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七年級數學下冊 預習篇
5.3.1 平行線的性質
1.性質1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；即兩直線平行，同位角相等。
2.性質2：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等；即兩直線平行，內錯角相等。
3.性質3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補；即兩直線平行，同旁內角互補。
選擇題
1.如圖，，的平分線與的平分線交于點 ，當時，的度數為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查平行線的性質、角平分線的定義，過G作，則，根據平行線的性質和角平分線的定義求解即可．添加平行線求解是解答的關鍵．
【詳解】解：過G作，則，
∴，，
∵，
∴，則，
∵的平分線與的平分線交于點 ，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故選：C．
2.光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時，要發生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光線，在空氣中也是平行的，如圖，，，則的度數為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行時，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補．根據光在水中是平行的線，由平行線的性質即可求解．
【詳解】解：如圖，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
故選∶D．
3.如圖所示，平分，，則為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，以及角的和差關系．由平行線的性質和角平分線的定義求得，即可求出的度數．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
4.如圖，直線，直線與直線a相交于點P，與直線b相交于點Q，于點P，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線性質，根據兩直線平行，同位角相等，平角的定義計算即可．
【詳解】如圖，∵，，
∴，
∵，
∴，
故選A．
5.如圖，已知，直線與分別交于點A，B，直線平分且交于點C，下列說法錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查平行線的性質，對頂角相等，以及角平分線的定義．根據平行線的性質，對頂角相等，以及角平分線平分角，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵直線平分，
∴，
∴；
故錯誤的是D選項；
故選：D．
6.如圖，在三角形中，已知，．對于下列五個結論：
①；②；③；④；⑤與互余．其中正確的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的判定與性質，互余的概念，解決本題的關鍵是準確區分平行線的判定與性質，并熟練運用．
根據平行線的判定與性質即可進行逐一判斷．
【詳解】解：①，
；
所以①正確；
②，
，
，
，
；
所以②正確；
③，
；
所以③正確；
④，
，
，
；
所以④正確；
⑤．
，
與互余．
所以⑤正確．
其中正確的有①②③④⑤5個．
故選：D．
7.已知與是直線、被直線所截得的同位角，且，則（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】D
【分析】本題考查同位角、內錯角、同旁內角，根據平行線的性質進行判斷即可，解題的關鍵是理解同位角的定義以及兩直線平行線，同位角相等．
【詳解】解：∵與是兩條直線被第三條直線所截的同位角，兩條直線不一定平行，
∴不能確定，
故選：．
8.如圖，，，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質，根據，得出，根據，可得．
【詳解】解：，
，
，
，
，
．
故選：A．
填空題
1.如圖，直線，直線分別交直線于點． 若，則的度數為 °．
【答案】36
【分析】本題考查求角度，涉及補角定義、平行線的性質等知識，由互補得到，再結合平行線的性質即可求出的度數，熟練掌握平行線的性質，數形結合是解決問題的關鍵．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
2.如圖，，直線分別交，于點，，平分，，則的度數為 ．
【答案】/80度
【分析】本題主要考查了平行線的性質和角平分線的定義，解題的關鍵是掌握平行線的性質和角平分線的定義．根據可得，由平分可得，最后根據平行線的性質即可求解．
【詳解】解：，
，
平分，
，
，
，
故答案為：．
3.如圖，直線、被直線、所截，若，則的大小是 度．
【答案】130
【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質，解題的關鍵是數形結合．先根據平行線的判定定理得出，再由鄰補角的定義求出的度數，最后由平行線的性質即可求解．
【詳解】，
，
，
，
，
．
4.如圖，已知，直角三角板的直角頂點在直線a上，若，則等于 ．
【答案】/50度
【分析】本題考查的是平行線的性質以及垂線的定義的運用．先利用余角的性質求得，再根據“兩直線平行，內錯角相等”可求得的度數．
【詳解】解：如圖，
∵直角三角板的直角頂點在直線a上，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
5.已知直線，現將一副直角三角板作如圖擺放，且．下列結論：①；②；③；④，其中正確結論的序號為 ．
【答案】①②④
【分析】本題考查平行線的判斷和性質，三角板中角度的計算．內錯角相等，兩直線平行，判斷①，鄰補角求出的度數，判斷②，過點作，利用平行線的判定和性質，判斷③和④．掌握平行線的判定方法和性質，是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意，得：，
∴，
∴，故①正確；
∵，
∴，，
∴；故②正確；
過點作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
故③錯誤，④正確；
故答案為：①②④．
1.如圖， ，，，求的度數．請完善解題過程，并在括號內填上相應的理論依據．
解：，（已知）
，（ ）
，（已知）
，（等量代換）
_____ （ ）
______ ，（ ）
，
______ ．
【答案】兩直線平行，同位角相等 ； ； 內錯角相等，兩直線平行 ； ；兩直線平行，同旁內角互補 ；
【分析】此題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵．由與平行，利用兩直線平行，同位角相等得到一對角相等，再由已知角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到與平行，利用兩直線平行同旁內角互補得到兩個角互補，即可求出所求角的度數．
【詳解】解：解：，（已知）
，（兩直線平行，同位角相等）
，（已知）
，（等量代換）
，（內錯角相等，兩直線平行）
，（兩直線平行，同旁內角互補）
，
．
故答案為：兩直線平行，同位角相等；；內錯角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內角互補；．
2.如圖，點F在上，于點G，與相交于點H，且．
(1)求證：．在下列解答中，填空：
證明：∵（已知）
___①___（對頂角相等）
∴___②___（等量代換）
∴（ ③ ）
∴___④___（兩直線平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（垂直的定義．）
∴___⑤___（等量代換）
∴（垂直的定義）
(2)若平分，且，求的度數．
【答案】(1)；；同旁內角互補，兩直線平行；；
(2)
【分析】（1）證明得，從而，然后再證明即可；
（2）由角平分線的定義得，然后利用平行線的性質可求出的度數．
【詳解】（1）證明：∵（已知）
（對頂角相等）
∴（等量代換）
∴（同旁內角互補，兩直線平行）
∴（兩直線平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（垂直的定義．）
∴（等量代換）
∴（垂直的定義）
故答案為：；；同旁內角互補，兩直線平行；；；
（2）∵平分，且，
∴．
∵，
∴
3.如圖，點B、C在線段的異側，E、F分別是線段、上的點，已知，．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了平行線的判定、平行線的判定與性質等知識點，靈活運用平行線的判定定理是解答本題的關鍵．
（1）由已知條件結合對頂角相等可得，然后根據內錯角相等、兩直線平行即可證明結論；
（2）由（1）可得，再結合可得，進而證得，由平行線的性質可得．
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
4.已知如圖，，，直線與平行嗎？直線與平行嗎？說明理由（請在下面的解答過程的空格內填空或在括號內填寫理由）．

解：直線與平行，直線與平行．
理由如下：
∵（已知），
∴ （ ），
∴（ ），
又∵（ ），
∴_____（等量代換），
∴ （ ）．
【答案】直線與平行，直線與平行．理由見解析
【分析】本題考查了平行線的性質和判定，由，根據內錯角相等，兩直線平行可以證明，根據平行線的性質可得，結合已知條件，等量代換可得，即可證明，解題的關鍵是結合圖形熟練運用平行線的性質和判定進行證明推理．
【詳解】解：直線與平行，直線與平行．
理由如下：
∵（已知），
∴（內錯角相等，兩條直線平行），
∴（兩條直線平行，內錯角相等），
又∵（已知），
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩條直線平行）．
故答案為：；；內錯角相等，兩條直線平行；兩條直線平行，內錯角相等；已知；；；；同位角相等，兩條直線平行．
5.【問題背景】同學們，觀察小豬的豬蹄，你會發現熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數量關系．
【問題探究】（1）如圖1，，為、之間一點，連接、．可以得到與、之間有怎樣的數量關系，并說明理由．
【靈活應用】（2）如圖2，直線，若，，求的度數．
【答案】（1），理由見解析；（2）
【分析】本題考查平行線的性質及應用，三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握平行線的性質定理和判定定理，并能熟練應用．
（1）過點作，利用平行線的性質即可解答；
（2）先利用三角形的內角和定理可得，從而利用對頂角相等可得，然后利用“豬蹄模型”可得，最后進行計算即可解答．
【詳解】（1），
理由：如圖，過點作，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
由（1）可得：，
，
．
6.如圖，已知．點P是射線上一動點（與點A不重合），， 的角平分線分別交射線于點C，D．
(1)①的度數是______；
②∵，∴______；
(2)求的度數；
(3)當點P運動時，與之間的數量關系是否隨之發生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系；若變化，請寫出變化規律．
(4)當點P運動到使時，的度數是______．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)，理由見解析
(4)
【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質等：
（1）①由平行線的性質，兩直線平行，同旁內角互補可直接求出；②由平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等可直接寫出；
（2）由角平分線的定義可以證明，即可求出結果；
（3）不變，，證，即可推出結論；
（4）可先證明，由（2），可推出，可得，即可求出的度數．
【詳解】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（4）解：∵，
∴，
當時，則有，
∴，
∴，
由（2），
∴，
∴，
故答案為：．
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七年級數學下冊 預習篇
5.3.1 平行線的性質
1.性質1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；即兩直線平行，同位角相等。
2.性質2：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等；即兩直線平行，內錯角相等。
3.性質3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補；即兩直線平行，同旁內角互補。
選擇題
1.如圖，，的平分線與的平分線交于點 ，當時，的度數為 （ ）
A． B． C． D．
2.光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時，要發生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光線，在空氣中也是平行的，如圖，，，則的度數為（）
A． B． C． D．
3.如圖所示，平分，，則為（　　）
A． B． C． D．
4.如圖，直線，直線與直線a相交于點P，與直線b相交于點Q，于點P，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
5.如圖，已知，直線與分別交于點A，B，直線平分且交于點C，下列說法錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
6.如圖，在三角形中，已知，．對于下列五個結論：
①；②；③；④；⑤與互余．其中正確的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
7.已知與是直線、被直線所截得的同位角，且，則（ ）
A． B． C． D．不能確定
8.如圖，，，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
填空題
1.如圖，直線，直線分別交直線于點． 若，則的度數為 °．
2.如圖，，直線分別交，于點，，平分，，則的度數為 ．
3.如圖，直線、被直線、所截，若，則的大小是 度．
4.如圖，已知，直角三角板的直角頂點在直線a上，若，則等于 ．
5.已知直線，現將一副直角三角板作如圖擺放，且．下列結論：①；②；③；④，其中正確結論的序號為 ．
1.如圖， ，，，求的度數．請完善解題過程，并在括號內填上相應的理論依據．
解：，（已知）
，（ ）
，（已知）
，（等量代換）
_____ （ ）
______ ，（ ）
，
______ ．
2.如圖，點F在上，于點G，與相交于點H，且．
(1)求證：．在下列解答中，填空：
證明：∵（已知）
___①___（對頂角相等）
∴___②___（等量代換）
∴（ ③ ）
∴___④___（兩直線平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（垂直的定義．）
∴___⑤___（等量代換）
∴（垂直的定義）
(2)若平分，且，求的度數．
3.如圖，點B、C在線段的異側，E、F分別是線段、上的點，已知，．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
4.已知如圖，，，直線與平行嗎？直線與平行嗎？說明理由（請在下面的解答過程的空格內填空或在括號內填寫理由）．

解：直線與平行，直線與平行．
理由如下：
∵（已知），
∴ （ ），
∴（ ），
又∵（ ），
∴_____（等量代換），
∴ （ ）．
5.【問題背景】同學們，觀察小豬的豬蹄，你會發現熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數量關系．
【問題探究】（1）如圖1，，為、之間一點，連接、．可以得到與、之間有怎樣的數量關系，并說明理由．
【靈活應用】（2）如圖2，直線，若，，求的度數．
6.如圖，已知．點P是射線上一動點（與點A不重合），， 的角平分線分別交射線于點C，D．
(1)①的度數是______；
②∵，∴______；
(2)求的度數；
(3)當點P運動時，與之間的數量關系是否隨之發生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系；若變化，請寫出變化規律．
(4)當點P運動到使時，的度數是______．
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