資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第三章 函數(shù)
第六節(jié) 二次函數(shù)的應(yīng)用及綜合問(wèn)題
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 二次函數(shù)與方程（組） ☆☆ 二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系，二次函數(shù)的綜合問(wèn)題近幾年出現(xiàn)在幾個(gè)市的中考題中，復(fù)習(xí)中需要注意； 二次函數(shù)的應(yīng)用在中考中較為常見(jiàn)，其中，二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用多為小題，出題率不高，一般需要根據(jù)題意自行建議二次函數(shù)模型; 而利用二次函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題和最值問(wèn)題則多為解答題，此類問(wèn)題需要多注意題意的理解，而且一般計(jì)算數(shù)據(jù)復(fù)雜，還需根據(jù)實(shí)際情況判斷所求結(jié)果是否合適，需要考生在做題過(guò)程中更為細(xì)心對(duì)待。
考點(diǎn)2 二次函數(shù)與不等式（組） ☆☆
考點(diǎn)3二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 ☆☆☆
考點(diǎn)4 二次函數(shù)的綜合題 ☆☆
1.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）
（1）拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
（2）若已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的函數(shù)值為，求自變量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.
（3）二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況
對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：
①△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
②△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
③△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).
2.二次函數(shù)與不等式（組）
（1）涉及一元二次不等式的，可以利用二次函數(shù)圖像圖象求解
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
圖象
與x軸交點(diǎn) 2個(gè)交點(diǎn) 1個(gè)交點(diǎn) 0個(gè)交點(diǎn)
ax2＋bx＋c>0 的解集情況 xx2 x≠ 取任意實(shí)數(shù)
ax2＋bx＋c<0 的解集情況 x1（2）兩個(gè)函數(shù)的值的大小比較，上方圖象的函數(shù)值大于下方圖象的函數(shù)值.
3.利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：
（1）設(shè)實(shí)際問(wèn)題中的變量
（2）建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系
（3）確定自變量的取值范圍，保證自變量具有實(shí)際意義
（4）利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題
（5）寫出答案
■考點(diǎn)一　二次函數(shù)與方程（組）
◇典例1：（2024 雁塔區(qū)校級(jí)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的一部分經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），且其對(duì)稱軸是直線x＝2，則一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 　x1＝﹣1，x2＝5　．
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【答案】x1＝﹣1，x2＝5．
【點(diǎn)撥】直接利用拋物線的對(duì)稱性以及結(jié)合對(duì)稱軸以及拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（﹣1，0），得出另一個(gè)與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而得出答案．
【解析】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（5，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是：x1＝﹣1，x2＝5．
故答案為：x1＝﹣1，x2＝5．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確得出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 麗水模擬）根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值，
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍可能是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【考點(diǎn)】圖象法求一元二次方程的近似根；拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【答案】C
【點(diǎn)撥】利用二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系．
【解析】解：觀察表格可知：當(dāng)x＝6.18時(shí)，y＝﹣0.01；當(dāng)x＝6.19時(shí)，y＝0.02，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是6.18＜x＜6.19．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是找到y(tǒng)由正變?yōu)樨?fù)時(shí)，自變量的取值即可．
2．（2023 衡陽(yáng)）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．
【答案】B
【點(diǎn)撥】畫(huà)出拋物線y＝x2+2x﹣3，直線y＝m，直線y＝n，根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，觀察圖象可得答案．
【解析】解：關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
如圖：
由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題．
■考點(diǎn)二 二次函數(shù)與不等式（組）
◇典例2：（2022 漢川市模擬）如圖，直線y＝mx+n與拋物線y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是　x＜﹣1或x＞4　．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）．
【答案】x＜﹣1或x＞4
【點(diǎn)撥】觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．
【解析】解：觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜﹣1或x＞4時(shí)，直線y＝mx+n在拋物線y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集為x＜﹣1或x＞4．
故答案為：x＜﹣1或x＞4．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 沭陽(yáng)縣三模）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 　﹣2＜x＜4　．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）．
【答案】﹣2＜x＜4．
【點(diǎn)撥】根據(jù)圖象中直線在拋物線上方的x的取值范圍求解．
【解析】解：∵A（﹣2，p），B（4，q）
∴當(dāng)﹣2＜x＜4時(shí)，拋物線在直線下方，
∴ax2+c＜mx+n的解集為﹣2＜x＜4，即ax2﹣mx+c＜n的解集為﹣2＜x＜4，
故答案為：﹣2＜x＜4．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是將不等式ax2﹣mx+c＜n轉(zhuǎn)化為圖象問(wèn)題．
2．（2023 青島一模）如圖是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（﹣1，﹣3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣4，0）．點(diǎn)A和點(diǎn)B均在直線y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；②abc＜0； ③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（4，0）；
④方程ax2+bx+c＝﹣3有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
⑤a+b+c＞﹣m+n；
⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集為﹣4＜x＜﹣1．
其中結(jié)論正確的是（　　）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；根的判別式；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】利用拋物線的對(duì)稱軸方程得到x＝﹣＝﹣1，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；由拋物線開(kāi)口向上得到a＞0，則b＞0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方得到c＜0，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），則可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用拋物線與直線y＝﹣3只有一個(gè)交點(diǎn)可對(duì)④進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的增減性可對(duì)⑤進(jìn)行判斷；結(jié)合函數(shù)圖象可對(duì)⑥進(jìn)行判斷．
【解析】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①錯(cuò)誤；
∵拋物線開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∴b＝2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣4，0），
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），所以③錯(cuò)誤；
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），
∴拋物線與直線y＝﹣3只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以④錯(cuò)誤；
∵拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，﹣1＜1，
∴a+b+c＞a﹣b+c，
∵直線y2＝mx+n（m≠0）經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（﹣1，﹣3），
∴a﹣b+c＝﹣m+n，
∴a+b+c＞﹣m+n，所以⑤正確；
∵當(dāng)﹣4＜x＜﹣1時(shí)，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集為﹣4＜x＜﹣1．所以⑥正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組）：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系，利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．也考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題．
3．（2022 寧海縣校級(jí)模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，﹣1），與直線相交于O、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（3）直接寫出不等式的解．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
【答案】（1）y＝x2﹣2x．
（2）（，）．
（3）0＜x＜．
【點(diǎn)撥】（1）設(shè)拋物線為頂點(diǎn)式，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求解．
（2）聯(lián)立拋物線方程與直線方程求解．
（3）由圖象中O，B交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求解．
【解析】解：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為y＝a（x﹣1）2﹣1，
將（0，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得0＝a﹣1，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x．
（2）令x2﹣2x＝x，
解得x1＝0，x2＝，
將x＝代入y＝x＝，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（，）．
（3）由圖象可得0＜x＜時(shí)，拋物線在直線下方，
∴不等式的解為0＜x＜．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化．
■考點(diǎn)三 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
◇典例3：（2023 湖州）某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批某品種淡水魚(yú)，由銷售經(jīng)驗(yàn)可知，這種淡水魚(yú)的日銷售量y（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：
銷售價(jià)格x（元/千克） 50 40
日銷售量y（千克） 100 200
（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）設(shè)該經(jīng)銷商銷售這種淡水魚(yú)的日銷售利潤(rùn)為W元，如果不考慮其他因素，求當(dāng)銷售價(jià)格x為多少時(shí)，日銷售利潤(rùn)W最大？最大的日銷售利潤(rùn)是多少元？
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】見(jiàn)解析
【點(diǎn)撥】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，由表中數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)每日總利潤(rùn)＝每千克利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【解析】解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0）．
將x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分別代入，得：，
解得：，
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是：y＝﹣10x+600．
（2）W＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000．
當(dāng)x＝﹣＝45時(shí)，在30≤x＜60的范圍內(nèi)，W取到最大值，最大值是2250．
答：銷售價(jià)格為每千克45元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是2250元．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系寫出函數(shù)解析式．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 臺(tái)州）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度為EF的長(zhǎng)．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；
②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍．
（2）若EF＝1m．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接寫出h的最小值．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）①y＝﹣（x﹣2）2+2，OC為6m；
②（2，0）；
③2≤d≤2﹣1；
（2）．
【點(diǎn)撥】（1）①由頂點(diǎn)A（2，2）得，設(shè)y＝a（x﹣2）2+2，再根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)（0，1.5），可得a的值，從而解決問(wèn)題；
②由對(duì)稱軸知點(diǎn)（0，1.5）的對(duì)稱點(diǎn)為（4，1.5），則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到的，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
③根據(jù)EF＝0.5，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案；
（2）當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)D、F恰好分別在兩條拋物線上，故設(shè)點(diǎn)D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F(xiàn)（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），則有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，從而得出答案．
【解析】解：（1）①如圖1，由題意得A（2，2）是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)y＝a（x﹣2）2+2，
又∵拋物線過(guò)點(diǎn)（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+2，
當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴噴出水的最大射程OC為6m；
②∵對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴點(diǎn)（0，1.5）的對(duì)稱點(diǎn)為（4，1.5），
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)2≤x≤6時(shí)，要使y≥0.5，
則x≤2+2，
∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而增大，且x＝0時(shí)，y＝1.5＞0.5，
∴當(dāng)0≤x≤6時(shí)，要使y≥0.5，則0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，
∴d的最大值為2+2﹣3＝2﹣1，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥OB，
∴d的最小值為2，
綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤2﹣1；
（2）當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)D、F恰好分別在兩條拋物線上，
設(shè)點(diǎn)D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F(xiàn)（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），
則有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)四　 二次函數(shù)的綜合題
◇典例4：（2023 余姚市二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），且經(jīng)過(guò)D（2，﹣3）．
（1）求b和c的值；
（2）點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得A′B′，其中A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A′、B′．
①當(dāng)B′與D點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段A′B′，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，若線段A′B′與拋物線y＝x2+bx+c有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）①（﹣1，﹣1）②﹣1≤m≤0或m＝3．
【點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）①過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，則△PEB≌△DFP，即PF＝BE，PE＝DF，根據(jù)EF＝3解題即可；
②由當(dāng)x＝m時(shí)，y＝m2﹣2m﹣3，由旋轉(zhuǎn)可得PB＝3﹣m≥0﹣（m2﹣2m﹣3），再根據(jù)﹣1≤m≤3求出解集即可．
【解析】解：（1）把（0，﹣3）和（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
（2）①如圖，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，
則∠PEB＝∠PFD＝90°，EF＝3，
由旋轉(zhuǎn)得：∠BPD＝90°，PB＝PD，
∴∠EPB+∠BPE＝90°，∠EPB+∠FPD＝90°，
∴∠BPE＝∠FPD，
∴△PEB≌△DFP，
∴PF＝BE，PE＝DF，
令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0）
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則PF＝BE＝3﹣x，PE＝DF＝2﹣x，
即EF＝3﹣x+2﹣x＝3，
解得：x＝1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），
②∵PB＝3﹣m，
當(dāng)x＝m時(shí)，y＝m2﹣2m﹣3，
由題可知：3﹣m≥0﹣（m2﹣2m﹣3），
即m（m﹣3）≥0，
由同號(hào)兩數(shù)相乘得正可知：m，m﹣3同號(hào)，
∴或
解得：m≤0或m≥3，
又∵﹣1≤m≤3，
∴﹣1≤m≤0或m＝3．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形，二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 臨平區(qū)二模）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）．
（1）已知a＝1．
①若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（0，3）和（﹣1，0）兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式；
②若將函數(shù)圖象向下平移兩個(gè)單位后與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求b+c的最小值．
（2）若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（﹣2，m），（﹣3，n）和（x0，c），且c＜n＜m，求x0的取值范圍．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）①函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝x2+4x+3；②b+c的最小值為1；
（2）﹣x0＝0或﹣5＜x0＜﹣3．
【點(diǎn)撥】（1）①利用待定系數(shù)法求出b，c的值，即可得出函數(shù)的表達(dá)式．
②寫出平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象向下平移兩個(gè)單位后與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，利用判別式Δ＝0，即b2﹣4（c﹣2）＝0，整理為，進(jìn)而求出b+c，再配方，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
（2）判定a＜0，由c＜n＜m，則|x0﹣x0|＞|x0+3|＞|x0+2|，即可求解．
【解析】解：（1）∵a＝1，
∴y＝x2+bx+c．
①將（0，3）和（﹣1，0）兩點(diǎn)代入y＝x2+bx+c．得，
，
解得：．
∴y＝x2+4x+3．
答：函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝x2+4x+3．
②函數(shù)向下平移兩個(gè)單位得y＝x2+bx+c﹣2，此時(shí)該函數(shù)與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝0，
即b2﹣4（c﹣2）＝0，
b2﹣4c+8＝0，
，
∴b+c＝b+＝，
∴當(dāng)b＝﹣2時(shí)，b+c的最小值為1．
答：b+c的最小值為1；
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝ax2+bx+c＝c，即拋物線和y軸的交點(diǎn)為：（0，c），
而（x0，c），則拋物線的對(duì)稱軸為x＝x0，
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（﹣2，m），（﹣3，n）且n＜m，
∴x＝﹣3比直線x＝﹣2離拋物線對(duì)稱軸更近，
∴拋物線的對(duì)稱軸在x＝﹣的左側(cè)，
則c＞m和題設(shè)矛盾，故a＜0，
∵c＜n＜m，
則|x0﹣x0|＞|x0+3|＞|x0+2|，
解得：﹣5＜x0＜﹣3．
綜上，滿足條件的x0＝0或﹣5＜x0＜﹣3．
【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)、解不等式、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式等，對(duì)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的深度理解是本題解題的關(guān)鍵．
1．（2022 紹興）已知拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．
【解析】解：∵拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以寫成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出m的值．
2．（2023 麗水）一個(gè)球從地面豎直向上彈起時(shí)的速度為10米/秒，經(jīng)過(guò)t（秒）時(shí)球距離地面的高度h（米）適用公式h＝10t﹣5t2，那么球彈起后又回到地面所花的時(shí)間t（秒）是（　　）
A．5 B．10 C．1 D．2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，
解得：t＝2或t＝0（不合題意舍去），
∴那么球彈起后又回到地面所花的時(shí)間是2秒；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023 越秀區(qū)校級(jí)二模）若函數(shù)y＝x2﹣2x﹣m與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則一次函數(shù)y＝（m+1）x+m﹣1的圖象不經(jīng)過(guò)第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】A
【點(diǎn)撥】由二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣m與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，可知Δ＜0，得出m＜﹣1，然后根據(jù)m的取值判定m+1，m﹣1的取值即可．
【解析】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣m與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
∴Δ＜0，即4+4m＜0，
∴m＜﹣1，
∴m+1＜0，m﹣1＜0，
一次函數(shù)經(jīng)過(guò)二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵，
4．（2021 寧波模擬）已知函數(shù)y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0），當(dāng)p＜x＜q時(shí)，y1＜y2，則（　　）
A．0＜q﹣p≤1 B．0＜q﹣p＜1 C．0＜q﹣p≤2 D．0＜q﹣p＜2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）．
【答案】B
【點(diǎn)撥】聯(lián)立y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0）并解得x＝0或1，則0＜x＜1時(shí)，y1＜y2，進(jìn)而求解．
【解析】解：聯(lián)立y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0）并解得x＝0或1，
∵m＞0，故拋物線開(kāi)口向上，
則0＜x＜1時(shí)，y1＜y2，
∵p＜x＜q時(shí)，y1＜y2，
∴0≤p＜q＜1，
∴0＜q﹣p＜1，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，弄懂題意，明確p、q代表的意義是本題解題的關(guān)鍵．
5．（2022 寧波模擬）一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與二次函數(shù)y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．a(chǎn)x2+2ax﹣b＞kx﹣c時(shí)，n＜x＜m B．當(dāng)x≥0時(shí)，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣，y1）在二次函數(shù)y＝ax2+2ax+c圖象上，則y1＜c D．﹣ac+bk＞0
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【答案】C
【點(diǎn)撥】A選項(xiàng)將ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移項(xiàng)可得，ax2+2ax+c＞kx+b，根據(jù)圖象求解判斷為對(duì)；
B選項(xiàng)當(dāng)x≥0時(shí)，拋物線最高點(diǎn)（即ax2+2ax﹣b的最大值）為拋物線與y的交點(diǎn)，此點(diǎn)為（0，c），即可求解判斷為對(duì)；
C選項(xiàng)拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣＝﹣1，所以在拋物線上與點(diǎn)（0，c）關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1對(duì)稱的點(diǎn)是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，可判斷為錯(cuò)；
D選項(xiàng)因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向下，且與y軸交點(diǎn)在正半軸，所以，a＜0，c＞0，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)二、四象限，且與y軸交于負(fù)半軸，所以k＜0，b＜0，即可判斷為對(duì)．
【解析】解：A選項(xiàng)，對(duì)于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移項(xiàng)可得，ax2+2ax+c＞kx+b，對(duì)應(yīng)于圖中即是拋物線在直線上方的部分，由圖可知，兩個(gè)曲線交點(diǎn)的x坐標(biāo)為x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，所以A正確；
B選項(xiàng)，當(dāng)x≥0時(shí)，拋物線最高點(diǎn)（即ax2+2ax+c的最大值）為拋物線與y的交點(diǎn)，此點(diǎn)為（0，c），所以，當(dāng)x≥0時(shí)，ax2+2ax+c≤c，所以B正確；
C選項(xiàng)，在拋物線中，有對(duì)稱軸公式可知，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣＝﹣1，所以在拋物線上與點(diǎn)（0，c）關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1對(duì)稱的點(diǎn)是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，所以C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向下，且與y軸交點(diǎn)在正半軸，所以，a＜0，c＞0，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)二、四象限，且與y軸交于負(fù)半軸，所以k＜0，b＜0，所以，﹣ac+bk＞0，D正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系以及結(jié)合不等式運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
6．（2023 余杭區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y1＝（ax+1）（bx+1），y2＝（x+a）（x+b），（a，b為常數(shù)，且ab≠0），則下列判斷正確的是（　　）
A．若ab＜1，當(dāng)x＞1時(shí)，則y1＞y2 B．若ab＞1，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，則y1＞y2
C．若ab＜﹣1，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，則y1＞y2 D．若ab＞﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，則y1＞y2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【答案】B
【點(diǎn)撥】先計(jì)算y1﹣y2＝（ax+1）（bx+1）﹣（x+a）（x+b）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1），再根據(jù)各選項(xiàng)給定的條件逐一分析即可得到答案．
【解析】解：∵ab＜1，x＞1，
∴ab﹣1＜0，x﹣1＞0，x+1＞0，
∴y1﹣y2＝（ax+1）（bx+1）﹣（x+a）（x+b）
＝abx2+ax+bx+1﹣x2﹣ax﹣bx﹣ab
＝（ab﹣1）x2+1﹣ab
＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1），
∴y1﹣y2＜0；
∴y1＜y2；故A不符合題意；
∵ab＞1，x＜﹣1，
∴ab﹣1＞0，x﹣1＜0，x+1＜0，
∴y1﹣y2＞0；
∴y1＞y2；故B符合題意；
∵ab＜﹣1，x＜﹣1，
∴ab﹣1＜0，x﹣1＜0，x+1＜0，
∴y1﹣y2＜0；
∴y1＜y2；故C不符合題意；
∵ab＞﹣1，x＞1，
∴ab﹣1＞﹣2，x﹣1＞0，x+1＞0，
∴y1﹣y2可以比0大，也可以比0小；
∴y1，y2的大小不確定；故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的函數(shù)值的大小比較，因式分解的應(yīng)用，熟練的利用作差的方法比較大小是解本題的關(guān)鍵．
7．（2023 寧波）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．點(diǎn)（1，2）在該函數(shù)的圖象上 B．當(dāng)a＝1且﹣1≤x≤3時(shí)，0≤y≤8
C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)
D．當(dāng)a＞0時(shí)，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸一定在直線x＝的左側(cè)
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【答案】C
【點(diǎn)撥】將點(diǎn)（1，2）代入拋物線的解析式即可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷；將a＝1代入拋物線的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），據(jù)此可對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行判斷；令y＝0，則ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判斷該方程判別式的符號(hào)即可對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行判斷；求出拋物線的解析式為：，然后根據(jù)a＞0得，據(jù)此可對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行判斷．
【解析】解：①對(duì)于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a
∵a≠0，
∴y＝2﹣2a≠2，
∴點(diǎn)A（1，2）不在該函數(shù)的圖象上，
故選項(xiàng)A不正確；
②當(dāng)a＝1時(shí)，拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），
即當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣1＜0，
故得選項(xiàng)B不正確；
③令y＝0，則ax2﹣（3a+1）x+3＝0，
∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，
∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)，
故選項(xiàng)C正確；
④∵該拋物線的對(duì)稱軸為直線：，
又∵a＞0，
∴，
∴該拋物線的對(duì)稱軸一定在直線的右側(cè)，
故選項(xiàng)D不正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握求二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸以及判定與x軸有無(wú)交點(diǎn)的方法．
8．（2021 普陀區(qū)模擬）如圖是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（1，4），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是B（3，0），下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝4有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】通過(guò)圖象得到a、b、c符號(hào)和拋物線對(duì)稱軸，將方程ax2+bx+c＝4轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，利用拋物線頂點(diǎn)證明x（ax+b）≤a+b
【解析】解：由圖象可知，拋物線開(kāi)口向下，則a＜0，c＞0
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（1，4）
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣
∴b＝﹣2a
∴b＞0，則①錯(cuò)誤，②正確；
方程ax2+bx+c＝4方程的解，可以看作直線y＝4與拋物線y＝ax2+bx+c的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
由圖象可知，直線y＝4經(jīng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)，則直線y＝4與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
則方程ax2+bx+c＝4有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③正確；
由拋物線對(duì)稱性，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（﹣1.0）則④錯(cuò)誤；
不等式x（ax+b）≤a+b可以化為ax2+bx+c≤a+b+c
∵拋物線頂點(diǎn)為（1，4）
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y最大＝a+b+c
∴ax2+bx+c≤a+b+c故⑤正確
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)與圖象位置的關(guān)系、拋物線對(duì)稱性和最值，以及用函數(shù)的觀點(diǎn)解決方程或不等式．
9．（2020 溫州模擬）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m，則水面下降1m時(shí)，水面寬度增加　（2﹣4）　m．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（2﹣4）
【點(diǎn)撥】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再通過(guò)把y＝﹣1代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．
【解析】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過(guò)AB，縱軸y通過(guò)AB中點(diǎn)O且通過(guò)C點(diǎn)，則通過(guò)畫(huà)圖可得知O為原點(diǎn)，
拋物線以y軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，可求出OA和OB為AB的一半2米，拋物線頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝ax2+2，代入A點(diǎn)坐標(biāo)（﹣2，0），
得：a＝﹣0.5，
所以拋物線解析式為y＝﹣0.5x2+2，
把y＝﹣1代入拋物線解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，
所以水面寬度增加到2米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了2﹣4，
故答案為：（2﹣4）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
10．（2023 拱墅區(qū)校級(jí)模擬）公路上行駛的汽車急剎車時(shí)，剎車距離s（m）與時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系式為s＝16t﹣4t2，當(dāng)遇到緊急情況剎車時(shí)，由于慣性的作用，汽車要滑行 　16　m才能停下．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】16．
【點(diǎn)撥】由題意得，此題實(shí)際是求從開(kāi)始剎車到停止所走的路程，即s的最大值．把拋物線解析式化成頂點(diǎn)式后，即可解答．
【解析】解：s＝16t﹣4t2＝﹣4（t﹣2）2+16，
∵﹣4＜0，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，s最大，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，汽車停下來(lái)，滑行了16m．
故答案為：16．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式．
11．（2023 甌海區(qū)一模）某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為9元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明，當(dāng)售價(jià)在10元到14元之間（含10元，14元）浮動(dòng)時(shí)，日均銷售量y（瓶）與每瓶銷售價(jià)x（元）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝1360﹣80x．當(dāng)銷售價(jià)格定為每瓶 　13　元時(shí)，所得日均毛利潤(rùn)最大（每瓶毛利潤(rùn)＝每瓶售價(jià)﹣每瓶進(jìn)價(jià)）．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】13．
【點(diǎn)撥】設(shè)日均毛利潤(rùn)為w元，根據(jù)每日的毛利潤(rùn)＝每瓶的毛利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【解析】解：設(shè)日均毛利潤(rùn)為w元，
根據(jù)題意得：w＝（x﹣9）y＝（x﹣9）（1360﹣80x）＝﹣80x2+2080x﹣12240＝﹣80（x﹣13）2+1280，
∵﹣80＜0，10≤x≤14，
∴當(dāng)x＝13時(shí)，w有最大值，最大值為1280，
∴當(dāng)銷售價(jià)格定為每瓶13元時(shí)，所得日均毛利潤(rùn)最大，
故答案為：13．
【點(diǎn)睛】本題考查了銷售問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，二次函數(shù)的運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
12．（2023 寧波模擬）教練對(duì)小明投擲實(shí)心球的訓(xùn)練錄像進(jìn)行了技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球在行進(jìn)過(guò)程中高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為y＝﹣（x﹣4）2+2，由此可知小明此次投擲的成績(jī)是 　9　m．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】9．
【點(diǎn)撥】當(dāng)y＝0時(shí)代入解析式y(tǒng)＝﹣（x﹣4）2+2，求出x的值就可以求出結(jié)論．
【解析】解：由題意得，
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣（x﹣4）2+2＝0，
化簡(jiǎn)，得：（x﹣4）2＝25，
解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去），
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．
13．（2021 臺(tái)州）以初速度v（單位：m/s）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過(guò)程中，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝vt﹣4.9t2．現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為v1，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h1（如圖1）；小球落地后，豎直向上彈起，初速度為v2，經(jīng)過(guò)時(shí)間t2落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h2（如圖2）．若h1＝2h2，則t1：t2＝　：1　．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；解直角三角形．
【答案】：1．
【點(diǎn)撥】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根據(jù)h1＝2h2，求出v1＝v2，可得結(jié)論．
【解析】解：由題意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，
∵h(yuǎn)1＝2h2，
∴v1＝v2，
∴t1：t2＝v1：v2＝：1，
故答案為：：1．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出t1，t2，證明v1＝v2即可．
14．（2023 余姚市一模）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣1，0），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式和其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若一次函數(shù)y2＝kx+3的圖象經(jīng)過(guò)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y1＞y2時(shí)x的取值范圍．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；兩條直線相交或平行問(wèn)題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【答案】（1）所求二次函數(shù)表達(dá)式為，頂點(diǎn)為（﹣2，﹣1）；
（2）x的取值范圍為x＜﹣2或x＞0．
【點(diǎn)撥】（1）設(shè)函數(shù)的交點(diǎn)式為y1＝a（x+1）（x+3），化為一般式，比較系數(shù)求解；
（2）根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想求解．
【解析】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∴函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為y1＝a（x+1）（x+3），
即．
又∵，
∴a＝1，b＝4，
∴所求二次函數(shù)表達(dá)式為．
∵，
∴其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），
（2）直線y2與拋物線y1相交于（﹣2．﹣1）和（0，3），
根據(jù)圖象可知：x的取值范圍為x＜﹣2或x＞0．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，理解數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
15．（2022 寧波）為了落實(shí)勞動(dòng)教育，某學(xué)校邀請(qǐng)農(nóng)科院專家指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小番茄的種植，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，其平均單株產(chǎn)量y千克與每平方米種植的株數(shù)x（2≤x≤8，且x為整數(shù)）構(gòu)成一種函數(shù)關(guān)系．每平方米種植2株時(shí)，平均單株產(chǎn)量為4千克；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）每平方米種植多少株時(shí)，能獲得最大的產(chǎn)量？最大產(chǎn)量為多少千克？
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】見(jiàn)解析
【點(diǎn)撥】（1）由每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
（2）設(shè)每平方米小番茄產(chǎn)量為W千克，由產(chǎn)量＝每平方米種植株數(shù)×單株產(chǎn)量即可列函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
【解析】解：（1）∵每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克，
∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
答：y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x為整數(shù)）；
（2）設(shè)每平方米小番茄產(chǎn)量為W千克，
根據(jù)題意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，
∵﹣0.5＜0，
∴當(dāng)x＝5時(shí)，W取最大值，最大值為12.5，
答：每平方米種植5株時(shí)，能獲得最大的產(chǎn)量，最大產(chǎn)量為12.5千克．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．
16．（2023 溫州）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過(guò)計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；
（2）對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門，才能讓足球經(jīng)過(guò)點(diǎn)O正上方2.25m處？
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】解析
【點(diǎn)撥】（1）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），設(shè)拋物線為 y＝a（x﹣2）2+3，用待定系數(shù)法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射進(jìn)球門．
（2）設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)m米，則移動(dòng)后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把點(diǎn)（0，2.25）代入得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門，才能讓足球經(jīng)過(guò)點(diǎn)O正上方2.25m處．
【解析】解：（1）∵8﹣6＝2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
設(shè)拋物線為 y＝a（x﹣2）2+3，
把點(diǎn)A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣2）2+3；
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣×4+3＝＞2.44，
∴球不能射進(jìn)球門．
（2）設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)m米，則移動(dòng)后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，
把點(diǎn)（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，
解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，
∴當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門，才能讓足球經(jīng)過(guò)點(diǎn)O正上方2.25m處．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決．
17．（2023 嵊州市一模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+ax+b的圖象與直線y＝﹣x+3的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，7），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）．
（1）求二次函數(shù)y＝x2+ax+b的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)M向下平移h（h＞0）個(gè)單位得到點(diǎn)N．
①若點(diǎn)N在二次函數(shù)的圖象上，求h的最大值；
②若h＝4，線段MN與二次函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣1；
（2）①h的最大值為；
②﹣4≤m≤﹣3或0≤m≤1．
【點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m+3）（﹣4＜m＜1），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m+3﹣h），將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可得h＝﹣m2﹣3m+4＝﹣（m+）2+，再運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；
②當(dāng)h＝4時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣1），把N（m，﹣m﹣1）代入y＝x2+2x﹣1，求解即可得出答案．
【解析】解：（1）把A（﹣4，7），B（1，2）代入y＝x2+ax+b得：，
解得：，
∴該二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x﹣1；
（2）①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m+3）（﹣4＜m＜1），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m+3﹣h）．
把N（m，﹣m+3﹣h）代入y＝x2+2x﹣1，得：﹣m+3﹣h＝m2+2m﹣1，
∴h＝﹣m2﹣3m+4＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，﹣4＜m＜1，
∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，h的最大值為；
②當(dāng)h＝4時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣1），
把N（m，﹣m﹣1）代入y＝x2+2x﹣1，得：﹣m﹣1＝m2+2m﹣1，
即m2+3m＝0，
∴m＝0或m＝﹣3，
∵﹣4＜m＜1，
∴﹣4≤m≤﹣3或0≤m≤1．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2021 衢州）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長(zhǎng)CD均為24m，在距離D點(diǎn)6米的E處，測(cè)得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求橋拱頂部O離水面的距離．
（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過(guò)相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為1m．
①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求一條彩帶長(zhǎng)度的最小值．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）6m；
（2）右邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式：y＝（x﹣6）2+1，左邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式為：y3＝（x+6）2+1；
（3）2m．
【點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算求解；
（2）①由圖象分析右邊鋼纜所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
②根據(jù)題意，列式y(tǒng)2﹣y1利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【解析】解：（1）根據(jù)題意可知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，﹣1.5），可設(shè)拱橋側(cè)面所在二次函數(shù)表達(dá)式為：y1＝a1x2．
將F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1＝，
∴y1＝x2，
當(dāng)x＝12時(shí)，y1＝×122＝﹣6，
∴橋拱頂部離水面高度為6m．
（2）①由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），可設(shè)其表達(dá)式為y2＝a2（x﹣6）2+1，
將H（0，4）代入其表達(dá)式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝，
∴右邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式為：y2＝（x﹣6）2+1，同理可得左邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式為：y3＝（x+6）2+1
②設(shè)彩帶的長(zhǎng)度為L(zhǎng)m，
則L＝y(tǒng)2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（x2）＝＝，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，L最小值＝2，
答：彩帶長(zhǎng)度的最小值是2m．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解決此類型題一般先根據(jù)題意設(shè)出適當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)表達(dá)式（一般式、頂點(diǎn)式或交點(diǎn)式），再結(jié)合實(shí)際和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解．
1．（2022 高密市一模）下表是若干組二次函數(shù)y＝x2﹣5x+c的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值：
x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 …
y … 0.36 0.13 ﹣0.08 ﹣0.27 ﹣0.44 …
那么方程x2﹣5x+c＝0的一個(gè)近似根（精確到0.1）是（　　）
A．1.4 B．1.5 C．3.4 D．3.6
【考點(diǎn)】圖象法求一元二次方程的近似根．
【答案】B
【點(diǎn)撥】觀察表格可得﹣0.08更接近于0，得到方程的一個(gè)近似根（精確到0.1）是1.5，再由y＝x2﹣5x+c的對(duì)稱軸為x＝得到方程x2﹣5x+c＝0的另一個(gè)近似根（精確到0.1）是3.5．
【解析】解：觀察表格得：方程x2﹣5x+c＝0的一個(gè)近似根（精確到0.1）是1.5，
∵y＝x2﹣5x+c的對(duì)稱軸為x＝，
∴方程x2﹣5x+c＝0的另一個(gè)近似根（精確到0.1）是3.5，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023 陜西）如表中列出的是一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值：
x … ﹣3 0 3 5 …
y … 16 ﹣5 ﹣8 0 …
則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（　　）
A．圖象的頂點(diǎn)在第一象限 B．有最小值﹣8
C．圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（﹣1，0） D．圖象開(kāi)口向下
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的最值．
【答案】C
【點(diǎn)撥】由表格中的幾組數(shù)求得二次函數(shù)的解析式，然后通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果．
【解析】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，
由題意知，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1）＝（x﹣2）2﹣9，
∴函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，頂點(diǎn)為（2，﹣9），圖象與x軸的交點(diǎn)是（﹣1，0）和（5，0），
∴頂點(diǎn)在第四象限，函數(shù)有最小值﹣9，
故A、B、D選項(xiàng)不正確，選項(xiàng)C正確，符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)根據(jù)表格中的信息求得函數(shù)的解析式．
3．（2023 湛江一模）已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+1的值為（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），可以得到m2﹣m﹣1＝0，即可得到m2﹣m＝1，然后代入所求式子計(jì)算即可．
【解析】解：∵拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+1
＝1+1
＝2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是求出m2﹣m的值．
4．（2023 秦皇島一模）某商店銷售一批頭盔，售價(jià)為每頂80元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進(jìn)價(jià)為每頂50元，則該商店每月獲得最大利潤(rùn)時(shí)，每頂頭盔的售價(jià)為（　　）元．
A．50 B．90 C．80 D．70
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可以寫出利潤(rùn)和售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)．
【解析】解：設(shè)利潤(rùn)為w元，每頂頭盔的售價(jià)為x元，
由題意可得：w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴當(dāng)x＝70時(shí)，w取得最大值，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
5．（2021 蕭山區(qū)一模）已知二次函數(shù)y1＝ax2+ax﹣1，y2＝x2+bx+1，令h＝b﹣a，（　　）
A．若h＝1，a＜1，則y2＞y1 B．若h＝2，a＜，則y2＞y1
C．若h＝3，a＜0，則y2＞y1 D．若h＝4，a＜﹣，則y2＞y1
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【答案】B
【點(diǎn)撥】先利用y2減去y1，整理，然后由二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)及二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)的一元二次方程判別式的關(guān)系，可得1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0，據(jù)此對(duì)各個(gè)選項(xiàng)計(jì)算分析即可．
【解析】解：y2﹣y1＝（1﹣a）x2+（b﹣a）x+2，
由y2＞y1得y2﹣y1＞0，
∴1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0，
A、若h＝1，a＜1，則b﹣a＝1，1﹣a＞0，
△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＝1﹣8（1﹣a）＝﹣7+8a，無(wú)法判斷Δ與0的大小關(guān)系，故A錯(cuò)誤；
B、若h＝2，a＜，則b﹣a＝2，1﹣a＞，
△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＝4﹣8（1﹣a）＝﹣4+8a＜0，故B正確；
C、若h＝3，a＜0，則b﹣a＝3，1﹣a＞1，
△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＝9﹣8（1﹣a）＝1+8a，無(wú)法判斷Δ與0的大小關(guān)系，故C錯(cuò)誤；
D、若h＝4，a＜﹣，則b﹣a＝4，1﹣a＞，
△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＝16﹣8（1﹣a），無(wú)法判斷Δ與0的大小關(guān)系，故C錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式、二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)的一元二次方程判別式之間的關(guān)系，明確上述關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
6．（2023 路橋區(qū)一模）如圖，不考慮空氣阻力，以一定的速度將小球沿斜上方擊出時(shí)，小球飛行的高度是飛行時(shí)間的二次函數(shù)．現(xiàn)以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次擊出三個(gè)質(zhì)地一樣的小球，小球在各自擊出后1秒到達(dá)相同的最大飛行高度，若整個(gè)過(guò)程中同時(shí)出現(xiàn)在空中的小球個(gè)數(shù)最大值為2（不考慮小球落地后再?gòu)椘穑瑒tt的取值范圍是（　　）
A．0＜t＜1 B．1≤t＜2 C． D．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，再分析二次函數(shù)的性質(zhì)即可．
【解析】解：以球出發(fā)的地方為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
由題意得，二次函數(shù)過(guò)原點(diǎn)且對(duì)稱軸為直線t＝1，
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為h＝a（t﹣1）2+k，
代入原點(diǎn)得0＝a（0﹣1）2+k，
解得k＝﹣a，
∴h＝a（t﹣1）2﹣a，
令h＝0得a（t﹣1）2﹣a＝0，解得t1＝0，t2＝2，
∴一個(gè)球從出發(fā)到落地用時(shí)2秒，
∵整個(gè)過(guò)程中同時(shí)出現(xiàn)在空中的小球個(gè)數(shù)最大值為2（不考慮小球落地后再?gòu)椘穑?br/>∴，
解得1≤t＜2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根據(jù)題意建立方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．（2023 振興區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是（　　）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）．
【答案】A
【點(diǎn)撥】利用數(shù)形結(jié)合思想，把不等式的解集轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問(wèn)題求解．
【解析】解：如圖所示：
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），
根據(jù)函數(shù)圖象得：不等式ax2+c≤kx+m的解集是x≥1或x≤﹣3，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想，把不等式解集轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
8．（2023 自貢）經(jīng)過(guò)A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知＝﹣，再根據(jù)經(jīng)過(guò)A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點(diǎn)，可知Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的關(guān)系，求出b和c的值，再根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可計(jì)算出線段AB長(zhǎng)．
【解析】解：∵經(jīng)過(guò)A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點(diǎn)，
∴＝﹣，Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，
∴b＝c+1，b2≤4c，
∴（c+1）2≤4c，
∴（c﹣1）2≤0，
∴c﹣1＝0，
解得c＝1，
∴b＝c+1＝2，
∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|
＝|4b+c﹣1﹣2+3b|
＝|7b+c﹣3|
＝|7×2+1﹣3|
|14+1﹣3|
＝12，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出b和c的值．
9．（2023 濟(jì)南模擬）二次函數(shù)y＝﹣x2+mx的圖象如圖，對(duì)稱軸為直線x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（　　）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
【考點(diǎn)】圖象法求一元二次方程的近似根；拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【答案】D
【點(diǎn)撥】如圖，關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是拋物線y＝﹣x2+mx與直線y＝t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用圖象法即可解決問(wèn)題．
【解析】解：如圖，關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是拋物線y＝﹣x2+mx與直線y＝t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由題意可知：m＝4，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3，
當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣5，
由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，
直線y＝t在直線y＝﹣5和直線y＝4之間包括直線y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圖象法解決問(wèn)題，畫(huà)出圖象是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考選擇題中的壓軸題．
10．（2022 鄞州區(qū)校級(jí)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集為1＜x＜3．正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】由拋物線的開(kāi)口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解析】解：①拋物線開(kāi)口向上，則a＞0，故正確；
②由圖象可知：拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)，即Δ＜0
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故錯(cuò)誤；
③由圖象可知：拋物線過(guò)點(diǎn)（1，1），（3，3），即當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＝1，
當(dāng)x＝3時(shí)，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，
∴4a+b＝1，故錯(cuò)誤；
④∵點(diǎn)（1，1），（3，3）在直線y＝x上，
由圖象可知，當(dāng)1＜x＜3時(shí)，拋物線在直線y＝x的下方，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集為1＜x＜3，故正確；
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定．
11．（2023 郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m＝　9　．
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【答案】9
【點(diǎn)撥】利用判別式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)知識(shí)，明確Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12．（2023 洪雅縣模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 　﹣3＜x＜0　．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）．
【答案】﹣3＜x＜0．
【點(diǎn)撥】根據(jù)圖象寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．
【解析】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）兩點(diǎn)，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是﹣3＜x＜0．
故答案為：﹣3＜x＜0．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，主要利用了數(shù)形結(jié)合的思想．
13．（2022 大慶）已知函數(shù)y＝mx2+3mx+m﹣1的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為 　1或﹣　．
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】1或﹣．
【點(diǎn)撥】函數(shù)y＝mx2+3mx+m﹣1的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，分情況討論，①過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，m﹣1＝0，m＝1，②與x、y軸各一個(gè)交點(diǎn)，得出Δ＝0，m≠0．
【解析】解：當(dāng)m＝0時(shí)，y＝﹣1，與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．
當(dāng)m≠0時(shí)，∵函數(shù)y＝mx2+3mx+m﹣1的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，
①過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，m﹣1＝0，m＝1，
②與x、y軸各一個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣，
綜上所述：m的值為1或﹣．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的情況，看清題意，分情況討論是解題關(guān)鍵．
14．（2023 晉城模擬）根據(jù)表格估計(jì)方程x2+2x＝6其中一個(gè)解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …
x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根據(jù)上表，求方程x2+2x＝6的一個(gè)解大約是 　1.65　.（精確到0.01）
【考點(diǎn)】圖象法求一元二次方程的近似根；解一元二次方程﹣配方法．
【答案】1.65．
【點(diǎn)撥】先根據(jù)表中所給的數(shù)，再與6相減，然后所得的值進(jìn)行比較，差值越小的越接近方程的解．
【解析】解：根據(jù)題意得：
6﹣5.9696＝0.0304，
6.0225﹣6＝0.0225，
0.0304＞0.0225，
可見(jiàn)6.0225比5.9696更逼近6，
當(dāng)精確度為0.01時(shí)，方程x2+2x＝6的一個(gè)解約是1.65；
故答案為：1.65．
【點(diǎn)睛】此題考查了估算一元二次方程的近似解，解題的關(guān)鍵是找出表中與6最接近的數(shù)，算出差額，再比較，相差越小的數(shù)越比較接近．
15．（2023 寶山區(qū)一模）如圖，用長(zhǎng)為12米的籬笆圍成一個(gè)矩形花圃，花圃一面靠墻（墻的長(zhǎng)度超過(guò)12米），設(shè)花圃垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，花圃面積為y平方米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 　y＝x（12﹣2x）　．（不要求寫出定義域）
【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式．
【答案】y＝x（12﹣2x）．
【點(diǎn)撥】由籬笆的總長(zhǎng)及花圃垂直于墻的一邊長(zhǎng)度，可得出花圃平行于墻的一邊長(zhǎng)為（12﹣2x）米，再利用矩形的面積公式，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
【解析】解：∵籬笆的總長(zhǎng)為12米，花圃垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，
∴花圃平行于墻的一邊長(zhǎng)為（12﹣2x）米．
根據(jù)題意得：y＝x（12﹣2x）．
故答案為：y＝x（12﹣2x）．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y關(guān)于x的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
16．（2023 舒城縣二模）已知直線y1＝kx﹣4k經(jīng)過(guò)拋物線y2＝ax2﹣4ax（a≠0）的頂點(diǎn)，且當(dāng)x＜2時(shí)，y1＞y2．則：
（1）直線y1與拋物線y2都經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是 　（4，0）　．
（2）當(dāng)y2＞y1時(shí)，x的取值范圍是 　2＜x＜4　．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）．
【答案】（1）（4，0）；（2）2＜x＜4．
【點(diǎn)撥】（1）直線y1與拋物線y2都經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)（4，0），即可求解；
（2）根據(jù)題意可得直線y1與拋物線y2的交點(diǎn)為（2，﹣4a），（4，0），再結(jié)合當(dāng)x＜2時(shí)，y1＞y2．，畫(huà)出大致圖象，即可．
【解析】解：（1）∵y1＝kx﹣4k＝k（x﹣4），
∴直線y1＝kx﹣4k經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，0），
∵y2＝ax2﹣4ax＝ax（x﹣4），
∴拋物線y2＝ax2﹣4ax（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，0），
即y2與y1都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（4，0）；
故答案為：（4，0）；
（2）∵y2＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，
∴拋物線的頂點(diǎn)為（2，﹣4a），
∵直線y1＝kx﹣4k經(jīng)過(guò)拋物線y2＝ax2﹣4ax（a≠0）的頂點(diǎn)，
∴y1與拋物線y2的交點(diǎn)為（2，﹣4a），（4，0），
∵當(dāng)x＜2時(shí)，y1＞y2．
∴a＜0，k＜0．
畫(huà)出大致圖象如下：
∴當(dāng)y2＞y1時(shí)．x的取值范圍是2＜x＜4．
故答案為：2＜x＜4．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式，涉及到二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)大致圖象是本題解題的關(guān)鍵．
17．（2022 余姚市一模）已知：一次函數(shù)y1＝2x﹣2，二次函數(shù)y2＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)），
（1）如圖，兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)（3，m），（n，﹣6）．求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出當(dāng)y1＜y2時(shí)x的取值范圍．
（2）請(qǐng)寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4，﹣2＜x＜3．
（2）b＝2，c＝﹣2．（答案不唯一）
【點(diǎn)撥】（1）將（3，m），（n，﹣6）代入直線解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)待定系數(shù)法求解，根據(jù)圖象可得y1＜y2時(shí)x的取值范圍．
（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．
【解析】解：（1）將（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，
將（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，
解得n＝﹣2，
∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），（﹣2，﹣6），
將（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4，
由圖象可得﹣2＜x＜3時(shí)，拋物線在直線上方，
∴y1＜y2時(shí)x的取值范圍是﹣2＜x＜3．
（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，
當(dāng)Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0時(shí)，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴b＝2，c＝﹣2，滿足題意．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
18．（2022 拱墅區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y1＝﹣x2+bx+c（b，c是常數(shù)）與一次函數(shù)y2＝kx+c（k是常數(shù)，k≠0）．
（1）若y1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（2，0），求b，c的值；
（2）若y1的圖象可由拋物線y＝ax2+2c（a是常數(shù)，a≠0）向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到，求出y1的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若k+b＝3，當(dāng)x≥2時(shí)，y1＜y2恒成立，求k的取值范圍．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【答案】（1）b＝4，c＝﹣4；
（2）y＝﹣x2﹣4x+3；
（3），
【點(diǎn)撥】（1）拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣＝，當(dāng)x＝2時(shí)，b＝4，y1＝0，即可求解c；
（2）由平移的性質(zhì)即可求解；
（3）作差法：，當(dāng)x≥2時(shí)，y1＜y恒成立即當(dāng)x≥2時(shí)x（x+k﹣b）＞0恒成立，即x＞b﹣k恒成立，
求出b，由k+b＝3，求出k的范圍．
【解析】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣＝2，
解得b＝4，
當(dāng)0＝﹣4+8+c；
c＝﹣4；
（2）由題意得：a＝﹣1，則y＝a（x+2）2+2c+1＝﹣x2+bx+c，
故c＝3，
故拋物線的表達(dá)式為：y1＝﹣x2﹣4x+3，
（3）作差法：，
當(dāng)x≥2時(shí)，y1＜y2恒成立即當(dāng)x≥2時(shí)x（x+k﹣b）＞0恒成立，即x＞b﹣k恒成立，
∴b﹣k＜2，
又∵k+b＝3，
∴3﹣2k＜2，
解得：，
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖形的平移、解不等式等，有一定的綜合性，難度適中．
19．（2021 湖州）今年以來(lái)，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬(wàn)人，五月份為5.76萬(wàn)人．
（1）求四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)百分之幾；
（2）若該景區(qū)僅有A，B兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購(gòu)票方式如下表所示：
購(gòu)票方式 甲 乙 丙
可游玩景點(diǎn) A B A和B
門票價(jià)格 100元/人 80元/人 160元/人
據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購(gòu)票方式的人數(shù)分別有2萬(wàn)、3萬(wàn)和2萬(wàn)，并且當(dāng)甲、乙兩種門票價(jià)格不變時(shí)，丙種門票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購(gòu)買甲種門票的游客和400人原計(jì)劃購(gòu)買乙種門票的游客改為購(gòu)買丙種門票．
①若丙種門票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；
②問(wèn)：將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬(wàn)元？
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用．
【答案】（1）20%；
（2）①798萬(wàn)元；②24元，817.6萬(wàn)元．
【點(diǎn)撥】（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題應(yīng)用題列出方程，解之即可；
（2）①根據(jù)題意丙種門票價(jià)格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）計(jì)算，即可求景區(qū)六月份的門票總收入；
②設(shè)丙種門票價(jià)格降低m元，景區(qū)六月份的門票總收入為W萬(wàn)元，由題意可得W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），化簡(jiǎn)得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果．
【解析】解：（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)率為x，
由題意，得4（1+x）2＝5.76，
解這個(gè)方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)率為20%；
（2）①由題意，得
100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（萬(wàn)元）．
答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬(wàn)元．
②設(shè)丙種門票價(jià)格降低m元，景區(qū)六月份的門票總收入為W萬(wàn)元，
由題意，得
W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），
化簡(jiǎn)，得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，
∵﹣0.1＜0，
∴當(dāng)m＝24時(shí)，W取最大值，為817.6萬(wàn)元．
答：當(dāng)丙種門票價(jià)格下降24元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，最大值是817.6萬(wàn)元．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用．
20．（2023 義烏市模擬）隨著自動(dòng)化設(shè)備的普及，公園中引入了自動(dòng)噴灌系統(tǒng)．圖1是某公園內(nèi)的一個(gè)可垂直升降的草坪噴灌器，從噴水口噴出的水柱均為形狀相同的拋物線，圖2是該噴灌器噴水時(shí)的截面示意圖．
（1）噴水口A離地高度為0.35m，噴出的水柱在離噴水口水平距離為3m處達(dá)到最高，高度為0.8m，且水柱剛好落在公園圍欄和地面的交界B處．
①在圖2中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求出拋物線的解析式；
②求噴灌器底端O到點(diǎn)B的距離；
（2）現(xiàn)準(zhǔn)備在公園內(nèi)沿圍欄建花壇，花壇的截面示意圖為矩形BCDE（如圖3），其中高CD為0.5m．寬CB為0.8m．為達(dá)到給花壇噴灌的效果，需將噴水口A向上升高h(yuǎn)m，使水柱落在花壇的上方DE邊上，求h的取值范圍．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）①建立坐標(biāo)系見(jiàn)見(jiàn)解析，；②7m；
（2）0.212m≤h≤0.5m．
【點(diǎn)撥】（1）①建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
②令y＝0，求得方程的解，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義做出取舍即可；
（2）由題意可得：CD＝0.5m，BC＝0.8m，分別代入，求得k的最小值和最大值，再令x＝0，即可分別求得OA的最小值和最大值，即可求出h的取值范圍．
【解析】解：（1）①以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣3）2+0.8，把A（0，0.35）代入得：0.35＝a（0﹣3）2+0.8，解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為；
②令y＝0，得，解得：x1＝7，x2＝﹣1，
∴B（7，0），
∴OB＝7，
∴噴灌器底端O到點(diǎn)B的距離為7m；
（2）如圖所示：
∴CD＝0.5m，BC＝0.8m，
∴D（6.2，0.5），E（7，0.5），
設(shè)，把D（6.2，0.5）代入得，解得：k＝1.012，
∴，
當(dāng)x＝0時(shí)，，
∴OAmin＝0.562m，
∴h＝0.562﹣0.35＝0.212m，
設(shè)，把E（7，0.5）代入得，，解得：k'＝1.3，
∴，
當(dāng)x＝0時(shí)，＝0.85，
∴OAmax＝0.85m，
∴h＝0.85﹣0.35＝0.5m，
∴使水柱落在花壇的上方DE邊上，h的取值范圍為0.212m≤h≤0.5m．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，理清題中的數(shù)量關(guān)系并結(jié)合實(shí)際分析是解題的關(guān)鍵．
21．（2022 溫州）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？
素材1 圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高．
素材2 為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長(zhǎng)的燈籠，如圖3．為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布．
問(wèn)題解決
任務(wù)1 確定橋拱形狀 在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2 探究懸掛范圍 在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．
任務(wù)3 擬定設(shè)計(jì)方案 給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；坐標(biāo)與圖形變化﹣對(duì)稱．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【點(diǎn)撥】任務(wù)1：利用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
任務(wù)2：根據(jù)該河段水位再漲1.8m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面至少1m，燈籠長(zhǎng)0.4m，計(jì)算懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是﹣1.8m；
任務(wù)3：介紹兩種方案：分別掛7盞和8盞．
【解析】解：任務(wù)1：
以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)為（0，0），且過(guò)點(diǎn)B（10，﹣5），
設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2，
把點(diǎn)B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，
∴a＝﹣，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2；
任務(wù)2：
∵該河段水位再漲1.8m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面不小于1m，燈籠長(zhǎng)0.4m，
∴當(dāng)懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，
即懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是﹣1.8m，
當(dāng)y＝﹣1.8時(shí)，﹣x2＝﹣1.8，
∴x＝±6，
∴懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是：﹣6≤x≤6；
任務(wù)3：
方案一：如圖2（坐標(biāo)軸的橫軸），從頂點(diǎn)處開(kāi)始懸掛燈籠，
∵﹣6≤x≤6，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m，
∴若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛4盞燈籠時(shí)，1.6×4＞6，
若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛3盞燈籠時(shí)，1.6×3＜6，
∴頂點(diǎn)一側(cè)最多懸掛3盞燈籠，
∵燈籠掛滿后成軸對(duì)稱分布，
∴共可掛7盞燈籠，
∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為：﹣1.6×3＝﹣4.8；
方案二：如圖3，
∵若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛5盞燈籠時(shí)，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，
若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛4盞燈籠時(shí)，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，
∴頂點(diǎn)一側(cè)最多懸掛4盞燈籠，
∵燈籠掛滿后成軸對(duì)稱分布，
∴共可掛8盞燈籠，
∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握不同坐標(biāo)系中求解析式，能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線是解題的關(guān)鍵．
22．（2023 蘭溪市模擬）如圖，已知拋物線y＝x2+bx與直線y＝2x交于點(diǎn)O（0，0），A（a，10），點(diǎn)B是拋物線上O，A之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形BCDE的兩個(gè)頂點(diǎn)C、E在直線OA上，點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)BC∥x軸時(shí)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），求m關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，若矩形BCDE的鄰邊之比為1：3，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）拋物線解析式為y＝x2﹣3x；
（2）m＝n2﹣n；
（3）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）或（，﹣）．
【點(diǎn)撥】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求得a的值；然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出b的值，即可得到答案；
（2）根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可表示點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出m，n之間的關(guān)系式；
（3）設(shè)B（t，t2﹣3t），①當(dāng)BC＝3BE時(shí)，過(guò)B作GH∥y軸交x軸于H，過(guò)E作FG∥x軸交y軸于F，交GH于G，由△BCH∽△EBG，可求出BG＝CH＝t，EG＝BH＝，故E（，t2﹣t），又E在直線y＝2x上，有t2﹣t＝2×，可解得B（4，4）；②當(dāng)BE＝3BC時(shí)，過(guò)B作TK∥x軸交y軸于T，過(guò)E作EK⊥x軸于R，交TK于K，同理可得B（，﹣）．
【解析】解：（1）∵點(diǎn)A（a，10）在直線y＝2x上，
∴10＝2a，
解得：a＝5，
∴A（5，10），
∵點(diǎn)A（5，10）是拋物線y＝x2+bx上的一點(diǎn)，
10＝52+5b，
解得b＝﹣3，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣3x；
（2）如圖，
∵直線OA的解析式為y＝2x，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，n），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2m），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，2m），
把點(diǎn)B（n，2m）代入y＝x2﹣3x得：
2m＝n2﹣3×n，
∴m、n之間的關(guān)系式為m＝n2﹣n；
（3）設(shè)B（t，t2﹣3t），
①當(dāng)BC＝3BE時(shí)，過(guò)B作GH∥y軸交x軸于H，過(guò)E作FG∥x軸交y軸于F，交GH于G，如圖：
∴CH＝FG＝t，BH＝t2﹣3t，
∵∠CBH＝90°﹣∠EBG＝∠BEG，∠BHC＝∠G＝90°，
∴△BCH∽△EBG，
∴＝＝，
∵BC＝3BE，
∴BG＝CH＝t，EG＝BH＝，
∴EF＝FG﹣EG＝t﹣＝，GH＝BH+BG＝t2﹣3t+t＝t2﹣t，
∴E（，t2﹣t），
∵E在直線y＝2x上，
∴t2﹣t＝2×，
解得t＝0（此時(shí)B與O重合，舍去）或t＝4，
∴B（4，4）；
②當(dāng)BE＝3BC時(shí)，過(guò)B作TK∥x軸交y軸于T，過(guò)E作EK⊥x軸于R，交TK于K，如圖：
同①可得E（﹣3t2+10t，t2），
代入y＝2x得：t2＝2（﹣3t2+10t），
解得t＝0（舍去）或t＝，
∴B（，﹣）；
綜上所述，點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)，點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，若矩形BCDE的鄰邊之比為1：3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）或（，﹣）．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．
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第三章 函數(shù)
第六節(jié) 二次函數(shù)的應(yīng)用及綜合問(wèn)題
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 二次函數(shù)與方程（組） ☆☆ 二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系，二次函數(shù)的綜合問(wèn)題近幾年出現(xiàn)在幾個(gè)市的中考題中，復(fù)習(xí)中需要注意； 二次函數(shù)的應(yīng)用在中考中較為常見(jiàn)，其中，二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用多為小題，出題率不高，一般需要根據(jù)題意自行建議二次函數(shù)模型; 而利用二次函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題和最值問(wèn)題則多為解答題，此類問(wèn)題需要多注意題意的理解，而且一般計(jì)算數(shù)據(jù)復(fù)雜，還需根據(jù)實(shí)際情況判斷所求結(jié)果是否合適，需要考生在做題過(guò)程中更為細(xì)心對(duì)待。
考點(diǎn)2 二次函數(shù)與不等式（組） ☆☆
考點(diǎn)3二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 ☆☆☆
考點(diǎn)4 二次函數(shù)的綜合題 ☆☆
1.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）
（1）拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
（2）若已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的函數(shù)值為，求自變量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.
（3）二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況
對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：
①△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
②△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
③△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).
2.二次函數(shù)與不等式（組）
（1）涉及一元二次不等式的，可以利用二次函數(shù)圖像圖象求解
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
圖象
與x軸交點(diǎn) 2個(gè)交點(diǎn) 1個(gè)交點(diǎn) 0個(gè)交點(diǎn)
ax2＋bx＋c>0 的解集情況 xx2 x≠ 取任意實(shí)數(shù)
ax2＋bx＋c<0 的解集情況 x1（2）兩個(gè)函數(shù)的值的大小比較，上方圖象的函數(shù)值大于下方圖象的函數(shù)值.
3.利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：
（1）設(shè)實(shí)際問(wèn)題中的變量
（2）建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系
（3）確定自變量的取值范圍，保證自變量具有實(shí)際意義
（4）利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題
（5）寫出答案
■考點(diǎn)一　二次函數(shù)與方程（組）
◇典例1：（2024 雁塔區(qū)校級(jí)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的一部分經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），且其對(duì)稱軸是直線x＝2，則一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 　　．
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 麗水模擬）根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值，
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍可能是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
2．（2023 衡陽(yáng)）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
■考點(diǎn)二 二次函數(shù)與不等式（組）
◇典例2：（2022 漢川市模擬）如圖，直線y＝mx+n與拋物線y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是　 　．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 沭陽(yáng)縣三模）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 　 　．
2．（2023 青島一模）如圖是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（﹣1，﹣3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣4，0）．點(diǎn)A和點(diǎn)B均在直線y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；②abc＜0； ③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（4，0）；
④方程ax2+bx+c＝﹣3有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
⑤a+b+c＞﹣m+n；
⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集為﹣4＜x＜﹣1．
其中結(jié)論正確的是（　　）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
3．（2022 寧海縣校級(jí)模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，﹣1），與直線相交于O、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（3）直接寫出不等式的解．
■考點(diǎn)三 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
◇典例3：（2023 湖州）某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批某品種淡水魚(yú)，由銷售經(jīng)驗(yàn)可知，這種淡水魚(yú)的日銷售量y（千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：
銷售價(jià)格x（元/千克） 50 40
日銷售量y（千克） 100 200
（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）設(shè)該經(jīng)銷商銷售這種淡水魚(yú)的日銷售利潤(rùn)為W元，如果不考慮其他因素，求當(dāng)銷售價(jià)格x為多少時(shí)，日銷售利潤(rùn)W最大？最大的日銷售利潤(rùn)是多少元？
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 臺(tái)州）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度為EF的長(zhǎng)．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；
②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍．
（2）若EF＝1m．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接寫出h的最小值．
■考點(diǎn)四　 二次函數(shù)的綜合題
◇典例4：（2023 余姚市二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），且經(jīng)過(guò)D（2，﹣3）．
（1）求b和c的值；
（2）點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得A′B′，其中A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A′、B′．
①當(dāng)B′與D點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段A′B′，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，若線段A′B′與拋物線y＝x2+bx+c有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 臨平區(qū)二模）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）．
（1）已知a＝1．
①若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（0，3）和（﹣1，0）兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式；
②若將函數(shù)圖象向下平移兩個(gè)單位后與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求b+c的最小值．
（2）若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（﹣2，m），（﹣3，n）和（x0，c），且c＜n＜m，求x0的取值范圍．
1．（2022 紹興）已知拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
2．（2023 麗水）一個(gè)球從地面豎直向上彈起時(shí)的速度為10米/秒，經(jīng)過(guò)t（秒）時(shí)球距離地面的高度h（米）適用公式h＝10t﹣5t2，那么球彈起后又回到地面所花的時(shí)間t（秒）是（　　）
A．5 B．10 C．1 D．2
3．（2023 越秀區(qū)校級(jí)二模）若函數(shù)y＝x2﹣2x﹣m與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則一次函數(shù)y＝（m+1）x+m﹣1的圖象不經(jīng)過(guò)第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（2021 寧波模擬）已知函數(shù)y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0），當(dāng)p＜x＜q時(shí)，y1＜y2，則（　　）
A．0＜q﹣p≤1 B．0＜q﹣p＜1 C．0＜q﹣p≤2 D．0＜q﹣p＜2
5．（2022 寧波模擬）一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與二次函數(shù)y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．a(chǎn)x2+2ax﹣b＞kx﹣c時(shí)，n＜x＜m B．當(dāng)x≥0時(shí)，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣，y1）在二次函數(shù)y＝ax2+2ax+c圖象上，則y1＜c D．﹣ac+bk＞0
6．（2023 余杭區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y1＝（ax+1）（bx+1），y2＝（x+a）（x+b），（a，b為常數(shù)，且ab≠0），則下列判斷正確的是（　　）
A．若ab＜1，當(dāng)x＞1時(shí)，則y1＞y2 B．若ab＞1，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，則y1＞y2
C．若ab＜﹣1，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，則y1＞y2 D．若ab＞﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，則y1＞y2
7．（2023 寧波）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．點(diǎn)（1，2）在該函數(shù)的圖象上 B．當(dāng)a＝1且﹣1≤x≤3時(shí)，0≤y≤8
C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)
D．當(dāng)a＞0時(shí)，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸一定在直線x＝的左側(cè)
8．（2021 普陀區(qū)模擬）如圖是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（1，4），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是B（3，0），下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝4有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
9．（2020 溫州模擬）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m，則水面下降1m時(shí)，水面寬度增加　　m．
10．（2023 拱墅區(qū)校級(jí)模擬）公路上行駛的汽車急剎車時(shí)，剎車距離s（m）與時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系式為s＝16t﹣4t2，當(dāng)遇到緊急情況剎車時(shí)，由于慣性的作用，汽車要滑行 　　m才能停下．
11．（2023 甌海區(qū)一模）某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為9元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明，當(dāng)售價(jià)在10元到14元之間（含10元，14元）浮動(dòng)時(shí)，日均銷售量y（瓶）與每瓶銷售價(jià)x（元）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝1360﹣80x．當(dāng)銷售價(jià)格定為每瓶 　　元時(shí)，所得日均毛利潤(rùn)最大（每瓶毛利潤(rùn)＝每瓶售價(jià)﹣每瓶進(jìn)價(jià)）．
12．（2023 寧波模擬）教練對(duì)小明投擲實(shí)心球的訓(xùn)練錄像進(jìn)行了技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球在行進(jìn)過(guò)程中高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為y＝﹣（x﹣4）2+2，由此可知小明此次投擲的成績(jī)是 　m．
13．（2021 臺(tái)州）以初速度v（單位：m/s）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過(guò)程中，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝vt﹣4.9t2．現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為v1，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h1（如圖1）；小球落地后，豎直向上彈起，初速度為v2，經(jīng)過(guò)時(shí)間t2落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h2（如圖2）．若h1＝2h2，則t1：t2＝　　．
14．（2023 余姚市一模）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣1，0），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式和其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若一次函數(shù)y2＝kx+3的圖象經(jīng)過(guò)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y1＞y2時(shí)x的取值范圍．
15．（2022 寧波）為了落實(shí)勞動(dòng)教育，某學(xué)校邀請(qǐng)農(nóng)科院專家指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小番茄的種植，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，其平均單株產(chǎn)量y千克與每平方米種植的株數(shù)x（2≤x≤8，且x為整數(shù)）構(gòu)成一種函數(shù)關(guān)系．每平方米種植2株時(shí)，平均單株產(chǎn)量為4千克；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）每平方米種植多少株時(shí)，能獲得最大的產(chǎn)量？最大產(chǎn)量為多少千克？
16．（2023 溫州）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過(guò)計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；
（2）對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門，才能讓足球經(jīng)過(guò)點(diǎn)O正上方2.25m處？
17．（2023 嵊州市一模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+ax+b的圖象與直線y＝﹣x+3的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，7），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）．
（1）求二次函數(shù)y＝x2+ax+b的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)M向下平移h（h＞0）個(gè)單位得到點(diǎn)N．
①若點(diǎn)N在二次函數(shù)的圖象上，求h的最大值；
②若h＝4，線段MN與二次函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍．
18．（2021 衢州）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長(zhǎng)CD均為24m，在距離D點(diǎn)6米的E處，測(cè)得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求橋拱頂部O離水面的距離．
（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過(guò)相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為1m．
①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求一條彩帶長(zhǎng)度的最小值．
1．（2022 高密市一模）下表是若干組二次函數(shù)y＝x2﹣5x+c的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值：
x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 …
y … 0.36 0.13 ﹣0.08 ﹣0.27 ﹣0.44 …
那么方程x2﹣5x+c＝0的一個(gè)近似根（精確到0.1）是（　　）
A．1.4 B．1.5 C．3.4 D．3.6
2．（2023 陜西）如表中列出的是一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值：
x … ﹣3 0 3 5 …
y … 16 ﹣5 ﹣8 0 …
則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（　　）
A．圖象的頂點(diǎn)在第一象限 B．有最小值﹣8
C．圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（﹣1，0） D．圖象開(kāi)口向下
3．（2023 湛江一模）已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+1的值為（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
4．（2023 秦皇島一模）某商店銷售一批頭盔，售價(jià)為每頂80元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進(jìn)價(jià)為每頂50元，則該商店每月獲得最大利潤(rùn)時(shí)，每頂頭盔的售價(jià)為（　　）元．
A．50 B．90 C．80 D．70
5．（2021 蕭山區(qū)一模）已知二次函數(shù)y1＝ax2+ax﹣1，y2＝x2+bx+1，令h＝b﹣a，（　　）
A．若h＝1，a＜1，則y2＞y1 B．若h＝2，a＜，則y2＞y1
C．若h＝3，a＜0，則y2＞y1 D．若h＝4，a＜﹣，則y2＞y1
6．（2023 路橋區(qū)一模）如圖，不考慮空氣阻力，以一定的速度將小球沿斜上方擊出時(shí)，小球飛行的高度是飛行時(shí)間的二次函數(shù)．現(xiàn)以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次擊出三個(gè)質(zhì)地一樣的小球，小球在各自擊出后1秒到達(dá)相同的最大飛行高度，若整個(gè)過(guò)程中同時(shí)出現(xiàn)在空中的小球個(gè)數(shù)最大值為2（不考慮小球落地后再?gòu)椘穑瑒tt的取值范圍是（　　）
A．0＜t＜1 B．1≤t＜2 C． D．
7．（2023 振興區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是（　　）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
8．（2023 自貢）經(jīng)過(guò)A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
9．（2023 濟(jì)南模擬）二次函數(shù)y＝﹣x2+mx的圖象如圖，對(duì)稱軸為直線x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（　　）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
10．（2022 鄞州區(qū)校級(jí)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集為1＜x＜3．正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2023 郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m＝　　．
12．（2023 洪雅縣模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 　　．
13．（2022 大慶）已知函數(shù)y＝mx2+3mx+m﹣1的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為 　　．
14．（2023 晉城模擬）根據(jù)表格估計(jì)方程x2+2x＝6其中一個(gè)解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …
x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根據(jù)上表，求方程x2+2x＝6的一個(gè)解大約是 　　.（精確到0.01）
15．（2023 寶山區(qū)一模）如圖，用長(zhǎng)為12米的籬笆圍成一個(gè)矩形花圃，花圃一面靠墻（墻的長(zhǎng)度超過(guò)12米），設(shè)花圃垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，花圃面積為y平方米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 　　．（不要求寫出定義域）
16．（2023 舒城縣二模）已知直線y1＝kx﹣4k經(jīng)過(guò)拋物線y2＝ax2﹣4ax（a≠0）的頂點(diǎn)，且當(dāng)x＜2時(shí)，y1＞y2．則：
（1）直線y1與拋物線y2都經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是 　　．
（2）當(dāng)y2＞y1時(shí)，x的取值范圍是 　　．
17．（2022 余姚市一模）已知：一次函數(shù)y1＝2x﹣2，二次函數(shù)y2＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)），
（1）如圖，兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)（3，m），（n，﹣6）．求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出當(dāng)y1＜y2時(shí)x的取值范圍．
（2）請(qǐng)寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
18．（2022 拱墅區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y1＝﹣x2+bx+c（b，c是常數(shù)）與一次函數(shù)y2＝kx+c（k是常數(shù)，k≠0）．
（1）若y1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（2，0），求b，c的值；
（2）若y1的圖象可由拋物線y＝ax2+2c（a是常數(shù)，a≠0）向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到，求出y1的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若k+b＝3，當(dāng)x≥2時(shí)，y1＜y2恒成立，求k的取值范圍．
19．（2021 湖州）今年以來(lái)，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬(wàn)人，五月份為5.76萬(wàn)人．
（1）求四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)百分之幾；
（2）若該景區(qū)僅有A，B兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購(gòu)票方式如下表所示：
購(gòu)票方式 甲 乙 丙
可游玩景點(diǎn) A B A和B
門票價(jià)格 100元/人 80元/人 160元/人
據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購(gòu)票方式的人數(shù)分別有2萬(wàn)、3萬(wàn)和2萬(wàn)，并且當(dāng)甲、乙兩種門票價(jià)格不變時(shí)，丙種門票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購(gòu)買甲種門票的游客和400人原計(jì)劃購(gòu)買乙種門票的游客改為購(gòu)買丙種門票．
①若丙種門票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；
②問(wèn)：將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬(wàn)元？
20．（2023 義烏市模擬）隨著自動(dòng)化設(shè)備的普及，公園中引入了自動(dòng)噴灌系統(tǒng)．圖1是某公園內(nèi)的一個(gè)可垂直升降的草坪噴灌器，從噴水口噴出的水柱均為形狀相同的拋物線，圖2是該噴灌器噴水時(shí)的截面示意圖．
（1）噴水口A離地高度為0.35m，噴出的水柱在離噴水口水平距離為3m處達(dá)到最高，高度為0.8m，且水柱剛好落在公園圍欄和地面的交界B處．
①在圖2中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求出拋物線的解析式；
②求噴灌器底端O到點(diǎn)B的距離；
（2）現(xiàn)準(zhǔn)備在公園內(nèi)沿圍欄建花壇，花壇的截面示意圖為矩形BCDE（如圖3），其中高CD為0.5m．寬CB為0.8m．為達(dá)到給花壇噴灌的效果，需將噴水口A向上升高h(yuǎn)m，使水柱落在花壇的上方DE邊上，求h的取值范圍．
21．（2022 溫州）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？
素材1 圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高．
素材2 為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長(zhǎng)的燈籠，如圖3．為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布．
問(wèn)題解決
任務(wù)1 確定橋拱形狀 在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2 探究懸掛范圍 在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．
任務(wù)3 擬定設(shè)計(jì)方案 給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
22．（2023 蘭溪市模擬）如圖，已知拋物線y＝x2+bx與直線y＝2x交于點(diǎn)O（0，0），A（a，10），點(diǎn)B是拋物線上O，A之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形BCDE的兩個(gè)頂點(diǎn)C、E在直線OA上，點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)BC∥x軸時(shí)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），求m關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，若矩形BCDE的鄰邊之比為1：3，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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