèi)學(xué)習(xí)、合作探究：
探究1：形如＿＿（a≥0）的式子叫做二次根式. 在二次根式中，字母a必須滿足___________，即被開方數(shù)必須是＿＿＿＿＿.
【答案】；a≥0；非負(fù)數(shù)
練一練1：
1．下列各根式中，與不是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了同類二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是先化簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同，被開方數(shù)相同的是同類二次根式．
【詳解】解：A、，與是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、，與是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；
D、與是同類二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意，
故選：C．
2．若，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，根據(jù)可得，則．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選C．
探究2：() ＝a（a≥0）.即非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于＿＿＿＿.
【答案】它本身
練一練2：
下列等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查二次根式的計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，故選項(xiàng)A錯誤；
，故選項(xiàng)B錯誤；
，故選項(xiàng)C錯誤；
，故選項(xiàng)D錯誤．
故選：B．
探究3：二次根式的性質(zhì)2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【答案】性質(zhì)2：
練一練3：
先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，二次根式的運(yùn)算；
利用完全平方公式和整式乘法的法則展開，然后合并同類項(xiàng)可得最簡結(jié)果，再代入求值即可．
【詳解】解：原式
；
當(dāng)時，原式．
探究4：
算術(shù)平方根的積等于____________________________________積的算術(shù)平方根.
積的算術(shù)平方根等于____________________________________的算術(shù)平方根.
【答案】各個被開方數(shù)；各因數(shù)
練一練4：
計(jì)算：
(1)； (2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查二次根式的乘法，根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可
【詳解】（1）原式
；
（2）原式
探究5：
兩個二次根式相除，等于把＿＿＿＿＿＿，作為商的被開方數(shù).
商的算術(shù)平方根等于＿＿＿＿＿＿＿除以＿＿＿＿＿＿＿的商.
【答案】被開方數(shù)；被除式的算術(shù)平方根，除式的算術(shù)平方根
練一練5：
計(jì)算：
（1） (2)
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)二次根式的除法計(jì)算，然后化簡二次根式即可得到答案；
（2）首先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后再利用二次根式的除法法則和合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算即可
【詳解】（1）；
（2）原式
探究6：
分母有理化：二次根式的除法運(yùn)算，通常采用分子、分母同乘以一個式子化去＿＿＿＿＿＿的方法來進(jìn)行，這種把＿＿＿＿＿＿＿化去的變形，叫做分母有理化.
兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積＿＿＿＿＿＿＿，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式.
【答案】分母中的根號；分母中的根號；不含有二次根式
練一練6：
1.下列根式中，屬于最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)最簡二次根式：“被開方數(shù)不含分母，不含能開方開的盡的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式．”進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，不是最簡二次根式；
B、，是最簡二次根式；
C、，不是最簡二次根式；
D、，被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式．
故選B．
2.若與最簡二次根式是同類二次根式，則 .
【答案】4
【分析】此題考查了同類二次根式的概念，解答本題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的被開方數(shù)相同這個知識點(diǎn)．根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相同可得出關(guān)于a的方程，解出即可得出答案．
【詳解】解：∵，
又∵是最簡二次根式，
∴根據(jù)同類二次根式的性質(zhì)有：，
解得：，
故答案為：4．
探究7：
化簡二次根式的條件：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
化簡二次根式的方法：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【答案】條件：（1）被開方數(shù)不含分母
（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式
方法：（1）把被開方數(shù)分解因式（或因數(shù)）
將被開方數(shù)中開得盡方的因數(shù)（式）用它的正平方根代替后移到根號外面
將被開方數(shù)中的分母化去
探究8：
二次根式大小的比較：（1）_____________________；（2）_______________________；（3）平方法；（4）移動因式法.
【答案】（1）作商法 （2）分子有理化法
練一練7：
設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查無理數(shù)的估算、二次根式的乘法運(yùn)算、代數(shù)式求值，正確得出無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分是解答的關(guān)鍵．本題先求解，，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，
∴，
故選：A．
探究9：
同類二次根式的定義：
幾個二次根式化成_____________________以后，如果_______________________相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式.
【答案】最簡二次根式，被開方數(shù)相同
探究10：
二次根式加減運(yùn)算的一般步驟：
（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【答案】（1）化簡：把各二次根式化成最簡二次根式
判斷：選出同類二次根式
合并：把被開方數(shù)相同的進(jìn)行合并
練一練8：
計(jì)算：
【答案】(1)
【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)化簡、二次根式的混合運(yùn)算、完全平方公式等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡是解題的關(guān)鍵
（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡、然后去括號、最后合并同類二次根式即可解答；
（2）先根據(jù)二次根式除法法則、完全平方公式計(jì)算，然后合并同類二次根式即可解答．
【詳解】解：
．
探究11：
二次根式混合運(yùn)算的一般步驟：
二次根式混合運(yùn)算順序和有理數(shù)（式）的運(yùn)算順序相同，即先算＿＿＿＿，再算＿＿＿，最后算＿＿＿＿，有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【答案】乘方，乘除，加減，括號的先算括號內(nèi)的
練一練9：
計(jì)算：．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)化簡、二次根式的混合運(yùn)算、完全平方公式等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡是解題的關(guān)鍵
（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡、然后去括號、最后合并同類二次根式即可解答；
（2）先根據(jù)二次根式除法法則、完全平方公式計(jì)算，然后合并同類二次根式即可解答．
【詳解】解：
．
【典型例題講解】
利用二次根式有意義的條件，求字母的取值范圍.
例 1 ：當(dāng)x取何值時，下列各式有意義？
（1） （2） （3） （4）
解：（1）當(dāng)5－2x≥0，即x≤時，有意義；
（2）∵不論x取何值時，(3x－1)2≥0，∴當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時，有意義；
（3）∵由x+3≥0，且1－2x≥0,得－3≤x≤,
∴當(dāng)－3≤x≤時, 有意義；
（4）∵由 得：x≥－4，且x≠2，
∴當(dāng)x≥－4，且x≠2時，有意義.
2.利用二次根式的非負(fù)性化簡或計(jì)算.
例 2 ：已知與互為相反數(shù)，求(x－y) 的平方根.
解：∵與互為相反數(shù)，
∴(x－y+3)+(x+y－1)＝0
∴x＝－1，y＝2，
∴(x－y) ＝9，
∴(x－y) 的平方根為±3，
3.利用二次根式的性質(zhì) 1 分解因式.
例 3 ：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：
（1） x －7 （2） 4x －3x （3）x －2x＋5
解：原式＝－ 原式＝x(4x2－3) 原式＝x2－2+()2
＝(x+)(x－) ＝x(2x+)(2x－) ＝(x－)2
4.巧用二次根式乘除法公式簡化計(jì)算過程.
例 4 ：計(jì)算
（1）× （2）×
解：原式＝(×8×) 原式＝(1÷3×)
＝× ＝×2
＝2 ＝
5.利用二次根式的概念求值.
例 5 ：已知和是同類二次根式，求m、n的值.
解：∵和是同類二次根式，
∴ ，
解得： ，
∴m、n的值分別為5，2.
達(dá)標(biāo)練習(xí)
1. 計(jì)算：(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，在運(yùn)算過程中，有同類二次根式的要合并；相乘的時候，被開方數(shù)簡單的直接讓被開方數(shù)相乘，再化簡；較大的也可先化簡，再相乘，靈活對待，結(jié)果化為最簡二次根式．也考查了二次根式的性質(zhì)，完全平方公式和平方差公式．掌握二次根式的運(yùn)算法則、性質(zhì)和乘法公式是解題的關(guān)鍵．
（1）運(yùn)用二次根式的乘法運(yùn)算，然后合并即可；
（2）先用完全平方公式和二次根式的約分，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算．
【詳解】（1）解：
（2）解：
2.當(dāng)，，求代數(shù)式的值．
【答案】31
【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，由已知條件可得，，將代數(shù)式化為，然后代入運(yùn)算即可求解；掌握整體代換法求代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，，
，
，
原式
．
拓展練習(xí)
規(guī)定用符號表示一個實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如，，，并且規(guī)定一個實(shí)數(shù)減去它的整數(shù)部分表示這個實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，按此規(guī)定解答問題：
(1) ，的小數(shù)部分為 ；
(2)若a，b分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求a，b的值．
(3)求 （直接寫出結(jié)果）
【答案】(1)3，
(2)，
(3)
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和無理數(shù)的估算，正確進(jìn)行無理數(shù)的大小的估算是解題的關(guān)鍵．
（1）估算出無理數(shù)的范圍，從而得到無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分；
（2）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算化簡，估算出無理數(shù)的范圍，得到無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分．
（3）根據(jù)（2）將a、b的值代入求解即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
∴，
∴的小數(shù)部分為，
故答案為：3，；
（2），
∵，
∴，
∴，．
（3）．
學(xué)習(xí)反思
通過對本章內(nèi)容的復(fù)習(xí)，你有何感悟？還有哪些困惑？
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第16章《二次根式》單元復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)·導(dǎo)思
1.理解二次根式的定義及其性質(zhì)，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡．
2.通過對二次根式的概念和性質(zhì)的理解，運(yùn)用它們進(jìn)行二次根式的四則運(yùn)算，運(yùn)用公式，嚴(yán)謹(jǐn)解題.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：二次根式的定義及其性質(zhì).
難點(diǎn)：二次根式定義及其性質(zhì)的運(yùn)用.
學(xué)法指導(dǎo)
通過觀察、動手操作領(lǐng)悟二次根式的性質(zhì)，同伴合作能利用二次根式的性質(zhì)解答有關(guān)問題.
學(xué)習(xí)過程
一、課前預(yù)習(xí)·導(dǎo)學(xué)
二次根式的性質(zhì)1、2、3、4.
二、課內(nèi)學(xué)習(xí)、合作探究：
探究1：形如＿＿（a≥0）的式子叫做二次根式. 在二次根式中，字母a必須滿足___________，即被開方數(shù)必須是＿＿＿＿＿.
練一練1：
1．下列各根式中，與不是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
探究2：() ＝a（a≥0）.即非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于＿＿＿＿.
練一練2：
下列等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
探究3：二次根式的性質(zhì)2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
練一練3：
先化簡，再求值：，其中．
探究4：
算術(shù)平方根的積等于____________________________________積的算術(shù)平方根.
積的算術(shù)平方根等于____________________________________的算術(shù)平方根.
練一練4：
計(jì)算：
(1)； (2)；
探究5：
兩個二次根式相除，等于把＿＿＿＿＿＿，作為商的被開方數(shù).
商的算術(shù)平方根等于＿＿＿＿＿＿＿除以＿＿＿＿＿＿＿的商.
練一練5：
計(jì)算：
（1） (2)
探究6：
分母有理化：二次根式的除法運(yùn)算，通常采用分子、分母同乘以一個式子化去＿＿＿＿＿＿的方法來進(jìn)行，這種把＿＿＿＿＿＿＿化去的變形，叫做分母有理化.
兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積＿＿＿＿＿＿＿，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式.
練一練6：
1.下列根式中，屬于最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.若與最簡二次根式是同類二次根式，則 .
探究7：
化簡二次根式的條件：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
化簡二次根式的方法：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
探究8：
二次根式大小的比較：（1）_____________________；（2）_______________________；（3）平方法；（4）移動因式法.
練一練7：
設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
探究9：
同類二次根式的定義：
幾個二次根式化成_____________________以后，如果_______________________相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式.
探究10：
二次根式加減運(yùn)算的一般步驟：
（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
練一練8：
計(jì)算：
探究11：
二次根式混合運(yùn)算的一般步驟：
二次根式混合運(yùn)算順序和有理數(shù)（式）的運(yùn)算順序相同，即先算＿＿＿＿，再算＿＿＿，最后算＿＿＿＿，有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
練一練9：
計(jì)算：．
【典型例題講解】
利用二次根式有意義的條件，求字母的取值范圍.
例 1 ：當(dāng)x取何值時，下列各式有意義？
（1） （2） （3） （4）
2.利用二次根式的非負(fù)性化簡或計(jì)算.
例 2 ：已知與互為相反數(shù)，求(x－y) 的平方根.
3.利用二次根式的性質(zhì) 1 分解因式.
例 3 ：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：
（1） x －7 （2） 4x －3x （3）x －2x＋5
4.巧用二次根式乘除法公式簡化計(jì)算過程.
例 4 ：計(jì)算
（1）× （2）×
5.利用二次根式的概念求值.
例 5 ：已知和是同類二次根式，求m、n的值.
達(dá)標(biāo)練習(xí)
1. 計(jì)算：(1)； (2)．
2.當(dāng)，，求代數(shù)式的值．
拓展練習(xí)
規(guī)定用符號表示一個實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如，，，并且規(guī)定一個實(shí)數(shù)減去它的整數(shù)部分表示這個實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，按此規(guī)定解答問題：
(1) ，的小數(shù)部分為 ；
(2)若a，b分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求a，b的值．
(3)求 （直接寫出結(jié)果）
學(xué)習(xí)反思
通過對本章內(nèi)容的復(fù)習(xí)，你有何感悟？還有哪些困惑？
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑